数学实验：中点四边形
实验目的：通过画图、折纸、计算机模拟等操作，研究四边形的“中点四边形”。并四边形透明纸片在活动与思考中，进一步理解特殊四边形的性质与判定，发展推理能力。
实验准备：各种类型的四边形透明纸片，刻度尺，量角器，剪刀，装有几何画板软件的计算机。
实验内容及步骤
中点四边形的定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形，称为该四边形的“中点四边形”
1、特殊四边形的“中点四边形”
（1）画图：剪下实验手册附录8最右侧一列分别画有平行四边形、矩形、菱形、正方形的透明纸片，分别画出这些特殊四边形的“中点四边形”。
（2）猜想：平行四边形、矩形、菱形、正方形的“中点四边形”分别是那种特殊的四边形？
（3）验证：通过折纸，验证所画的“中点四边形”与（2）中的猜想是否一致。
结论
（1）画图：剪下附录8中其余8张透明纸片，分别画出它们的“中点四边形”
（2）猜想：（1）中所画的“中点四边形”分别是哪种特殊的四边形？
（3）验证：通过折纸，验证所画的“中点四边形”与（2）中的猜想是否一致。
（4）思考：借助刻度尺、量角器等工具分别度量（1）中的四边形的边、角、对角线。你有什么发现？
3、计算机模拟操作
利用几何画板软件画四边形ABCD，构造四边形ABCD的“中点四边形EFGH”.
（1）连接对角线AC、BD，度量AC、BD及“中点四边形EFGH”的各边长。你有什么发现？（2）拖动四边形ABCD的任一顶点，观察“中点四边形EFGH”的变化，试猜想：当四边形ABCD 满足怎样的条件时，“中点四边形EFGH”分别为矩形、菱形、正方形？
结论：
1、已知：如图，在四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
2、已知：如图，在四边形ABCD 中，AC=BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA
的中点。
求证：四边形EFGH是菱形。
2、已知：如图，在四边形ABCD 中，AC=BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA
的中点。
求证：四边形EFGH是菱形
3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AC⊥BD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是矩形
5、拓展延伸
分析：由题知：四边形KIHJ是四边形FBCG的中点四边形，所以四边形KIHJ的形状取决于四边形FBCG的对角线FC、BG是否相等，是否垂直。
小结：
通过本节课的学习你有何收获？
特殊的平行四边形讲义 知识点归纳 矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示： 矩形 菱形 正方形 性 质 边 对边平行且相等 对边平行，四边相等 对边平行，四边相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 对角线 互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角 判定 ·有三个角是直角; ·是平行四边形且有一个角是直角; ·是平行四边形且两条对角线相等. ·四边相等的四边形； ·是平行四边形且有一组 邻边相等； ·是平行四边形且两条对 角线互相垂直。 ·是矩形，且有一组邻边相等； ·是菱形，且有一个角是直角。 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形
专题一：特殊四边形的判定 【知识点】 1.平行四边形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ （4）______________ （5）______________ 2.矩形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 3.菱形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 4.正方形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 5.等腰梯形的判定方法： （1）______________ （2）______________ （3）______________ 【练一练】 一．选择题 1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）． A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD 2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（）． A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等 C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点 3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( ) A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边平行，一组对角相等 C.一组对边平行，一组邻角互补 D.一组对边相等，一组邻角相等 4．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（）． A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形; B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形; C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形; D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形 5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（） A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CD C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC 6.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（） A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DO C．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD 7.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（） A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 8.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（） A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B、AD∥BC，∠A＝∠C C、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC
专题(四) 中点四边形问题 顺次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.根据三角形中位线定理可知,中点四边形一定是平行四边形,且中点四边形面积是原来四边形面积的一半.如果原来的四边形是平行四边形或特殊的平行四边形,其中点四边形又会呈现更多的性质. 类型1 判断中点四边形的形状 1.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点,所得图形一定是 (C ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 2.如图,E ,F ,G ,H 分别是边AB ,BC ,CD ,DA 的中点. (1)判断四边形EFGH 的形状,并说明你的理由; (2)连接BD 和AC ,当BD ,AC 满足何条件时,四边形EFGH 是正方形. 解:(1)四边形EFGH 是平行四边形. 理由:连接AC.∵E ,F 分别是AB ,BC 的中点, ∴EF ∥AC ,且EF=12AC. 同理,HG ∥AC ,且HG=12AC , ∴EF ∥HG ,且EF=HG , ∴四边形EFGH 是平行四边形. (2)当BD=AC ,且BD ⊥AC 时,四边形EFGH 是正方形. 理由:连接AC ,BD. ∵E ,F ,G ,H 分别是边AB ,BC ,CD ,DA 的中点, ∴EF=GH=12AC ,GH=FG=12BD ,EH ∥BD ,GH ∥AC. ∵BD=AC ,BD ⊥AC , ∴EH=EF=FG=GH ,EH ⊥GH , ∴四边形EFGH 是菱形,且∠EHG=90°, ∴菱形EFGH 是正方形.
3.如图,在四边形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,对角线AC=3,BD=2,则四边形EFGH 的周长为 (B ) A.4 B.5 C.6 D.7 4.如图,在四边形ABCD 中,AC=BD=6,E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,DA 的中点,则EG 2+FH 2 的值为 (C ) A.9 B.18 C.36 D.48 5.如图,O 是△ABC 内一点,连接OB ,OC ,并将AB ,OB ,OC ,AC 的中点D ,E ,F ,G 依次连接,得到四边形DEFG. (1)求证:四边形DEFG 是平行四边形; (2)若M 为EF 的中点,OM=5,∠OBC 和∠OCB 互余,求DG 的长度. 解:(1)∵边AB ,OB ,OC ,AC 的中点分别为D ,E ,F ,G , ∴DG ∥BC ,EF ∥BC ,DG=12BC ,EF=12BC , ∴DG ∥EF ,DG=EF , ∴四边形DEFG 是平行四边形. (2)∵∠OBC 和∠OCB 互余, ∴∠OBC+∠OCB=90°,∴∠BOC=90°. ∵M 为EF 的中点,∴OM=12EF , ∵OM=5,DG=EF , ∴DG=EF=2OM=10.
初二几何---四边形 一.选择题 (本大题共 20 分) 1.梯形中位线长15cm，一条对角线把中位线分成两线段之比为2:3，则此梯形的两底长分别是（） (A)14cm，16cm (B)12cm，18cm (C)12cm，20cm (D)8cm，22cm 2.下列说法不正确的是（） (A)正方形的对角线互相垂直且相等 (B) 对角线相等的菱形是正方形 (C)邻边相等的矩形是正方形 (D)有一个角是直角的平行四边形是正方形 3.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（） (A)对角线互相平分(B)邻角互补(C)每条对角线平分一组对角(D)对角相等 4.有两个角相等的梯形一定是（） (A)等腰梯形(B)直角梯形(C)等腰梯形或直角梯形(D)以上都不对 5.如图已知：矩形ABCD中，CE⊥BD于E，∠DCE:∠ECB=3:1，则∠ACE=（） (A)30°(B)45°(C)60°(D)40° 6.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（） (A)平行四边形(B)等腰直角三角形(C)等边三角形(D)菱形 7.下列语句中不一定正确的是（） (A)对角线相等的梯形是等腰梯形 (B)梯形最多有两个内角是直角 (C)梯形的一组对角不能相等 (D)一组对边平行的四边形是梯形 8.如图，E、F是□ABCD两对边的中点，则图中平行四边形的个数是（） (A)4 (B)6 (C)7 (D)8 9.下列说法正确的是（） (A)对角相等的四边形是矩形 (B)有一个角是直角的四边形是矩形
(C)对角互补的平行四边形是矩形 (D)三个角相等的四边形是矩形 10.顺次连结下列四边形各边中点所得的四边形是矩形的是（） (A)等腰梯形(B)矩形(C)平行四边形(D)菱形 二.填空题 (本大题共 30 分) 1.直角梯形一内角为120°，它的高与上底长都是√3cm，则它的腰长cm、cm，为中位线长cm。 2.□ABCD的周长为56cm，对角线AC、BD交于O，ΔABO与ΔBCO的周长之差4cm，则AD= cm。 3.对角线的四边形是矩形。对角线的四边形是菱形。 4.在□ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，∠B=30°，则S□ABCD= cm。 5.若梯形的上底长为6cm，中位线长8cm，则此梯形的下底线长cm；连结两条对角线的中点的线段长cm。 6.平行四边形一边长为10，一条对角线长12，则它的另一条对角线的取值范围是。 7.等腰梯形的一条对角线分中位线为4cm和10cm两部分，腰长为12cm，则此梯形不在同一底的两内角为度、度，其面积为cm2。 8.顺次连结四边形各中点所得的四边形是形。如果新四边形的两邻边分别长3cm、4cm，那么原四边形的两条对角线之和为cm。 9.梯形一腰长4cm，这腰和底所成的角是30°，则另一腰长为cm。 10.如图已知：四边形ABCD中，AC、BD交于O，AC=BD，E、F为AB、CD中点，EF交BD、AC于MN。 求证：OM=ON 11.对角线的四边形是矩形。对角线的四边形是菱形。 12.矩形ABCD中，对角线交于O，∠AOD=120°，AB=4cm，则AD= cm。 13.梯形ABCD中，AD∥BC，过D作DE∥AB交BC于E，梯形周长为42cm，AD=6cm，则△CDE的周长是cm。 14.如图已知：四边形ABCD中，AC、BD交于O，AC=BD，E、F为AB、CD中点，EF交BD、AC于MN。 求证：OM=ON 15.已知是菱形的边长为5cm，一对角线长8cm，则此菱形的另一条对角线长cm，它的面积为cm2。 三.判断题 (本大题共 5 分) 1.两条对角线相等的四边形是矩形。（） 2.四边形的内角和等于外角和。（）
《特殊四边形习题精选》 1、矩形ABCD 的对角线相交于O ,AE 平分∠BAD 交BC 于E ,∠CAE=15°,则∠BOE=________° 2、菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ,△AOB 的周长为33 ,∠ABC=60o,则菱形ABCD 的面积为__________ 3、如图,矩形ABCD 长为a ,宽为b ,若s 1=s 2= 21(s 3+s 4,则s 4等于( (A ab 83 (B ab 43 (C ab 32 (D ab 21 4、菱形ABCD 中,∠B=∠EAF=60°,∠BAE=20°,则∠CEF=_________° 5、点M 、N 分别在正方形ABCD 的边CD 、BC 上,,已知△MCN 的周长等于正方形ABCD 周长的一半,求∠MAN 的度数。 6、如图,将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,使点B 落在点E 处,求证:EF=DF. 7、如图,在平行四边形ABCD 中,BC = 2AB ,E 为BC 的中点,求∠AED 的度数; B C D O E B C D E F S1S2 S4S3B C D E F F E D
C B A 8、如图,以正方形ABCD 的对角线AC 为一边,延长AB 到E ,使AE = AC , 以AE 为一边作菱形AEFC ,若菱形的面积为29,求正方形边长; 9、如图AD 是⊿ABC 边BC 边上的高线,E 、F 、G 分别是AB 、BC 、AC 的中点,求证:四边形EDGF 是等腰梯形; 10、如图1,正方形ABCD 边长为1,G 为CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合,以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ,连接DE 交BG 的延长线于点H 。 (1求证:①△BCG ≌△DCE ;②BH ⊥DE 。 (2当点G 运动到什么位置时,BH 垂直平分DE ?请说明理由。 11、如图,正方形ABCD 中,过D 做DE ∥AC ,∠ACE =30°,CE 交AD 于点F ,求证:AE = AF ;
任意四边形的中点四边形的教学设计 清流县城关中学——魏水林 教学目标： 1．激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。 2．培养学生独立分析问题、解决问题的能力以及研究能力和创新意识。 3．理解中点四边形的概念，掌握中点四边形判定、证明及应用。 教学重点：中点四边形形状判定和证明 教学难点：对确定中点四边形形状的主要因素的分析和概括 教学方法：自主合作式教学 教学手段：电脑、多媒体课件 教学过程 阶段一：学生活动——引入、基本概念 活动要求：学生以小组形式对问题一一进行探讨，发言 老师指导：教师指导小结 设计意图：因学生对平行四边形一章学得较好，问题1起点较高，重在培养学生的逆向思维，提高学生的学习兴趣。 复习：（四边形的知识） 研究问题1：如图，在四边形ABCD中，E、F分别为AB、BC边上的中点，你能否分别在CD、DA边上找到点G、H，使四边形EFGH为平行四边形？说明理由。 （或如图ABCD为一个四边形纸片，E、F分别为AB、BC的边上的中点，以EF 为边能否折叠出一个平行四边形EFGH，使顶点G、H分别在CD、DA边上？若能，说明理由）
阶段二：学生活动——基础问题研究 活动要求：完成对问题一研究[发现、证明]的过程， 老师指导：指导部分学生研究问题 设计意图：通过电脑的动画效果，给学生创造一个发现问题、解决问题的情境。 目的在于激发学生的学习兴趣，培养学生“观察、发现、猜想、证明”问题的数学思想和能力。 活动流程： 中点四边形的定义： 如图，四边形ABCD的各边的中点，所构成的四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形。
研究：利用课件变换四边形ABCD 形状 1、发现：无论四边形ABCD 的形状怎么变化，中点四边形EFGH 的形状始终为平行四边形。 2、证明： （证法一）连接AC ∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点 ∴EF ∥AC ，EF=1/2AC 同理HG ∥AC ，HG=1/2AC ∴EF ∥HG 且EF=HG ∴四边形EFGH 为平行四边形 （证法一）连接AC 、BD ∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点 ∴EF ∥AC 同理HG ∥AC ∴EF ∥HG 同理FG ∥HE ∴四边形EFGH 为平行四边形 归纳：任意一个四边形的中点四边形，都为平行四边形 阶段三：学生活动——问题的研究和概括 活动要求：用“一般│特殊│一般” 的方法发现和研究问题，概括出确定中点四边形ABCD 形状的主要因素。 老师指导：引导学生发现问题、提出问题并指导学习能力较弱的学生研究问题。 设计意图：利用电脑的大容量使学生能够在较短的时间内对问题进行多方面地研究。 培养学生“从一般到特殊再到一般”的研究问题的方法和概括能力。 …… B F
！ 平行四边形专项练习题 一．选择题（共12小题） 1．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（） A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边相等，一组对角相等 C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线 D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线 （ 2．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180° 3．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两 张等腰直角三角形纸片的面积都为S 1，另两张直角三角形纸片的面积都为S 2 ，中间一张 正方形纸片的面积为S 3 ，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（） A．4S 1 B．4S 2 C．4S 2 +S 3 D．3S 1 +4S 3 4．在?ABCD中，AB=3，BC=4，当?ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（） ①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD． A．①②③B．①②④C．②③④ D．①③④ ！ 5．如图，在?ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（） A．2 B．3 C．4 D．6
6．如图，在?ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（） A．8 B．10 C．12 D．14 7．如图，在?ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（） ？ A． B．4 C．2 D． 8．如图，在?ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是（） A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH 9．如图，将?ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（） A．66° B．104° C．114°D．124°10．如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（） )
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒． （1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）； （2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值； （3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由． 【答案】（1）P点坐标为（x，3﹣x）． （2）S的最大值为，此时x=2． （3）x=，或x=，或x=． 【解析】 试题分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求； ②也可延长MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长．得出OM和PM的长，即可求出P点的坐标． （2）可按（1）②中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式． （3）本题要分类讨论： ①当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值； ②当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值． ③当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN 的长，联立CN的表达式即可求出x的值． 试题解析：（1）过点P作PQ⊥BC于点Q， 有题意可得：PQ∥AB，
平行四边形专题整理 一、考点分析 二、平行四边形有关知识点 平行四边形 1、平行四边形的概念 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 2、平行四边形的性质 （1）平行四边形的邻角互补，对角相等。 （2）平行四边形的对边平行且相等。 推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 （3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。 3、平行四边形的判定 （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 （5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4、两条平行线的距离 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。平行线间的距离处处相等。 5、平行四边形的面积 S平行四边形=底边长×高=ah 矩形 1、矩形的概念 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2、矩形的性质 （1）具有平行四边形的一切性质 （2）矩形的四个角都是直角 （3）矩形的对角线相等 （4）矩形是轴对称图形 3、矩形的判定 （1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 （3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 4、矩形的面积 S矩形=长×宽=ab 菱形 1、菱形的概念 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、菱形的性质 （1）具有平行四边形的一切性质 （2）菱形的四条边相等 （3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
四边形中的中点问题 1、已知：AD平分∠BAC，BD⊥AD，E为BC中点，求证：DE//AC；DE=1 2 （AC-AB） 2、已知：AD为∠BAC外角平分线的反向延长线，BD⊥AD，E为BC中点，求证：DE//AC；DE=1 2 (AC+AB) 3、已知：BE、CD分别为△ABC的角平分线，AF⊥CD，AG⊥BE，连FG，求证：FG=1 2 (AB+AC-BC) B 4、已知：BD、CE分别为△ABC的外角平分线，AD⊥BD，AE⊥CE，连DE，求证：DE= 1 2 (AB+AC+BC) 5、已知：CE、BD分别为△ABC的、外角平分线，AD⊥BD，AE⊥CE，连DE，求证：DE= 1 2 (AB+BC-AC)
A B C D E F B F C D E A 6、已知：RT △ABC 中，CD 为A B 边上的高，AE 平分∠BA C ，交C D 于F ，M 为AC 的中点，N 为F E 的中点，求证：MN=MD M N F E A 7、已知：RT △ABC 中，CD 为AB 边上的高，AE 、BF 分别为角平分线，交CD 于P 、G 两点，M 为PE 的中点，N 为FG 的中点，求证：MN//AB ；MN= 1 2 (AC+BC-AB) M P N G F D 8、如图，△AOB 和△A 1OB 1是顶角为100°的两上等腰三角形，K 、L 、M 分别是AB 、BB 1、B 1 A 1的中点，求∠KLM ． 9、如图，在□ABCD 中，BC =2AB ,CE ⊥AB 于E ，F 为AD 的中点，若∠AEF =50°，则∠AFE 为多少？ 10、如图，在□ABCD 中，∠ABC =60°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE=2AB ，求∠AED 的度数 11、如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，点M 、N 分别是BC 、DE 的中点．
多边形及四边形专题训练 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、五边形的内角和为＿＿＿＿。 ２、在□ABCD 中，∠A＋∠C＝200°，则∠A＝＿＿＿＿。 ３、矩形的两边长分别是 3cm 和 4cm ，则对角线长＿＿＿＿cm 。 ４、等腰梯形的中位线长为 6，腰长为 5，则周长为＿＿＿＿。 ５、如果矩形一条较短的边是 5，两条对角线的夹角是 60°，则对角线长是＿＿＿＿。 ６、菱形两条对角线的长分别是 12 和 16，则它的边长为＿＿＿＿。 ７、如图，正方形的周长为 8cm ，则矩形EFC 的周长为＿＿＿＿。 ８、两条对角线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的四边形是正方形。 ９、等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为 15cm ，19cm ， 则它的腰长为＿＿＿＿＿。 10、顺次连续四边形ABCD 各边的中点，组成＿＿＿＿四边形。 11、如图，一张矩形的纸片，要折出一个正方形，只要把一个角沿折痕AE 翻折上去，使AB 和AD 边上的AF 重合，则四边形ABEF 就是一个正方形，判断的根据是＿＿＿＿＿＿＿＿。 12、如图，请写出等腰梯形ABCD （AB∥CD）特有而一般梯形不具有的三个特征：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、下列多边形中，不能铺满地面的是（ ） A 、正三角形 B 、正方形 C 、正五边形 D 、正六边形 ２、一个多边形的内角和等于外角和的 2 倍，则它的边数是（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 ３、四个内角都相等的四边形是（ ） A 、矩形 B 、菱形 C 、正方形 D 、平行四边形 ４、符合下列条件的四边形不一定是菱形的是（ ） A 、四边都相等 B 、两组邻边分别相等 C 、对角线互相垂直平分 D 、两条对角线分别平分一组对角 ５、已知：梯形ABCD 中，AD∥BC，AB ＝AD ＝CD ， BD⊥CD，则∠C＝（ ） A 、30° B 、45° C 、60° D 、75° ６、如图，延长正方形ABCD 的一边BC 至E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，则∠AFC 的度数是（ ） A 、112.5° B 、120° C 、122.5° D 、135° 三、解答题：（每题 9 分，共 54 分） １、已知五边形ABCD 中，AE∥CD，∠A＝100°，∠B＝120°，求∠C 的度数。 A E F B G C D A B C D A B E C D F A D F E C B A E D C B
四边形培优题 1、矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，，AD=2，则AC 的长是（ ） 2、顺次连接矩形四边中点所得四边形是（ ） 3、如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ，连接CE ，则CE 的长为（ ） 3题 4、如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） 5、 如图，CD 与BE 互相垂直平分，AD ⊥DB ,∠BDE =700，则∠CAD = 0. 6、如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是（ ） 7、如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM 的周长为__________ 8、如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下： 甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于M ，O ，N ，连接AN ，CM ，则四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于E ，F ，连接EF ，则四边形ABEF 是菱形．根据两人的作法可判断（ ） A ． 甲正确，乙错误 B ． 乙正确，甲错误 C ． 甲、乙均正确 D ． 甲、乙均错误 9、（2013?河南）如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点 E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 60AOD ∠=A B C D E O y x 图 1 O D C P 4 9 图 2 N M F E D C B A 4题
中考专题复习：中点四边形教学设计 教学目标： 1．激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。 2．培养学生独立分析问题、解决问题的能力以及研究能力和创新意识。 3．理解中点四边形的概念，掌握中点四边形判定、证明及应用。 教学重点：中点四边形形状判定和证明 教学难点：对确定中点四边形形状的主要因素的分析和概括 如果我们依次连接任意一个四边形各边中点，得到的图形又是什么呢？ 今天我们就来研究这个问题。 问题：连结三角形的各边中点的线段叫做 ，他们组成的图形与原三角形 。 B C 例题：(2012?孝感)我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边 形叫做中点四边形．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边A B 、BC 、CD 、DA 的中点，依次连接各边中点得到的中点四边形EFGH.(1)这个中点四边形EFGH 的形状是________；(2)请证明你的结论． 问题1：在 中,四边的中点分别为 E,F,G,H,请猜想四边形EFGH 是什么四边形?并证明你的结论? B 问题2：如果这个四边形是菱形呢,请猜想四边形EFGH 是什么四边形?并证明你的结论?矩形呢？正方形 呢？ B A D B A 归纳：
原四边形的对角线 中点四边形形状正方形 菱形 矩形平行四边形 任意四边形 原四边形 探究：1、对于任意的四边形，只要满足什么条件，它所构成的中点四边形图形可能是矩形？或者菱形？2、如何证明?请说明理由。 ?????? ?? ? 1、如图，依次连结第一个矩形的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积是1，则第n 个图形的面积是 。 应用与实践： A B B A 2、如图，四边形ABCD 中，AC=a ，CD=b ，且AC ⊥BD ，顺次连结四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连结A 1B 1C 1D 1各边中点， 得到A 2B 2C 2D 2，???，如此进行下去，得到四边形A n B n C n （1）证明：证明A 1B 1C 1D 1是矩形； （2）写出四边形A 1B 1C 1D 1面积和A 2B 2C 2D 2面积； （3）写出四边形A n B n C n D n 面积和四边形A 5B 5C 5D 5. B D
一、和平行四边形有关的辅助线作法 1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证:OE与AD互相平分. 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形. 2．利用两组对边平行构造平行四边形 例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED证:ED+FG=AC. 说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题. 3．利用对角线互相平分构造平行四边形
例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC. 图3 图4 说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法. 二、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题. 例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点， 且AE=AC，EF 例5 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于DE长. 图6 说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线. 三、与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股
四边形 1、如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，过C作AE的垂线交AE的延长线于点F，连结DE，过点D作DF的垂线交AF于点G。 （1）求证：AG=CF。 （2）连结BG，若BG⊥AE，取BC的中点H，试判断线段BD与线段EH的数量关系和位置关系，并给出证明。 2、（1）如图1，已知正方形ABCD，E是边CD上一点，延长CB到点F，使BF=DE，作∠EAF 的平分线交边BC于点G，求证：BG+DE=E G。 （2）如图2，已知△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，若BD=2，CD=1，求△ABC的面积。
3、如图1，摆放矩形AB CD与矩形ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上，连结AF，若M为AF的中点，连结DM、ME，猜想DM与ME的关系，并证明你的结论。 拓展与延伸： （1）若将图1中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM 和ME的关系为。 （2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立。
4、在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同速度在直线DC、CB上移动。 （1）如图1，当点E在线段CD上，点F在线段BC上时，连结AE和DF交于点P，请写出AE与DF的关系，并说明理由。 （2）如图2，点E、F分别移动到边DC、CB的延长线上时，连结AE和DF，（1）中的结论还成立吗？真接写出结论，无需证明。 （3）如图3，当点E、F分别在CD、BC的延长线上移动时，连结AE与D F，（1）的结论还成立吗？请说明理由。 （4）如图4，当点E、F分别在边DC、CB上移动时，连结AE和DF交于点P，由于点E、F 的移动，使得点P也随之移动，请画出点P的运动路径的草图，若AD=2，试求出线段CP的最小值。
八年级平行四边形专题汇总 一、平行四边形与等腰三角形专题 例题1已知：如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BE的延长 线交CD的延长线于点F． （1）求证：CD=DF； （2）若AD=2CD，请写出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 训练一 1．如图，在?ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（） ①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE． A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④ 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′． （1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）； （2）求证：△AB′O≌△CDO． 3.如图，已知AD和BC交于点O，且△OAB和△OCD均为等边三角形，以OD和OB为边作平行四边形ODEB，连接AC、AE和CE，CE和AD相交于点F． 求证：△ACE为等边三角形． 4.如图，已知：平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线CE交边AD于E，∠ABC的平分线BG交CE于F，交AD于G．求证：AE=DG．
二、平行四边形与面积专题 例题2 已知平行四边形ABCD，AD=a，AB=b，∠ABC=α．点F为线段BC上一点（端点B，C除外），连接AF，AC，连接DF，并延长DF交AB的延长线于点E，连接CE． （1）当F为BC的中点时，求证：△EFC与△ABF的面积相 等； （2）当F为BC上任意一点时，△EFC与△ABF的面积还相 等吗？说明理由． 训练二 1. 如图，过?ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的?AEMG 的面积S1与?HCFM的面积S2的大小关系是（） A. S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．2S1=S2 2．农业技术员在一块平行四边形的实验田里种植四种不同的农作物，现需将该实验田划成四个平行四边形地块（如图），已知其中三块田的面积分别是14m2，10m2，36m2，则第四块田的面积为 3．如图，AE∥BD，BE∥DF，AB∥CD，下面给出四个结论：（1）AB=CD；（2）BE=DF；（3）S ABDC=S BDFE；（4）S△ABE=S△DCF．其中正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB=5，BC=6，则CE+CF的值为（） A． B． C．或 D．或 5.平行四边形ABCD的周长为20cm，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， AE=2cm，AF=3cm，求ABCD的面积．
人教版初中数学四边形专项训练及答案 一、选择题 ?绕点A顺时针旋转90?到1．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE ?的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（） ABF A．4 B．25C．6 D．26 【答案】D 【解析】 【分析】 利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求 出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案． 【详解】 Q绕点A顺时针旋转90?到ABF ADE ? ?的位置． ∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20， ∴==， AD DC 25 Q， DE= 2 ∴?中，2226 Rt ADE AE AD DE =+= 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应 边关系是解题关键． 2．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（） A．24 B．18 C．12 D．9 【答案】A 【解析】 【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解． 【详解】∵E是AC中点，
∵EF ∥BC ，交AB 于点F ， ∴EF 是△ABC 的中位线， ∴BC=2EF=2×3=6， ∴菱形ABCD 的周长是4×6=24， 故选A ． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键. 3．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，30BE AD BCE ⊥∠=?，.若2AE =，则边BC 的长为( ) A 5 B 6 C 7 D ．22【答案】B 【解析】 【分析】 由菱形的性质得出AD ∥BC ，BC=AB=AD ，由直角三角形的性质得出3，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE 2+22=3）2，解得：2，即可得出结果． 【详解】 ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD BC BC AB =，∥. ∵BE AD ⊥.∴BE BC ⊥. ∴30BCE ∠=?，∴2EC BE =， ∴223AB BC EC BE BE ==-=. 在Rt ABE △中，由勾股定理得)22223BE BE += ， 解得2BE =，∴36BC BE == 故选B. 【点睛】 此题考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 4．如图 ，矩形 ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点 M ，CN ⊥AN 于点 N .则 DM +CN 的值为（用含 a 的代数式表示）( )
个性化教学辅导教案 学科:数学 任课教师：黄老师 授课时间： 2014 年 05 月 02(星期五 ) 姓名 郭梓晴 年级 九年级 性别 女 总课时____第___课 教学 目标 知识点：四边形相关概念、特殊四边形的判定及其性质 考点：特殊四边形的判定及其性质 难点 重点 重点:平行四边形的判定、性质，矩形，菱形，正方形的性质 难点：平行四边形的判定、性质，矩形，菱形，正方形的应用。 课 堂 教 学 过 程 课前 检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议__________________________________________ 过 程 一、关系结构图： 二、知识点讲解： 1．平行四边形的性质（重点）： ABCD 是平行四边形????? ????. 54321 ）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等； （）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 2.平行四边形的判定（难点）： 是平行四边形）对角线互相平分（）一组对边平行且相等（）两组对角分别相等（）两组对边分别相等（）两组对边分别平行 （ABCD 54321?? ? ? ? ? ? ?? . 3. 矩形的性质： A B D O C A B D O C
C D A B A B C D O 因为ABCD 是矩形?? ? ??.3; 2;1）对角线相等（）四个角都是直角（有通性）具有平行四边形的所（ 4矩形的判定： ?? ? ?? +边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（321四边形ABCD 是矩形. 5. 菱形的性质： 因为ABCD 是菱形?? ? ??.321角）对角线垂直且平分对（）四个边都相等； （有通性；）具有平行四边形的所（ 6. 菱形的判定： ?? ? ?? +边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（321四边形四边形ABCD 是菱形. 7.正方形的性质： ABCD 是正方形?? ? ??.321 分对角）对角线相等垂直且平（角都是直角； ）四个边都相等，四个（有通性；）具有平行四边形的所（ 8. 正方形的判定： ?? ? ?? ++++一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（321 【课后练习】 1．如果要用正三角形和正方形两种图案进行密铺，那么至少需要（? ） A ．三个正三角形，两个正方形 B ．两个正三角形，三个正方形 C ．两个正三角形，两个正方形 D ．三个正三角形，三个正方形 2．使用同一种规格的下列地砖，不能密铺的是（ ） A ．正六边形地砖 B ．正五边形地砖 C ．正方形地砖 D ．正三角形地砖 3．下面的选项中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．正六边形 B ．平行四边形 C ．正五边形 D ．等边三角形 4．已知梯形的上底与下底的比为2：5，且它的中位线长为14cm ，则这个梯形的上，下底的长分别为（ ） A ．4cm ，10cm B ．8cm ，20cm C ．2cm ，5cm D ．14cm ，28cm A D B C A D B C O C D B A O C D B A O
四边形基础练习题 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 如图，在□ABCD 中，已知AD ＝8㎝， AB ＝6㎝， DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（ ）A 、2cm B 、4cm C 、6cm D 、8cm 2.如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连结DE 并延长，交AB 的延长线于F 点， AB BF =．添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形．你认为下面四个条件中可 选择的是（ ）A 、AD BC = B 、CD BF = C 、A C ∠=∠ D 、F CDE ∠=∠ 3. 下列命题中正确的是( ) A 、矩形的对角线相互垂直 B 、菱形的对角线相等 C 、平行四边形是轴对称图形 D 、等腰梯形的对角线相等 5. 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，602AOB AB ∠==°，，则矩形的对角线AC 的长是（ ）A 、2 B 、4 C 、23 D 、43 6. 如图，要使 ABCD Y 成为矩形，需添加的条件是（ ） A 、A B B C = B 、A C B D ⊥ C 、90ABC ∠=° D 、12∠=∠ 7. 如图，在菱形ABCD 中，∠A=110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC=（ ）A 、35° B 、45° C 、50° D 、55° D A B C O E F H 第9题图 1 2 B C D A O （第6题） O D C A B 第5题 E B A F C D A B C D （第1题图） E
8如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，∠D=90o ，AD=DC=4，AB=1，F 为AD 的中点，则点F 到BC 的距离是（ ） A 、2 B 、4 C 、8 D 、1 9. 在矩形ABCD 中，13AB AD AF ==，，平分DAB ∠，过C 点作CE BD ⊥于E ，延长AF EC 、交于点H ，下列结论中：AF FH =①；BO BF =②；CA CH =③；④3BE ED =，正确的是（ ）A 、②③ B 、③④ C 、①②④ D 、②③④ 10. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =1，动点P 从点B 出发，沿路线B →C →D 作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路 程x 之间的函数图象大致是（ ）。 二．填空题（每题3分，共30分） 2.将矩形ABCD 沿BE 折叠，若∠CBA′=30°则∠BEA′=_____． 3. 如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm ，若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1=∠ 度． 4. 若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为 ． 5. 如图，l ∥m ，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则∠α= 度. 6. 矩形内一点P 到各边的距离分别为1、3、5、7，则该矩形的最大面积为 平方单位． 7. 如果用4个相同的长为3宽为1的长方形，拼成一个大的长方形，那么这个大的长方形的周长可以是______________。 8. 如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=°，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，（第5题） 1 （第3题） A B C O x y 3 1 13 O x y 3 1 1O x y 3 3 O x y 3 12 A B C D E A′ P D C B A