高中数学选修2-1课时作业1：1.1.2 四种命题

1.1.2 四种命题

1.1.3四种命题间的相互关系

一、基础过关

1．若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是()

A．若x≤y，则x2≤y2B．若x>y，则x2

C．若x2≤y2，则x≤y D．若x

[答案] C

[解析]由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．

2．命题“若a?A，则b∈B”的否命题是()

A．若a?A，则b?B B．若a∈A，则b?B

C．若b∈B，则a?A D．若b?B，则a?A

[答案] B

[解析]命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“?”互为否定形式．

3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()

A．1 B．2 C．3 D．4

[答案] B

[解析]原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“若a>－6，则a>－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题．

4．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为．

[答案]若x，y不全为零，则xy≠0

[解析]由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”．

5．命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有个．

[答案] 2

[解析]原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题．

6．下列命题中：

①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②正方形的四条边相等；

③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．

其中互为逆命题的有；互为否命题的有；互为逆否命题的有．(填序号)

[答案]②和③①和③①和②

7．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．

(1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．

解(1)命题p的否命题为“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．”

(2)命题p的否命题是真命题．

证明如下：

∵ac<0，

∴－ac>0?Δ＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．

∴该命题是真命题．

二、能力提升

8．有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．

其中真命题的序号为()

A．①②B．②③C．①③D．③④

[答案] C

[解析]命题①：“若x、y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题；命题④是假命题．

9．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则：

(1)逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；

(2)否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；

(3)逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”；

其中所有正确叙述的序号是．

[答案](1)(2)

[解析]原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．

10．给定下列命题：

①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；

②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；

③“矩形的对角线相等”的逆命题；

④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为零”的否命题．

其中真命题的序号是．

[答案]①②④

[解析]①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，∴①是真命题．

②其逆否命题为真，故②是真命题．

③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．

④否命题：“若xy≠0，则x、y都不为零”是真命题．

11．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

解逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；

否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；

逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.

∵原命题是假命题，∴逆否命题也是假命题．

∵逆命题是假命题，∴否命题也是假命题．

12．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．

解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．

方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．

方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．

三、探究与拓展

13．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”

(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；

(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

解(1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，

则a＋b≥0，为真命题．

由于逆命题与否命题具有相同的真假性，因此可转化为证明其否命题为真，即证明“若a ＋b<0，则f(a)＋f(b)

因为a＋b<0，则a<－b，b<－a.

因为f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，

则f(a)

所以f(a)＋f(b)

因此否命题为真命题，即逆命题为真命题．

(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)

因为一个命题的真假性与它的逆否命题的真假性相同，所以可证明原命题为真命题．因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.

又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．

所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．

所以逆否命题为真命题．