函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）
“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。 1. 奇偶性
奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇；
③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称
（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数 常用性质：
1．0)(=x f 是既奇又偶函数；
2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)
()()(x f x f x f =-=；
4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；
5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：
（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶
（2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数 6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数
2)
()()(x f x f x --=
?和一个偶函数
2)
()()(x f x f x -+=
ψ的和。
2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意
且
①总有
则称
在区间M 上单调递增
②总有则称在区间M 上单调递减
应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性
一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二）求函数的单调区间
定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论
（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减
3. 周期性
（1）一般地对于函数
，若存在一个不为0的常数T ，使得
一切值时总
有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期
（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。 注：常用结论
（1）若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期（自己证明） （2）若定义在R 上的函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x =b 成轴对称 （a ≠b ），则y = f (x)是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。（自己证明）
（推论）若定义在R 上的偶函数)(x f 的图象关于直线a x =)0(≠a 对称，则)(x f 是周期函数，a 2是它的一个周期 （3）若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)
(1)(x f a x f -=+；则)(x f 是周期函数，2a 是它的一个周期
4．对称性
一、函数自身的对称性
定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a －x) = 2b f(a-x)+f(a+x)=2b
证明：（必要性）设点P(x,y)是y = f(x)图像上任一点，
∵点P(x,y)关于点A (a,b)的对称点P （2a －x ，2b －y ）也在y = f(x)图像上， ∴ 2b －y = f (2a －x) 即y + f (2a －x)=2b 故f(x) + f (2a －x) = 2b ，必要性得证。
（充分性）设点P(x0,y0)是y = f(x)图像上任一点，则y 0= f (x 0) ∵ f(x) + f (2a －x) =2b
∴f (x 0) + f (2a －x 0) =2b ，即2b －y 0 = f (2a －x 0) 。 故点P （2a －x 0，2b －y 0）也在y = f(x) 图像上， 而点P 与点P 关于点A (a,b)对称，充分性得证。
推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O 对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a 对称的充要条件是
f (a +x) = f (a －x) 即f(x) = f (2a －x) （证明留给读者）
推论：函数 y = f (x)的图像关于y 轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3函数 y = f (x)的图像关于直线x = a 对称的充要条件是 f (a +x) = f (a －x) 或 f(x) = f (2a －x)
定理4.若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x =b 成轴对称 （a ≠b ），则y =
f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
二．不同函数对称性
定理5. 函数y = f (a+x)与y = f (b－x)的图像关于直线x = (b-a)/2成轴对称
定理6. 互为反函数的两个函数关于直线y=x对称
【典型例题】
[例1] 判断下列函数奇偶性
（1）（且）
（2）
（3）
（4）
（5）
解：（1）且
∴奇函数
（2），关于原点对称
∴奇函数
（3），关于原点对称
∴既奇又偶
（4）考虑特殊情况验证：；无意义；∴非奇非偶
（5）且，关于原点对称
∴为偶函数
[例2]（1），为何值时，为奇函数；
（2）
为何值时，为偶函数。
答案：（1）
（恒等定理）
∴时，
奇函数 （2）
∴ （恒等定理）
∴ ∴
巩固：已知定义域为R 的函数
1
2()2x x b f x a +-+=+是奇函数。 （Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式
22
(
2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值围； （Ⅰ）简 解：取特殊值法 因为()f x 是奇函数，所以(0)f =0，
即
111201()22x
x b b f x a a +--=?=∴=++ 又由f （1）= - f （-
1）知1
112
2 2.
41a a a -
-=-?=++ （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知
11211
()22221x x x f x +-==-+
++，易知()f x 在(,)-∞+∞上 为减函数
又因()f x 是奇函数，从而不等式：
22
(2)(2)0f t t f t k -+-< 等价于
222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-， 因()f x 为减函数，由上式推得：
2222t t k t ->-．
即对一切t R ∈有：2
320t t k -->，从而判别式1
4120.3k k ?=+
[例3] 求函数
的解析式 （1）
为R 上奇函数，
时，
，
解：
时，
∴
∴
（2）为R上偶函数，时，
解：
时，
∴
[例4] 求下列函数的增区间
（1）
（2）
答案：（1），∴
（2）作图
∴
[例5]若在区间，求取值围。
答案：分类讨论
（1）①当在区间，符合题意
②当时，要在区间，则有
∴
[例6] ，为偶函数，试比较的大小关系。
解：∵为偶函数∴
则函数关于直线x=2对称
∵在（0，2）
∴(提示：看离对称轴的远近)
[例7] 为偶函数，，若，求取值围。
解：∴
[例8] 求下列函数是否为周期函数
（1），满足
（2），满足
（3），满足
（4），满足
答案：
（1）令∴∴
∴ T=2周期函数
（2）
∴ T=4周期函数
（3）∴ T=4
（4）
∴ T=8
[例9] ，偶函数，周期函数，T=2，，，则
，求当时，。
答案：
[例10] ，偶函数，奇函数，则
。
答案：奇
偶