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西北大学 茹少锋管理运筹课后答案

1.用图解法求解两个变量线性规划问题的最优解和最优值。

??

?

??≥≤+≤++=0

,153562st.32max 21212121x x x x x x x x z

西北大学 茹少锋管理运筹课后答案

,15/7)

2.用图解法求解以下线性规划问题,并指出哪个问题有惟一解、无穷多最优解、无界解或无可行解

???

??≥≥+≥++=0

,34312st.46min 2121212

1x x x x x x x x z

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??

?

??≥≥+-≤++=0

,810

22st.84max 2121212

1x x x x x x x x z

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无可行解

3.某公司从中心制造地点向分别位于城区北、东、南、西方向的分配点运送材料。该公司有26辆卡车,用于从制造地点向分配点运送材料。其中有9辆,每辆能装5吨的大型卡车,12辆每辆能装2吨的中型卡车和5辆每辆能装1吨的小型卡车。北、东、南、西四个点分别需要材料14吨、10吨、20吨、8吨。每辆卡车向各分配点送材料一次的费用如表2-7所示。建立运送材料总费用最小的线性规划模型。

表2-7 车辆运送一次的费用

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解 设大、中、小型车分别用i 表示,则3,2,1=i ;东、南、西、北四个分点分别用j 表

示,则4,3,2,1=j ;向j 方向发出的i 型车数量为ij x

34

3332312423222114131211223815204255605075926380min x x x x x x x x x x x x Z +++++++++++=

???

?????

???

?

=≥≤+++≤+++≤+++≥++≥++≥++4,3,2,1,,0512982520251025.343332312423222114131211

342414332313322212

312111j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x st ij

4.某工厂生产A 、B 、C 三种产品,现根据合同及生产状况制定5月份的生产计划。已知合同甲为:A 产品1000件,每件价格为500元,违约金为100元/每件;合同乙:B 产品500件,每件价格为400元,违约金为120元/每件;合同丙为:B 产品600件,每件价格为420元,违约金为130元/每件;C 产品600件,价格400元/每件,违约金为90元/每件。有关各产品生产过程所需工时以及原材料的情况如表2-8所示。试以利润为目标建立该工厂生产计划的线性规划模型。

表2-8 产品使用的原材料、加工工序、资源限制、成本

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解 设工厂5月份为完成合同甲生产1x 件A 产品;为完成合同乙生产2x 件B 产品;为

完成合同丙生产3x 件 B 产品,4x 件C 产品。

292000

260325295290)1040220420210152()()104032201031015()10404203102103152(90)600(400130)600(420120)500(400)1000(500max 43214

32144332211-+++=+?+?+?++?-+?+?+?+?++-+?+?+?+?+?-?--+?--+?--+--=x x x x x x x x x x x x x x x x Z

??????????????≤≤

≤≤≤≤≤≤≤+++≤+++≤+++≤+++,

6000,6000,5000,1000080002)(34100004)(2360002332400023.43214321

4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x st

5.某公司从事某种商品的经营,现欲制定本年度10至12月的进货及销售计划。已知该种商品的初始库存量为2000件,公司仓库最多可存放10000件,公司拥有的经营资金80万元,据预测,10至12月的进货及销售价格如表2-9所示。若每个月仅在1号进货1次,且要求年底时商品存量达到3000件,在以上条件下,建立该问题的线性规划模型,使公司获得最大利润?(注:不考虑库存费用)

表2-9 进货和销售价格

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解 12,11,10,=i x i ,为每月购进的货物,12,11,10,=i y i 为每月销售的货物。

????????

?????????

=≥=≥=---+++--+++≤-++≤+≤≤--+++≤-++≤+≤++---++=12

,11,10,012,11,10,0 30002000 2000 2000 2000 100002000 100002000 100002000 80000989590.989590115100100max 121110101112111010111212101011111010111010111210101110121110121110121110i y i x y y y x x x y y x x x y y x x y x y y y x x x y x x x x x x st x x x y y y Z i i 年底存量限制

销量限制销量限制销量限制库容限制库容限制库容限制资金限制

6.某饲养场饲养动物出售,设每头动物每天至少需700g 蛋白质、30g 矿物质、100mg 维生素。现有五种饲料可供选用,各种饲料每公斤营养成分含量单价如表2-10所示。

表2-10

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饲料所含的营养成分及价格

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解 设各送这5钟饲料1x ,2x ,3x ,4x ,5x kg 。

???

??

?

?=≥++++≥++++≥++++++++=5,4,3,2,1,1008.022.05.0305.022.05.070018623.8.03.04.07.02.0min 54321543215432154321i x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x x Z i

7.某一企业家需要找人清理5间会议室、12张桌子和18个货架。今有两个临时工A 和B 可供该企业家雇佣。A 一天可清理1间会议室、3张桌子与3个货架;而B 一天可清理1间会议室、2张桌子与6个货架。A 的工资每天25元,B 每天22元。为了使成本最低,应雇佣A 和B 各多少天?(用线性规划图解法求解)

解:设雇佣A 和B 分别为y x ,天

????

?

?

?

≥≥+≥+≥++=为整数且y x y x y x y x y x st y x Z ,0;186312235.2225min

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由图知A 点为最优解,联立方程:

??

?=+=+51223y x y x

解得: x =2, =y 3,即: Z min =25x +22y =25?2+22?3=116 因此,雇佣A 工人2天,B 工人3天。

8.某外贸公司专门经营某种杂粮的批发业务。公司现有库容5000担的仓库。1月1日,公司拥有库存1000担杂粮,并有资金20000元。估计第一季度杂粮价格如表2-11所示。

表2-11 第一季度杂粮价格表

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―货到付款‖。公司希望本季度末库存为2000担,建立该问题的线性规划模型使三个月总的获利最大。

解 设一月份买入1x 担,卖出'1x 担;二月份买入2x 担,卖出'

2x 担;三月份买入3x 担,卖出'

3x 担。

??

??

?????

????=≥=≥≥+-+-+-++-≤≤+-+-+-≤≤+-≤-+-+-=3,2,1,0;3,2,1,02000

100025.310.385.22000090.25000100010.385.22000005.3500010002000085.2.90.295.205.325.385.210.3max '

3

'32'21'1'2'1132'

21'1'1121'1

13'

32'21'1j x i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x x x Z j i

1.求下列线性规划问题的所有基解、基可行解、最优解

??

?

??≥=++=++++=0

,,6422

st.33max 321321321321x x x x x x x x x x x x z

解:由题意知:A= 1

111

2

4??

???=(1,2,3p p p ) b=26?? ?

?? c=(3,1,3)

(1)1B =(

1,2

p p ),︱1B ︳≠0,1B 是基,1x ,2x 是基变量,3x 是非基变量,令

3x =0,得1x =-2,2x =4 即123x x x ??

? ?

???=()2,4,0-T 为基解,但不是基本可行解。

(2)2B =(

1,3

p p ),︱2B ︳≠0,2B 是基,1x ,3x 是基变量,2x 是非基变量。令

2x =0,得1x =2/3,3x =3/4,即123x x

x ?? ? ? ???=??

???? ??34320为基解,同时为基本可行解,

z max =(2/3)*3+0+4/3*3=6。

(3)

32,3()

B p p =,︱3B ︳≠0,3B 是基,2x ,3x 是基变量,1x 是非基变量,令

1x =0,得2x =1,3x =1,即123x x x ?? ? ? ???=??

??? ??110为基解,同时为基本可行解,

z max =1+3=4。

综上所述,基解为123x x x ?? ? ? ???=?????

?

?-042,123x x x ?? ? ? ???=????? ??34320,123x x x ?? ? ? ???=?

????

??110其中第二个和第三个为基本可行解,123x x x ?? ? ? ???=?

????

??34320为最优解。

2.分别用图解法和单纯形法求解下列线形规划问题,并指出单纯形法迭代的每一步相当于图形上哪一个顶点

???

??≥≤≤-+=0,21st.32max 2

112121x x x x x x x z

解:(1)图解法

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有图解法知线性规划模型的可行域如阴影部分所示,令z=0,1,2……时,max z

逐渐增大,可行域是无界的,所以,此模型是无界解。

(2)单纯形法: 化为标准型为:

123412314123,4m ax 230012st.,,0z x x x x x x x x x x x x x =+++-+=??

+=??

≥???

A= 11101

1-?? ??? ????

??=21b C=(2,3,0,0)

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对应图中原点。以1⊕为轴心项,换基迭代,得

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此时对应图中A 点,坐标是 (1,0) 以1

⊕为轴心项,换基迭代,得

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此时对应图中B 点,坐标是 (2,3)因为,3σ=5>0,同时3x 对应的列小于等于0,则原模型有无界解。 ???

??

?

?≥≤+≤≤+=0

,18231224st.52max 21212121x x x x x x x x z

解:(1)图解法:

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可行域如上图阴影部分所示,令z=0,1,2……做等值线,得出在c 点取最大值,c 点坐标为(2,6),max z=34 (2)单纯形法:化为标准型为:

1234513241

25m ax 250004212st.32180,1,2......5j z x x x x x x x x x x x x x j =+++++=?

?

+=?

?

++=??≥=?

1

01000

201032

1A ?? ?= ? ??

?

=(

1,2345

,,,p p p p p ) b=

4128?? ? ? ???

C=(2,5,0,0,0) 取B=(345,,p p p )为可行基,B C =(0,0,0)

单纯性表如下:

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此时对应图中O 点,坐标为(0,0),以1⊕为轴心项,换基迭代,得

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此时对应图中A 点,坐标为(4,0) 以2⊕为轴心项,换基迭代,得

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此时对应图中B 点,坐标为(4,3) 以3

⊕为轴心项,换基迭代,得

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由于 σ基 =0,σ

非基<0,所以存在唯一解,也是最优解。

此时对应图中

C

点,坐标为(2,6),max z=2*2+5*6=34,

()()T

T

x x x x x 0,0,2,6,2,,,,54321=

??

?

??

?

?≥≤≤+≤++=0

,93821222st.42max 212212121x x x x x x x x x z

解:(1)图解法:

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可行域如图阴影部分,当z=0,1,2……做等值线,已知1224z x x =+与直线

1228x x +=的斜率相同,当z 与这条直线重合时,该模型取最大值,因此该模型有无穷多

个解,无穷多个解是B,C 两点线段中的点,max z=16

(2)单纯形法:化为标准型: 1234512312425m ax 24000221229st.390,1,2......5j z x x x x x x x x x x x x x x j =++++++=??

++=??

+=?

?≥=?

2

21001

201003

1A ?? ?= ? ??

?

= (

1,2345

,,,p p p p p ) b=

1289?? ? ? ???

C=(2,4,0,0,0) B=(345,,p p p ) B C =(0,0,0) 单纯形表为:

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此时对应图中点O ,坐标为(0,0),以2⊕为轴心项,换基迭代,得

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此时对应图中点A ,坐标为(6,0) 以1

⊕为轴心项,换基迭代,得

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此时对应图中点B ,坐标为(4,2) 由于σ≤0,又3x 为非基变量,且3σ=0,且此列存在正数,则此线性规划模型有无穷解。其中一个基本最优解为

()

T

T

x x x x x )3,0,0,2,4(54

321

=,max z=2*4+4*2=16

3.用单纯形法求解下列线性规划问题

???

??

?

?≥≤++≤+-≤-+-+=0,,,582242st.2min 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x f

解:化为标准型:

12345612341235126m ax 200024228st.50,1,2......6j z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =--+++++-+=??

-++=??

++=?

?≥=?

A=????? ?

?--10

1

1010221001112 b=48

5?? ? ? ??? C=(-1,-2,1,0,0,0)

令B=(456,,p p p ) B 为可行基,B C =(0,0,0) 单纯形表如下:

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以2

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⊕为轴心项,换基迭代,得

σ基 =0,σ非基<0,存在唯一解,此时1x =2x =0,3x =4。min f=0+2*0-4=-4

4.用大M 法求解下列线性规划问题

??

?

??≥≤+-≥++++=0,,1621024st.35max 321321321321x x x x x x x x x x x x f

解:化为标准型(加上人工变量a ):

1234512341235m ax 53004210

st.2160,1,2......5j f x x x x x M a x x x x a x x x x x j =++++-?++-+=?

-++=??≥=?

1421011

2

1

1

0A -??=

?-?? b=1016?? ?

?? C=(5,1,3,0,0)

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以2⊕为轴心项,换基迭代,得

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以1

⊕为轴心项,换基迭代,得

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无界解。

5. 已知线性规划问题,用单纯形法计算时得到的中间某两步的计算表见表3-16所示,试将表中空白处的数字填上。

表3-16 单纯形迭代中的两步计算表

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6.已知线性规划问题 33221

1max x c x c x c z ++=

???

??=≥=+++=+++5,1,0st.2

532322212114313212111 j x b x x a x a x a b x x a x a x a j

用单纯形法求解,得到最优单纯形表如表如表3-17所示:

表3-17 最终单纯形表

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⑴求21232221131211,,,,,,,b b a a a a a a 的值; ⑵求321,,c c c 的值。

解:由题意可知:初始的基变量是4x , 5x ,将最终单纯形表的基变量通过迭代转换为4x ,5x ,还原成最初单纯形表,如下:

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从而得出:

91410251

2

12

A ??

?

=

?

? ??? b=85?? ??? C=9,3,6,0,02?? ?

??

所以,11a =9

2 12a =1 13a =4 21a =5

2 22a =1 23a =2

1b =8 2b =5, 1c = 9

2 2c =

3 3c =6

7.某公司生产1、2两种产品,市场对1、2两种产品的需求量为:产品1在1-4月每月需求10000件,5-9月每月30000件,10-12月每月100000件,产品2在3-9月每月需求15000件,其它月每月50000件,该公司生产这两种产品的成本为:产品1在1-5月内生产每件5元,6-12月内生产每件4.5元;产品2在1-5月内生产每件8元,6-12月内生产每件7元。该公司每月生产这两种产品的能力总合不超过120000件。产品1容积每件0.2立方米,产品2每件0.4立方米,该公司仓库容量为15000立方米,占用公司仓库每月每立方米库容需1元;如该公司仓库不足时,可从外边租借,租用外面仓库每月每立方米库容需1.5元。试问在满足市场需求的情况下,该厂应如何安排生产,使总的费用最小?

8.某炼油厂使用三种原料油甲、乙、丙混合加工成A 、B 、C 三类不同的汽油产品,有关数据如下表3-18所示。另外,由于市场原因,A 的产量不得低于产品总量的40%。问该厂应如何安排生产才能使其总利润最大?

表3-18 三种原料的信息

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解:设1x ,2x ,3x 分别为A 产品中甲、乙、丙的成分;4x ,5x ,6x 分别为B 产品中

甲、乙、丙的成分;7x ,8x ,9x 分别为C 产品中甲、乙、丙的成分。由题意,有

max z=(3.060-0.450)*(1x +2x +3x )+(2.565-0.360)*(4x +5x +6x )+(2.025-0.270)*(7x +8x +9x )-1.800*(1x +4x +7x )-1.350*(2x +5x +8x )-0.900*(3x +6x +9x )

1472583

69

112331234

45664569

789200025001200

0.6.0.20.150.60.50,1,2,...,9j x x x x x x x x x x x x x x st x x x x x x x x x x x x x x x x j ???

?++≤?

++≤??++≤??

≥?

++??≤?++??≥?

++???≤++??

?≤++??

≥=?

用计算机求解为:

9.线性规划的目标函数是求其值的极大化,在标准的单纯形法求解过程中得到如下表(其中21H ,H 是常数)

表3-19 求解中某一步的单纯形表

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(1)在所有的空格上填上适当的数(可包含参数21H ,H )

(2)判断下面四种情况在什么时候成立,说明理由。1)此解为最优解,写出相应的基解和目标函数值;2)此解为最优解,且此线性规划有无穷多最优解;3)此规划有无界解;4)此解不是最优解,但可用单纯形法得到下一个基可行解。

解:(1)

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(2)1)当2-51H <0 即 1H >2

5时,此线性规划模型有唯一解,基解为

1232(,,)(0,,0)x x x H T =T 最优值为52H 。

2)2-51H =0,即 1H =2

5时,大于0,此线性规划模型有无穷多最优解。 3)2-51H >0且 1H <0,即1H <0时, 此线性规划模型有无界解。

4)2-51H >0且 1H >0且2H >0, 即0<1H <2

5且2H >0时,

此解不是最优解。

10.表3-20是求某极大化线性规划问题计算得到的单纯形表。表中无人工变量,1a 、2a 、

3a 、d 、1c 、2c 为待定常数。试说明这些常数分别取何值时,以下结论成立。

表3-20 极大化线性规划问题计算得到的单纯形表

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