函数与导数知识点复习测试卷(文)
一、映射与函数 1、映射 f ：A →B 概念
（1）A 中元素必须都有________且唯一；
（2）B 中元素不一定都有原象，且原象不一定唯一。 2、函数 f ：A →B 是特殊的映射
(1)、特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集。函数 y=f(x)是“y 是x 的函数”这句话的数学表示，其中 x
是自变量，y 是自变量 x 的函数，f 是表示对应法则，它可以是一个解析式，也可以是表格或图象，
也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与垂直x 轴的直线________公共点，但与垂直y 轴的直线公
共点可能没有，也可能是任意个。（即一个x 只能对应一个y ，但一个y 可以对应多个x 。）
（2）、函数三要素是________，________和________，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者
确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
二、函数的单调性
在函数f (x )的定义域内的一个________上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A 。当x 1 么，就称函数f (x )在区间A 上是增加的，当x 1 判断方法如下： 1、作差（商）法（定义法） 2、导数法 3、复合函数单调性判别方法（同增异减） 函数的最值 函数y ＝f (x )的定义域为D ，(1)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ；(2)对于任意x ∈D ，都有________. M 为最大值 (3)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ；(4)对于任意x ∈D ，都有________. M 为最小值 求函数最值的常用方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值； (2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值； (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 三．函数的奇偶性 ⑴偶函数：)()(x f x f =- 设（b a ,）为偶函数上一点，则________也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于y 轴对称，例如：12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数. ②满足________，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，1) () (=-x f x f . ⑵奇函数：)()(x f x f -=- 设（b a ,）为奇函数上一点，则________也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称，例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数. ②满足________，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时，1)() (-=-x f x f 周期性 (1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有________， 那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中________的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期. ※(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函 数周期性求值. (2)函数周期性的三个常用结论： ①若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ，②若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ，③若f (x ＋a )＝－1 f (x ) ，则T ＝2a (a >0). ※(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间 上的问题. (2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数?f (x )＝f (|x |).②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0. 四．二次函数 幂函数 1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).②顶点式：f (x )＝________________③零点式：f (x )＝________________ (2)二次函数的图像和性质 2.幂函数 (1)定义：形如_______(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数. (2)幂函数的性质 ①幂函数在_______上都有定义；②幂函数的图像过定点_______； ③当α>0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调_______； ④当α<0时，幂函数的图像都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调_______. ※(1)二次函数最值问题解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结 合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. (2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 ①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数. ②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立?a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立?a ≤f (x )min . (3)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. (4)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴. 五．函数的变换 ①()()y f x y f x =?=-：将函数()y f x =的图象关于y 轴对称得到的新的图像就是()y f x =-的图像； ? ②()()y f x y f x =?=-：将函数()y f x =的图象关于x 轴对称得到的新的图像就是()y f x =-的图像； ? ③()|()|y f x y f x =?=：将函数()y f x =的图象在x 轴下方的部分对称到x 轴的上方，连同函数 ()y f x =的图象在x 轴上方的部分得到的新的图像就是|()|y f x =的图像； ? ④()(||)y f x y f x =?=：将函数()y f x =的图象在y 轴左侧的部分去掉，函数()y f x =的图象在y 轴 右侧的部分对称到y 轴的左侧，连同函数()y f x =的图象在y 轴右侧的部分得到的新的图像就是(||)y f x =的图像 . ? 注： （1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a 是函数f(x)的对称轴； （2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x= 2 b a +是f(x)的对称轴. ※(1)利用函数的图像研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数，其性质(单调性、奇偶性、周 期性、最值(值域)、零点)常借助于图像研究，但一定要注意性质与图像特征的对应关系. (2)利用函数的图像可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图像交点的横坐标；不等式f (x ) 六、指数函数与对数函数的图像和性质 一．指数函数 （一） 指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1， 且n ∈N *．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0(* >∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1 *>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数______________________ 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为R ． 注：指数函数的底数的取值范围______________________． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是___________或___________； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； ※指数函数的性质及应用问题解题策略 (1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法. (2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围， 函数与导数 1．映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性； ⑤换元法；⑥利用均值不等式；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ①若f(x)的定义域为〔a，b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意：外函数的定义域是内函数的值域。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ⑵是奇函数； ⑶是偶函数； ⑷奇函数在原点有定义，则； ⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； （6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①在区间上是增函数当时有； ②在区间上是减函数当时有； ⑵单调性的判定 1 定义法： 注意：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）； ③复合函数法（见2 （2））； ④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性 (1)周期性的定义： 对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周（2）三角函数的周期： ⑶函数周期的判定 ①定义法（试值）②图像法③公式法（利用（2）中结论） ⑷与周期有关的结论 高考文科导数考点汇总 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】 高考导数文科考点总结 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 导数概念与运算知识清单 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?） －f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即 x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处 可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0 lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就 说函数在点x 0处不可导，或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2．导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 3．几种常见函数的导数: ①0;C '= ② ()1 ; n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 4．两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)'''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 2020年高考数学（理） 函数和导数 知识点归纳汇总 目录 基本初等函数性质及应用 (3) 三角函数图象与性质三角恒等变换 (17) 函数的图象与性质、函数与方程 (43) 导数的简单应用与定积分 (60) 利用导数解决不等式问题 (81) 利用导数解决函数零点问题 (105) 基本初等函数性质及应用 题型一 求函数值 【题型要点解析】 已知函数的解析式，求函数值，常用代入法，代入时，一定要注意函数的对应法则与自变量取值范围的对应关系，有时要借助函数性质与运算性质进行转化． 例1．若函数f (x )＝a |2x －4| (a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝1 9 ，则f (x )的单调递 减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] 【解析】 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－1 3 (舍去)，即f (x )＝ 4 231-?? ? ??x 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在 (－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减． 【答案】 B 例2．已知函数f (x )＝? ???? 3x 2＋ln 1＋x 2＋x ，x ≥0， 3x 2 ＋ln 1＋x 2－x ，x <0，若f (x －1) 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a '=; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 导数知识点 一．考纲要求 考试内容8 要求层次 A B C 导数及其应用 导数概念及其几何意义 导数的概念 √ △ 导数的几何意义 √ 导数的运算 根据导数定义求函数y c =，y x =， 2 y x =， 1y x = 的导数 √ 导数的四则运算 √ 导数公式表◇ √ 导数在研究函数中的应 用 利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次） ☆ √ 函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次） ☆ √ 利用导数解决某些实际问题 √ 二．知识点 1.导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为 ).)((0' 0x x x f y y -=- 2.、几种常见函数的导数 ①'C 0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos ' -=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log ' = ；⑧x x 1)(ln ' = 3.导数的运算法则 （1）'''()u v u v ±=±. （2）''' ()uv u v uv =+. （3）'' ' 2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 4. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的 极大值，极小值同理） 当函数)(x f 在点0x 处连续时， ①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； 专题14人教A 版（2019）第五章一元函数的导数及其应用知 识点与基础巩固题——寒假作业14（解析版） 一．导数的定义： 0000000()() ()'()'|lim ()() ()'()'lim x x x x f x x f x y f x x x f x y x f x x f x y f x f x y x =?→?→+?-====?+?-===?1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数: 2.利用定义求导数的步骤： ①求函数的增量：00()()y f x x f x ?=+?-；②求平均变化率： 00()() f x x f x y x x +?-?= ??； ③取极限得导数：00'()lim x y f x x ?→?=? （下面内容必记） 二、导数的运算： （1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ① '0() C C =为常数；② 1 ()'n n x nx -=； 11( )'()'n n n x nx x ---==- ； 1 ()'m m n n m x x n -== ③ (sin )'cos x x =； ④ (cos )'sin x x =- ⑤ ()'x x e e = ⑥ ()'ln (0,1)x x a a a a a =>≠且； ⑦1(ln )'x x = ； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a =>≠且 法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ?=?+?(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3：2 ()'()()()'()[ ]'(()0)()[()] f x f x g x f x g x g x g x g x ?-?=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) （2）复合函数(())y f g x =的导数求法： ①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =?③回代()u g x = 三．导数的物理意义 1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '， 函数与导数知识点复习测试卷(文) 一、映射与函数 1、映射 f ：A →B 概念 （1）A 中元素必须都有________且唯一； （2）B 中元素不一定都有原象，且原象不一定唯一。 2、函数 f ：A →B 是特殊的映射 (1)、特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集。函数 y=f(x)是“y 是x 的函数”这句话的数学 表示，其中 x 是自变量，y 是自变量 x 的函数，f 是表示对应法则，它可以是一个解析式，也可以是表格或图象， 也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与垂直x 轴的直线________公共点，但与垂直 y 轴的直线公共点可能没有，也可能是任意个。（即一个x 只能对应一个y ，但一个y 可以对应多个x 。） （2）、函数三要素是________，________和________，而定义域和对应法则是起决定作用的要素， 因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 二、函数的单调性 在函数f (x )的定义域内的一个________上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A 。当x 1 导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'' ()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 导数知识点归纳及应用 一、相关概念 1．导数的概念 略 二、导数的运算 1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '= ; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 例1：下列求导运算正确的是 ( ) A ．(x+2 11)1 x x +=' B ．(log 2x)′=2ln 1x C ．(3x )′=3x log 3e D ． (x 2cosx)′=-2xsinx 2．导数的运算法则 法则1：(.)' ''v u v u ±=± 法则2：.)('''uv v u uv += 若C 为常数,则.)(''Cu Cu = 法则3：='?? ? ??v u 2''v uv v u -（v ≠0）。 3.复合函数求导 三、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。 相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。 例：曲线3()2f x x x 在0p 处的切线平行于直线41y x ，则0p 点的坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(2,8) C ．(1,0)和(1,4)-- D ．(2,8)和(1,4)-- 四、导数的应用 1.函数的单调性与导数 （1）如果' f )(x 0>，则)(x f 在此区间上为增函数； 如果'f 0)( 函数与导数知识点 【重点知识整合】 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数()y f x =相 应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?， 如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在 0x x →处的导数，记作0 x x y ='，即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?. 注意：在定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写 成 000000 ()()()() ()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ?→→+?--'==?-. 2.导数的几何意义： 导数 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处 变化的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00 x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0 x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00 x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='- 注意：“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点. 3.导数的物理意义： 函数()s s t =在点 0t 处的导数0(),s t '就是物体的运动方程()s s t =在点0t 时刻的瞬时速度v ，即0().v s t '= 4．几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1 )'(-=n n nx x (Q n ∈)； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=； 1(ln )x x '= ； 1 (log )log a a x e x '=； ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=. 5.求导法则： 法则1： [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'； 法则2： [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=； 法则3： ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ???. 高考导数文科考点总结 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 导数概念与运算知识清单 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）， 比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ） 在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函 数在点x 0处不可导，或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2．导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,2 t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x 高中导数知识点归纳 一、基本概念 1. 导数的定义： 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 ()f x 在点0x 2 函数)(x f y =的切线的斜率， ②()1;n n x nx -'= ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算： 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±???? 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()() f x g x f x g x f x g x ''' ?=+ ?? ?? 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：). ( )) ( (' 'x Cf x Cf=(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： () () ()()()() () () 2 f x f x g x f x g x g x g x ' ??'' - =≠ ?? ?? 。 2.复合函数的导数 形如)] ( [x f y? = 三、导数的应用 1. ) (x f在此区间上为减函数。 恒有'f0 ) (= x，则)(x f为常函数。 2．函数的极点与极值：当函数)(x f在点 x处连续时， ①如果在 x附近的左侧)('x f＞0，右侧)('x f＜0，那么) (0x f是极大值； ②如果在 x附近的左侧)('x f＜0，右侧)('x f＞0，那么) (0x f是极小值. 3．函数的最值： 一般地，在区间] , [b a上连续的函数) (x f在] , [b a上必有最大值与最小值。函数) (x f在区间上的最值 ] , [b a值点处取得。 只可能在区间端点及极 求函数) (x f在区间上最值 ] , [b a的一般步骤：①求函数) (x f的导数，令导 定积分 一、知识点与方法： 1、定积分的概念 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……把区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上取任一点(1,2,,)i i n ξ=…作和式 1 ()n n i i I f x ξ== ?∑ （其中x ?为小区间长度） ，把n →∞即0x ?→时，和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：?b a dx x f )(，即?b a dx x f )(＝1 lim ()n i n i f x ξ→∞ =?∑ 。 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式。 (1)定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[,]a b 上恒为正时，定积分()b a f x dx ?的几何意 义是以曲线()y f x =为曲边的曲边梯形的面积。 (2)定积分的性质 ① ??=b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；② ???± = ±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(； ③???+ = b a c a b c dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a c b <<)。 2、微积分基本定理 如果()y f x =是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么: ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 3、定积分的简单应用 (1) 定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线 ,()x a x b a b ==<，x 轴及一条曲线()(()0)y f x f x =≥围成的 曲边梯的面积? = b a dx x f S )(。 如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a 高考导数文科考点 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 导数概念与运算知识清单 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）， 比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ） 在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函 数在点x 0处不可导，或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤（可由学生来归纳）： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 2．导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 基本初等函数的导数 公式表 Revised on November 25, 2020 导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、=c '0 2、=n n x nx -1'（） （n 为正整数） 3、ln =x x a a a '（） =x x e e '（） 4、ln =a long x x a 1 '（） 5、ln =x x 1 '（） 6、sin cos =x x '（） 7、cos sin =-x x '（） 8、=-x x 211 '（） 知识点二：导数的四则运算法则 1、v =u v u ''' ±±（） 2、=u v uv v u '''+（） 3、(=Cu Cu ''） 4、u -v =u v u v v 2'' '（） 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b 内，()f x '>0，则()f x 在此区间是增区间，(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b 内，()f x '<0，则()f x 在此区间是减区间，(,)a b 为()f x 的单调 减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数； （1）y x 15= （2） )-y x x 3=≠0（ （3）)y x x 54=0 （ （4）)y x x 23=0 （ （5）)-y x x 23=0 （ （6）y x 5= （7）sin y x = （8）cos y x = （9）x y =2 （10）ln y x = （11）x y e = 2、求下列函数在给定点的导数； （1）y x 14= ，x =16 （2）sin y x = ， x π=2 （3）cos y x = ，x π=2 （4）sin y x x = ， x π=4 （5）3y x = ，1128（，） 高中数学导数章节知识点总结 考点1:与导数定义式有关的求值问题 1:已知 等于 A. 1 B. C. 3 D. 1.已知 ，则 的值是______ ． 考点2:导数的四则运算问题 1:下列求导运算正确的是 A. B. C. D. 2:已知函数，为 的导函数，则 的值为______． 考点3:复合函数的导数计算问题 1:设 ，则 A. B. C. D. 2:函数的导函数 ______ 考点4:含)('a f 的导数计算问题 1:已知定义在R 上的函数 ，则 A. B. C. D. 2:设函数满足，则 ______． 考点5:求在某点处的切线方程问题 1:曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 2:曲线在处的切线方程为_________________． 考点6:求过某点的切线方程问题 1:已知直线过原点且与曲线相切，则直线斜率 A. B. C. D. 2:若直线过点)1,0(-且与曲线x y ln =相切，则直线方程为： 考点7:根据相切求参数值问题 1:已知直线与曲线相切，则a 的值为 A. 1 B. 2 C. D. 2:若曲线在点处的切线平行于x 轴，则 ________． 考点8:求切线斜率或倾斜角范围问题 1:点P 在曲线3 2)(3 +-=x x x f 上移动，设P 点处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 （ ） A. ?? ????2,0π B. ),4 3[)2,0[πππY C.),43[ ππ D. ]4 3,2(π π 2:在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为_______ 考点9:求曲线上点到直线距离的最值问题 1:已知P 为曲线x y C ln :=上的动点，则P 到直线03:=+-y x l 距离的最小值为（ ） A. 2 B. 22 C.2 D. 3 考点10:求具体函数的单调区间问题 1：函数x e x x f )1()(+=的单调递增区间是 A. ),2[+∞- B. ),1[+∞- C. D. 2:函数x x x f ln )(=的单调减区间为 考点11：已知单调性，求参数范围问题 1:已知函数 在区间 上是增函数，则实数m 的取值范围为 A. B. C. D. 2:若函数在区间上单调递增，则实数a 的取值范围是______． 考点12：解抽象不等式问题 1:已知函数是函数 的导函数， ，对任意实数都有，则不等 式 的解集为 A. B. C. D. 2:函数的定义域为R ，且 ， ，则不等式 的解集为______ ． 考点13：求具体函数的极值问题 1:函数 ，则 A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点 C. 为函数 的极大值点 D. 为函数 的极小值点 函数与导数解题方法知识点技巧总结 1. 高考试题中，关于函数与导数的解答题(从宏观上)有以下题型： （1）求曲线()y f x =在某点出的切线的方程 （2）求函数的解析式 （3）讨论函数的单调性，求单调区间 （4）求函数的极值点和极值 （5）求函数的最值或值域 （6）求参数的取值范围 （7）证明不等式 （8）函数应用问题 2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： （1）曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+。 （2）若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之不成立。 （3）对于可导函数()f x ，不等式()0(0)f x '><的解是函数()f x 的递增（减）区间。 （4）函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：,()0(0)x I f x '?∈≥≤恒成立（()f x '不恒为0）. （5）若函数()f x 在区间I 上有极值，则方程()0f x '=在区间I 上有实根且非二重根。（若()f x '为二次 函数且I R =，则有0?>）。 （6）若函数()f x 在区间I 上不单调且不为常量函数,则()f x 在I 上有极值。 （7）若,()0x I f x ?∈>恒成立，则min ()0f x >；若,()0x I f x ?∈<恒成立，则max ()0f x < （8）若0x I ?∈使得0()0f x >，则max ()0f x >；若0x I ?∈使得0()0f x <，则min ()0f x <. （9）设()f x 与()g x 的定义域的交集为I ，若,()()x I f x g x ?∈>恒成立，则有min [()()]0f x g x ->. （10）若对112212,,()()x I x I f x g x ?∈∈>恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对1122,x I x I ?∈?∈，使得12()()f x g x >，则min min ()()f x g x >. 若对1122,x I x I ?∈?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A ,()g x 在区间2I 上值域为B ，若对1122,x I x I ?∈?∈使得 12()()f x g x =成立，则A B ?。 （12）若三次函数()f x 有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12,x x 且12()()0f x f x < （13）证题中常用的不等式: ①ln 1(0)x x x ≤->（仅当1x =时取“=”）函数与导数知识点总结
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