节
复习提问提问1：如何用向量的长度、夹角反映
数量积？又如何用数量积、长度来反
映夹角？向量的运算律有哪些？
由学生口答，教师板书向量数量积的定
义及向量的运算律公式
为数
量积
的坐
标运
算及
度量
公式
的推
导证
明打
好理
论基
础练习2：已知|a|=1，|b|=2，(1)若
a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹角为
６０°，求|a+b|；(3)若a-b与a垂
直，求a与b的夹角.
练习3：设i，j为正交单位向量，则
① _______②
____________
③ ________ ④
____________
学生板书，教师分析，引导学生复习
前课重点……两个向量的数量积的运
算性质
引入新课及公式推导向量的坐标表示，为我们解决向量的
加、减、数乘向量带来了极大的方便，
那么向量的坐标表示，对数量积的表
达方式会带来哪些变化呢？
问题1
如果已知，怎
样用、的坐标表示呢？
推广1：设)
,
(y
x
a=
，则
2
2
2|
|y
x
a+
=
或
2
2
|
|y
x
a+
=
(长度公式)
推广2：设、则
(距离
公式)
学生独立进行每个公式的证明，教师
个别指导
教师小结：
（1）两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和即
b
a
?
2
1
2
1
y
y
x
x+
=
(2) 向量的长度、距离和夹角公式
在充
分复
习的
基础
上，
培养
学生
用旧
知解
决新
问题
的能
力，
独立
思考
探索
的意
识
推广3： co s θ =
|
|||b a b a ??
2
2
222
1
2
12121y x y x y y x x +++=
（πθ≤≤0）(夹角公式)
问题2 内积为何值时说明两个向量是垂直的？
b a ⊥ ?02121=+y y x x
教师小结：向量垂直的充要条件
设),(11y x a =
，),(22y x b = ，
则b a
⊥ ?02121=+y y x x
应用举
例
例1 设a
= (3, -1)，b = (1, -2)，
求a ?b ，b a b a ,,,
教师演示第一问，强调先写公式，后计算，学生完成全题。 巩固向量
数量
积的坐标运算和度量公式的基本应用
例2 已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(-2, 5)， 求证：△ABC 是直角三角形 （1）教师引导，师生共同完成。
(2)教师提问：该题还有其他证明方法
吗？
（提示可计算 、 、
，然后用勾股定理验证）
运用向量垂直的坐标表示的
充要条件解决问题；培养学生灵活运用所学公式解决
问题的能力
例3 已知A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的值。教师引导，师生共同完成。应用
夹角
的坐
标公
式，
揭示
向量
与三
角的
联
系,
训练
学生
的运
算能
力
例4 已知，求与垂直
的单位向量
教师讲解，学生归纳方法
课堂练习练习A 1（1），（2）学生独立完成，教师指导巩固
新知
归纳小结1、向量垂直的坐标表示的充要条件，
及向量的长度、距离和夹角公式
（1）用坐标表示的数量积公式，常用
来计算两向量的夹角.
（2）两向量垂直时，在表达方式上有
一定技巧，如与
总是垂直的。
2、平面向量数量积的两种形式的内在
联系及有关知识的灵活运用。
师生共同完成使学
生养
成归
纳总
结的
习
惯，
主动
独立
思考
问题
的能
力