课时作业18 不等式的实际应用
时间：45分钟 满分：100分
课堂训练
1．某工厂第一年产量为A ，第二年产量的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )
A ．x ＝a ＋b
2 B ．x ≤a ＋b
2 C ．x >
a ＋b
2
D ．x ≥
a ＋b
2
【答案】 B
【解析】 由题设有A (1＋a )(1＋b )＝A (1＋x )2，即x ＝1＋a
1＋b －1≤
1＋a ＋1＋b 2－1＝a ＋b
2
. ~
2．设产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝
3 000＋20x －(0 A ．100台 B ．120台 C ．150台 D ．180台 【答案】 C 【解析】 设利润为f (x )万元，则f (x )＝25x －(3 000＋20x －＝＋5x －3 000，令f (x )≥0，则x ≥150，或x ≤－200(舍去)，所以生产者不亏本时的最低产量是150台． 3．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次．一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨． 【答案】 20 【解析】 每年购买次数为 400 x 次，∴总费用为 400 x ·4＋ 4x ≥2 6 400＝160，当且仅当1 600 x ＝4x ，即x ＝20时等号成立．故 x ＝20. ： 4．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/ 辆，出厂价为万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0 已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式； (2)为保证本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内 【分析】 根据题意，分别求出出厂价和投入成本、年销售量，然后代入利润的表达式求出利润函数，最后构造不等式求解出满足要求时，投入成本增加的比例x 的范围． 【解析】 (1)依题意得y ＝[×(1＋－1×(1＋x )]×1 000×(1＋(0 整理，得：y ＝－60x 2＋20x ＋200(0 】 当且仅当??? ?? y －－1 ×1 000>0 0 ， 即????? －60x 2 ＋20x >00 ，解不等式组，得0 3 . 答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0 课后作业 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：(1)按照使用面积缴纳，每平方米4元；(2)按照建筑面积缴纳，每平方米3元．李明家的使用面积是60平方米．如果他家选择第(2)种方案缴纳供暖费较少，那么他家的建筑面积最多不超过( ) A ．70平方米 B ．80平方米 C ．90平方米 D ．100平方米 , 【答案】 B 【解析】 根据使用面积李明家应该缴纳的费用为60×4＝240元． 设李明家的建筑面积为x 平方米，则根据题意得3x <240 ， ∴x <80，∴建筑面积不超过80平方米时，满足题意． 2．一个车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，该流水线生产的摩托车数量x 辆与创造的价值y 元之间关系为y ＝－4x 2＋440x ，那么它在一个星期内大约生产________辆摩托车才能创收12 000元以上( ) A ．(50,60) B ．(100,120) C ．(0,50) D ．(60,120) 【答案】 A | 【解析】由题意－4x2＋440x>12 000， ∴x2－110x＋3 000<0， 即x(110－x)>3 000. 把选项中的端点值代入验证得只有A正确． 3．制作一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的(够用，又耗材量少)是( ) A．4.6m B．4.8m C．5m D．5.2m 【答案】C 、 【解析】设三角形两直角边长分别为a m，b m，则ab＝2，周长L＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝(2＋2)·ab，当且仅当a＝b时等号成立，即L≥2＋22≈，故应选C. 4．若a、b、m∈R＋，a A．p1 C．p1>p2D．不确定 【答案】A 【解析】p1＝a b ，p2＝ a＋m b＋m ，作差比较知p1 5．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减少耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的 耕地损失可减少5 2 t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一 年不少于9 000万元，则t的取值范围是( ) A ．[1,3] B ．[3,5] ： C ．[5,7] D ．[7,9] 【答案】 B 【解析】 由题意列不等式24 000×(20－5 2 t )×t %≥9 000，即 24100(20－5 2t )t ≥9 ，所以t 2－8t ＋15≤0，解得3≤t ≤5，故当耕地占用税的税率为3%～5%时，既可减少耕地损失又可保证此项税收一年不少于9 000万元． 6．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A ．5公里 B ．4公里 C ．3公里 D ．2公里 【答案】 A 【解析】 设仓库与车站距离为d ，则y 1＝k 1 d ，y 2＝k 2d ，由题意 知： … 2＝k 1 10，8＝10k 2，∴k 1＝20，k 2＝. ∴y 1＋y 2＝20 d ＋≥216＝8， 当且仅当20 d ＝即d ＝5时，等号成立． ∴选A. 7．某汽车运输公司买一批豪华大客车投入营运，据市场分析， 每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N ＋)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运的年平均利润最大时，劳动了( ) A ．3年 B ．4年 C ．5年 D ．6年 … 【答案】 C 【解析】 设y ＝a (x －6)2＋11， 由条件知7＝a (4－6)2＋11，∴a ＝－1. ∴y ＝－(x －6)2＋11＝－x 2＋12x －25. ∴每辆客车营运的年平均利润y x ＝－x 2＋12x －25x ＝－(x ＋25 x )＋ 12≤－225＋12＝2，当且仅当x ＝25 x ，即x ＝5时等号成立，故选 C. 8．甲、乙两人同时从A 地到B 地，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( ) A ．甲先到 B 地 B ．乙先到B 地 C ．两人同时到B 地 D ．谁先到B 地无法确定 ~ 【答案】 B 【解析】 设从A 地到B 地的路程为S ，步行速度为v 1，跑步速度为v 2且v 1≠v 2， ∴t 甲＝S 2v 1＋S 2v 2＝S v 1＋v 2 2v 1v 2 ， t 乙＝2S v 1＋v 2 ， ∴t 甲t 乙＝v 1＋v 22 4v 1v 2 ≥4v 1v 2 4v 1v 2 ＝1， 当且仅当v 1＝v 2时取等号． 又∵v 1≠v 2，∴t 甲>t 乙，故乙先到，故选B. 二、填空题(每小题10分，共20分) ！ 9．现有含盐7%的食盐水200 g ，生产上需要含盐5%以上、6%以 下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水x g ，则x 的取值范围是________． 【答案】 (100,400) 【解析】 由条件得：5%<200×7%＋4%x 200＋x <6%， 即5<200×7＋4x 200＋x <6. 解得：100 10．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用 为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件． 【答案】 80 【解析】 由题意得平均每件产品生产准备费用为800 x 元．仓储 费用为x 8元，得费用和为800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20. ， 当800x ＝x 8 ，即x ＝80时等号成立． 三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 11．某企业上年度的年利润为200万元，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，投入成本增加的比例为 x (0 若选用甲方案，则年利润y 万元与投入成本增加的比例x 的函数关系式为y ＝f (x )＝－20x 2＋60x ＋200(0 【分析】 利用作差比较法比较f (x )与g (x )的大小． 【解析】 f (x )－g (x )＝(－20x 2＋60x ＋200)－(－30x 2＋65x ＋200)＝10x 2－5x . 由10x 2 －5x >0，解得x >1 2 ，或x <0(舍去)． 所以当投入成本增加的比例x ∈(0，1 2)时，选择乙方案； 当投入成本增加的比例x ∈(1 2 ，1)时，选择甲方案； 当投入成本增加的比例x ＝1 2时，选择甲方案或乙方案都可以． 【规律方法】 解决实际问题时要注意未知数的取值范围，如本 题中x ∈(0,1)． 12．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而卡车每小时耗油(2＋x 2 360 )升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式； (2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用． 【解析】 (1)行车所用时间为t ＝130 x (h)， y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130 x ，x ∈[50,100]， 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]． (2)y ＝ 2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝13 18 x ， 即x ＝1810时，上述不等式中等号成立， 所以当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．
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