9.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数,且对任意的实数x 、y R ∈,都有
()()()f x f y f x y ?=+,若112
a =
,()()
*
n a f n n N =∈,则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足( ) A .
1324
n S ≤< B .
3
14
n S ≤< C .102
n S <≤
D .
1
12
n S ≤< 10.已知数列2
65n a n n =-+则该数列中最小项的序号是( )
A .3
B .4
C .5
D .6
11.在数列{}n a 中,已知13a =,26a =,且21n n n a a a ++=-,则2020a =( ) A .-6 B .6 C .-3
D .3
12.在数列{}n a 中,2
1
n n a n +=+,则{}n a ( ) A .是常数列
B .不是单调数列
C .是递增数列
D .是递减数列
13.正整数的排列规则如图所示,其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ,例如4,39a =,则
645a ,等于( )
123
456
78910
A .2019
B .2020
C .2021
D .2022
14.大衍数列,来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两翼数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,……则此数列的第40项为( ). A .648
B .722
C .800
D .882
15.历史上数列的发展,折射出很多有价值的数学思想方法,对时代的进步起了重要的作用,比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233……即F (1)=F (2)=1,F (n )=F (n -1)+F (n -2),(
)*
3n n N
≥∈,,此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用,
若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ,则b 2020=( ) A .3
B .2
C .1
D .0
16.已知数列{}n a 满足1N a *
∈,1,2+3,n
n n n n a a a a a +??=???为偶数为奇数
,若{}n a 为周期数列,则1a 的
可能取到的数值有( ) A .4个
B .5个
C .6个
D .无数个
17.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…即()()121F F ==,()()()12F n F n F n =-+- (3n ≥,
n *∈N ),此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用,若此数列的每一项被2除
后的余数构成一个新数列{}n a ,则数列{}n a 的前2020项的和为( ) A .1348
B .1358
C .1347
D .1357
18.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…满足21(1),n n n a a a n ++=+≥那么
24620201a a a a ++++
+=( )
A .2021a
B .2022a
C .2023a
D .2024a
19.已知数列{}n a 满足12n n a a n +=+,且133a =,则n
a n
的最小值为( ) A .21
B .10
C .
212 D .
172
20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若*1
n S n N n =∈,,则2a =( ) A .12
-
B .16
-
C .
16
D .
12
二、多选题
21.已知数列0,2,0,2,0,2,
,则前六项适合的通项公式为( )
A .1(1)n
n a =+-
B .2cos
2
n n a π= C .(1)2sin
2
n n a π
+= D .1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--
22.若数列{}n a 满足112,02
121,1
2
n n n n n a a a a a +?
≤≤??=??-<?,135a =,则数列{}n a 中的项的值可能为
( ) A .
1
5
B .
25
C .
45
D .
65
23.斐波那契数列,又称黄金分割数列、兔子数列,是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,此数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记该数列为(){}
F n ,则(){}
F n 的通项公式为( )
A .(1)1()2
n n F n -+=
B .()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==
C .(
)1122n n
F n ????+-?=- ?????? D .(
)1122n n F n ?????=+ ??????
24.(多选)在数列{}n a 中,若2
2
1(2,,n n a a p n n N p *
--=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方
差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .
(){}1n
- 是等方差数列
C .{}2
n
是等方差数列.
D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列 25.在等差数列{}n a 中,公差0d ≠,前n 项和为n S ,则( ) A .4619a a a a >
B .130S >,140S <,则78a a >
C .若915S S =,则n S 中的最大值是12S
D .若2
n S n n a =-+,则0a =
26.已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,57S S =,则( ) A .60a > B .6S 最大 C .130S > D .110S >
27.已知数列{}2
n
n a n +是首项为1,公差为d 的等差数列,则下列判断正确的是( ) A .a 1=3 B .若d =1,则a n =n 2+2n C .a 2可能为6
D .a 1,a 2,a 3可能成等差数列
28.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15
11
0,20,a a a 则( )
A .80a <
B .当且仅当n = 7时,n S 取得最大值
C .49S S =
D .满足0n S >的n 的最大值为12
29.已知等差数列{}n a 的公差不为0,其前n 项和为n S ,且12a 、8S 、9S 成等差数列,则下列四个选项中正确的有( ) A .59823a a S +=
B .27S S =
C .5S 最小
D .50a =
30.公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =,n S 为{}n a 前n 项和,则下列结论正确的
是( ) A .110S =
B .10n n S S -=(110n ≤≤)
C .当110S >时,5n S S ≥
D .当110S <时,5n S S ≥
31.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d > B .70a =
C .95S S >
D .6S 与7S 均为n S 的最大值
32.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,且32019
11
111
a a e e +≤++,则( ) A .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≥ B .当数列{}n a 为等差数列时,20210S ≤ C .当数列{}n a 为等比数列时,20210T > D .当数列{}n a 为等比数列时,20210T <
33.数列{}n a 满足11,121
n
n n a a a a +=
=+,则下列说法正确的是( ) A .数列1n a ??
????
是等差数列
B .数列1n a ??????
的前n 项和2
n S n =
C .数列{}n a 的通项公式为21n a n =-
D .数列{}n a 为递减数列
34.已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S ,且13623a a S +=,则以下结论正确的是( ). A .10a =0
B .10S 最小
C .712S S =
D .190S =
35.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差为d ,且满足10a >,1118S S =,则对n S 描述正确的有( ) A .14S 是唯一最小值 B .15S 是最小值 C .290S =
D .15S 是最大值
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一、数列的概念选择题 1.B 解析:B 【分析】 由122n n a a n n +=++转化为11
121n n a a n n +??-=- ?+??
,利用叠加法,求得23n
a n =-,即可求解. 【详解】 由12
2n n a a n n +=+
+,可得121
12(1)1n n a a n n n n +??-==- ?++??
, 所以()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+
11111
111222*********n n n n n n ????????
=-+-+-+
+-+ ? ? ? ?-----??????
??
122113n n ??
=-+=- ???
,
所以102143105
a =-=. 故选:B. 【点睛】
数列的通项公式的常见求法:
1、对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +-=的数列,通常采用叠加法(逐差相加法)求其通项公式;
2、对于递推关系式可转化为1
()n n
a f n a +=的数列,并且容易求数列{()}f n 前n 项积时,通常采用累乘法求其通项公式; 3、对于递推关系式形如1
n n a pa q +=+的数列,可采用构造法求解数列的通项公式.
2.B
解析:B 【分析】
根据11,1
,2n n
S n a S S n -=?=?-≥?计算可得;
【详解】
解:因为2
1n S n n =++①,
当1n =时,2
11113S =++=,即13a =
当2n ≥时,()()2
1111n S n n -=-+-+②,
①减②得,()()2
2
11112n n n n n n a ??++--+-+=?
=?
所以3,1
2,2n n a n n =?=?≥?
故选:B 【点睛】
本题考查利用定义法求数列的通项公式,属于基础题.
3.D
解析:D 【分析】
根据332a S S =-,代入即可得结果. 【详解】
()()3233222224a S S =-=+-+=.
故选:D. 【点睛】
本题主要考查了由数列的前n 项和求数列中的项,属于基础题.
4.D
解析:D 【分析】
在数列的递推公式中依次取1,2,3
,1n n =- ,得1n -个等式,累加后再利用错位相减
法求15a . 【详解】
12n n n a a n +=+?, 12n n n a a n +-=?,
12112a a ∴-=?, 23222a a -=?,
34332a a -=?
11(1)2n n n a a n ---=-?,
以上1n -个等式,累加得123
11122232(1)2n n a a n --=?+?+?+
+-?①
又
2341122122232(2)2(1)2n n n a a n n --=?+?+?++-?+-?②
①- ②得23
112222(1)2n n n a a n --=++++--?
12(12)(1)2(2)2212n n n n n --=--?=-?--,
(2)23n n a n ∴=-?+ ,
151515(152)231323a ∴=-?+=?+,
故选:D 【点睛】
本题主要考查了累加法求数列通项,乘公比错位相减法求数列的和,由通项公式求数列中的项,属于中档题.
5.B
解析:B 【分析】
根据题中所给的通项公式,令2121n -=,求得n =11,得到结果. 【详解】
令2121n -=,解得n =11是这个数列的第11项. 故选:B. 【点睛】
该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有判断数列的项,属于基础题目.
6.C
解析:C 【分析】
由于数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?共有2025项,其中有45个平方数,12个立方数,有3个既是平方数,又是立方数的数,所以还剩余20254512+31971--=项,所以去掉
平方数和立方数后,第2020项是在2025后的第()20201971=49-个数,从而求得结果. 【详解】
∵2452025=,2462116=,20202025<,所以从数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉45个平方数,
因为331217282025132197=<<=,所以从数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉
12个立方数,
又66320254<<,所以在从数列22221,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中有3个数即是平方数, 又是立方数的数,重复去掉了3个即是平方数,又是立方数的数, 所以从数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?中去掉平方数和立方数后还有
20254512+31971--=项,此时距2020项还差2020197149-=项, 所以这个数列的第2020项是2025492074+=, 故选:C. 【点睛】
本题考查学生的实践创新能力,解决该题的关键是找出第2020项的大概位置,所以只要
弄明白在数列2
2
2
2
1,2,3,2,5,6,7,8,3,45?去掉哪些项,去掉多少项,问题便迎刃而解,属于中档题.
7.D
解析:D 【分析】
利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==,说明数列是等差数列,然后求解数列的和即可. 【详解】 解:结合1
1
12()n
n
n S S S S 可知,11122n n n S S S a +-+-=,
得到1122n n a a a +-==,故数列{}n a 为首项为1,公差为2的等差数列,则12(1)21n a n n =+-=-,所以1529a =,
所以11515()15(291)15
22522
a a S ++=
==, 故选:D . 【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用,考查数列求和,是基本知识的考查.
8.C
解析:C 【分析】 由题意有13
28010
n n a a +=+且6400=a ,即可求34,a a ,进而可得34,b b ,即可比较它们的大小.
由题意知:13
28010
n n a a +=
+,6400=a , ∴345400a a a ===,而700n n a b +=, ∴34300b b ==, 故选:C 【点睛】
本题考查了根据数列间的递推关系比较项的大小,属于简单题.
9.D
解析:D 【分析】
根据题意得出111
2
n n n a a a a +==
,从而可知数列{}n a 为等比数列,确定该等比数列的首项和公比,可计算出n S ,然后利用数列{}n S 的单调性可得出n S 的取值范围. 【详解】
取1x =,(
)
y n n N
*
=∈,由题意可得()()()111
112
n n n a f n f f n a a a +=+=?==
, 11
2n n a a +∴
=,所以,数列{}n a 是以12为首项,以12
为公比的等比数列, 11112211212n n n S ??
- ???
∴==--,所以,数列{}n S 为单调递增数列,则11n S S ≤<,即
1
12
n S ≤<. 故选:D.
【点睛】
本题考查等比数列前n 项和范围的求解,解题的关键就是判断出数列{}n a 是等比数列,考查推理能力与计算能力,属于中等题.
10.A
解析:A 【分析】
首先将n a 化简为()2
34n a n =--,即可得到答案。 【详解】
因为()
()2
2
69434n a n n n =-+-=--
当3n =时,n a 取得最小值。 故选:A
解析:C 【分析】
根据题设条件,得到数列{}n a 是以6项为周期的数列,其中
1234560a a a a a a +++++=,再由2020336644a a a ?+==,即可求解.
【详解】
由题意,数列{}n a 中,13a =,26a =,且21n n n a a a ++=-, 可得
3214325436547653,3,6,3,3,
a a a a a a a a a a a a a a a =-==-=-=-=-=-=-=-=,
可得数列{}n a 是以6项为周期的数列,其中1234560a a a a a a +++++=, 所以20203366443a a a ?+===-. 故选:C. 【点睛】
本题主要考查了数列的递推关系式,以及数列的周期性的应用,其中解答中得出数列的周期性是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
12.D
解析:D 【分析】
由21
111
n n a n n +=
=+++,利用反比例函数的性质判断即可. 【详解】
在数列{}n a 中,21
111
n n a n n +=
=+++, 由反比例函数的性质得:{}n a 是*n N ∈时单调递减数列, 故选:D
13.C
解析:C 【分析】
根据题目中已知数据,进行归总结,得到一般性结论,即可求得结果. 【详解】
根据题意,第1行第1列的数为1,此时111(11)
112
a ?-=+=,, 第2行第1列的数为2,此时212(21)
122
a ?-=+=,, 第3行第1列的数为4 ,此时313(31)
142
a ?-=
+=,,
据此分析可得:第64行第1列的数为64164(641)
120172
a ?-=+=,,则6452021a =,, 故选:C.
14.C
解析:C 【分析】
由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…,可得偶数项的通项公式:2
22n a n =,即可得
出. 【详解】
由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50…,可得偶数项的通项公式:2
22n a n =.
则此数列第40项为2220800?=. 故选:C
15.A
解析:A 【分析】
根据条件得出数列{}n b 的周期即可. 【详解】
由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为:1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,……
则可得到周期为6,所以b 2020=b 4=3, 故选:A
16.B
解析:B 【分析】
讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时,数列{}n a 为周期数列,然后说明当19a ≥时,分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列,即可得解. 【详解】
已知数列{}n a 满足1N a *
∈,1,2
+3,n
n n n n a a a a a +??=???为偶数为奇数
. ①若11a =,则24a =,32a =,41a =,54a =,
,以此类推,可知对任意的
n *∈N ,3n n a a +=,此时,{}n a 为周期数列;
②若12a =,则21a =,34a =,42a =,51a =,
,以此类推,可知对任意的
n *∈N ,3n n a a +=,此时,{}n a 为周期数列;
③若13a =,则26a =,33a =,46a =,
,以此类推,可知对任意的n *∈N ,
2n n a a +=,此时,{}n a 为周期数列;
④若14a =,则22a =,31a =,44a =,52a =,
,以此类推,可知对任意的
n *∈N ,3n n a a +=,此时,{}n a 为周期数列;
⑤若15a =,则28a =,34a =,42a =,51a =,64a =,,以此类推,可知对任意
的2n ≥且n *∈N ,1n a a <,此时,{}n a 不是周期数列; ⑥若16a =,则23a =,36a =,43a =,
,以此类推,可知对任意的n *∈N ,
2n n a a +=,
此时,{}n a 为周期数列;
⑦若17a =,则210a =,35a =,48a =,54a =,,以此类推,可知对任意的2
n ≥且n *∈N ,1n a a <,此时,{}n a 不是周期数列; ⑧若18a =,则24a =,32a =,41a =,54a =,,以此类推,可知对任意的2
n ≥且n *∈N ,1n a a <,此时,{}n a 不是周期数列.
下面说明,当19a ≥且1N a *
∈时,数列{}n a 不是周期数列.
(1)当(
34
12,2a ?∈?且1N a *
∈时,由列举法可知,数列{}n a 不是周期数列;
(2)假设当(
()1
12,23,k k a k k N +*
?∈≥∈?
且1N a *∈时,数列{}n a 不是周期数列,那么当(
()1
212
,23,k k a k k N ++*
?∈≥∈?
时. 若1a 为正偶数,则(11
22,22
k k a a +?=
∈?,则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列,从而可知,数列{}n a 不是周期数列; 若1a 为正奇数,则(
(1
213
2132
3,232,2k k k k a a ++++??=+∈++???且2a 为偶数,
由上可知,数列{}n a 从第二项开始不是周期数列,进而可知数列{}n a 不是周期数列.
综上所述,当19a ≥且1N a *
∈时,数列{}n a 不是周期数列.
因此,若{}n a 为周期数列,则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选:B. 【点睛】
本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导,对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证,对于这类问题,我们首先应弄清问题的本质,然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决.
17.C
解析:C 【分析】
由题意可知,得数列{}n a 是周期为3的周期数列,前3项和为1102++=,又
202067331=?+,由此可得答案 【详解】
解:由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,各项除以2的余数,可得数列{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,???,
所以数列{}n a 是周期为3的周期数列,前3项和为1102++=, 因为202067331=?+,
所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347?+= 故选:C
18.A
解析:A 【分析】
根据数列的递推关系式即可求解. 【详解】
由21(1),n n n a a a n ++=+≥ 则2462020246210201a a a a a a a a a ++++
+++++=+
3462020562020201920202021a a a a a a a a a a =+++
=+++=+=.
故选:A
19.C
解析:C 【分析】
由累加法求出2
33n a n n =+-,所以
331n a n n n
,设33
()1f n n n
=
+-,由此能导出5n =或6时()f n 有最小值,借此能得到
n
a n
的最小值. 【详解】
解:()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+?+-+
22[12(1)]3333n n n =++?+-+=+-
所以
331n a n n
n
设33
()1f n n n
=
+-,由对勾函数的性质可知, ()
f n 在(上单调递减,在
)
+∞上单调递减,
又因为n ∈+N ,所以当5n =或6时()f n 可能取到最小值. 又因为
56536321,55662
a a ===,
所以
n a n
的最小值为62162a =.
故选:C. 【点睛】
本题考查了递推数列的通项公式的求解以及对勾函数的单调性,考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.
20.A
解析:A 【分析】
令1n =得11a =,令2n =得2121
2
S a a =+=可解得2a . 【详解】 因为1n S n =
,所以111
11
a S ===, 因为21212S a a =+=,所以211
122
a =-=-. 故选:A
二、多选题 21.AC 【分析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项,看是否满足题意,得出答案. 【详解】
对于选项A ,取前六项得:,满足条件; 对于选项B ,取前六项得:,不满足条件; 对于选项C ,取前六项得:,
解析:AC 【分析】
对四个选项中的数列通项公式分别取前六项,看是否满足题意,得出答案. 【详解】
对于选项A ,1(1)n
n a =+-取前六项得:0,2,0,2,0,2,满足条件;
对于选项B ,2cos 2
n n a π
=取前六项得:0,2,0,2,0,2--,不满足条件; 对于选项C ,(1)2sin
2
n n a π
+=取前六项得:0,2,0,2,0,2,满足条件; 对于选项D ,1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得:0,2,2,8,12,22,不满足条件; 故选:AC
22.ABC 【分析】
利用数列满足的递推关系及,依次取代入计算,能得到数列是周期为4的周期数列,得项的所有可能值,判断选项即得结果. 【详解】
数列满足,,依次取代入计算得, ,,,,因此继续下去会循环
解析:ABC 【分析】
利用数列{}n a 满足的递推关系及13
5
a =
,依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ,能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列,得项的所有可能值,判断选项即得结果. 【详解】
数列{}n a 满足112,02
121,1
2n n n n n a a a a a +?
≤≤??=??-<?,135a =,依次取1,2,3,4,...n =代入计算得,
211215a a =-=
,32225a a ==,43425a a ==,5413
215
a a a =-==,因此继续下去会循环,数列{}n a 是周期为4的周期数列,所有可能取值为:1234
,,,5555
. 故选:ABC. 【点睛】
本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列,属于基础题.
23.BC 【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,再验证即可; 【详解】
解:斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……, 显然,,,,,所以且,即B 满足条件; 由, 所以 所以数列
解析:BC 【分析】
根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,再验证即可; 【详解】
解:斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,
显然()()11,21F F ==,()()()3122F F F =+=,()()()4233F F F =+=,
,
()()()11,2F n F n F n n +=+-≥,所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==,即B 满足条件;
由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥, 所以(
)(
)(
)()11F n n F n n ?+-
=--???
所以数列(
)()1F n n ????+??????
是以12+
为首项,12+为公比的等比数列, 所以(
)(
)1n
F n n +-=??
11515()n F F n n -
+=++, 令
1
n
n n F
b -=
??
,则11n n b +=
+,
所以1
n n b b +=-
, 所以n
b ??
????
?
的等比数列,
所以1
n n b -
+, 所以
()11
15n n n n
F n --?
???
+??=+=- ? ?????????
??????
??
; 即C 满足条件; 故选:BC 【点睛】
考查等比数列的性质和通项公式,数列递推公式的应用,本题运算量较大,难度较大,要求由较高的逻辑思维能力,属于中档题.
24.BD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ,若是等差数列,如,则不是常数,故不是等方差数列,故A 错误; 对于B ,数列中,是常数,是等方差数列,故
解析:BD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义,结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ,若{}n a 是等差数列,如n a n =,则12222
(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数,故
{}n
a 不是等方差数列,故A 错误;
对于B ,数列
(){}1n
-中,222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数,{(1)}n ∴-是等方
差数列,故B 正确; 对于C ,数列{}2
n
中,()(
)
2
2
221
11
2234n n n n n a
a ----=-=?不是常数,{}
2n
∴不是等方差
数列,故C 错误; 对于D ,
{}n a 是等差数列,1n n a a d -∴-=,则设n a dn m =+,{}n a 是等方差数
列,()()2
2
2
112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数,
故220d =,故0d =,所以(2)0m d d +=,22
10n n a a --=是常数,故D 正确.
故选:BD. 【点睛】
关键点睛:本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义,解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义,利用定义进行判断.
25.AD 【分析】
对于,作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案;
对于,根据等差数列的前项和公式得到和, 进而可得,由此可知,故不正确; 对于,由得到,,然后分类讨论的符号可得答案; 对于,由求出及
解析:AD 【分析】
对于A ,作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案;
对于B ,根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<, 进而可得80a <,由此可知78||||a a <,故B 不正确;
对于C ,由915S S =得到,12130a a +=,然后分类讨论d 的符号可得答案; 对于D ,由n S 求出n a 及1a ,根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】
对于A ,因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =,且0d ≠,
所以2
4619150a a a a d -=>,所以4619a a a a >,故A 正确;
对于B ,因为130S >,140S <,所以
77713()
1302
a a a +=>,即70a >,
787814()
7()02a a a a +=+<,即780a a +<,因为70a >,所以80a <,所以
7878||||0a a a a -=+<,即78||||a a <,故B 不正确;
对于C ,因为915S S =,所以101114150a a a a ++
++=,所以12133()0a a +=,即
12130a a +=,当0d >时,等差数列{}n a 递增,则12130,0a a <>,所以n S 中的最小值
是12S ,无最大值;当0d <时,等差数列{}n a 递减,则12130,0a a ><,所以n S 中的最大值是12S ,无最小值,故C 不正确;
对于D ,若2
n S n n a =-+,则11a S a ==,2n ≥时,
221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-,因为数列{}n a 为等差数列,
所以12120a a =?-==,故D 正确. 故选:AD 【点睛】
关键点点睛:熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.
26.ABD 【分析】
转化条件为,进而可得,,再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】 因为,所以,即,
因为数列递减,所以,则,,故A 正确; 所以最大,故B 正确; 所以,故C 错误
解析:ABD 【分析】
转化条件为670a a +=,进而可得60a >,70a <,再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】
因为57S S =,所以750S S -=,即670a a +=,
因为数列{}n a 递减,所以67a a >,则60a >,70a <,故A 正确; 所以6S 最大,故B 正确; 所以()113137
131302
a a S a
+?=
=<,故C 错误;
所以()111116
111102
a a S a
+?=
=>,故D 正确.
故选:ABD.
27.ACD 【分析】
利用等差数列的性质和通项公式,逐个选项进行判断即可求解 【详解】
因为,,所以a1=3,an =[1+(n-1)d](n+2n).若d =1,则an =n(n+2n);若d =0,则a2=
解析:ACD 【分析】
利用等差数列的性质和通项公式,逐个选项进行判断即可求解 【详解】 因为
1
112a =+,1(1)2
n n a n d n =+-+,所以a 1=3,a n =[1+(n -1)d ](n +2n ).若d =1,则a n =n (n +2n );若d =0,则a 2=6.因为a 2=6+6d ,a 3=11+22d ,所以若a 1,a 2,a 3成等差数列,则a 1+a 3=a 2,即14+22d =12+12d ,解得1
5
d =-. 故选ACD
28.ACD 【分析】
由题可得,,,求出可判断A ;利用二次函数的性质可判断B ;求出可判断C ;令,解出即可判断D. 【详解】
设等差数列的公差为,则,解得, ,,且,
对于A ,,故A 正确; 对于B ,的对称
解析:ACD 【分析】
由题可得16a d =-,0d <,21322
n d d S n n =
-,求出80a d =<可判断A ;利用二次函数的性质可判断B ;求出49,S S 可判断C ;令213022
n d d
S n n =->,解出即可判断D. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,则()5111122+4++100a a a d a d +==,解得16a d =-,
10a >,0d ∴<,且()21113+
222
n n n d d S na d n n -==-,
对于A ,
81+7670a a d d d d ==-+=<,故A 正确;
对于B ,21322n d d S n n =-的对称轴为132
n =,开口向下,故6n =或7时,n S 取得最大值,故B 错误;
对于C ,4131648261822d d S d d d =
?-?=-=-,9138191822
d d S d =?-?=-,故49S S =,故C 正确;
对于D ,令213022
n d d
S n n =->,解得013n <<,故n 的最大值为12,故D 正确. 故选:ACD. 【点睛】
方法点睛:由于等差数列()2111+
222n n n d d S na d n a n -?
?==+- ??
?是关于n 的二次函数,当1a 与d 异号时,n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值;当1a 与d 同号时,n S 在1n =取最值.
29.BD 【分析】
设等差数列的公差为,根据条件、、成等差数列可求得与的等量关系,可得出、的表达式,进而可判断各选项的正误. 【详解】
设等差数列的公差为,则,, 因为、、成等差数列,则,即, 解得,,
解析:BD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ,根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系,可得出n a 、n S 的表达式,进而可判断各选项的正误. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,则81187
88282
S a d a d ?=+
=+,91198
99362
S a d a d ?=+
=+, 因为12a 、8S 、9S 成等差数列,则81922S a S =+,即11116562936a d a a d +=++,
解得14a d =-,()()115n a a n d n d ∴=+-=-,()()21
9122
n n n d n n d S na --=+=.