流体力学第八章.气体的一元流动

第8章 气体的一元流动

一、 学习的目的和任务

1．掌握可压缩气体的伯努利方程 2．理解声速和马赫数这两个概念

3．掌握一元气体的流动特性，能分析流速、流通面积、压强和马赫数等参数的相互关系 4．掌握气体在两种不同的热力管道（等温过程和绝热过程）的流动特性。

二、 重点、难点

1．重点： 声速、马赫数、可压气体的伯努利方程、等温管道流动、绝热管道流动 2．难点： 声速的导出、管道流动参数的计算

由于气体的可压缩性很大，尤其是在高速流动的过程中，不但压强会变化，密度也会显著地变化。这和前面研究液体的章节中，视密度为常数有很大的不同。

气体动力学研究又称可压缩流体动力学，研究可压缩性流体的运动规律及其应用。其在航天航空中有广泛的应用，随着研究技术的日益成熟，气体动力学在其它领域也有相应的应用。本章将简要介绍气体的一元流动。

8.1 气体的伯努利方程

在气体流动速度不太快的情况下，其压力变化不大，则气体各点的密度变化也不大，因此可把其密度视为常数，即把气体看成是不可压缩流体。这和第四章研究理想不可压缩流体相似，所以理想流体伯努利方程完全适用，即

22

1122

1222p u p u z z g g g g

ρρ++=++ (8.1-1)

上式中12,p p ——流体气体两点的压强； 12,u u ——流动气体两点的平均流速

在气体动力学中，常以g ρ乘以上式（8.1-1）后气体伯努利方程的各项表示称压强的

形式，即

2

212

11222

2

u u p gz p gz ρρρρ++

=++

(8.1-2)

由于气体的密度一般都很小，在大多数情况下1gz ρ和2gz ρ很相近，故上式(8.1-2)就可以表示为

2

212

122

2

u u p p ρρ+

=+

(8.1-3)

前面已经提到，气体压缩性很大，在流动速度较快时，气体各点压强和密度都有很大的变化，式(8.1-3)就不能适用了。必须综合考虑热力学等知识，重新导出可压缩流体的伯努利方程,推导如下。

如图8-1所示，设一维稳定流动的气体，在上面任取一段微小长度ds ，两边气流断面1、2的断面面积、流速、压强、密度和温度分别为A 、u 、p 、ρ、T ；A dA +、

u du +、p dp +、d ρρ+、T dT +。

取流段1-2作为自由体，在时间dt 内，这段自由体所作的功为

()()()W pAudt p dp A dA u du dt =-+++

(8.1-4)

根据恒流源的连续性方程式，有uA C ρ=（常数），所以上式(8.1-4)可写成

()p

p dp p p dp

W Cdt Cdt Cdt d d ρ

ρρρρρ

++=

-

=-++

由于在微元内，可认为ρ和d ρρ+很相近，则上式可化简为

图8-1

ds 微元流段

(

)p p dp

dp

W Cdt Cdt ρ

ρ

--==-

(8.1-5)

又对1-2自由体进行动能分析，其动能变化量为

222111

()22

E m u du m u ?=

+- (8.1-6)

同样地根据恒流源的连续性方程式uA C ρ=（常数），故有12m m uA C ρ=== 上式就可以写成

1

(2)2

E Cdt udu Cudtdu ?==

(8.1-7)

根据功能原理有W E =?,化简得

0dp

udu ρ

+=

(8.1-8)

该式就是一元气体恒定流的运动微分方程

对上式(8.1-8)进行积分，就得一元气体恒定流的能量方程

22

dp

u C ρ+=?

(8.1-9)

式中C 为常数。上式表明了气体的密度不是常数，而是压强（和温度）的函数，气体流动密度的变化和热力学过程有关，对上式的研究取要用到热力学的知识。下面简要介绍工程中常见的等温流动和绝热流动的方程。

（1） 等温过程

等温过程是保持温度不变的热力学过程。因

p

RT ρ

=，其中T =定值，则有

p

C ρ

=（常

数），代入式(8.1-9)并积分，得

2

ln 2p

u p C ρ+= (8.1-10)

（2） 绝热过程

绝热过程是指与外界没有热交换的热力学过程。可逆、绝热过程称为等熵过程。绝热过程方程p

C γ

ρ=（常数），代入式(8.1-9)并

积分，得

2

12

p

u C γγρ+=-

(8.1-11)

式中γ为绝热指数。

8.2

声速和马赫数

8.2.1

声速

微小扰动波在介质中的传播速度称为声速。如弹拨琴弦，使弦振动了空气，其压强和密度都发生了微弱的变化，并以波的形式在介质中传播。由于人耳能接收到的振动频率有限，声速并不限于人耳能接收的声音传播速度。凡在介质中的扰动传播速度都称为声速。

如图8-2所示，截面面积为A 的活塞在充满静止空气的等径长管内运动，0u =时（0t =），管内压强为p ，空气密度为ρ，温度为T ;若以微小速度du 向右推进时间dt ，压缩空气后，压强、密度和温度分别变成了p dp +，d ρρ+和T dT +。活塞从右移动了dudt ，活塞微小扰动产生的声速传播了cdt ，c 就为声速。

取上面的控制体，列连续性方程得

()()cdtA d c du dtA ρρρ=+-

(8.2-1)

化简并略去高阶无穷小项，得

du cd ρρ=

(8.2-2)

图8-2 微小扰动波的传播

又由动量定理，得

()[()]pA p dp A cA c du c ρ-+=--

(8.2-3)

同样化简并略去高阶无穷小项，得

dp cdu ρ=

(8.2-4)

联立式(8.2-2)和式(8.2-4)，得

c =

(8.2-5)

上式就为声速方程式的微分形式。

密度对压强的变化率

d dp ρ反映了流体的压缩性，d dp ρ越大，则dp

d ρ

越小，声速c 也越小；反则声速c 越大。由此可知，声速c 反映了流体的可压缩性，即声速c 越小，流体越容易压缩；声速c 越大，流体也越不易压缩。

由于微小扰动波的传播速度很快，其引起的温度变化也很微弱，在研究微小扰动时，

可认为其压缩或膨胀过程是绝热且可逆的，这就是热力学中的等熵过程。则有绝热方程为

p

C γ

ρ

=（常数）

(8.2-6)

式中γ为绝热指数。 可写为

p C γρ=

(8.2-7)

上式两边对ρ求导，得

11dp p p C d γγγγργργρρρ

--=== (8.2-8)

又由理想气体状态方程

g p

R T ρ

=和上式(8.2-8)、式(8.2-5)联立，得

c ==

(8.2-9)

综合上述分析，有 （1）

由式(8.2-5)得，密度对压强的变化率

d dp ρ反映了流体的压缩性，d dp ρ越大，则dp

d ρ

越小，声速c 也越小；反则声速c 越大。由此可知，声速c 反映了流体的可压缩性，即声速c 越小，流体越容易压缩；声速c 越大，流体也越不易压缩。 （2）

特别的，对于空气来说， 1.4,287.1/()g R J kg K γ==?，则空气中的声速为

/c s =

(8.2-10)

（3）

从式(8.2-9)可看出，声速c 不但和绝热指数γ有关，也和气体的常数g R 和热力学

温度T 有关。所以不同气体声速一般不同，相同气体在不同热力学温度下的声速也不同。

8.2.2 马赫（Ma ）数

为了研究的方便，引入气体流动的当地速度u 与同地介质中声速c 的比值，称为马赫数，以符号Ma 表示

u

Ma c

=

(8.2-10)

马赫数是气体动力学中最采用的参数之一，它也反映了气体在流动时可压缩的程度。马赫数越大，表示气体可压缩的程度越大，为可压缩流体；马赫数越小，表示气体可压缩性小，当达到一定程度时，可近似看作不可压缩流体。

根据马赫数Ma 的取值，可分为

（1）u c =，即1Ma =时，称为声速流动； （2）u c >，即1Ma >时，称为超声速流动； （3）u c <，即1Ma <时，称为亚声速流动。

下面讨论微小扰动波的传播规律，可分为四种情况：

(1) 如图8-3()a 所示，0u =，扰动源静止。扰动波将以声速向四周对称传播，波面为一同心球面，不限时间，扰动波布满整个空间。

(2) 如图8-3()b 所示，u c <，扰动源以亚声速向右移动。扰动波以声速向外传播，由于扰动源移动速度小于声速，只要时间足够，扰动波也能布满整个空间。

(3) 如图8-3()c 所示，u c =，扰动源以声速向右移动。由于扰动源移动速度等于声速，所以扰动波只能传播到扰动源的下游半平面。

(4) 如图8-3()d 所示，u c >，扰动源以超声速向右移动。由于扰动源移动速度大于声速，扰动波的球形波面被整个地带向扰动源的下游，所以扰动波只能传播到扰动源的下游区域，其区域为一个以扰动源为顶点的圆锥面内。称该圆锥为马赫锥。锥的半顶角θ称

图8-3 微小扰动传播规律图

为马赫角，从图中可以看出

1

sin c u Ma

θ=

=

(8.2-11)

上面分析了扰动源分别在静止以及亚声速、声速和超声速从右移动时，微小扰动波的

传播规律。由此可知，01Ma ≤<，即在振源静止或以亚声速移动的情况下，扰动波能传播到整个空间；而1Ma ≥，即在振源以声速或超声速移动时，扰动波只能传播到半空间或一圆锥面内。

8.3 一元气流的流动特性

在引入了声速和马赫数的概念后，对于可压缩气体的流动有一些自己的特性。这里我们介绍两个重要特性。

8.3.1气体流速与密度的关系

由第一节的式(8.1-7)和第两节的式(8.2-5)，得

2dp

dp d d udu c d ρρ

ρ

ρρρ

=-

=-

=-

(8.3-1)

将马赫数u

Ma c

=

代入上式，有 2

d du Ma u

ρ

ρ

=- (8.3-2)

上式表明了密度相对变化量和速度相对变化量之间的关系。从该式可以看出，等式中有个负号，表示两者的相对变化量是相反的。即加速的气流，密度会减小，从而使压强降低、气体膨胀；反则，减速气流，密度增大，导致压强增大、气体压缩。马赫数Ma 为两者相对变化量的系数。因此，当1Ma >时，即超声速流动，密度的相对变化量大于速度的相对变化量；当1Ma <时，即亚声速流动，密度的相对变化量小于速度的相对变化量。以下再分析流速与断面积的关系

8.3.2气体流速与流道断面积的关系

对一元气流得连续性方程uA C ρ=（常数）两边取对数，得

ln()ln ln ln ln uA u A C C ρρ'=++==

对上式微分，得

0d du dA u A ρ

ρ

+

+= 或

d du dA

u A

ρ

ρ

=-

-

(8.3-3)

将式(8.2-13)代入上式，得

2(1)

dA du

Ma A u

=- (8.3-4)

从上式我们可以看到，1Ma =是一个临界点。下面讨论其在亚声速和超声速流动下

的情况。

（1） 亚声速流动时，即1Ma <。面积相对变化量和速度相对变化量反向发展，说明了

气体在亚声速加速流动时，过流断面逐渐收缩；减速流动时，过流断面积逐渐扩大。

（2） 超声速流动时，即1Ma >。这种情况正好和亚声速流动相反，沿流线加速时，过

流断面逐渐扩大；减速流动时，过流断面逐渐收缩。上式就表明，亚声速和超声速流动在加速或减速流动的情况截然相反。

8.4 气体在管道中的等温流动

实际工程中，许多工业输气管道，如天然气、煤气等管道，管道很长，且大部分长期暴露在外界中，管道中的气体能和外界进行充分的热交换，所以其温度基本与周边环境一样。该类气体管道可视为等温管道。

8.4.1基本方程

气体在实际管道中流动要受到摩擦阻力，故存在流程损失，但在流动中，气体压强、密度都有所改变，所以不能直接应用达西公式，只能在微小ds 段上应用。即

2

2

f ds u dh D λ=

(8.4-1)

对于前面推导出的可压缩流体方程式(8.1-7)，在工业管道中加上摩擦损失后就可以写成

2

02dp

u udu ds D

λρ++= (8.4-2)

式中λ为沿程阻力系数，上式就是气体运动微分方程。

根据连续性方程，有111222u A u A uA ρρρ==,对于等径管道因12A A A ==,得

1

1u u ρρ

= (8.4-3)

又由热力学等温过程方程

p

C ρ

=

即1

C p ρ-=和111C p ρ-=，有

11

1p u u p

ρρ== 或 11p p ρρ=

和11p u

u p

= (8.4-4)

将式(8.4-4)代入式(8.4-2)并改写为

211102pdp du ds

p u u D

λρ++=

(8.4-5)

如图8-3所示，设在等温管道中，取一微小流段ds ，在1-2段对上式(8.4-5)进行定积分，得

22

1

1

2

111102p u l

p u du pdp ds p u u D λ

ρ++=?

?

? 上式积分得

22

221211112ln u l p p p u u D λρ??-=+ ??

?

(8.4-6)

图8-3 微元管流

若管道较长，且气流速度变化不大，则可以认为212ln

u l

u D

λ<<,略去对数项，上式可写成

2p =

(8.4-7)

1u =

(8.4-8)

质量流量公式为

2

11

4m D Q u πρ== (8.4-9)

上面各项就是计算等温管道压强、流速和流量的计算公式。

8.4.2流动特征分析

前面已经给出了气体连续性方程uA C ρ=,其中A 不变，则有u C ρ'=，对该式取对数并积分，得

0d du

u

ρ

ρ

+

= (8.4-10)

由热力学方程

p

RT C ρ

==，积分得

dp d p ρρ

= (8.4-11)

联立上面两式(8.4-10)和(8.4-11)，以及声速公式c =u

Ma c

=

并整理。得 22(1)2du Ma ds u Ma D

γλγ=-

(8.4-11)

从上式我们可以看出，如果Ma >

,，即210Ma γ-<，0ds >，则0du <；

又对于大多数气体的指数常数1γ>，且实际工程等温管道中气流的速度不可能无限增大，

21Ma γ-不可能等于或小于0，

所以只有Ma <

计算式才有效；Ma >

时，

只能按Ma =

（极限值）计算，该极限值计算的管长又称为最大管长，即实际管长

超过最大管长时，进口断面的流速将受到阻滞，必须减小管长。

8.5 气体在绝热管道中的流动

在实际的气体输送管道中，常常在管道外面包有良好的隔热材料，管内气流与外界不发生热交换，这样的管道可以当作绝热管流来处理。

8.5.1基本方程

和分析等温管道一样的，引入连续性方程和运动微分方程，并结合绝热过程方程

p

C γ

ρ

=进行分析。改写运动微分方程式(8.4-2)为

202dp du ds

u u D

λρ++= (8.5-1)

由

p

C γ

ρ

=（常数）和连续性方程u C ρ=(常数)（面积A 不变）得

2212

2

111111u p u u p γ

γ

ρρρρ== (8.5-2)

代入上式得

11211102p dp du ds p u u D

γγ

λρ++= (8.5-3)

对如图8-3所示在1-2间对上式定积分

22

1

1

112

01111

02p u l

p u du p dp ds p u u D

γγ

λρ++=?

?

? (8.5-4)

可得

1

11

2

21

2

11111ln 2u l p p p u u D γγγ

γ

γγλργ++??

+-=+ ???

(8.5-5)

考虑到管道较长，流速变化也不大，21ln

2u s u D

λ<<,略去对数项，可写成 111

2

21

11112l

p p p u D

γγγ

γ

γγλργ+++=-

(8.5-6)

1u =

(8.5-7)

质量流量为

2

114m D q u πρ==

(8.5-8)

8.5.2 流动特征分析

和等温管流相似的推导，可以得到

212du Ma ds

u Ma D

λ=

- (8.5-9)

以上各式就是绝热管流的压强、速度和流量等计算公式。同样地，与等温管流一样，如果1Ma <时，可直接用公式计算；否则1Ma >时，实际流动只能按1Ma =来计算。

1Ma =计算得出的管长称为绝热管流的最大管长，如实际管长大于最大管长，流动

将发生阻滞，必须较小管长。

8.6气体的两种状态

8.6.1滞止参数

在气体流动的计算中,一般都是由一个已知断面上的参数,求出另一个断面上的参数。为了计算的方便，我们假定在流动过程中的某个断面，气流的速度以无摩擦的绝热过程（即等熵过程）降低至零，该断面的气流状态就称为滞止状态，相应的气流参数称为滞止参数。

如气体从大容器流入管道，由于容器断面相对于管道断面大很多，可认为容器中的气流速度为零，气流参数可认为是滞止参数，或气体绕过物体时，驻点的速度也为零，驻点处的流动参数也可认为是滞止参数。滞止参数常用下标“0”标识，如000,,p T ρ分别表示滞止压强、滞止密度、滞止温度。

由绝热过程方程式（8.1-11），按滞止参数的定义，可得滞止参数和某一断面的运动参数间的关系为

2

0112

p p

u γ

γγργρ=+--

(8.6-1)

又由完全气体状态方程

p

RT ρ

=得，上式可写为

2

0112

u RT RT γγ

γγ=+-- (8.6-2)

即

20112T u T RT γγ

-=+ (8.6-3)

又声速c

上式改写成马赫数的形式为

2

0112

T Ma T γ-=+ (8.6-4)

上式就是滞止温度和断面上的温度参数的计算式。由绝热过程方程

p

C γ

ρ

=（常数）

和完全气体状态方程p

RT ρ

=，代入上式就可以导出断面上的压强、密度和滞止压强、滞

止密度的关系如下

11200112p T Ma p T γγ

γγγ---????==+ ? ???

?? (8.6-5)

1

1

1

1

200112T Ma T γγργρ---????

==+ ?

???

??

(8.6-6)

在等熵条件下温度降到绝对零度时，速度达到最大（max u ）的状态，称为最大速度状态。由于在地面上不可能制造绝对零度的环境，最大速度状态只具有理论意义，反映气流的总能量大小。将0T =代入式(8.6-2)得

max u =

(8.6-7)

式中0c =

根据上面的式子，只需已知滞止参数和某一断面的马赫数，就可以求该断面的运动参数。 例题：

8.6.2临界状态参数

气体从当地状态等熵地改变速度达到声速时（即1Ma =），所具有的状态称为与该当地状态对应的临界状态，相应的状态参数称为临界参数，与滞止状态一样，临界状态可以是流动中实际存在的，也可以是假想的状态。临界状态参数常用下标“*”表示。如*T 、

p *分别称为临界温度、临界压强等。在等熵流中所有的临界参数都是常数，因此可作为

参考状态参数。

根据临界状态的定义，1Ma =代入式(8.6-5),得临界温度比为

0*11

122

T T γγ-+=+= (8.6-8)

代入式(8.6-5)，就可以得出临界压比、临界密度比为

1

0*12p p γγγ-+??

= ???

(8.6-9)

1

1

0*12γργρ-+??=

???

(8.6-10)

从上面公式可以看出,对于一定的气体, 临界状态参数与滞止参数的比值是定值。空气

1.4γ=，则

*00.8333T T =、*00.5283p p =、*0

0.6339ρ

ρ=。根据这些临界比值就可以判断流场中是否在临界截面。

临界截面上的声速称为临界声速*c 。由式(8.6-7)

和0c c *==

0max c *=

= (8.6-11)

或c *=

=

(8.6-12)

上式(8.6-11)为临界声速*c 和极限速度max u 的关系式，从式(8.6-12)可以看出，对于一定的气体，临界声速*c 决定于总温。式中的临界声速*c 即是1Ma =时的当地声速。是研究气体流动中的一个重要参数。

【例8-1】 空气在管道中作绝热无摩擦流动，某截面上的流动参数为K 333=T ，

KPa 207=p ，s m u /1522=，试求临界参数*T 、?p ，?ρ。

【解】 绝热、无摩擦流动就是等熵流动。先求马赫数M ，再求*T 、?p ，?ρ。空气的

4.1=γ，K kg J R ?=/287，

4155.0==

RT

u

M γ

8621.02

1

12

1

1//2

00=-+

-+

==?

?γγM T T T T T T ， K T 08.287=?

5949.01

=??

? ??=-??r T T p p γ

， KPa p 15.123=?

3/4947.1m kg RT p ==

?

?

?ρ

8.7喷管的计算和分析

工程中采用的喷管有两种，一种是可获得亚声速流或声速流的收缩喷管，另一种是能获得超声速的拉瓦尔喷管。本节将以完全气体为研究对象，研究收缩喷管和拉瓦尔喷管在设计工况下的流动问题。

8.7.1收缩喷管

如图所示，气体从一大容器通过收缩喷管出流，由于容器比出流口要大得多，可将其中的气流速度看作零，则容器内的运动参数表示为滞止参数，分别为0p 、0ρ、0T ，喷管出口处的气流参数分别为p 、ρ、T 、u 。由滞止参数中得出的能量方程式(8.3-5)得

2

0112

p p

u γ

γγργρ=+--

(8.7-1)

即

0000211p p u p ργγρρ??

=

- ?-??

(8.7-2)

又由绝热过程方程

p

C γ

ρ=（常数）和完全气体状态方程

p

RT ρ

=，上式可写成

11

0000000221111

p p p u RT γγγγγγ

γρργρ--????????????=-=- ? ?????--????????????

(8.7-3)

上式就是喷管出流的速度公式，也称圣维南（Saint Venant ）定律。此式对超声速也同样成立。

通过喷管的质量流量

100m p q A u A u p ρρ??

== ???

(8.7-4)

代入上式得

图1 收缩喷管

m q A u ρ==

(8.7-5)

从上面的各个公式可以看出，对于一定的气体，在收缩喷管出口未达到临界状态前，压降比0p p 越大，出口速度越大，流量也越大。且收缩喷管出口处的气流速度最高可达到当地声速，即出口气流处于临界状态（即1Ma =）。此时的出口处压强为

1

0*21p p p γ

γγ-??== ?+??

(8.7-6)

此时气流速度也达到极限速度

*0*

u u c ==

===

(8.7-7)

则流过喷管的极限质量流量为

12(1)

*21m m q q A γγγ+-??== ?

+??

(8.7-8)

8.7.2拉瓦尔喷管

如图8-3所示为拉瓦尔喷管，其作用是能使气流加速到超声速，拉瓦尔喷管广泛应用于蒸气轮机、燃气轮机、超声速风洞、冲压式喷气发动机和火箭等动力装置中。本小节将讨论拉瓦尔喷管出口流速和流量的计算。

假定拉瓦尔喷管内的气体作绝能等熵流动，喷管进口的气流处在滞止状态。按照和收缩喷管同样的推导方法，推导出的喷管出口处的气流速度同收缩喷管气流速度式(8.7-2)，即同样用圣维南定律。

拉瓦尔喷管的质量流量公式也可仍然采用式(8.7-8)，需要注意的，(8.7-8)式中的截面积

A 要用喉部截面积*t A A =代替。即通过喷管的流量就是喉部能通过的流量的最大值

12(1)

*21m t q A γγγ+-??

= ?

+??

(8.7-9)

由连续性方程得

**

*t c A A A A u

ρρ== (8.7-10)

式中A 为喷管出口处截面积。

根据式(8.7-10)就可以在已知出口截面积A 的情况下求喉部截面积t A 。

【例8-2】空气在缩放喷管内流动，气流的滞止参数为Pa p 6

010=，K T 3500=，出口截面积2

001.0m A =，背压Pa p e 5103.9?=。如果要求喉部的马赫数达到M 1=0.6，试

求候部面积。

【解】管内为亚音速流动，出口压强等于背压：e p p =。利用喉部和出口的质量流量相等的条件确定喉部面积A 1。

出口参数：

0210.1100=???

?

??=-γ

γp p T T ，K T 8.324=

2

02

11M T T -+=γ， 3240.0=M 3/4528.9m kg RT

p

==

ρ

s m RT M Mc u /25.120===γ

喉部参数： 6.01=M

072.12

112

10=-+=M T T γ，K T 5.3261=

2755.111010=???

? ??=-r T T p p γ

，Pa p 6

110784.0?=

31

1

1/3666.8m kg RT p ==

ρ s m RT M u /32.217111==γ

231

11106252.0m u u

A

A -?==ρρ

本 章 小 结

1．视为不可压缩气体的伯努利方程

2

212

122

2

u u p p ρρ+

=+

可压缩一元气体恒定流的运动微分方程

0dp

udu ρ

+=

（1）等温过程

2

ln 2p

u p C ρ+= （2）绝热过程

2

12

p

u C γγρ+=-

2．在介质中的扰动传播速度都称为声速，公式为c =

=马赫数u

Ma c

=

有1Ma =时，称为声速流动；1Ma >时，称为超声速流动；1Ma <时，称为亚声速流动。 3． 气体流速与密度的关系

2

d du Ma u

ρ

ρ

=- 气体流速与流道断面积的关系2(1)dA du Ma A u

=- 4． 等温流动的基本方程

流体力学第八章习题答案

第八章习题答案 选择题 （单选题） 明渠均匀流只能出现在： （ b ） （ a ）平坡棱柱形渠道； （b ）顺坡棱柱形渠道； （c ）逆坡棱柱形渠道； （d ）天然河道中。 水力最优断面是： （ c ） （a ）造价最低的渠道断面； （ b ）壁面粗糙系数最小的断面； （ c ）过水断面积一点，湿 周最小的断面； （ d ）过水断面积一定，水力半径最小的断面。 水力最优矩形渠道断面，宽深比 b/ h 是：（c ） （a ）增大；（b ）减小；（c ）不变；（d ）不定。 在流量一定，渠道断面的形状、尺寸一定时，随底坡的增大，临界水深将： （b ） （a ）增大；（b ）减小；（c ）不变；（d ）不定。 宽浅的矩形断面渠道，随流量的增大，临界底坡 i c 将：（b ） （a ） 增大；（ b ）减小；（c ）不变；（d ）不定。 明渠水流如图 8-49 所示，试求 1、2 断面间渠道底坡，水面坡度，水力坡度。 a ）；（ b ）；（ c ）；（ d ）。 断面单位能量沿程的变化： d e =0； ds 平坡和逆坡渠道中， （a ） de >0； ds 明渠流动为急流时： b ） a ) F r >1； 明渠流动为紊流时： a ) F r >1； b) de <0； ds (a) b) h >h c ； a ） b) h >h c ； 明渠水流由急流过渡到缓流时发生： 在流量 c ） c ） c ） d ）都有可能。 v

流体力学 第八章 气体的一元流动剖析

第8章 气体的一元流动 一、 学习的目的和任务 1．掌握可压缩气体的伯努利方程 2．理解声速和马赫数这两个概念 3．掌握一元气体的流动特性，能分析流速、流通面积、压强和马赫数等参数的相互关系 4．掌握气体在两种不同的热力管道（等温过程和绝热过程）的流动特性。 二、 重点、难点 1．重点： 声速、马赫数、可压气体的伯努利方程、等温管道流动、绝热管道流动 2．难点： 声速的导出、管道流动参数的计算 由于气体的可压缩性很大，尤其是在高速流动的过程中，不但压强会变化，密度也会显著地变化。这和前面研究液体的章节中，视密度为常数有很大的不同。 气体动力学研究又称可压缩流体动力学，研究可压缩性流体的运动规律及其应用。其在航天航空中有广泛的应用，随着研究技术的日益成熟，气体动力学在其它领域也有相应的应用。本章将简要介绍气体的一元流动。 8.1 气体的伯努利方程 在气体流动速度不太快的情况下，其压力变化不大，则气体各点的密度变化也不大，因此可把其密度视为常数，即把气体看成是不可压缩流体。这和第四章研究理想不可压缩流体相似，所以理想流体伯努利方程完全适用，即 22 1122 1222p u p u z z g g g g ρρ++=++ (8.1-1) 上式中12,p p ——流体气体两点的压强； 12,u u ——流动气体两点的平均流速 在气体动力学中，常以g ρ乘以上式（8.1-1）后气体伯努利方程的各项表示称压强的

形式，即 2 212 11222 2 u u p gz p gz ρρρρ++ =++ (8.1-2) 由于气体的密度一般都很小，在大多数情况下1gz ρ和2gz ρ很相近，故上式(8.1-2)就可以表示为 2 212 122 2 u u p p ρρ+ =+ (8.1-3) 前面已经提到，气体压缩性很大，在流动速度较快时，气体各点压强和密度都有很大的变化，式(8.1-3)就不能适用了。必须综合考虑热力学等知识，重新导出可压缩流体的伯努利方程,推导如下。 如图8-1所示，设一维稳定流动的气体，在上面任取一段微小长度ds ，两边气流断面1、2的断面面积、流速、压强、密度和温度分别为A 、u 、p 、ρ、T ；A dA +、 u du +、p dp +、d ρρ+、T dT +。 取流段1-2作为自由体，在时间dt 内，这段自由体所作的功为 ()()()W pAudt p dp A dA u du dt =-+++ (8.1-4) 根据恒流源的连续性方程式，有uA C ρ=（常数），所以上式(8.1-4)可写成 ()p p dp p p dp W Cdt Cdt Cdt d d ρ ρρρρρ ++= - =-++ 由于在微元内，可认为ρ和d ρρ+很相近，则上式可化简为 ( )p p dp dp W Cdt Cdt ρ ρ --==- (8.1-5) 图8-1 ds 微元流段

工程流体力学课后习题(第二版)答案

第一章 绪论 1-1．20℃的水2.5m 3 ，当温度升至80℃时，其体积增加多少？ [解] 温度变化前后质量守恒，即2211V V ρρ= 又20℃时，水的密度3 1/23.998m kg =ρ 80℃时，水的密度32/83.971m kg =ρ 32 1 125679.2m V V == ∴ρρ 则增加的体积为3 120679.0m V V V =-=? 1-2．当空气温度从0℃增加至20℃时，运动粘度ν增加15%，重度γ减少10%，问此时动力粘度μ增加多少（百分数）？ [解] 原原ρννρμ)1.01()15.01(-+== 原原原μρν035.1035.1== 035.0035.1=-=-原 原 原原原μμμμμμ 此时动力粘度μ增加了3.5% 1-3．有一矩形断面的宽渠道，其水流速度分布为μρ/)5.0(002.02 y hy g u -=，式中ρ、μ分别为水的密度和动力粘度，h 为水深。试求m h 5.0=时渠底（y =0）处的切应力。 [解] μρ/)(002.0y h g dy du -= )(002.0y h g dy du -==∴ρμ τ 当h =0.5m ，y =0时 )05.0(807.91000002.0-??=τ Pa 807.9= 1-4．一底面积为45×50cm 2，高为1cm 的木块，质量为5kg ，沿涂有润滑油的斜面向下作等速运动，木块运动速度u=1m/s ，油层厚1cm ，斜坡角22.620 （见图示），求油的粘度。 δ

[解] 木块重量沿斜坡分力F 与切力T 平衡时，等速下滑 y u A T mg d d sin μθ== 001 .0145.04.062 .22sin 8.95sin ????= = δθμu A mg s Pa 1047.0?=μ 1-5．已知液体中流速沿y 方向分布如图示三种情况，试根据牛顿内摩擦定律y u d d μ τ=，定性绘出切应力沿y 方向的分布图。 [解] 1-6．为导线表面红绝缘，将导线从充满绝缘涂料的模具中拉过。已知导线直径0.9mm ，长度20mm ，涂料的粘度μ=0.02Pa ．s 。若导线以速率50m/s 拉过模具，试求所需牵拉力。（1.O1N ） [解] 2533 10024.5102010 8.014.3m dl A ---?=????==π y u u u u y u u y ττ= 0y ττy 0 τττ=0 y

工程流体力学第二版习题答案_(杜广生)

《工程流体力学》习题答案（杜广生主编） 第一章 习题 1. 解：依据相对密度的定义：13600 13.61000 f w d ρρ===。 式中，w ρ 表示4摄氏度时水的密度。 2. 解：查表可知，标准状态下：2 31.976/CO kg m ρ=，2 32.927/SO kg m ρ=，2 31.429/O kg m ρ=， 2 31.251/N kg m ρ=，2 30.804/H O kg m ρ= ，因此烟气在标准状态下的密度为： 11223 1.9760.135 2.9270.003 1.4290.052 1.2510.760.8040.051.341/n n kg m ρραραρα=++=?+?+?+?+?=L 3. 解：（1）气体等温压缩时，气体的体积弹性模量等于作用在气体上的压强，因此，绝对压强为4atm 的空气的等温体积模量： 34101325405.310T K Pa =?=? ； （2）气体等熵压缩时，其体积弹性模量等于等熵指数和压强的乘积，因此，绝对压强为4atm 的空气的等熵体积模量： 31.44101325567.410S K p Pa κ==??=? 式中，对于空气，其等熵指数为1.4。 4. 解：根据流体膨胀系数表达式可知： 30.0058502V dV V dT m α=??=??= 因此，膨胀水箱至少应有的体积为2立方米。 5. 解：由流体压缩系数计算公式可知： 392 5 11050.5110/(4.90.98)10 dV V k m N dp -?÷=-=-=?-? 6. 解：根据动力粘度计算关系式： 74678 4.2810 2.910Pa S μρν--==??=?? 7. 解：根据运动粘度计算公式：

工程流体力学公式资料讲解

工程流体力学公式

第二章 流体的主要物理性质 ? 流体的可压缩性计算、牛顿内摩擦定律的计算、粘度的三种表示方法。 1．密度 ρ = m /V 2．重度 γ = G /V 3．流体的密度和重度有以下的关系：γ = ρ g 或 ρ = γ/ g 4．密度的倒数称为比体积，以υ表示υ = 1/ ρ = V/m 5．流体的相对密度：d = γ流 /γ水 = ρ流 /ρ水 6．热膨胀性 7．压缩性. 体积压缩率κ 8．体积模量 9．流体层接触面上的内摩擦力 10．单位面积上的内摩擦力（切应力）（牛顿内摩擦定律） 11．.动力粘度μ： 12．运动粘度ν ：ν = μ/ρ 13．恩氏粘度°E ：°E = t 1 / t 2 T V V ??=1αp V V ??-=1κV P V K ??-=κ1n A F d d υ μ=dn d v μτ±=n v d /d τμ=

第三章 流体静力学 ? 重点：流体静压强特性、欧拉平衡微分方程式、等压面方程及其、流体静力 学基本方程意义及其计算、压强关系换算、相对静止状态流体的压强计算、流体静压力的计算（压力体）。 1．常见的质量力：重力ΔW = Δmg 、直线运动惯性力ΔFI = Δm·a 离心惯性力ΔFR = Δm·r ω2 . 2．质量力为F 。：F = m ·am = m (f xi+f yj+f zk) am = F /m = f xi+f yj+f zk 为单位质量力，在数值上就等于加速度 实例：重力场中的流体只受到地球引力的作用，取z 轴铅垂向上，xoy 为水平面，则单位质量力在x 、y 、 z 轴上的分量为 fx = 0 , fy = 0 , fz = -mg /m = -g 式中负号表示重力加速度g 与坐标轴z 方向相反 3流体静压强不是矢量，而是标量，仅是坐标的连续函数。即：p = p (x ,y ,z )，由此得静压强的全微分为: 4．欧拉平衡微分方程式 单位质量流体的力平衡方程为： z z p y y p x x p p d d d d ??????++=d d d d d d 0x p f x y z x y z x ??-=ρd d d d d d 0y p f x y z x y z y ??-=ρd d d d d d 0z p f x y z x y z z ??-=ρ0 1=??-x p f x ρ10y p f y ??-=ρ

(完整版)工程流体力学课后习题(第二版)答案.doc

第一章绪论1-1． 20℃的水 2.5m 3，当温度升至80℃时，其体积增加多少？[ 解 ] 温度变化前后质量守恒，即1V12V2 又20℃时，水的密度80℃时，水的密度1998.23kg / m3 2971.83kg / m3 V2 1V 1 2.5679m3 2 则增加的体积为V V2 V1 0.0679 m3 1-2．当空气温度从0℃增加至 20℃时，运动粘度增加15%，重度减少 10% ，问此时动力粘度增加多少（百分数）？ [ 解 ] (1 0.15) 原 (1 0.1) 原 1.035 原原 1.035 原 原 1.035 原原 0.035 原原 此时动力粘度增加了 3.5% 1-3．有一矩形断面的宽渠道，其水流速度分布为u 0.002 g( hy 0.5y2 ) /，式中、分别为水的密度和动力粘度，h 为水深。试求h 0.5m 时渠底（y=0）处的切应力。 [ 解 ] du 0.002 g (h y) / dy du 0.002 g(h y) dy 当h =0.5m，y=0时 0.002 1000 9.807(0.50) 9.807Pa 1-4．一底面积为 45× 50cm2，高为 1cm 的木块，质量为 5kg，沿涂有润滑油的斜面向下作等速运动，木块运动速度 u=1m/s，油层厚 1cm，斜坡角 22.620（见图示），求油的粘度。 u

[ 解 ] 木块重量沿斜坡分力 F 与切力 T 平衡时，等速下滑 mg sin T A du dy mg sin 5 9.8 sin 22.62 A u 0. 4 0.45 1 0.001 0.1047 Pa s 1-5．已知液体中流速沿 y 方向分布如图示三种情况，试根据牛顿内摩擦定律 du ，定性绘出切应力 dy 沿 y 方向的分布图。 y y y u u u u u u [ 解 ] y y y = 0 = 1-6．为导线表面红绝缘，将导线从充满绝缘涂料的模具中拉过。已知导线直径 0.9mm ，长度 20mm ，涂料 的粘度 =0.02Pa ． s 。若导线以速率 50m/s 拉过模具，试求所需牵拉力。 （1.O1N ） [ 解 ] A dl 3.14 0.8 10 3 20 10 3 5.024 10 5 m 2

工程流体力学公式

第二章 流体的主要物理性质 1．密度 ρ = m /V 7．压缩系数 T p V V ???? ? ?-=δδκ 体积模量 6．体胀系数 P V T V V ??? ??=δδα 9．牛顿内摩擦定律 h Av F /μ= dy dv x μ τ= 动力黏度：μ 运动黏度 ρμν= 第三章 流体静力学 重点：流体静压强特性、欧拉平衡微分方程式、等压面方程及其、流体静力学基本方程意义及其计算、压强关系换算、相对静止状态流体的压强计算、流体静压力的计算（压力体）。 1. 01=??-x p f x ρ 01=?-p ρf 2. 压强差公式 )(dz f dy f dx f dp z y x ++=ρ 等压面：dp =0 3.重力场中流体的平衡 4.帕斯卡定理 ()gh p z z g p p ρρ+=-+=000 5. 真空度 p p p a v -= 6. 等加速直线运动容器内液体的相对平衡 7.等角速度旋转容器中液体的相对平衡 C z g r g p +??? ? ??-=222ωρ 外加边界条件确定C 如：0,0,0p p z r === V P V K ??-=κ1

自由液面上某点的铅直坐标：g r Zs 22 2ω= 8.静止液体作用在平面上的总压力 9.静止液体作用在曲面上的总压力 水平方向的作用力：z x ghdA ghdA dF dF ρθρθ===cos cos 垂直方向的作用力 x z ghdA ghdA dF dF ρθρθ===sin sin 总压力 22y x F F F += z x F F tg = θ 第四章 流体运动学基础 1.．欧拉法 加速度场 简写为 当地加速度： 迁移加速度 2. 拉格朗日法：流体质点的运动速度的拉格朗日描述为 3.流线微分方程： 4．流量计算： 单位时间内通过d A 的微小流量为 d q v=u d A 通过整个过流断面流量 平均流速 5. 水力半径 ：总流的有效截面积与湿周之比 χ A R h = 6． ???' =V dV N ηρ 连续性方程 对于定常流动 r 1A 1u 1= r 2A 2u 2 对于不可压缩流体，r1 = r 2 =c A 1u 1=A 2u 2= q v υυ)(????==A A u q q d d v v

工程流体力学第2版答案

课后答案网 工程流体力学 第一章绪论 1-1. 20C 的水2.5m 3 ，当温度升至80C 时，其体积增加多少？ ［解］温度变化前后质量守恒，即 = 7V2 3 又20C 时，水的密度 d 二998.23kg / m 3 80C 时，水的密度 = 971.83kg/m 3 啦 3 V 2 =亠=2.5679m 「2 则增加的体积为 V 二V 2 -V^ 0.0679 m 3 1-2.当空气温度从 0C 增加至20C 时，运动粘度\增加15%，重度 减少10%，问此时动力粘度 」增加 多少(百分数)？ ［解］ 宀(1 0.15)、.原(1 -0.1)「原 = 1.035 原「原=1.035'I 原 ■' -「原1.035?L 原一」原 原 原——原二0.035 卩原 卩原 此时动力粘度 J 增加了 3.5% 2 1-3?有一矩形断面的宽渠道，其水流速度分布为 u =0.002 Jg(hy-0.5y )/」，式中'、」分别为水的 密度和动力粘度，h 为水深。试求h =0.5m 时渠底(y=0)处的切应力。 ［解］ 一 =0.002「g(h -y)/「 dy 当 h =0.5m , y=0 时 = 0.002 1000 9.807(0.5 —0) J du dy -0.002 'g(h -y)

= 9.807Pa 1-4.一底面积为45 x 50cm 2,高为1cm 的木块，质量为5kg ，沿涂有润滑油的斜面向下作等速运动，木块 运动速度u=1m/s ，油层厚1cm ,斜坡角22.620 （见图示），求油的粘度。 mg sin v I mg sin A U 0.4 0.45 — d 0.001 」-0.1047Pa s 1-5 .已知液体中流速沿 y 方向分布如图示三种情况，试根据牛顿内摩擦定律 沿y 方向的分布图。 ［解］木块重量沿斜坡分力 F 与切力T 平衡时，等速下滑 5 9.8 sin 22.62 -=一，定性绘出切应力 dy 1-6 ?为导线表面红绝缘，将导线从充满绝缘涂料的模具中拉过。已知导线直径 的粘度」=0.02Pa . s 。若导线以速率50m/s 拉过模具，试求所需牵拉力。 0.9mm ，长度20mm ，涂料 (1.O1N ) e y I

工程流体力学习题 第八章.doc

第八章 8-1 根据通用气体常数值8314K M m N m ??，计算下列气体的气体常数值R ：空气，氧气，氮气，氦气，氢气，甲烷，一氧化碳，二氧化碳。 8-2 当上述气体温度为15℃，求其音速。 8-3 如果上述气体的马赫数M=2，求其实际流速。 8-4 求证c 2 v p p 1k K 2 =+-。 8-5 输送氩气的管路中装置一皮托管，测得某点的总压力158kN/m 2，静压力104kN/m 2,管中气体温度20℃，求流速： 1）不计气体的可压缩特性； 2）按绝热压缩流计算。 8-6 求证 ?? ????--=-1)P p (1K 2M K 1k 0。 8-7 已知空气流速V=500m/s ，温度t=15℃,静压p=1atm,试求其M 数，总温T 0和总压p 0。 8-8 空气气流的滞止压强P 0=490kN/m 2，滞止温度T 0=293K,求滞止音速a 0及M=0.8处的音速、流速和压强值。 8-9 氧气罐中的稳定压力P 0=8atm, 温度为t=27℃, 当出流M 数分别为0.8; 1.0; 2.0;求出口的气体流速V ，温度t, 静压P 和密度ρ。 8-10 空气喷管的临界直径d *=10mm ，每秒体积流量为0.1Nm 3/s,当总温T 0=300K ，试计算喷管所要求的总压P 0，临界流速V *，出口速度V 。已知P b =Pa=1atm 。 8-11 根据上题条件，如果总温提高到420K ，为保证质量流量不变，其总压P 0应如何调整。 8-12 空气拉瓦尔喷管的出口马赫数Me=2，出口直径d e =20cm ，出口压力Pe=1atm,出口温度T e =173K, 试求列未知数：临界断面A *，总温T 0，总压P 0，质量流量m 。 8-13 空气罐中的绝对压强P 0=700kN/m 2,t 0=40℃,通过一喉部直径d=25mm 的拉瓦尔喷管向大气中喷射，大气压强P 2=98.1kN/m 2,求： 1） 质量流量m ； 2） 喷管出口断面直径d 2;

工程流体力学答案(陈卓如)第二章

［陈书2-8］容器中盛有密度不同的两种液体，问测压管A 及测压管B 的液面是否和容器中的液面O-O 齐平？为什么？若不齐平，则A 、B 测压管液面哪个高？ ［解］依题意，容器内液体静止。 测压管A 与上层流体连通，且上层流体和测压管A 均与大气连通，故A 测压管的液面与液面O-O 齐平。 测压管B 与上下层流体连通，其根部的压强为： a p gh gh p ++=2211ρρ 其中1h 为上层液体的厚度，2h 为液体分界面到B 管根部的垂向距离，a p 为大气压 因测压管B 与大气连通，其根部的压强又可表示为： a p gh p +=2ρ 其中h 为B 管内气液界面到B 管根部的垂向距离 所以：gh gh gh 22211ρρρ=+ 212 1 22211h h h h h +=+= ρρρρρ 由此可知：若21ρρ<，B 测压管的液面低于A 测压管的液面和O-O 面；若21ρρ>，B 测压管的液面高A 测压管的液面和O-O 面；若21ρρ=，A 、B 测压管的液面和O-O 面三者平齐。 又因为密度为1ρ的液体稳定在上层，故21ρρ<。 ［陈书2-12］容器中有密度为1ρ和2ρ的两种液体，试绘出AB 面上的压强分布图。

［解］令上、下层液体的厚度分别为1h 和2h ，取垂直向下的方向为z 轴的正方向，并将原点设在自由表面上，可写出AB 表面上压强的表达式： ()?? ?+≤<-++≤≤+=21121111 0 h h z h h z g gh p h z gz p p a a ρρρ 整理得： ()?? ?+≤<+-+≤≤+=2 11212111 0 h h z h gz gh p h z gz p p a a ρρρρ A C B P 012P g AC g BC ρρ++01P g AC ρ+/h m /P Pa ［陈书2-24］直径D=1.2m ，L=2.5的油罐车，内装密度3 900m kg =ρ的石油，油面高度为h=1m ，以2 2s m a =的加速度水平运动。试确定油罐车侧盖 A 和B 上所受到的油液的作用

(完整版)工程流体力学课后习题(第二版)答案

第一章绪论 3 1-1. 20C的水2.5m，当温度升至80C时，其体积增加多少？ ［解］温度变化前后质量守恒，即V 2V 3 又20C时，水的密度i 998.23kg /m 3 80C 时，水的密度 2 971.83kg/m3 V2— 2.5679m3 2 3 则增加的体积为V V V i 0.0679m 1-2.当空气温度从0C增加至20C时，运动粘度增加15%，重度减少10%，问此时动力粘度增加多少(百分数)？ ［解］(1 0.15)原(1 0.1)原 1.035原原1.035原 原 1.035原原 0.035 原原 此时动力粘度增加了 3.5% 1-3?有一矩形断面的宽渠道，其水流速度分布为u 0.002 g(hy 0.5y2)/ ，式中、分别为水的密度和动力粘度，h为水深。试求h 0.5m时渠底(y=0)处的切应力。 ［解］——0.002 g(h y)/ dy 0.002 g(h y) dy 当h =0.5m , y=0 时 0.002 1000 9.807(0.5 0) 9.807Pa 1-4.一底面积为45 x 50cm2,高为1cm的木块，质量为5kg，沿涂有润滑油的斜面向下作等速运动，木块运动速度u=1m/s，油层厚1cm,斜坡角22.620(见图示)，求油的粘度。

［解］木块重量沿斜坡分力F与切力T平衡时，等速下滑 mg sin du T A dy mg sin A U 5 9.8 sin 22.62 1 0.4 0.45 - 0.001 0.1047 Pa s 1-5.已知液体中流速沿y方向分布如图示三种情况，试根据牛顿内摩擦定律 沿y方向的分布图。 3 3 5 2 ［解］ A dl 3.14 0.8 10 20 10 5.024 10 m 石，定性绘出切应力 1-6 ?为导线表面红绝缘，将导线从充满绝缘涂料的模具中拉过。已知导线直径 的粘度=0.02Pa. s。若导线以速率50m/s拉过模具，试求所需牵拉力。 0.9mm，长度20mm，涂料 (1.O1N) y

§8-1一元稳定流动基本方程16011

工程流体力学多媒体课件
第七章 非牛顿流体运动规律 与应用
石油与化学工程系 孟士杰

?引例
大家知道，空气和水是我们生活中最为常见的流体。 然而同属于流体的空气和水它们在运动时有何差异？具 体而言，气体的运动与液体相比有何不同？其遵循的规 律是什么？搞清这些问题有助于解决天然气在生产、加 工、储存与输送过程中所遇到的各种实际问题。 对气体而言，具有明显的可压缩性，即气体在流动 时密度为变量。也就是说，气体运动是在考虑压缩性的 条件下，研究气体流动的基本规律以及气流与物体之间 相互作用的问题。正是由于气体本身具有这些性质，从 而使气体流动的规律与流体力学给出的不可压缩流动的 理论存在明显的差异。

主要内容
第八章 气体动力学基础与应用
§8-1一元稳定流动基本方程 §8-2滞止参数、声速、马赫数 §8-3气体流动的计算

§8-1一元稳定流动基本方程
主要内容
动量 气体状态 能量方程 连续性 方程式 方程式 方程

§8-1一元稳定流动基本方程
一元稳定流动：是指垂直 于流动方向的各截面上， 流动参数（如速度、压力 、密度和温度等）都均匀 一致且不随时间变化的流 动，也就是说流动参数只 是一个空间坐标的函数。
气体在实际管道中的流动，由 于气体与固体壁面间的摩擦和 传热作用，气体的诸流动参数 在每个截面上都是不均匀的， 不是真正的一元流动。但在工 程上，对于缓变流问题，可假 定用各截面物理参数的平均值 来代替各截面的参数，近似地 当作一元流动问题来处理。

工程流体力学第二版标准答案

工程流体力学 第二章 流体静力学 2-1．一密闭盛水容器如图所示，U 形测压计液面高于容器内液面h=1.5m ，求容器液面的相对压强。 [解] gh p p a ρ+=0 kPa gh p p p a e 7.145.1807.910000=??==-=∴ρ 2-2．密闭水箱，压力表测得压强为4900Pa 。压力表中心比A 点高0.5m ，A 点在液面下1.5m 。求液面的绝对压强和相对压强。 [解] g p p A ρ5.0+=表 Pa g p g p p A 49008.9100049005.10-=?-=-=-=ρρ表 Pa p p p a 9310098000490000 =+-=+=' 2-3．多管水银测压计用来测水箱中的表面压强。图中高程的单位为m 。试求水面的绝对压强p abs 。 [解] )2.13.2()2.15.2()4.15.2()4.10.3(0-+=-+---+g p g g g p a 汞水汞水ρρρρ g p g g g p a 汞水汞水ρρρρ1.13.11.16.10+=+-+ kPa g g p p a 8.3628.9109.28.9106.132.2980009.22.2330=??-???+=-+=水汞ρρ

2-4． 水管A 、B 两点高差h 1=0.2m ，U 形压差计中水银液面高差h 2=0.2m 。试求A 、B 两点的压强差。（22.736N ／m 2） [解] 221)(gh p h h g p B A 水银水ρρ+=++ Pa h h g gh p p B A 22736)2.02.0(8.9102.08.9106.13)(33212=+??-???=+-=-∴水水银ρρ 2-5．水车的水箱长3m,高1.8m ，盛水深1.2m ，以等加速度向前平驶，为使水不溢出，加速度a 的允许值是多少？ [解] 坐标原点取在液面中心，则自由液面方程为： x g a z - =0 当m l x 5.12-=- =时，m z 6.02.18.10=-=，此时水不溢出 20/92.35 .16 .08.9s m x gz a =-?-=-=∴ 2-6．矩形平板闸门AB 一侧挡水。已知长l=2m ，宽b=1m ，形心点水深h c =2m ，倾角α=45，闸门上缘A 处设有转轴，忽略闸门自重及门轴摩擦力。试求开启闸门所需拉力。 [解] 作用在闸门上的总压力： N A gh A p P c c 392001228.91000=????=?==ρ

流体力学第八章习题集规范标准答案

第八章习题答案 选择题（单选题） 8.1明渠均匀流只能出现在：（b ） （a ）平坡棱柱形渠道；（b ）顺坡棱柱形渠道；（c ）逆坡棱柱形渠道；（d ）天然河道中。 8.2水力最优断面是：（c ） （a ）造价最低的渠道断面；（b ）壁面粗糙系数最小的断面；（c ）过水断面积一点，湿周最小的断面；（d ）过水断面积一定，水力半径最小的断面。 8.3水力最优矩形渠道断面，宽深比/b h 是：（c ） （a ）0.5；（b ）1.0；（c ）2.0；（d ）4.0。 8.4平坡和逆坡渠道中，断面单位能量沿程的变化：（b ） （a ） de ds >0；（b ）de ds <0；（c ）de ds =0；（d ）都有可能。 8.5明渠流动为急流时：（a ） （a ）r F >1；（b ）h >c h ；（c ）v 1；（b ）h >c h ；（c ）v

工程流体力学答案(陈卓如)第八章

［陈书8-9］一个圆球放在流速为1.6m/s 的水中，受的阻力为 4.4N 。另一个直径为其两倍的圆球置于一风洞中，求在动力相似条件下风速的大小及球所受的阻力。已知13=w air νν，3m kg 28.1=air ρ。 ［解］：此题涉及绕流物体的粘性阻力，应选取雷诺数为主要的相似准则，于是： w w w air air air e d u d u νν==R 从上式可得： w w air air w air u d d u νν= 由题意知：，21=air w d d ，13=w air νν，s m 6.1=w u 将以上条件代入，得风速：()m 4.10318.06.1132 1=?=??=air u 转化阻力采用牛顿数相等的原则，即： 2222w w w w air air air air e d u F d u F N ρρ== 由上式可得：w w w w air air air air F d u d u F 2222ρρ= 由题意：28 .11000=air w ρρ，N 4.4=w F 所以：()N 952.04.426.14.10100028.122=????? ???=air F ［陈书8-10］需测定飞行器上所用流线型杆子的阻力，杆子厚度为30mm ，飞行器速度为 150km/h ，当用杆子模型在水槽中测定其粘性阻力时，已知水流速度为2m/s ， 13=w air νν。问模型厚度应为多少？ ［解］：此题涉及绕流物体的粘性阻力，应选取雷诺数为主要的相似准则，于是： w w w air air air l u l u νν==Re 从上式可得： air air w w air w l u u l νν=

流体力学第八章答案

流体力学第八章答案 【篇一：流体力学第8、10、11章课后习题】 >一、主要内容 （一）边界层的基本概念与特征 1、基本概念：绕物体流动时物体壁面附近存在一个薄层，其内部存 在着很大的速度梯度和漩涡，粘性影响不能忽略，我们把这一薄层 称为边界层。 2、基本特征： （1）与物体的长度相比，边界层的厚度很小； （2）边界层内沿边界层厚度方向的速度变化非常急剧，即速度梯度 很大；（3）边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚； （4）由于边界层很薄，因而可以近似地认为边界层中各截面上压强 等于同一截面上边界层外边界上的压强； （5）在边界层内粘性力和惯性力是同一数量级； （6）边界层内流体的流动与管内流动一样，也可以有层流和紊流2 种状态。（二）层流边界层的微分方程（普朗特边界层方程） ??v?vy?2v1?p ?vy?????vx?x?y??x?y2????p ??0 ?y? ??v?vy???0?x?y?? 其边界条件为：在y?0处，vx?vy?0 在y??处，vx?v(x) （三）边界层的厚度 从平板表面沿外法线到流速为主流99%的距离，称为边界层的厚度，以?表示。边界层的厚度?顺流逐渐加厚，因为边界的影响是随着边 界的长度逐渐向流区内延伸的。 图8-1 平板边界层的厚度 1、位移厚度或排挤厚度?1 ?1? 2、动量损失厚度?2 ?vx1? (v?v)dy?(1?)dy x??00vv ?2? 1 ?v2

? ? ?vx(v?vx)dy?? ? vxv (1?x)dy vv （四）边界层的动量积分关系式 ??2???p ?vdy?v?vdy?????wdx xx??00?x?x?x 对于平板上的层流边界层，在整个边界层内每一点的压强都是相同的，即p?常数。这 样，边界层的动量积分关系式变为 ?wd?2d? vdy?vvdy?? x?x??00dxdx? 二、本章难点 （一）平板层流边界层的近似计算根据三个关系式：（1）平板层 流边界层的动量积分关系式；（2）层流边界层内的速度分布关系式；（3）切向应力关系式。可计算得到在平板一个壁面上由粘性力引起 的总摩擦力及摩擦阻力系数。三、习题与解答 8-1一平板顺流放置于均匀流中。如果将平板的长度增加1倍，试问：平板所受的摩擦阻力将增加几倍？(设平板边界层内的流动为层 流 ) 解：当平板边界层为层流边界层时，摩擦阻力系数c f?rel平板所受摩擦力可表示为fd?cf? ?1/2 ，即cf? 12bl?v ?，所以，fd?2 可得：如果将平板的长度增加1 8-2设顺流长平板上的层流边界层中，板面上的速度梯度为k?近的 速度分布可用下式表示 ?u?y y?0 。试证明板面附 u? 式中，

工程流体力学(第二版)习题答案2010.

第一章 流体的力学性质 1-1 解：既然油膜内速度为线性分布，则速度满足下列等式： 005 .00-= ??u r u 由牛顿剪切定律可得滑块表面处流体所受切应力为： u u r u 3 32101410 005.0107?=???=??=--μτ Pa 则滑块所受切应力与τ大小相等，方向相反，而滑块所受摩擦力为τ2a ，设达到平衡时， 滑块速度为T U ，由平衡得： ??=20sin 2G a τ 所以： ??=20sin 100004.0τ ??=?20sin 1000560T U s m U T /611.0560 20sin 1000=? ?= 1-2 解：因润滑油膜内速度为线性分布，轴转速为U ，轴承则一直处于静止状态。 125660 015.014.316000004004000U 40001025.003=??=??==?-=??-d u r u π 由牛顿剪切定律可得，轴表面处在转速为U 时，流体所受的剪切力为： 544.611256049.0=?=??=r u μτ 由功率消耗公式得，消耗的功率为： 273.0314.0544.613.0015.014.3=????=??=U dL P τπW 1-3 解：由公式gr h ρθ σcos 2= 得： 01181.00005 .0806.913600140cos 514.02-=??? ??- =h m 所以：高度差d=-h=11.81mm 1-4 解： 对液面上任一点A ，设液面内侧压力为P ，外侧压力为0P ，由拉普拉斯表面张力公式，

得： r R r P P σ σ=+=-)11(0 （1） （R 为液面所在圆的半径，趋于∞） 由已知得： 2 21dx y d r = （2） 又因为：gy P P ρ+=0 （3） 由（1）、（2）、（3）三式联立，得： 0,,=- y g y σ ρ （4） 其特征方程为：02 =-σ ρλg 解之得： σρλσρλg g - == 21 所以：方程（4）的通解为： x g x g e c e c y σ ρσ ρ- +=21 所以： x g x g e g c e g c y σ ρσ ρσ ρσ ρ- -=2 1, 当x 趋向于∞时，, y =0 故 1c =0 当x=0时，( ) θθctg tg y -=+=? 90, 故 σ ρθ g c t g c = 2 所以：λσ ρσ ρθ g e g ctg y - = 当x=0时，σ ρθ g ctg h =

流体力学讲义 第八章 管道不可压缩流体恒定流

第八章管道不可压缩流体恒定流 有压管流是日常生活中最常见的输水方式，本章主要介绍了有压管流的水力特点，计算问题以及简单管道与串联、并联和管网的水力计算原理与应用。 概述 一、概念 有压管流（penstock）：管道中流体在压力差作用下的流动称为有压管流。 有压恒定管流：管流的所有运动要素均不随时间变化的有压管流。 有压非恒定管流：管流的运动要素随时间变化的有压管流。 观看录像 二、分类 1.有压管道根据布置的不同，可分为： 简单管路：是指管径、流速、流量沿程不变，且无分支的单线管道。 复杂管路：是指由两根以上管道所组成的管路系统。 2.按局部水头损失和流速水头之和在总水头损失中所占的比重，管道可分为 长管：指管道中以沿程水头损失为主，局部水头损失和流速水头所占比重小于（5%-10%）的沿程水头损失，从而可予以忽略的管道。 短管：局部水头损失和流速水头不能忽略的、需要同时计算的管道。 三、有压管道水力计算的主要问题 1.验算管道的输水能力：在给定作用水头、管线布置和断面尺寸的情况下，确定输送的流量。 2.确定水头：已知管线布置和必需输送的流量，确定相应的水头。 3.绘制测压管水头线和总水头线：确定了流量、作用水头和断面尺寸（或管线）后，计算沿管线各断面的压强、总比能，即绘制沿管线的测压管水头线和总水头线。 第一节简单管道的水力计算 一、基本公式 1.淹没出流 图8-1中，列断面１－１与２－２的能量方程(4-15)，

图8-1 令： 且w1>>w, w2>>w，则有 （8-1） 说明：简单管道在淹没出流的情况下，其作用水头H0完全被消耗于克服管道由于沿程阻力、局部阻力所作负功所产生的水头损失上。即： 管道中的流速与流量为： （8-2） （8-3） 式中： ——管系流量系数，，它反映了沿程阻力和局部阻力对管道输水能力的影响。H0——作用水头，指上、下游水位差加上游行进流速的流速水头。 ——局部阻力系数，包含出口损失。 问题：图示两根完全相同的长管道，只是安装高度不同，两管道的流量关系为：

工程流体力学课后习题测验答案(第二版)

第一章 绪论 1-１．20℃的水2.5m 3，当温度升至80℃时,其体积增加多少? [解] 温度变化前后质量守恒,即2211V V ρρ= 又20℃时，水的密度31/23.998m kg =ρ 80℃时，水的密度32/83.971m kg =ρ 32 1125679.2m V V ==∴ρρ 则增加的体积为3120679.0m V V V =-=? 1-2.当空气温度从0℃增加至２0℃时,运动粘度ν增加1５%,重度γ减少10%，问此时动力粘度μ增加多少（百分数)? [解] 原原ρννρμ)1.01()15.01(-+== 原原原μρν035.1035.1== 035.0035.1=-=-原 原原原原μμμμμμ 此时动力粘度μ增加了３.5％ 1-3．有一矩形断面的宽渠道，其水流速度分布为μρ/)5.0(002.02y hy g u -=,式中ρ、μ分别为水的密 度和动力粘度,h 为水深。试求m h 5.0=时渠底(y =0）处的切应力。 [解］ μρ/)(002.0y h g dy du -= )(002.0y h g dy du -==∴ρμ τ 当h ＝0．5m,y =０时 )05.0(807.91000002.0-??=τ Pa 807.9= 1-4．一底面积为45×50cm 2，高为１ｃm 的木块,质量为5kg,沿涂有润滑油的斜面向下作等速运动，木块运动速度u=１m/ｓ，油层厚１cm ，斜坡角２2.620 （见图示），求油的粘度。 ［解] 木块重量沿斜坡分力Ｆ与切力T 平衡时，等速下滑

y u A T mg d d sin μθ== 001 .0145.04.062.22sin 8.95sin ????==δθμu A mg s Pa 1047.0?=μ 1－5.已知液体中流速沿y 方向分布如图示三种情况，试根据牛顿内摩擦定律y u d d μτ=,定性绘出切应力沿y 方向的分布图。 [解] １-6.为导线表面红绝缘,将导线从充满绝缘涂料的模具中拉过。已知导线直径0.9ｍm,长度20m ｍ，涂料的粘度μ＝0.02Pa ．ｓ。若导线以速率50ｍ／ｓ拉过模具，试求所需牵拉力。（１．O1N ) [解］ 253310024.51020108.014.3m dl A ---?=????==π N A h u F R 01.110024.510 05.05002.053=????==∴--μ １－７．两平行平板相距0．５mm,其间充满流体，下板固定,上板在２Ｐa 的压强作用下以０.2５m/s 匀速移动,求该流体的动力粘度。 [解] 根据牛顿内摩擦定律，得 y u u u u y u u y ττ= 0y ττy 0τττ=0y

第八章 流体力学明渠流

第八章明渠流 《明渠流动》授课学时为6个学时，其中第一节、第二节为2个学时，第三节为2个学时。 基本要求：①了解明渠均匀流的特点、产生条件及影响因素。②能正确使用明渠均匀流的基本公式求解各类水力计算问题。 基本概念：⑴正常水深⑵正（顺）坡⑶倒（逆）坡⑷平坡⑸棱柱体明渠⑹允许流速⑺水力最佳断面 重点掌握：⒈均匀流的特点及产生条件⒉利用谢才公式进行明渠均匀流的水力计算。 详细内容： 第一节概述 明渠是一种人工修建或自然形成的渠槽，当液体通过渠槽而流动时，形成与大气相接触的自由表面，表面上各点压强均为大气压强。所以，这种渠槽中的水流称为明渠水流或无压流。输水渠道、无压隧洞、渡槽、涵洞以及天然河道中的水流都属于明渠水流。 当明渠中水流的运动要素不随时间而变时，称为明渠恒定流，否则称为明渠非恒定流。明渠恒定流中，如果流线是一簇平行直线，则水深、断面平均流速及流速分布均沿程不变，称为明渠恒定均匀流；如果流线不是平行直线，则称为明渠恒定非均匀流。 设想在产生均匀流动的明渠中取出一单位长度的流段进行分析。设此流段水体重量为G，周界的摩阻力为F f，流段两端的动水压力各为P1、P2。从力学观点看，明渠均匀流是一种等速直线运动。则作用于流段上所有外力在流动方向的分力必相互平衡，即

P1+G sinθ－P2－F f＝0 式中θ为渠底线与水平线的夹角。 因为均匀流中过水断面上的压强按静水压强分布，而且各过水断面的水深及过水断面积相同，故P1=P2。则由上式可得 G sinθ＝F f 上式表明：明渠均匀流中摩阻力F f与水流重力在流动方向的分力相平衡。当G·sinθ≠F f 时，明渠中将产生非均匀流。 由于明渠均匀流的流线为一簇相互平行的直线，因此，它具有下列特性： 1．过水断面的形状、尺寸及水深沿程不变。 2．过水断面上的流速分布、断面平均流速沿程不变；因而，水流的动能修正系数及流速水头也沿程不变。 3．总水头线、水面线及底坡线三者相互平行，即J=J z=i。 必须指出，因过水断面应与流线正交，故明渠均匀流的过水断面应为与底坡线相垂直(同时也与水面线相垂直)的平面，所以应在垂直于底坡线的方向量取水深值。但在实际工程中，如水电站的引水渠道，灌溉输水渠道等，底坡一般不大；为方便计，常用铅垂方向的水深h 代替真实的水深h’；并用渠段的水平投影长度L代替渠段的实际长度L’。当底坡i≤0.1(θ≤6o左右)时，这样做对水深或长度引起的误差均小于1%。但当渠道坡度很大时，将引起显著的误差。 由于明渠均匀流有上述特性，它的形成就需要有一定的条件： 1．水流应为恒定流。因为在明渠非恒定流中必然伴随着波浪的产生，流线不可能是平行直线。 2．流量应沿程不变，即无支流的汇入或分出。 3．渠道必须是长而直的棱柱体顺坡明渠，粗糙系数沿程不变。 4．渠道中无闸、坝或跌水等建筑物的局部干扰。 显然，实际工程中的渠道并不是都能严格满足上述要求的；特别是许多渠道中总有这种或那种建筑物存在，因此，大多数明渠中的水流都是非均匀流。但是，在顺直棱柱体渠道中的恒定流，当流量沿程不变时，只要渠道有足够的长度，在离开渠道进口、出口或建筑物一定距离的渠段，水流仍近似于均匀流，实际上常按均匀流处理。至于天然河道，因其断面几何尺寸、坡度、粗糙系数一般均沿程改变，所以不会产生均匀流。但对于较为顺直、整齐的河段，当其余条件比较接近时，也常按均匀流公式作近似解。 明渠的断面形状、尺寸、底坡等对水流的流动状态有重要影响。所以为了研究明渠水流运动的规律，必须首先了解明渠的类型及其对水流运动的影响。 一、明渠的横断面 人工明渠的横断面，通常作成对称的几何形状。例如常见的梯形、矩形或圆形等。至于河