第四章 弹性杆横截面上的切应力分析
§4-3梁横力弯曲时横截面上的切应力
梁受横弯曲时,虽然横截面上既有正应力 σ,又有切应力 τ。但一般情况下,切应力对梁的强度与变形的影响属于次要因素,因此对由剪力引起的切应力,不再用变形、物理与静力关系进行推导,而就是在承认正应力公式(6-2)仍然适用的基础上,假定剪应力在横截面上的分布规律,然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。
1.矩形截面梁
对于图4-15所示的矩形截面梁,横截面上作用剪力F Q 。现分析距中性轴z 为y 的横线1aa 上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理,横线1aa 两端的剪应力必与截面两侧边相切,即与剪力F Q 的方向一致。由于对称的关系,横线1aa 中点处的剪应力也必与F Q 的方向相同。根据这三点剪应力的方向,可以设想1aa 线上各点切应力的方向皆平行于剪力F Q 。又因截面高度h 大于宽度b,切应力的数值沿横线1aa 不可能有太大变化,可以认为就是均匀分布的。基于上述分析,可作如下假设:
1)横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪hj 力F Q 。
2)切应力沿截面宽度均匀分布。
基于上述假定得到的解,与精确解相比有足够的精确度。从图4-16a 的横弯梁中截出dx 微段,其左右截面上的内力如图4-16b 所示。梁的横截面尺寸如图4-16c 所示,现欲求距中性轴z 为y 的横线1aa 处的切应力 τ。过1aa 用平行于中性层的纵截面11cc aa 自dx 微段中截出一微块(图4-16d)。根据切应力成对定理,微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力 τ'。微块左右侧面上正应力的合力分别为1N 与2N ,其中
图4-16
图4-15
*1I 1**z z A z A S I M dA I My dA N ==
=??σ (4-29) *1II 2)()(**z z A
z A S I dM M dA I y dM M dA N +=+=
=??σ (4-30) 式中,*A 为微块的侧面面积,)(
II I σσ为面积*A 中距中性轴为 1y 处的正应力,?=*1*
A z dA y S 。 由微块沿x 方向的平衡条件∑=0x ,得
021='-+-dx b N N τ (4-31)
将式(4-29)与式(4-30)代入式(4-31),得
0*='-bdx S I dM z z
τ 故 z
z bI S dx dM *='τ 因ττ='=,Q F dx
dM ,故求得横截面上距中性轴为 y 处横线上各点的剪应力τ为 z z
Q bI S F *=τ (4-32)
式(4-32)也适用于其它截面形式的梁。式中,Q F 为截面上的剪力; z I 为整个截面对中性
轴z 的惯性矩;b 为横截面在所求应力点处的宽度;*y S 为面积*A 对中性轴的静矩。
对于矩形截面梁(图4-17),可取1bdy dA =,于就是
)4
(2222111*y h b dy by dA y S h y A z -===?? 这样,式(4-32)可写成
)4
(222
y h I F z Q -=τ 上式表明,沿截面高度剪应力 τ按抛物线规律变化(图4-17)。
在截面上、下边缘处,y=±
2
h ,τ=0;在中性轴上,y=0,切应力值最大,其值为 A
F Q 23max =τ (4-33) 图4-17
式中A =bh ,即矩形截面梁的最大切应力就是其平均剪应力的23倍。 2.圆形截面梁 在圆形截面上(图4-18),任一平行于中性轴的横线aa 1两端
处,剪应力的方向必切于圆周,并相交于y 轴上的c 点。因此,横线
上各点剪应力方向就是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方
向皆平行于剪力F Q ,设为均匀分布,其值为最大。由式(4-32)求得
A Q 34max =
τ (4-34) 式中24d A π=
,即圆截面的最大切应力为其平均切应力的34
倍。
3.工字形截面梁
工字形截面梁由腹板与翼缘组成。式(4-32)的计算结果表明,在翼缘上切应力很小,在腹板上切应力沿腹板高度按抛物线规律变化,如图4-19所示。最大剪应力在中性轴上,其值为
Z z Q dI S F max max )(*=
τ 式中(S *z )m ax 为中性轴一侧截面面积对中性轴的
静矩。对于轧制的工字钢,式中的
max *)(z z S I 可
以从型钢表中查得。 计算结果表明,腹板承担的剪力约为(0、
95~0、97)F Q ,因此也可用下式计算τ
m ax 的近似
值 d h F Q
1max ≈τ
式中h 1为腹板的高度,d 为腹板的宽度。
图4-18 图4-19