《数学分析》第一章集合与函数

第一章集合与函数

一、本章知识脉络框图

二、本章重点及难点

数学是分析处理问题的系统方法论学科。对事物分析，量化是第一步；数是表示量的符号.随着科学的发展，数的内涵与表示得到不断地发展；同时随着数的内涵与表示的发展，分析解决问题的方法也得到了质的发展.数从自然数----整数----有理数---实数—复数的发展过程，也反映了社会的进步与解决问题能力的提升.因此，对数以及一些数组成的集合进行

研究是数学的基础.

本章在中学的基础上主要讨论了实数的性质、数集的性质，实数对组成的二维空间R 2

的一些集合的性质；同时还通过两个集合之间的映射关系引进函数的定义，并且讨论与函数相关的其他一些定义.

本章的难点主要有以下两个方面：

● 函数的概念、隐函数、一些简单函数的反函数存在性的判定与函数反函数的求法. ● 实数集上的确界存在定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理的证明与应

用；熟练运用这些定理证明闭区间上连续函数的性质.

三、本章的基本知识要点

（一）实数及其性质

1.实数集R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数.

2.实数集R 具有阿基米德性，即对任何R b a ∈、,若b>a>0，则存在正整数n ，使得na>b .

（二）实数集R 的性质

1.a,b 是实数，实数集合上的),(}|{b a b x a x ?<<、),[}|{b a b x a x ?<≤、

],(}|{b a b x a x ?≤<、],[}|{b a b x a x ?≤≤称为有限区间；而),(}|{a a x x -∞?<、],(}|{a a x x -∞?≤、),(}|{+∞?>a a x x 、),[}|{+∞?≥a a x x 、}|{+∞<<-∞x x

),(+∞-∞?称为无限区间，有限区间与无限区间统称为区间.

2. a

是实数、

0>δ，);(}|||{δδa U a x x ?<-称为a 的δ邻域,

);(}||0|{δδa U a x x o ?<-<称为a 的空心δ邻域；)(),[a U a a +?+δ称为a 的δ右邻域，

)(],(a U a a -?-δ称为a 的左δ邻域；)(),(0a U a a +?+δ称为a 的右空心邻域，

)(),(0a U a a -?-δ称为a 的左空心邻域.

3. M 是正数,)(}|||{∞?>U M x x ，称为∞邻域，)(}|{+∞?>U M x x 称为∞+邻域，

)(}|{-∞?-

4. 设S 是R 中的一个数集，若数η满足：(1)对一切,S x ∈有η≤x ,即η是上界；（2）

对任何ηα<，存在S x ∈0，使得α>0x ，即η又是S 的最小上界；则称数η为S 的上确界，记作 S sup =η.

5. 设S 是R 中的一个数集，若数ξ满足：(1)对一切,S x ∈有ξ≥x ,即ξ是下界；（2）对任何ξβ>，存在S x ∈0，使得β<0x ，即ξ又是S 的最大下界；则称数ξ为S 的下确界，记作 S inf =ξ.

6. 确界原理：设S 为非空数集，若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.

7.区间套定理：若{[a n ,b n ]}是一个区间套，则在存在惟一的实数

,3,2,1,,,3,2,1],,[=≤≤=∈n b a n b a n n n n ξξ即.

8.区间套定理的推论：若),2,1](,[ =∈n b a n n ξ是区间套]},{[n n b a 所确定的，则对任给的,0>ε存在N>0,使得n>N 时有 );(],[εξU b a n n ?.

9. (维尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理): 实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点. 10. (海涅-波雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理) 设H 为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[a,b] .

（三）二维平面R 2的性质

1.全平面上的点所组成的点集2

},|),{(R x x y x ?+∞<<-∞+∞<<-∞；坐标平面上的满足条件P 的点的集合E={(x,y)|(x,y)满足条件P}，称为平面点集.

2.平面上的点),(00y x A ，平面点集})()(|),{(2

2020δ<-+-y y x x y x 称为点A 的δ邻域，记为)(A U ；平面点集})()(0|),{(2

2020δ<-+-

记为：)(0

A U .

3.对于平面点集E ，若存在点A 的某邻域U(A)E A U ?)(,则称点A 是E 的内点；若点A 的任何空心邻域)(0

A U 内都含有E 中的点，则称A 是E 的聚点；若E 的每一个点都是内点，则称E 为开集；若E 的所有聚点都属于E ，则称E 是闭集；若E 中的任意两点都可以用一条完全含于E 的有限折线相连接，则称E 具有连通性；连通的开集叫开域；开域连同其边界叫闭域.

4.(闭域套定理)设{D n }是R 2中的闭域列，它满足：（1） ,2,1,1=?+n D D n n ，（2）d n =d(D n )

0lim ,=∞

→n n d ,则存在惟一的点 ,2,1,0=∈n D P n .

5.(聚点定理) 设2R E ?为有界无限点集，则E 在R 2中至少有一个聚点.

6.(有限覆盖定理) 设2R D ?为一有界闭域，}{α?为一开域族，它覆盖了D （即

α

α??D ），则在}{α?中必存在有限个开域,,,,21n ??? 它们同样覆盖D （即

n

i i D 1

=??）.

（四）集合间的关系：映射、函数

数学是为解决实际问题提供一些系统方法的学科，它通过量化的数来表示事物，通过数

的变化来反映事物的变化．在不同时间、不同的地点所表示物体的量的不同，实质就是建立了表示物体的量与时间、地点之间的一个映射，当一个映射满足一定的条件时，就是函数．因此，函数是数学最重要的一个概念，同时对函数性质的研究是数学分析处理问题的基础． 1.给定两个实数集D 和M ，若有对应法则f ，使对D 内每一个数x ，都有唯一的一个数y ∈M 与之对应，则称f 是定在数集D 上的函数，记作：M D f →:，通常记为)(x f y =． 注：只要讲清了对应法则，而且满足对于第一个集合上的每一个元素，在第二个集合都有惟一的元素和它对应，则这个法则就建立了从第一个集合到第二个集合的函数.

例如： ??

?

??<-=>=010,00,1sgn x x x x 是一个函数，称为符号函数

2.设有两个函数 E x x g u D u u f y ∈=∈=),(;),(，令E D x g x E ?∈=})(|{*

，若

φ≠*E ，则对每一个*

E x ∈，可通过函数g 对应D 内唯一的一个值u ，而u 又通过函数f

对应唯一的一个值y ．这就确定了一个定义在*

E 上的函数，称为函数f 与g 的复合函数．记作：))((x g f y =.

注:两个函数能否复合的充分必要条件就是φ≠*

E

3.以形式D x x f y ∈=),(表示函数的，称为显函数；而以方程的形式表示0),(=y x f 表示一个函数的，称为隐函数.例如]1,1[,022

3

-∈=-x x y 就是一个隐函数.

4.设函数D x x f y ∈=),(；满足：对于值域)(D f 中的每一个值y ，D 中有且只有一个值x 使得y x f =)(.则按此对应法则得到一个定义在)(D f 上的函数，称这个函数为f 的反

函数，记作 )(),(1

D f y y f

x ∈=-.通常改记作 )(),(1

D f x x f

y ∈=-.

注:函数D x x f y ∈=),(存在反函数的充分必要条件是:f 是D 与)(D f 之间的一一映射.

5.常量函数c y =、幂函数α

x y =、指数函数x

a y =、对数函数x y a log =、三角函数

x y x y x y x y cot ,tan ,cos ,sin ====、反三角函数,arccos ,arcsin x y x y ==

x arc y x y cot ,arctan ==统称为基本初等函数.由基本初等函数经过有限次四则运算与复

合运算所得到的函数,统称为初等函数.并不是每个函数都是初等函数，例如：x

x y =就不是初等函数.

6.设f 为定义在D 上的函数.(1)若存在正数M ，使得对每一个D x ∈有 M x f ≤|)(|，则称f 为D 上的有界函数；（2）若对任意2121,,x x D x x <∈，若是都有)()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数；若是都有)()(21x f x f ≥，则称f 为D 上的减函数；（3）若D 为对称于原点的数集，且对D x ∈，都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-，则称f 为D 上的奇（偶）函数；（4）若存在0>σ，使得对一切D x ∈都有)()(x f x f =±σ,则称f 为周期函数.

7.设平面点集2

R D ?,若按照某对应法则f ,D 中每一点P(x,y)都有唯一确定的实数z 与之对应，则称f 为定义在D 上的二元函数.记作:D y x y x f z ∈=),(),,(.

四、基本例题解题点击

【例1】设x,y 为实数，x

● 这是实数的稠密性；

● 利用不足近似与过剩近似就可以证明.

【证明】由于x

1

n n y x r +=

，则r 为有理数，且 y y r x x n n ≤<<≤ 即 y r x <<

设η是任意一无理数，由x

y x <<α，且 α是无理数 ■

【知识扩展提示】实数的稠密性是实数的重要性质，在证明有关稠密性方面的时候，经常利用不足近似与过剩近似值来证明，在证明过程两边同时加一个数或减一个数也是常常利用的技巧.

【例2】设S 是非空数集，定义}|{S x x S

∈-=-

。证明：S S sup inf -=-.

【提示及点评】

集合的上下确界的证明是一个难点，这类证明的关键点在于抓住上下确界的定义，

上确界：（1）是上界；（2）是最小的上界，即没有比它更小的上界，也即减一点就不是上界。下确界：（1）是下界；（2）是最大的下界，即没有比它更大的下界，

也即加一点就不是下界.

【证明】（1）证明S sup -是-

S 的下界

任意取一元素-

∈S x ，从而S x ∈-，因此 S x sup ≤- ，S x sup -≥ （2）证明S sup -是-

S 最大下界

任意取0>ε，因为S sup 是S 的上确界，因此，存在一个元素S x ∈-，使得 ε->-S x sup 从而 ε+-

∈S x 因此，S sup -是-

S 最大下界.

综合以上两点，得到S S sup inf -=-

■

【知识扩展提示】准确地把握定义是非常重要，利用定义进行解题与证明是数学的一种最基本的方法.

【例3】设a>1,x 为有理数。证明:r a a r

x

|sup{=为有理数,r

a 是上界.

由于a>1，因此对于任意的r

r

a a < ,从而x

a 是上界。 (2) 证明x

a 是最小的上界.

任意取一个数x

a b <,不妨设b>0, 则 由x

a b <得 x b

a a

a 1，于是得到

x b a

x b a <<αlog ，因此 α

a b <，而显然r a a r

|{∈α

为有理数，且r

因此，x

a 是最小的上界.

综合以上两点，得到 r a a r

x

|sup{=为有理数,r

【例4】 判断（1）函数1,11

-≠+=

u u

y ，与函数R x x u ∈+=,22是否可以复合；

（2）函数11,arcsin ≤≤-=u u y ，与函数R x x u ∈+=,22

是否可以复合.

【提示及点评】

● 判断两个函数 E x x g u D u u f y ∈=∈=),(;),(是否可以复合，关键就看

E D x g x E ?∈=})(|{*是否为空集。是空集则不能复合，不是空集则可以复合.

【解】(1)由于φ≠?-≠+R x x }12|{2

，因此它们可以复合.且复合得到 R x x

y ∈+=

,31

2

(2) 由于φ=?≤+≤-R x x }121|{2

，因此它们不能复合。■

【例5】 在什么条件下，函数d

cx b

ax y ++=

的反函数就是它本身？

【提示及点评】

● 反函数存在的充分必要条件是：一一对应。对这种类型的题目，首先要保证反函

数存在、再在存在的条件下把反函数求出来.

【解】 (1)函数要存在反函数，则对于定义内的任意两个值21x x ≠，必有

)()(21x f x f ≠，从而得到：

d

cx b

ax d cx b ax ++≠++2211 即

bd adx bcx x acx bd bcx adx x acx +++≠+++21212121 0))((21≠--x x bc ad

从而 0≠-bc ad 所以函数存在反函数的条件是：0≠-bc ad (2) 在存在反函数的条件下求反函数 由 d cx b ax y ++=

解得：a cy dy b x --=，因此反函数为 a

cx b

dx y -+-=

根据两个函数相等的条件：定义域相同，对应法则相同.

当0≠c 时，原函数的定义域为 c d x -

≠，反函数的定义域为 c

a

x ≠，因此两者要相同，必须要d a -=，而在d a -=时，两个函数的表达式也相同，因此这时原函数与反函数相同. 当0=c 时，由反函数存在条件0≠-bc ad ，则0≠ad ，这时原函数为d

b

x d a y +=，反函数为：a

b

x a d y -=

；定义都是R x ∈；只要表达式相同，两个函数就相同.因此，必须有 a

b

d b a d d a -==,，解得：d a -=或者0,==b d a 综上述得到：函数d

cx b

ax y ++=的反函数就是它本身的条件是：

（1）0≠-bc ad ，0≠c ，d a -= 或 （2） 0≠-bc ad ，0=c ，d a -= 或

（3）0≠-bc ad ，0,===c b d a ■

【例6】判断函数21,3

<<-=x x y 的奇偶性.

【提示及点评】

● 函数要是奇函数或偶函数，必须具备两个条件：定义域必须关于原点对称，是奇

函数还必须满足)()(x f x f -=-，是偶函数还必须满足)()(x f x f =-.定义域要求关于原点对称的，很容易被忽略.

【解】由于该函数的定义域不关于原点对称，因此它没有奇偶性。■

【例7】设)},{(n n b a 是一个严格开区间套，即满足

1221b b b a a a n n <<<<<<<<

且0)(lim =-∞

→n n n a b 。证明：存在唯一的一点ξ，使得 ,2,1,=<

【提示及点评】

● 这个题目表明对于严格的开区间套也有类似于闭区间套定理的结论，但是要求一

定要是严格开区间套，不是严格的就不一定成立；

● 首先把它看作闭区间套，利用闭区间套定理证明，再证明所存在的点满足题目要

求. 【证明】考虑闭区间序列]},{[n n b a ，由条件1221b b b a a a n n <<<<<<<< 且0)(lim =-∞

→n n n a b ，可知它是闭区间套，因此存在唯一的点ξ，满足

,2,1,=≤≤n b a n n ξ

因为 ,2,1,11=≤≤++n b a n n ξ 而 n n n n b b a a <<<++11，因此

,2,1,=<

【知识扩展提示】 确界存在定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理是是数学分析的理论基础，必须牢牢掌握。只要碰到与定理的结论或结论类似的情况，都要想起这些定理.

【例8】 试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般不能成立.

【提示及点评】

● 实数的这些完备性定理，只在实数域内才能成立，在有理数域一般是不成立的. ● 对这个题，只要做一个有理数列，而它的极限却是无理数就可以说明问题. 【解】 作一有理数列：n

n n

a )11(+= （1）由基本极限公式e n

n

n =+

∞

→)11(lim ，它是递增、且有界，所以它的上确界就是e ，因此在有理数集内无确界.

（2） 该数列单调有界，但由（1）可知，数列在有理数集上没有极限. （3）由 e n

n

n =+

∞

→)11(lim 可知，数列有唯一一个聚点，就是e ，因此在有理数集上没有聚点.

（4）由于数列e n

n

n =+

∞

→)11(lim ，因此它必定满足柯西收敛准则，但若从有理数集合看，它却没有极限，因为极限是无理数. ■

【例9】 设},2,1|)1

,21{(

=+=n n

n H .问(1) H 能否覆盖(0,1)？（2） 能否从H 中选出有限个开区间覆盖（a ） )21,0(, (b) )1,100

1

(？

【提示及点评】

● 这是关于覆盖的问题，有限覆盖定理是指一个开覆盖H ，它覆盖一个闭区间，则

可以从这选出有限个出来覆盖这个闭区间，但现在不是一个闭区间，因此，结论

未必成立.

【证明】（1）H 可以覆盖（0，1），因为对于任意的)1,0(∈r ，则

11>r ，取]1[r

n =；则： 当n=1，必有

111121=<<+<+n r n n ，这时)1

,21(n

n r +∈；当2≥n 时，

1

1

11121-<

≤<+<+n n r n n ，这时 )11,2)1(1(-+-∈n n r 。因此H 能否该(0,1) . （2） 不能选出有限个覆盖)2

1

,0(.反证法. 设可以},2,1|)1,21{(

k m n n H m m k =+=这k 个能覆盖)2

1

,0(，令

}2,,2,2m ax {21+++=k n n n p

显然)1,0(P 上的点不属于k H 中的任何一个区间，矛盾.因此不能选出有限个覆盖)2

1

,0(. 可以选出有限个覆盖)1,1001(，首先选一个覆盖端点1附近的，选取的区间为：)1,2

11

(+.

考虑闭区间]21,1001[，则H 中可以选出有限个覆盖]21,1001[，这有限个再加上)1,2

11

(+，

则它们能覆盖由于)1,100

1

(. ■

【例10】设I 为有限区间. 证明：若f 在I 上一致连续，则f 在I 上有界.举例说明此结论当I 为无限区间时未必成立.

【提示及点评】

这是实数的完备性证明函数的性质；

【证明】设区间I 的左、右端点为a 、b ，不妨设区间是开区间。由f(x)在I 上一致连续，所以对于

1=ε，存在2

0a

b -<

<δ，使得当I x x ∈'','且δ<-|'''|x x 时，就有 1|)''()'(|<-x f x f .

考虑闭区间]2

,2[δ

δ

-+

b a ，则)(x f 在该闭区间上亦连续，从而有界，设这时有]2

,2[,|)(|1δ

δ

-+

∈≤b a x M x f . 对于任意]2,(δ

+∈a a x ，由于δδ

δ<<+-2|)2(|a x ，从而 11|)2

(||)(|,

1|)2

()(|1+≤++<<+

-M a f x f a f x f δ

δ

同理可以证明),2[b b x δ

-

∈，有 11|)2

(||)(|1+≤++

因此，任意的),(b a x ∈都有 1|)(|1+≤M x f ，即函数有界.

若区域不是有界时，则结论未必成立，例如 函数 R x x y ∈=,2是一致连续，但不是有界函数. ■

【例11】试用有限覆盖定理证明根的存在定理. 【提示及点评】

● 利用有限覆盖定理证明问题的最关键是：构造一个开覆盖.

【证明】设)(x f 在[a,b]上连续，且)(a f 与)(b f 异号，证明方程0)(=x f 在(a,b)内至少有一个根.

反证法： 假设方程0)(=x f 在(a,b)内没有根，则任意的),(b a x ∈，都有0)(≠x f ，根据连续的局部保号性，因此存在一个邻域),(x x U δ，使得函数在该邻域内的函数值同号. 构造开覆盖 ]},[|),({b a x x U H x ∈=δ，则H 覆盖H ，由有限覆盖定理得到，存在有限个邻域),(,),,(),,(2121n x n x x x U x U x U δδδ 覆盖[a,b]；且不妨设n x x x <<< 21.则

1,,2,1,),(),(11-=≠?++n j x U x U j j x j x j ?δδ。而)(x f 在每个邻域内都不变号，因此推

出)(x f 在

n

i x i

i

x U 1

),(=δ

不变号，故)(x f 在[a,b]上不变号，因此，)(),(b f a f 同号，矛盾；

从而0)(=x f 在[a,b]上至少有一个根. ■

【知识扩展提示】实数的完备性定理不仅可以用来证明连续函数的一些性质，在其他的证明方面也经常用到，所以对这些定理必须做到能灵活应用.

五、扩展例题解题点击

【例1】下列各对函数是同一个函数的是（ ）．

（A ）2ln )(x

x f =

，()

x x g ln )(= （B ）x x f =)(，()x x g arcsin sin )(= （C ）11)(-=x x f ，1

1)(2-+=x x x g （D ）1)(=x f ，0

)(x x g =

【提示及点评】

● 这是2009年浙江理工大学2009年数学分析研究生入学考试试题； ● 两个函数相同的的条件：对应法则相同，定义域相同.

【解】由答案是(A)，其他三个答案的两个函数的定义域都不相同. ■

【例2】 若数M 是非空数集S 的上界，但不是S 的上确界，则下列结论中错误的是（ ）． （A ）任何大于M 的数都是S 的上界 （B ）任何小于M 的数都不是S 的上界 （C ）数集S 必有上确界 （D ）{}S M sup ≥

设x,y 为实数，x

● 这是2009年浙江理工大学2009年数学分析研究生入学考试试题； ● 集合的上下确界是一个重要的概念，需要很好地理解.

【解】根据上确界是：（1）是上界；（2）是最小的上界。可知答案(B)是错的. ■

【例3】若21,F F 为闭集，则（ ）．

（A ）21F F 为闭集，21F F 不一定是闭集 （B ）2121,F F F F 都为闭集 （C ）21F F 为闭集，21F F 不一定是闭集 （D ）2121,F F F F 都不一定为闭集 【提示及点评】

● 这是2009年浙江理工大学2009年数学分析研究生入学考试试题； ● 这是关于闭集的定义.

【解】如果一个点集的所有聚点都属于它，则这个点集称为闭。根据这个定义可知，答案B 是正确，其他都不对. ■

【例4】 设g f ,为D 上的有界函数.证明 （1）)

(inf )(inf )}()({inf x g x f x g x f D

x D

x D

x ∈∈∈+≥+（2） )(sup )(sup )}()({sup x g x f x g x f D

x D

x D

x ∈∈∈+≤+.

【提示及点评】

● 这是关于上下确界和的运算法则；直接利用定义就可以证明. 【证明】对任意D x ∈有： )()(inf ),()(inf x g x g x f x f D

x D

x ≤≤∈∈，因此

)()()(inf )(inf x g x f x g x f D

x D

x +≤+∈∈，

从而)(inf )(inf x g x f D

x D

x ∈∈+是)()(x g x f +在D 上的一个下界，因此， )(inf )(inf )}()({inf x g x f x g x f D

x D

x D

x ∈∈∈+≥+

同理可以证明（2） ■

【知识扩展提示】上下确界的证明是本章的难点。掌握上下确界的一些运算性质，对证明其他的问题将带来很大的帮助.

【例5】设g f ,为D 上的有界函数.证明 （1）)

(sup )(inf )}()({inf x g x f x g x f D

x D

x D

x ∈∈∈+≤+

（2） )(inf )(sup )}()({sup x g x f x g x f D

x D

x D

x ∈∈∈+≥+.

【提示及点评】

● 直接利用上面的例4就可以很简洁地证明.

【证明】由于)}()()({inf )(inf )}()({inf x g x g x f x g x g x f D

x D

x D

x -+≤-++∈∈∈

)(inf )(inf )}()({inf x g x f x g x f D

x D

x D

x --≤+∈∈∈ 即

)(sup )(inf )}()({inf x g x f x g x f D

x D

x D

x ∈∈∈+≤+

同理可以证明（2） ■

【知识扩展提示】实数的稠密性是实数的重要性质，在证明有关稠密性方面的时候，经常利用不足近似与过剩近似值来证明，在证明过程两边同时加一个数或减一个数也是常常利用的

【例6】设g f ,为D 上的非负有界函数，证明：（1）)

(inf )(inf )}()({inf x g x f x g x f D

x D

x D

x ∈∈∈?≥（2）)(sup )(sup )}()({sup x g x f x g x f D

x D

x D

x ∈∈∈?≤.

【提示及点评】

● 这是上下确界乘法的运算法则.

【证明】)()(inf ),()(inf x g x g x f x f D

x D

x ≤≤∈∈，而且都是非负，因此

)()()(inf )(inf x g x f x g x f D

x D

x ?≤?∈∈，从而)(inf )(inf x g x f D

x D

x ∈∈?是)()(x g x f ?在D 上

的一个下界，因此， )(inf )(inf )}()({inf x g x f x g x f D

x D

x D

x ∈∈∈?≥

同理可以证明（2） ■

【例7】求函数][x x y +=的反函数.

【提示及点评】

● 反函数的求法必须通过原函数把自变量解出来. 【解】先把函数写成比较容易解出自变量的形式，

当 Z k k x k ∈+<≤,1时 Z k k y k k x x x y ∈+<≤+=+=,122,][ 由此解出 k y x -=

从而反函数为： Z k k x k k x y ∈+<≤-=,122, ■ 【知识扩展提示】求反函数时，一定要通过原函数的值域把反函数的定义域求出来.

【例8】设证明不连续函数x x y sgn )1(2

+=的反函数是连续函数.

【提示及点评】

● 关键是求反函数.

【解】由x x y sgn )1(2

+=得：

??

???<+-=>+=0

)1(00

0122x x x x x y ，因此 ??

?

??-<---=>-=1

100

1

1y y y y y x ，y=0是定义域中的孤立点，反函数在除了孤立点外，其他点都连续. ■

【知识扩展提示】求反函数有时是不容易的，对于分段函数，需要一段一段地把它的反函数求出来.

【例9】证明：对于x 和y 的一切实数值满足方程 )()()(y f x f y x f +=+

的惟一的连续函数))((+∞<<-∞x x f 是齐次线性函数：ax x f =)(，其中)1(f a =. 【提示及点评】

● 通过函数的性质，判断函数是怎样的一个函数，是今后解决问题中经常遇到的问

题。此例给出了一个经典方法. 【证明】先证明对任意有理数c 均成立：)(),()(∞<<-∞=x x cf cx f 设m 与n 是正整数，则有 ))1(()())1(()(x m f x f x m x f mx f -+=-+=

)

()()()())2(()()(x mf x f x f x f x m f x f x f =+++==-++=

)()()(n x nf n x n f x f =?= 从而 )(1

)(x f n

n

x f =

因此有： )()()(x f n

m

n x mf x n m f ==

又 ： )0()()0()(f x f x f x f +=+= 因此 0)0(=f

)()())(()0(0x f x f x x f f -+=-+== 因此 )()(x f x f -=-

从而有 )()()(x f n

m

x n m f x n m f -=-=-

综上述有，对任意的有理数c ，成立 )(),()(∞<<-∞=x x cf cx f 下面证明对无理数c ，也成立 )(),()(∞<<-∞=x x cf cx f

对于任意的无理数c ，由实数稠密性可知，存在一有理数列)(,,∞→→n c c c n n ，于是

)()(x f c x c f n n =

由于函数连续，因此两边取极限得： )()(x cf cx f =

综合以上两点得到，对于任意的实数c, 成立 )(),()(∞<<-∞=x x cf cx f 从而 ax xf x f x f ==?=)1()1()( . ■

【知识扩展提示】证明过程中充分利用了函数的性质、实数稠密性、连续性等进行证明，这种证明方法在以后将经常用到.

【例10】证明：对x 和y 的一切值满足方程 )()()(y f x f y x f =+

的惟一不恒等于零的连续函数))((+∞<<-∞x x f 是指数函数：x

a x f =)(，其中

0)1(>=f a .

【证明】先证明对一切的R x ∈，均有0)(>x f

由于 2)]2

([)22(

)(x

f x x f x f =+=，因此，0)(≥x f 又由于)(x f 不恒等于0，因此，存在0x 使得0)(0>x f 而)0()()0()(000f x f x f x f =+=，因此 1)0(=f

)()())(()0(1x f x f x x f f -=-+==，因此0)(≠x f

从而，对于任意的x ，都有0)(>x f

往下证明： 对于任意的有理数c ，有 )(,)]([)(∞<<-∞=x x f cx f c

对于任意的正整数m,n ， 有：

)())1(())1(()(x f x m f x x m f mx f -=+-=

m

x f x f x f x m f )]([)()())2((==-=

n n x

f n x n f x f )]([)()(== 从而 n x f n x f 1

)]([)(=

n m

m x f n

x

f x n m f )]([)]([)(==

因此，对于任意的有理数c ，有 )(,)]([)(∞<<-∞=x x f cx f c

.

由于f(x)是连续函数，因此对于任意的实数c ，亦有 )(,)]([)(∞<<-∞=x x f cx f c

从而 x

x

a f x f x f ==?=)]1([)1()( 0)1(>=f a . ■

【例11】用有限覆盖定理证明聚点定理.

【证明】设S 是有界无限点集，则存在a,b ，使得],[b a S ?.假设[a,b]中不含有S 的聚点.则对],[b a x ∈?，都存在一个邻域),(x x U δ，使得该邻域内只包含有S 中的有限个点.考虑开覆盖]},[|),({b a x x U H x ∈=δ，显然H 覆盖了[a,b]。由有限开覆盖定理得到，存在有限个),,(,),,(),,(2121n x n x x x U x U x U δδδ 覆盖[a,b]，从而也覆盖了S ，而由于每一个只含有S 中的有限个点.因此，S 是有限点集；这与题设矛盾。从而S 存在聚点. ■

六、本章训练题提示点评

【训练题1】研究Dirichlet 函数基本特性（单调性、有界性、周期性）.

【训练题2】设f(x)在[-a,a]上有定义，证明f(x)在[-a,a]上可表示为奇函数与偶函数之和.

【训练题3】证明

|})()(|)()({21

)}(),(max{x g x f x g x f x g x f -++=

|})()(|)()({2

1

)}(),(min{x g x f x g x f x g x f --+=

【训练题4】设g f ,为(a,b)上的单调增加函数，证明)}(),(max{)(x g x f x =?和

)}(),(min{)(x g x f x =φ也是(a,b)上单调增加函数.

【训练题5】设E 为一实数集合，函数f(x)在E 上一致连续，E 为E 的闭包，证明：在E 上存在惟一的连续函数)(x φ，使得任意的E x ∈，有)()(x f x =φ.

【提示及点评】利用连续性先定义)(x φ，其次证明)(x φ连续，最后证明这样的)(x φ.

【训练题6】 设f(x)在[0,1]上连续，且)1()0(f f =，设n 为一自然数，证明存在

]1,0[∈x ，使得 )1

()(n

x f x f +=.

【提示及点评】作辅助函数)1()()(n

x f x f x F +

-=， )1

1()1()0()1()0(n

F n F F f f -++=-，然后利用根的存在性定理来证明.

【训练题7】 证明：闭区间[a,b]到[a,b]上的连续函数f(x)必存在不动点（即存在

],[b a x ∈，使得x x f =)(）天津工业大学2005年研究生入学考试《数学分析》试题.

【提示及点评】作辅助函数)()(x f x x F -=，利用根的存在性定理证明.

【训练题8】设f(x)在[a,b]上连续,且至少有一个零点,求证:f(x)在[a,b]上必有最小零点. 中国科学技术大学1997年硕士研究生入学考试数学分析.

【提示及点评】利用下确界与连续证明.

【训练题9】证明：若f （x ），g （x ）连续，则))(),(min()(x g x f x =φ连续。上海交通大学2003年硕士研究生入学考试数学分析试题.

【提示及点评】直接利用前面例子的))(),(min(x g x f 的表达式证明.

【训练题10】用有限覆盖定理证明：闭区间上连续的函数必有界。天津工业大学2006年研究生入学考试《数学分析》试题.

【训练题11】证明Dirichlet 函数

????

?=

=为无理数

有理数

x q

p

x x f 0

1

)( 在所有无理点上连续，在有理点上间断.（大连理工大学2000年研究入学考试数学分析试题）.

【训练题12】设函数f(x)在),0(+∞上连续，对于任意的),0(+∞∈x 定义

}),(sup{)(x t t f x >=φ，}),(inf{)(x t t f x >=?.证明：)(lim x f x +∞

→存在的充分必要条件是：

|),0(|)(inf{+∞∈x x φ与)},0(|)(sup{+∞∈x x ?（广西大学2003年研究生入学考试数学

分析试题）.

【提示及点评】直接利用上下确界的定义证明.

【训练题13】设f(x)在[a,b]上是一个非常的连续函数。求证：存在一个子区间],[βα，使得f(x)在],[βα取得到最值，但在),(βα取不到最值.

【提示及点评】利用上下确界来证明.

设)(x f 的最大值为M x f =)(1,最小值为m x f =)(2，由于f(x)是非常数函数，所以存在],[210x x x ∈，使得M x f m <<)(0.

令 },)(],,[|inf{01m M y f x x y y ≠∈=α },)(],,[|sup{20m M y f x x y y ≠∈=β

【训练题14】证明：若一簇开区间}{αI 覆盖闭区间[0,1]，则必存在一正数0>δ，使得[0,1]中的任意两点'','x x ，满足δ<-|'''|x x 时，必属于某一个}{αβI I ∈。浙江大学2004年硕士研究生入学考试数学分析试题.

【提示及点评】 利用有限覆盖定理证明.

【训练题15】利用闭区间套定理证明数列柯西收敛准则.中国矿业大学2003硕士研究生2003入学考试数学分析试题.

【训练题16】设f 在区间I 上有界，记 )(inf ),(sup x f m x f M I

x I

x ∈∈==，证明：

m M x f x f I

x x -=-∈|)''()'(|sup '','

【提示及点评】 直接利用上、下确界来证明.

【训练题17】证明：对于x 和y 的一切正值满足方程

)()()(y f x f xy f +=

的惟一不恒等于0的连续函数)0)((+∞<

x x f a log )(= 式中a 为正的常数

【提示及点评】先证明存在一个a>0,使得1)(=a f

作一辅助函数 )()(x

a f x F =，利用前一个部分的例9，证明得到

x x a f x F x F ===)()1()(.

【训练题18】证明：对于x 和y 的一切正值满足方程 )()()(y f x f xy f =

的惟一不恒等于0的连续函数)0)((+∞<

a x x f =)( 式中a 为正的常数

【提示及点评】 作一辅助函数 )()(x

e f x F =，利用前一个部分的例10，证明得到

x b x F =)(，最后变形就可以得到所要证明的结论.

【训练题19】设}{n x 为单调数列.证明：若}{n x 存在聚点，则必是唯一的，且为}{n x 的确界.

【提示及点评】利用聚点与确界的定义.

【训练题20】证明：在(a,b)上的连续函数f 为一致连续的充要条件是)0(+a f 与

)0(-b f 都存在.

【提示及点评】证明必要性时，利用柯西收敛准则.

人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点

高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

必修一第一章集合与函数概念同步练习(含答案)

第一章 集合与函数概念同步练习 1.1.1 集合的含义与表示 一. 选择题： 1.下列对象不能组成集合的是（ ） A.小于100的自然数 B.大熊猫自然保护区 C.立方体内若干点的全体 D.抛物线2x y =上所有的点 2.下列关系正确的是（ ） A.N 与+Z 里的元素都一样 B.},,{},,{c a b c b a 与为两个不同的集合 C.由方程0)1(2=-x x 的根构成的集合为}1,1,0{ D.数集Q 为无限集 3.下列说法不正确的是（ ） A.*0N ∈ B.Z ?1.0 C.N ∈0 D.Q ∈2 4.方程???-=-=+3 212y x y x 的解集是（ ） A.}1,1{- B.)1,1(- C.)}1,1{(- D.1,1- 二.填空题： 5.不大于6的自然数组成的集合用列举法表示______________. 6.试用适当的方式表示被3除余2的自然数的集合____________. 7.已知集合}7,3,2,0{=M ，由M 中任取两个元素相乘得到的积组成的集合为 ________. 8.已知集合}012{2=++∈=x ax R x M 只含有一个元素，则实数=a ______,若M 为空集,可a 的取值范围为_________. 三.解答题： 9.代数式}{)8(2x x x ∈-- ，求实数x 的值。 10.设集合A=},,2),{(N y x x y y x ∈+-=，试用列举法表示该集合。 11.已知}33,2{12+++∈x x x 试求实数x 的值。

1.1.2 集合的含义与表示 一. 选择题： 1.集合Φ与}0{的关系，下列表达正确的是（ ） A.φ=}0{ B.φ?}0{ C.}0{∈φ D.φ}0{? 2.已知集合A=}3,2,1{，则下列可以作为A 的子集的是（ ） A.}4,1{ B.}3,2{ C.}4,2{ D.}4,3,1{ 3.集合},,{c b a 的非空真子集个数是（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 4.已知集合M={正方形}，N={菱形}，则（ ） A.N M = B.N M ∈ C.M ≠?N D.N ≠?M 二.填空题 5.用适当的符号填空 ① },2_____{0Z n n x x ∈= ② }_____{ 1质数 ③ },,_____{}{c b a a ④ }0))((_____{},{=--b x a x x b a ⑤},12______{},14{++∈+=∈+=N k k x x N k k x x 6.写出集合}1{2=x x 的所有子集_______________________ 7.设集合}{},63{a x x B x x A <=≤<-=，且满足A ≠?,B 则实数a 的取值范围是_________ 三.解答题 8.已知集合B 满足}2,1{≠?B ?}5,4,3,2,1{，试写出所有这样的集合 9.已知}5{>=x x A ，}3{x x B <=，试判断A 与B 的关系 10.已知A=}3,4,1{},2,1{a B a =+，且B A ?，求a 的值

高中数学必修一《集合与函数的概念》经典例题

高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测 试题试题整理：周俞江 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正 确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题, 每小题5分，共60分）. 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ，则=B A I ( ) A. }{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2. 若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<，则A Y B=( ) A ． {}|0x x ≤ B ．{}|2x x ≥ C ．{0x ≤≤ D ．{}|02x x << 3 .在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ） A.x x y y ==,1 B ．1,112-=+?-=x y x x y C.55 ,x y x y == D ．2)(|,|x y x y == 4.函数x x x y +=的图象是（ ） 5.0≤f 不是映射的是A ．1:3f x y x ?? →= B ．1 :2 f x y x ??→= C ．1:4f x y x ??→= D ．1:6f x y x ??→= 6.函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数，则k 的范围是（ ） A ．2-≥k B ．2-≤k C ．2->k D ．2-

9.有下面四个命题： ①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称； ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )． 其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 11.若函数))(12()(a x x x x f -+= 为奇函数，则=a ( ) A.21 B.32 C.43 D.1 12.已知函数x x x x f 22 11)11(+-=+-，则函数)(x f 的解析式可以是（ ） A.x x 21+ B.x x 212+- C.x x 212+ D.x x 21+- 13.二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1) 14.已知函数[](]?????∈--∈-=5,2,32,13)(,2x x x x f x 则方程1)(=x f 的解是（ ） A.2或2 B.2或3 C.2或4 D.±2或4 15.函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则()f x 在),(b a 上是 A ．增函数 B ．减函数

陕西省高中数学人教新课标A版必修1第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值

陕西省高中数学人教新课标A版必修1 第一章集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大 （小）值 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共15题；共30分) 1. （2分） (2019高一上·宁乡期中) 若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则二次函数 的图像只可能是（） A . B . C . D . 2. （2分）已知y=f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，与g（x）图象关于x=1对称，当x∈[2，3]时，g （x）=2a（x﹣2）﹣3（x﹣2）2 ， a为常数，若f（x）的最大值为12，则a=（） A . 3 B . 6 C . 6或 D .

3. （2分） (2019高一上·兰州期中) 已知函数（是常数，且）在区间 上有最大值3，最小值，则的值是（） A . B . C . D . 4. （2分）下列函数中，是偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减的是（） A . y=﹣3|x| B . y= C . y=log3x2 D . y=x﹣x2 5. （2分）已知f(x)是定义在上的非负可导函数,且满足.对任意正数a,b,若a

C . D . 7. （2分）已知函数f（x）=在R上单调递增，则实数a的取值范围是（） A . 0＜a≤3 B . a≥2 C . 2≤a≤3 D . 0＜a≤2或a≥3 8. （2分）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，则（） A . B . C . D . 9. （2分） (2016高一上·杭州期中) 下列函数中，值域为（0，+∞）的是（） A . y= B . C . D . y=x2+x+1 10. （2分） (2019高一上·杭州期中) 下列函数中,既是偶函数,又在上单调递增的是（） A .

高一数学必修一集合与函数的概念单元测试题附答案解析

高一数学必修一集合与函数的概念单元测试题 附答案解析 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT

高一数学必修一 集合与函数的概念单元测试 附答案解析 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝( ) A ．{0} B ．{0,2} C ．{－2,0} D ．{－2,0,2} 2．设f ：x →|x |是集合A 到集合B 的映射，若A ＝{－2,0,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{2} C ．{0,2} D ．{－2,0} 3．f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点在函数f (x )图象上的是( ) A ．(3，－2) B ．(3,2) C ．(－3，－2) D ．(2，－3) 4．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 5．若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝9x ＋8 B ．f (x )＝3x ＋2 C ．f (x )＝－3x －4 D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4 6．设f (x )＝??? x ＋3 x >10， fx ＋5 x ≤10，则f (5)的值为( ) A ．16 B ．18 C ．21 D ．24 7．设T ＝{(x ，y )|ax ＋y －3＝0}，S ＝{(x ，y )|x －y －b ＝0}，若S ∩T ＝{(2,1)}，则 a ， b 的值为( ) A ．a ＝1，b ＝－1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝1 D ．a ＝－1，b ＝－1 8．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) C ．(－1,0) 9．已知A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f 是从A 到B 映射的对应关系，则满足f (0)>f (1)的映射有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－ x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0，则当n ∈N *时，有( ) A ．f (－n )

(浙江专用)高中数学第一章集合与函数概念新人教版必修1

【创新设计】（浙江专用）2016-2017学年高中数学 第一章 集合与函数概念 新人教版必修1 1.1 集 合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义 目标定位 1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，集合相等的含义.2.理解集合中 元素的三个特性，掌握常用数集的表示符号并会识别应用. 自 主 预 习 1.元素与集合的相关概念 . 统称为元素研究对象我们把，元素：一般地(1) . 组成的总体叫做集合一些元素把集合：(2) . 、无序性互异性、确定性集合中元素的三个特性：(3) . 我们称这两个集合是相等的，一样的集合的相等：构成两集合的元素是(4) 2.元素与集合的表示 . 表示集合中的元素…，c ，b ，a 元素的表示：通常用小写拉丁字母(1) . 表示集合…，C ，B ，A 集合的表示：通常用大写拉丁字母(2) 3.元素与集合的关系 .A ∈a 记作，A 属于集合a 就说，的元素A 是集合a ：如果”属于(1)“ . A ?a 记作，A 不属于集合a 就说，的元素A 不是集合a ：如果”不属于(2)“ 4.常用数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N * 或 N ＋ Z Q R 即 时 自 测 1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)期末考试成绩出来了，我们班的数学成绩较好的在120分以上的同学组成一个集合.( ) (2)一个集合可以表示成{a ，a ，b ，c ，}.( ) (3)若集合A 是由元素1，2，3，4，5，6所组成的集合，则－1和0都不是集合A 中的元素.( ) 提示 (1)“120分以上”是明确的标准，所以“120分以上的同学”能组成集合.正确. (2)集合中的元素是互不相同的，任何两个相同的对象归入同一个集合中，只能算作这个集合的一个元素.错 误. (3)集合中A 只有元素1，2，3，4，5，6，没有－1和0.正确. 答案 (1)√ (2)× (3)√ 2.下列各组对象：①高中数学中所有难题；②所有偶数；③平面上到定点O 距离等于5的点的全体；④全体 著名的数学家.其中能构成集合的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ②、③中的元素是确定的，能够构成集合，其余的都不能构成集合.

高中数学第一章集合与函数概念1.1.1.1集合的含义练习(含解析)新人教A版必修1

高中数学第一章集合与函数概念1.1.1.1集合的含义练习（含解 析）新人教A 版必修1 知识点一 集合的概念 1.下列对象能组成集合的是( ) A ．中央电视台著名节目主持人 B ．我市跑得快的汽车 C ．上海市所有的中学生 D ．香港的高楼 答案 C 解析 对A ，“著名”无明确标准；对B ，“快”的标准不确定；对D ，“高”的标准不确定，因而A ，B ，D 均不能组成集合．而对C ，上海市的中学生是确定的，能组成集合． 2．由实数－a ，a ，|a |，a 2 所组成的集合最多含有的元素个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B 解析 当a ＝0时，四个数都是0，组成的集合只有一个数0，当a ≠0时，a 2 ＝|a |＝ ? ?? ?? a a >0，－a a ＜0，所以组成集合中有两个元素，故选B. 知识点二 元素与集合的关系 3.给出下列关系式：2∈R,0.3∈Q,0?N,0∈N * ，2∈N *，－π?Z .其中正确的有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 答案 A 解析 正确的有2∈R,0.3∈Q ，－π?Z . 4．已知集合A 中元素满足2x ＋a ＞0，a ∈R ，若1?A ，2∈A ，则( ) A ．a ＞－4 B ．a ≤－2 C ．－4＜a ＜－2 D ．－4＜a ≤－2

答案 D 解析 ∵1?A ，∴2×1＋a ≤0，a ≤－2. 又∵2∈A ，∴2×2＋a ＞0，a ＞－4， ∴－4＜a ≤－2. 知识点三 集合中元素特性的应用 2 ＝B ，求实数c 的值． 解 分两种情况进行讨论． ①若a ＋b ＝ac ，a ＋2b ＝ac 2 ，消去b ，得a ＋ac 2 －2ac ＝0. 当a ＝0时，集合B 中的三个元素均为0，与集合中元素的互异性矛盾，故a ≠0.所以c 2 －2c ＋1＝0，即c ＝1，但c ＝1时，B 中的三个元素相同，不符合题意． ②若a ＋b ＝ac 2 ，a ＋2b ＝ac ，消去b ，得2ac 2 －ac －a ＝0. 由①知a ≠0，所以2c 2 －c －1＝0，即(c －1)(2c ＋1)＝0. 解得c ＝－12或c ＝1(舍去)，当c ＝－1 2时， 经验证，符合题意． 综上所述，c ＝－1 2 . 易错点 忽视集合中元素的互异性致误 易错分析 本题产生错误的原因是没有注意到字母a 的取值带有不确定性而得到错误答案两个元素．事实上，当a ＝1时，不满足集合中元素的互异性． 正解 x 2－(a ＋1)x ＋a ＝(x －a )(x －1)＝0，所以方程的解为x 1＝1，x 2＝a . 若a ＝1，则方程的解集中只含有一个元素1；若a ≠1，则方程的解集中含有两个元素1， a .

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高中数学必修一集合与函数知识点 高中数学必修一集合与函数知识点归纳 集合是具有某种特定性质的事物的总体。这里的事物可以是人，物品，也可以是数学元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：紧急～。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的～。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托(Cantor，G.F.P.，1845年1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。 集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下定义。 集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素(或简称为元)。 元素与集合的关系 元素与集合的关系有属于与不属于两种。 集合与集合之间的关系 某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。『说明一下：如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则A称作是B的子集，写作A?B。若A是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子集，一般写作A?B。中学教材课本里将?符号下加了一个符号(如右图)，不要混淆，考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』

集合的几种运算法则 并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B 的并(集)，记作A B(或B A)，读作A并B (或B并A )，即A B={x|x A，或x B}交集：以属于A且属于B的元差集表示 素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A B(或B A)，读作A交B (或B交A )，即A B={x|x A，且x B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。那么因为A和B中都有1，5，所以A B={1，5}。再来看看，他们两个中含有1，2，3，5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说A B={1，2，3，5}。图中的阴影部分就是A B。有趣的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是3，5，7每项减集合 1再相乘。48个。对称差集：设A，B为集合，A与B的对称差集A?B定义为：A?B=(A-B) (B-A)例如：A={a，b，c}，B={b，d}，则A?B={a，c，d}对称差运算的另一种定义是：A?B=(A B)-(A B)无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集：令N*是正整数的全体，且N_n={1，2，3，，n}，如果存在一个正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A 叫做有限集合。差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差(集)。记作：A\B={x│x A，x不属于B}。注：空集包含于任何集合，但不能说空集属于任何集合.补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x U，且x不属于A}空集也被认为是有限集合。例如，全集U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。CuA={3，4}。在信息技术当中，常常把CuA写成~A。 集合元素的性质 1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如个子高的同学很小的数都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。 2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。 3.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成

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新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只冇一项是符合题冃要求的，请把止确答案的代 号 填在题后的括号内(每小题5分，共50分)。 用描述法表示一元二次方程的全体，应是 A. {x I aj3+bx+c=O f a, b, c€R} B. (x I flx 1 2 3+/?x+c=0, a, b, c^R, 一FL Q HO} C. {ax 2+bx+c=O la, b, cGR} D. {ax 2-^-bx+c=O I d, b, cWR ，且 aHO} 图中阴影部分所表示的集合是( ) A.BA [Cu(AUC)] B.(AUB) U(BUC) C.(AUC )n (CuB) D. [Cu(ACC)] UB 1 f(x)=』x_ 2 + J1 —兀启意义; 2 函数是其定义域到值域的映射； 3 函数y=2x(xwN)的图象是一直线; 1. 2. 3. 4. 设集合P 二{立方后等于白身的数},那么集合P 的真子集个数是 A. 3 B. 4 C. 7 设P 二{质数} , Q= {偶数},贝1JPPQ 等于 A. B. 2 C. {2} D. 8 D. N

设函数y= ------- 的定义域为M,值域为N,那么 1 + - x 5. 6. 7. 8. A. B. M= M= {x I 兀工0} , N= {y I yHO} {x I x0}，N={y I y<0,或0Vyl} {x I xH()} , N= {y I )€R} {x I x<-l,或一1<兀<(),或x>()=, N= {ylyHO} C. D. 已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地， M= M= B 地停留1小时后再以50 T 米/小时的速度返冋A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示 为时间t (小时)的函数表达式是 A. x=60/ C. x= 60r,(03.5) 已知g(x)=l ?2x 恥)]=— x 2 兀厂 A- 1 B. 3 函数 y=71-X 2 + 1 + X A.奇函数 B ?偶函数 下列四 个命题 B. x=60/+50/ 6()Z,(0

必修一数学第一章集合与函数概念知识点总结

必修一数学第一章集合与函数概念知识点总结 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P ,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆ 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1） 列举法：{a,b,c ……} 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x ∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn 图: 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x 2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A B 或B A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 ◆ 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n-1个真子集 B A ?? /?/

必修一第一章集合及函数概念同步练习(含答案)

（ 第一章 集合与函数概念同步练习 1.1.1 集合的含义与表示 一. 选择题： 1.下列对象不能组成集合的是（ ） A.小于100的自然数 B.大熊猫自然保护区 C.立方体内若干点的全体 D.抛物线2x y =上所有的点 2.下列关系正确的是（ ） 与+Z 里的元素都一样 B.},,{},,{c a b c b a 与为两个不同的集合 : C.由方程0)1(2=-x x 的根构成的集合为}1,1,0{ D.数集Q 为无限集 3.下列说法不正确的是（ ） A.*0N ∈ B.Z ?1.0 C.N ∈0 D.Q ∈2 4.方程???-=-=+3 212y x y x 的解集是（ ） A.}1,1{- B.)1,1(- C.)}1,1{(- D.1,1- 二.填空题： 5.不大于6的自然数组成的集合用列举法表示______________. 6.试用适当的方式表示被3除余2的自然数的集合____________. > 7.已知集合}7,3,2,0{=M ，由M 中任取两个元素相乘得到的积组成的集合为 ________. 8.已知集合}012{2=++∈=x ax R x M 只含有一个元素，则实数=a ______,若M 为空集,可a 的取值范围为_________. 三.解答题： 9.代数式}{)8(2x x x ∈-- ，求实数x 的值。

10.设集合A=},,2),{(N y x x y y x ∈+-=，试用列举法表示该集合。 11.已知}33,2{12+++∈x x x 试求实数x 的值。

1.1.2 集合的含义与表示 一. 选择题： | 1.集合Φ与}0{的关系，下列表达正确的是（ ） A.φ=}0{ B.φ?}0{ C.}0{∈φ D.φ}0{? 2.已知集合A=}3,2,1{，则下列可以作为A 的子集的是（ ） A.}4,1{ B.}3,2{ C.}4,2{ D.}4,3,1{ 3.集合},,{c b a 的非空真子集个数是（ ） 4.已知集合M={正方形}，N={菱形}，则（ ） A.N M = B.N M ∈ C.M ≠?N D.N ≠?M & 二.填空题 5.用适当的符号填空 ① },2_____{0Z n n x x ∈= ② }_____{1质数 ③ },,_____{}{c b a a ④ }0))((_____{},{=--b x a x x b a ⑤},12______{},14{++∈+=∈+=N k k x x N k k x x 6.写出集合}1{2=x x 的所有子集_______________________ 7.设集合}{},63{a x x B x x A <=≤<-=，且满足A ≠?,B 则实数a 的取值范围是_________ 三.解答题 ） 8.已知集合B 满足}2,1{≠?B ?}5,4,3,2,1{，试写出所有这样的集合 9.已知}5{>=x x A ，}3{x x B <=，试判断A 与B 的关系

高一数学必修一集合与函数的概念

高一数学必修一集合与函数的概念 第一章集合与函数概念 一：集合的含义与表示 1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们 能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 2、集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确 定的：属于或不属于。 (2)元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 (3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 3、集合的表示：{…} (1)用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……} b、描述法： ①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {xR|x-3>2},{x|x-3>2} ②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： (1)有限集：含有有限个元素的集合 (2)无限集：含有无限个元素的集合 (3)空集：不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系： (1)元素在集合里，则元素属于集合，即：aA (2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A 注意：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 6、集合间的基本关系 (1).“包含”关系(1)—子集 定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：(或BA) 注意：有两种可能(1)A是B的一部分; (2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA (2).“包含”关系(2)—真子集

人教版高中数学必修1 集合与函数概念 教学设计

人教版高中数学必修1 集合与函数概念教学设计 一、教材分析 集合语言是现代数学的基本语言使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些内容本章中只将集合作为一种语言来学习学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象发展运用数学语言进行交流的能力函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变思维从静止走向了运动、从运算转向了关系函数是高中数学的核心内容是高中数学课程的一个基本主线，有了这条主线就可以把数学知识编织在一起这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些函数与不等式、数列、导数、立体、解析、算法、概率、选修中的很多专题内容有着密切的联系用函数的思想去理解这些内容是非常重要的出发点，反过来通过这些内容的学习加深了对函数思想的认识函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终高中数学课程中函数有许多下位知识，如必修1第二章的幂、指、对函数数在必修四将学习三角函数函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。 二、学情分析 1学生的作业与试卷部分缺失导致易错问题分析不全面通过布置易错点分析的任务让学生意识到保留资料的重要性。 2学生学基本功较扎实学习态度较端正有一定的自主学习能力但是没有养成及时复习的习惯有些内容已经淡忘通过自主梳理知识让学生感受复习的必要性培养学生良好的复习习惯. 三、设计思路 本节课新课中渗透的理念是“强调过程教学启发思维调动学生学习数学的积极性”在本节课的学习过程中教师没有把梳理好的知识展示给学生而是让学生自己进行知识的梳理一方让学生体会到知识网络化的必要性另一方面希望学生养成知识梳理的习惯在本节课中不断提出问题采取问题驱动引导学生积极思考让学生全面参与整个教学过程尊重学生的思维方式引导学生在“最近发展区”发现问题、解决问题通过自主分析、交流合作从而进行有机建构解决问题改变学生模仿式的学习方式在教学过程中渗透了特殊到一般的思想、数形结合思想、函数与方程思想在教学过程中通过恰当的应用信息技术从而突破难点。 四、教学目标分析 (一)知识与技能 1了解集合的含义与表示理解集合间的基本关系集合的基本运算 A能从集合间的运算分析出集合的基本关系 B对于分类讨论问题能区分取交还是取并。 2理解函数的定义掌握函数的基本性质会运用函数的图象理解和研究函数的性质 A会用定义证明函数的单调性、奇偶性 B会分析函数的单调性、奇偶性、对称性的关系 (二)过程与方法 1通过学生自主知识梳理了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学

新课标高一数学必修1第一章集合与函数概念单元测试题 5

中江中学校集合与函数测试题 一、选择题 1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2． 设集合{}|43A x x =-<<，{}|2B x x =≤，则A B = （ ） A ．(4,3)- B ．(4,2]- C ．(,2]-∞ D ．(,3)-∞ 3．已知()5412-+=-x x x f ，则()x f 的表达式是（ ） A ．x x 62+ B ．782++x x C ．322-+x x D ．1062-+x x 4．下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：22x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5．下列四个函数：①3y x =-；②21 1y x =+；③2210y x x =+-；④(0) 1 (0) x x y x x ?-≤?=?- >??. 其中值域为R 的函数有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6． 已知函数212x y x ?+=?-? (0) (0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或52 - C ． 2或-2 D ．2或-2或52 - 7．下列函数中，定义域为[0，∞）的函数是 （ ） A ．x y = B ．2 2x y -= C ．13+=x y D ．2 )1(-=x y 8．若R y x ∈,，且)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f （ ） A ． 0)0(=f 且)(x f 为奇函数 B ．0)0(=f 且)(x f 为偶函数 C ．)(x f 为增函数且为奇函数 D ．)(x f 为增函数且为偶函数

高中数学：第一章 集合与函数的概念 1.2.1

1．2.1集合之间的关系 学习目标 1.理解子集、真子集的概念. 2.理解集合相等并能用符号和Venn图表达集合间的关系. 3.掌握列举有限集的所有子集的方法．

知识点一子集与真子集 思考1如果把“马”和“白马”视为两个集合，则这两个集合中的元素有什么关系？ 答案所有的白马都是马，马不一定是白马． 思考2我们知道集合A是它本身的子集，那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集？答案用真子集． 梳理 1.子集与真子集 2.子集的性质 (1)规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有??A. (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即A?A. (3)如果A?B，B?C，则A?C. (4)如果A?B，B?C，则A?C. 知识点二集合的相等 思考“中国的直辖市”构成的集合记为A，由北京、上海、天津、重庆四个城市构成的集

合记为B，请问集合A与集合B的元素有什么关系？你认为集合A与集合B有什么关系？答案A中的元素与B中的元素完全相同，A与B相等． 梳理集合的相等 知识点三集合关系与其特征性质之间的关系 1．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A?B，则x∈A?x∈B，于是x具有性质p(x)?x具有性质q(x)，即p(x)?q(x)． 反之，如果p(x)?q(x)，则A一定是B的子集，其中符号“?”是“推出”的意思． 2．如果命题“p(x)?q(x)”和命题“q(x)?p(x)”，都是正确的命题，这时我们常说，一个命题的条件和结论可以互相推出，互相推出可用符号“?”表示，于是，上述两个正确的互逆命题可表示为p(x)?q(x)，显然，如果p(x)?q(x)，则A＝B；反之，如果A＝B，则p(x)?q(x)． 类型一集合间关系的判断 命题角度1概念间的包含关系 例1设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为() A．P?N?M?Q B．Q?M?N?P

必修1第一章集合与函数概念

必修1第一章集合与函数概念 知识归纳 一、集合有关概念 1.集合的中元素的三个特性：确定性、元素的互异性、无序性。 2.关于“属于”的概念：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集合A 记作 a A 3.集合的表示：用拉丁字母表示集合：集合的表示方法：列举法与描述法。 4.数集：自然数集N ；正整数集N*或 N+；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R. 5.集合的表示法：（1）列举法：{a ,b,c……}；（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法；（3）语言描述法；（4）Venn 图。 6.集合的分类：有限集（含有有限个元素的集合）、无限集（含有无限个元素的集合）、空集（不含任何元素的集合）。 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集：B A ?有两种可能（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。 2．“相等”关系：“元素相同则两集合相等” 注：① 任何一个集合是它本身的子集（A A ）；②真子集:如果A B,且A B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A)； ③如果 A B, B C ,那么 A C ；④ 如果A B 同时 B A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n -1个真子集 三、集合的运算 交集A B （读作‘A 交B’），即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝； 并集A B （读作‘A 并B’），即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})； 全集U 中子集A 的补集记作A C U ，即C U A=},|{A x U x x ?∈且. 二、构成函数的三要素（定义域、对应关系和值域）：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，称这两个函数相等（或为同一函数）；（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合；(6)指数为零底不可以等于零；(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 2．值域： 先考虑其定义:(1)观察法 (2)配方法(3)代换法 值域补充:（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，求函数的值域都应先考虑其定义域. （2）应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，是求解复杂函数值域的基础。 3.函数的解析表达式：（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

高中数学第一章集合与函数测试题及答案

高中数学第一章集合与函数测试题 年级 姓名 （一）集合 1、集合{|22},{|13}A x x B x x =-<<=-<≤，那么A B = （ ） A 、{|23}x x -<< B 、{|12}x x <≤ C 、{|21}x x -<≤ D 、 {|23}x x << 2、集合{|12},{|13}A x x B x x =-<<=<<，那么A B = （ ） A 、 B 、{|11}x x -<< C 、{|12}x x << D 、 {|23}x x << 3、若集合{1,0,1,2},{|(1)0}M N x x x =-=-=，则M N = （ ） A 、 {1,0,1,2}- B 、{0,1,2} C 、{1,0,1}- D 、{0,1} 4、 满足条件{1}{1,2,3}M = 的集合M 的个数是 （ ） A 、4 B 、3 C 、2 D 、1 5、设全集{,,,,}I a b c d e =，集合{,,},{,,}M a b c N b d e ==，那么I I M N 痧是（ ） A 、? B 、{}d C 、{,}a c D 、 {,}b e 6、设集合{|101},{|5}A x Z x B x Z x =∈--=∈≤≤≤，则A B 中元素的个数是（ ） A 、11 B 、10 C 、16 D 、15

7、已知全集{1,2,3,4,5,6,7},{3,4,5},{1,3,6}U M N ===，则集合{2,7}等于（ ） A 、M N B 、U U M N 痧 C 、U U M N 痧 D 、 M N 8、如果集合{}1->=x x P ，那么 （ ） A 、P ?0 B 、{}P ∈0 C 、P ∈? D 、 {}P ?0 9、设全集{,,,}U a b c d =，集合{,,},{,}M a c d N b d ==，则()U M N = e（ ） A 、{ b } B 、{ d } C 、{ a, c } D 、{b, d } 10、设全集{}6,5,4,3,2,1=U ，集合{}{}5,4,2,,3,2,1==B A ，则()U A B 等于e（ ） A 、{}2 B 、{}6 C 、{}6543,1，，， D 、 {}5,431，， 11、设全集{1,2,3,4,5,6,7}S =，集合{1,3,5,7}A =，集合{3,5}B =，则 ( ) A 、 B A S = B 、()S S A B = e C 、()S S A B = e D 、 ()()S S S A B = 痧 12、已知集合{1,2,3,4}A =，那么A 的真子集的个数是（ ） A 、15 B 、16 C 、3 D 、4 13、已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N 为（ ）