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高量6-运动方程

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理论力学6—刚体的基本运动

理论力学6—刚体的基本运动

34.8
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
1、角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
dj
ww
dt

大小
角速度矢沿轴线，弯向表示刚体转动的方向。
指向用右手螺旋法则。
w wk
角加速度矢量

dw dw

k k
dt
dt
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
2

例6-6
某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢w 的方向
余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小ω=25rad/s 。求：刚体上点
M（10，7，11）的速度矢。
解：角速度矢量
w wn
其中 n （0.6，0.48，0.64）
M点相对于转轴上一点M0的矢径
r rM rM0 10,7,11 2,1,3 8,6,8
Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求减速箱的总减速比i13 ；(b)如
果n1=3000r/min，求n3.
1
n1
2
n2
3
n3
4
解：求传动比：
n1 n1 n2 Z 2 Z 4
i13
34.8
n3 n2 n3 Z1 Z 3
则有：
n1 3000
n3

86r / min
i13
4 rad
dw dw d
dw



w
dt
d dt
d
dw
w
0.2
d
解：
w
w wdw
0
运动方程学习

运动方程学习


4
第5页/共22页
第7章 电力拖动系统的动力学基础
对于多轴电力拖动系统，因为在不同的轴上具有各自不同的转动惯量和转速， 则需要对每根轴分别写出运动方程式，各轴间相互关系的方程式，并根据传动功率 相等的原则联系，联立求解。显然这是较复杂的，而对电力拖动系统来说，一般不 需要详细研究每根轴的问题，而只把电动机的轴作为研究对象即可。
2024/8/8
14
第15页/共22页
215024/8/8
第7章 电力拖动系统的动力学基础
2、位能性恒转矩负载
负载转矩由重力作用产生，不 论生产机械运动的方向变化与否， 负载转矩的大小和方向始终不变。 例如起重设备提升重物时，负载转 矩为阻转矩，其作用方向与电动机 旋转方向相反，当下放重物时，负 载转矩变为驱动转矩，其作用方向 与电动机旋转方向相同，促使电动 机旋转。负载特性如图所示。
如果传动机构为多级齿轮或带轮变速，则总的速比应为各级速比的乘 积，即
j j1 j2 j3
2024/8/8
6
第7页/共22页
第7章 电力拖动系统的动力学基础
三、工作机构直线作用力的折算
根据传送功率不变
Tz Fzvz 2πn / 60
Tz
9.55 Fzvz n
2024/8/8
7
第8页/共22页
第四、7章传动机电构力与拖工动作机系构统飞的轮动力矩力的学折基算础
根据存储动能不变
1 2
J2
1 2
J d 2
1 2
J112
1 2
J
2
2 2
1 2
J z2z
J
Jd
J1
/
1
2
J2
/
动力气象试题解答

动力气象试题解答

动力气象试题解答一、名词解释1.科里奥利力科里奥利力是一种视示力，它只是在物体相对于地球有运动时才出现。

单位质量空气微2V3始终与和V3相垂直，团所受的科里奥利力为2V3。

而与赤道平面垂直，所以2V3必通过运动微团所在的纬圈平面内。

在北半球，科里奥利力指向速度的右方，科里奥利力对空气微团不作功，它不能改变空气微团的运动速度大小，只能改变其运动方向。

2．尺度分析法尺度分析法是一种对物理方程进行分析和简化的有效方法。

尺度分析法是依据表征某类运动系统的运动状态和热力状态各物理量的特征值，估计大气运动方程中各项量级大小的一种方法。

根据尺度分析的结果，结合物理上考虑，略去方程中量级较小的项，便可得到简化方程，并可分析运动系统的某些基本性质。

3．罗斯贝数罗斯贝数的定义式为R0Uf0L，它代表水平惯性力与水平科里奥利力的尺度之比。

罗斯贝数的大小主要决定于运动的水平尺度。

对于中纬大尺度运动，R01，科里奥利力不能忽略不计，对于小尺度运动，R01，科里奥利力可忽略不计。

4.Richardon数理查德孙（Richardon）数的定义式为RiNDU，它代表垂直惯性力与水平科里奥利力的尺度之比。

由于222glnzVz2N2Vz2N2D2~Ri，理查德孙数又是一个U2与大气层结稳定度和风的铅直切变有关的动力学参数。

层结愈不稳定，风的铅直切变愈强，则愈有利于湍流和对流运动的发展，所以Ri可用于判断对流或扰动发展的条件。

5．地转风等压线为一族平行的直线（|RT|）时的平衡流场称为地转风场，或称为地转运动。

在地转运动中，水平气压梯度力与科里奥利力相平衡。

地转风的方向与等压线相平行，在北半球（f＞0），高压在速度方向右侧，低压在速度方向左侧；地转风大小与水平气压梯度成正比，与密率和纬度的正弦成反比。

地转风关系的重要性在于揭示了大尺度运动中风场和水平气压场之间的基本关系。

6.梯度风最一般的平衡流场称为梯度风场。

在梯度风运动中，水平气压梯度力、科里奥利力、惯性离心力相平衡。

欧拉运动方程及其积分详解

欧拉运动方程及其积分详解

傅里叶变换法
将欧拉运动方程中的时间和空间变量进行傅里叶变换，通过求解变换后的常微分方程得到解析解。
近似积分方法
泰勒级数法
将欧拉运动方程中的非线性项进行泰勒级数展开，通过求解近似线性化的常微分方程得 到近似解。
多项式拟合法
利用已知的初值条件和时间步长，通过多项式拟合的方法逼近物体的运动轨迹，得到近 似解。
发展历程
随着科学技术的不断进步，欧拉运动方程在理论和应用方面得到了不断发展和完 善，对于推动力学和其他学科的发展起到了重要作用。
02
欧拉运动方程的数学表达
位置和速度的表示
位置表示
在二维平面中，物体的位置可以用二维向量表示，例如$r = (x, y)$。在三维空间中，物体的位置可以用三维向量表示， 例如$r = (x, y, z)$。
速度表示
速度是位置对时间的导数，可以用向量表示为$vec{v} = frac{dvec{r}}{dt}$。在二维平面中，速度向量可以表示为 $vec{v} = (v_x, v_y)$；在三维空间中，速度向量可以表示为 $vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$。
力和加速度的表示
力表示
力是作用在物体上的外力，可以用向量表示为$vec{F}$。在二维平面中，力向量可以表示为$vec{F} = (F_x, F_y)$；在三维空间中，力向量可以表示为$vec{F} = (F_x, F_y, F_z)$。
04
欧拉运动方程的应用实例
在物理中的应用
01
02
03
刚体动力学
欧拉运动方程可以描述刚 体的旋转和直线运动，是 刚体动力学的基本方程之 一。
陀螺仪
欧拉运动方程在陀螺仪的 应用中非常重要，用于描 述陀螺仪的旋转运动和进 动。
呼吸力学的运动方程解读

呼吸力学的运动方程解读

呼吸力学的运动方程解读呼吸力学的运动方程主要描述了呼吸过程中气道压力、气流速率、肺容量和肺顺应性之间的关系。

恒定流速（方波或称矩形波），设置吸气末暂停的容控的压力时间曲线能够让我们理解这些力学概念。

这对于优化机械通气参数、改善患者肺功能以及防止通气相关的损伤至关重要。

一、呼吸力学的基础概念呼吸是通过产生压力差来驱动气流的过程。

在自然呼吸时，膈肌和肋间肌的收缩和松弛导致胸腔容积的变化，从而引发肺内外压力的变化，进而产生气流。

在机械通气过程中，呼吸机通过外部压力推动气体进入肺部，形成呼吸周期。

呼吸力学的运动方程反映了在吸气和呼气期间，气道压力、气流、潮气量以及与气道阻力和肺顺应性的关系。

基本的呼吸力学方程如下：Paw = (R×V) +(VT/C)+ PEEP该方程虽然是包含了几个呼吸力学量，但主要是用P-t图中进行解释说明。

图中各点解释：A点：这是呼吸周期的起始点。

此时，气道压力为基础的PEEP值，气道中没有气流，肺内没有气体积累。

PEEP的作用是防止肺泡完全塌陷，从而保持一定的肺容积。

B点：在吸气的开始，随着气体进入肺部，气道内的压力逐渐上升，气流开始增加。

这一阶段称为“流动相”或“流量相”。

此时，气道压力主要由气流通过气道阻力（R）引起的压力梯度决定。

C点：这是气道内压力的最高点，称为峰值压力（Peak Pressure）。

在机械通气时，这个点代表气体最大流速时气道内的压力峰值。

峰值压力由气道阻力（R）和肺顺应性共同决定。

D点：设定吸气暂停后，气流减慢直至停止，气道压力开始下降，进入“平台相”。

平台压力（Plateau Pressure）是反映肺顺应性的一个重要指标，不受气道阻力的影响。

E点：平台压力的结束点，气流完全停止，气道内的压力处于相对平稳状态，此时可以准确反映肺顺应性。

压力的计算可以通过容积/肺顺应性来估算，即VT/C。

F点：呼气相结束，气道压力回到PEEP水平，准备下一次呼吸周期的开始。

数学试题-点的运动学

数学试题-点的运动学

第六章 点的运动学6-1 从水面上方高20m 的岸上一点A ，用长为40m 的绳系住一船B 。

今在A 处以3m/s υ=的均速拉绳，使船靠岸，求5s 末船的速度是多少？在5s 内船移动了多少距离。

解：1）建立坐标系Ox 如图，则动点B的位置坐标为(t)B x =0t =时，(0)34.64m B x ==5s t =时，(5)15m B x ==5s 内船移动的距离(5)(0)34.641519.64m B B s x x ∆=-=-=2）船的速度(t)(t)(40B B x υ==5s t =时，75(5)5m /s 15B υ-===-（沿x 轴反方向） 6-2 已知点的运动方程为250,5005x t y t ==-（y 单位为m 、t 单位为s ）。

求当t=0时，点的切向加速度、法向加速度及轨迹的曲率半径。

解：1）由点的运动矢量法知： 运动方程为250(5005)r ti t j =+-；速度5010v r i tj ==-，速度大小v ==加速度10a v j ==-，加速度大小210/a m s ==；t=0时，050/v m s = 2）由点的运动自然法知： 切向加速度dva dtττ==；法向加速度2n v a n ρ==； t=0时，(0)0a τ=，2(0)10/n a a m s ==，220050250(0)10n v m a ρ===6-3 图示摇杆滑道机构中的滑块M 同时在固定的圆弧槽BC 和摇杆OA 的滑道中滑动。

如弧BC 的半径为R ，摇杆OA 的轴O 在弧BC 的圆周上。

摇杆绕O 轴以等角速度ω转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。

试分别用直角坐标法和自然法给出点M 的运动方程，并求其速度和加速度。

解：直角坐标法：1） 建立直角坐标系1o xy 如图，则动点M 的 2） 运动方程cos 2sin 2r R ti R tj ωω=+3） 速度2sin 22cos 2v r R ti R tj ωωωω==-+；速度大小2v R ω==4） 加速度224cos 24sin 2a v R ti R tjωωωω==-- 加速度大小24a R ω== 自然法：1） 建立弧坐标系如图，M o 为原点，ω方向为正方向，则 2） 动点M 的运动方程2s R t ω= 3） 速度2v s R τωτ==4）加速度2204n n v a a a a n R n τωρ=+=+==第七章 刚体的基本运动7-1 图示为把工件送入干燥炉内的机构，叉杆OA=1.5m 在铅垂面内转动，杆AB=0.8m ，A 端为铰链，B 端有放置工件的框架。

动量方程公式

动量方程公式

动量方程公式一、概述动量方程是物理学中的一个基本公式，它描述了物体的动量和力的关系。

在经典力学中，动量方程是一个基本的守恒定律，它表明一个孤立系统的总动量不会随着时间的推移而改变。

动量方程的公式是：P = mv，其中P是动量，m 是质量，v是速度。

这个公式表示物体的动量与其质量和速度成正比。

二、动量方程的应用动量方程在物理学中有广泛的应用。

它可以用于分析物体的运动规律，解决各种动力学问题。

例如，在碰撞过程中，动量方程可以用于计算碰撞后的速度和方向。

此外，动量方程也可以用于分析力学系统的平衡状态和稳定性。

三、动量方程的发展历程动量方程的公式是牛顿第二定律的特例。

牛顿第二定律指出，力等于质量乘以加速度，即F = ma。

当物体保持匀速直线运动时，加速度为零，因此力F 也为零，此时动量方程可以简化为P = mv。

动量方程的发展历程可以追溯到17世纪，当时科学家们开始使用数学模型描述自然现象。

牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理》中提出了三个基本的运动定律，其中第三个定律就是动量守恒定律的表述。

自那时以来，动量方程一直是物理学中的基本公式之一，广泛应用于各个领域。

四、动量方程的扩展形式除了基本的动量方程公式P = mv之外，还有许多扩展形式。

例如，角动量方程描述了物体绕固定点旋转时的动量和力的关系，形式为L = mvr。

此外，在相对论中，动量方程的形式也会发生变化。

在相对论中，物体的质量不再是常数，而是与速度有关，因此动量方程也需要考虑物体的质量和速度的相对论效应。

五、总结动量方程公式是物理学中的基本公式之一，它描述了物体的动量和力的关系。

这个公式在各个领域都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解物体的运动规律和解决各种动力学问题。

尽管现代物理学的发展已经超出了经典力学的范畴，但动量方程作为经典力学的基本原理之一，仍然具有重要意义和应用价值。

由于篇幅限制，我无法提供超过2000字的文章。

但我可以继续为您撰写下文以满足您的要求：六、动量方程在各领域的应用1.航空航天：在航空航天领域中，飞行器的设计和操作都需要考虑到动量方程的影响。

理论力学10质点运动微分方程

理论力学10质点运动微分方程


= mgR 2，于是火箭在任意位置 x 处所受地球引力 F 的大
小为
m g R2 F = x2
(b)
（3）列运动方程求解，由于火箭作直线运动，
火箭的直线运动微分方程式为：m
分离变量积分式(c)
d2 dt
x
2
mg R2 x2
(c)
因 为
d d2 tx 2d dv td dv xd dx tvd dv x
其次，定律还指出，若质点的运动状态发生改 变，必定是受到其他物体的作用，这种机械作用就 是力。
第二定律（力与加速度关系定律）
质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的 力的大小，加速度的方向与力的方向相同。
设质点M的质量为m，所受的力为F，由于力F的
作用所产生的加速度为a，如图10-1所示。则此定律
以上两例都是动力学的第一类基本问题，由此可
归纳出求解第一类问题的步骤如下：
（1） 取研究对象并视为质点； （2）分析质点在任一瞬时的受力，并画出受力图； （3） 分析质点的运动，求质点的加速度； （4） 列质点的运动微分方程并求解。
例10-3 以初速v0自地球表面竖直向上发射一质量 为 m 的火箭，如图10-6所示。若不计空气阻力，火箭所
解：取质量块为研究对象，并视其为质点。质
量块沿x方向作直线运动，弹性杆对质量块的作用相 当于一弹簧，图10-8（b）是该系统的计算模型。
设弹簧刚度系数
为 k ，任意位置时弹
a
在静力学中，我们研究了力系的简化和平衡问题， 但没有研究物体在不平衡力系作用下将如何运动。在 运动学中，我们仅从几何学的角度描述了物体的运动 规律及其特征，并未涉及物体的质量(Mass)及其所受 的力。因此，静力学和运动学都是从不同的侧面研究 了物体的机械运动。
流体力学第五章流体动力学微分形式基本方程

流体力学第五章流体动力学微分形式基本方程


或 D w 0
Dt
第4页 退 出 返 回
（5.3a）
第五章 流体动力学微分形式基本方程
第一节 连续性方程
对于稳定流动， 0，于是式（5.1）变为
t wx wy wz 0
x
y
z
即
w 0
对于不可压缩流体， 为常数，则连续性方程为
wx wy wz 0 x y z
即
w 0
和为零，六面体中流体的质量是不变的，即
wx
wy
wz
0
t x
y
z
（5.1）
式（5.1）就是流体的连续性方程。将上式展开，并且注意到
d dt
t
wx
x
wy
y
wz
z
则连续性方程也可写成 1 d wx wy wz 0 dt x y z
（5.2）
写成向量形式 (w) 0
t
（5.3）
Fr
1
p r
w t
wr
w r
w r
w
wz
w z
wr w r
F
1
p r
（5.9）
wz t
wr
wz r
w r
wz
wz
wz z
Fz
1
p z
式中 Fr 、F 、Fz 分别为单位质量的体积力在r、、z方向的分量。
第4页 退出
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第五章 流体动力学微分形式基本方程
第二节 理想流体运动方程
其中，f1至f6是给定的函数。 对于稳定流动，流场中各点的物理量不随时间改变，所以不存在初始条
件。
边界条件是指所求物理量在边界上的取值。如对静止的固体壁面，由于
《高等动力学》课件

《高等动力学》课件

习题4
一质量为2kg的物体在力F=-3t^2+4 的作用下，从速度v0=3m/s开始做减 速运动，求t=2s时的速度和位移。
答案部分
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
答案1
牛顿第二定律的数学表 达式为F=ma，其中F 为物体所受合外力，m 为物体的质量，a为物 体的加速度。牛顿第二 定律的物理意义是描述 物体运动状态变化的原 因和规律，即力是改变 物体运动状态的原因。
01
高等动力学在研究基本粒子的运动规律和相互作用中具有重要
应用。
Байду номын сангаас
核聚变与核裂变
02
高等动力学用于分析核聚变和核裂变过程中粒子的运动轨迹和
相互作用机制。
等离子体物理
03
高等动力学在等离子体物理领域中用于研究等离子体的运动特
性和稳定性。
在天文学领域的应用
行星运动规律
高等动力学用于研究行星和其他天体的运动规律，揭示宇宙演化 的奥秘。
积极参与国际交流与合作，吸收国际先进经 验，推动高等动力学的发展。
CHAPTER
06
习题与答案
习题部分
习题1
简述牛顿第二定律的数学表达式及其物 理意义。
习题3
一质量为1kg的质点在力F=-2t^2+4 的作用下，从静止开始运动，求质点
的速度和位移与时间的关系。
习题2
计算一质量为2kg的物体在力 F=3t^2+4的作用下，在t=2s时的速 度和加速度。
特性
高等动力学具有理论性强、数学要求 高、应用广泛等特点，是物理学、工 程学、天文学等学科的重要基础。
高等动力学的重要性
基础学科地位
高等动力学是物理学的重要分支 ，为其他学科提供了理论基础和 工具，促进了科学技术的发展。
运动微分方程的解

运动微分方程的解


积分因子法
积分因子法的基本思想
通过引入一个适当的积分因子，将运动微分方程化为一阶线性微分方 程的标准形式，从而利用已知的求解方法求得未知函数的解析式。
积分因子法的适用条件
适用于一阶线性微分方程以及部分可化为一阶线性微分方 程的方程。
积分因子法的求解步骤
先根据运动微分方程的形式确定积分因子，然后将方程两边同乘以积分因 子并整理为标准形式，最后利用已知的求解方法求得未知函数的解析式。
意义
研究运动微分方程对于深入理解物体运动的本质和规律具有重要意义。同时，运动微分方程的求解方法也为解决 其他领域的实际问题提供了有力的数学工具。通过掌握运动微分方程的求解方法，可以培养数学思维和解决问题 的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
02
运动微分方程的建立
运动学基本方程
位移方程
描述物体位置随时间变化的方程， 通常表示为 $x(t)$。
速度方程
描述物体速度随时间变化的方程， 通过对位移方程求导得到，表示为 $v(t) = frac{dx(t)}{dt}$。
加速度方程
描述物体加速度随时间变化的方程， 通过对速度方程求导得到，表示为 $a(t) = frac{dv(t)}{dt}$。
动力学基本方程
牛顿第二定律
物体的加速度与作用力成正比，与物体质量成反比，表示为 $F = ma$。
VS
求解方法
通解的求解通常涉及到微分方程的解法， 如分离变量法、积分因子法、常数变易法 等。通过这些方法，可以得到包含任意常 数的通解表达式。
特解与通解的关系
特解与通解的联系
特解是通解在特定条件下的一个特例，即当通解中的任意常数取特定值时，通解就变成 了特解。
特解与通解的区别

第一节 位置矢量 运动方程

第一次课： 2学时1 题目： §1.1 位置矢量 运动方程§1.2 速度 §1.3 加速度2 目的： 1）掌握运动学描述的主要参量。

2）由运动方程求解。

一、引入课题：力学：研究机械运动的规律极应用。

运动学：研究物体的位置随时间变化而不考虑发生这种不变化的原因。

动力学：研究物体的运动和物体间相互作用的关系。

静力学：研究物体相互作用下的平衡问题。

二、讲授新课：第一章 运动和力§1.1 位置矢量 运动方程1.人类的“时空观念”即人类对时间和空间的认识。

1、时间：表征物质存在的持续性、物质运动变化的持续性和顺序性的物理量。

计量：选择物质运动的某个周期性变化过程作为标准来进行。

例：定义铯－133原子基态两个超精细能级之间跃迁的辐射周期的9192632770倍为1秒的时间间隔。

时间本身具有单方向性，是一维的。

时间的单位是秒，符号为s 。

2、空间：表征物质及其运动的广延性及物质彼此间的排列顺序的物理量。

一、时间和空间 三个历史发展阶段牛顿的绝对时空观爱因斯坦的相对论时空观 新宇宙学的宇宙时空观计量：选择某个物体的尺度或周期性运动的距离作为标准来测量。

例：定义光在空中1S时间间隔内行进的路程的1/299 792 485为1米。

空间中两点之间的距离称为长度。

长度的单位是米，符号为m。

二、质点定义：如果物体的大小和形状可以忽略时，就可把物体当作是一个有一定质量的点，这样的点称为质点。

质点：具有一定质量的几何点。

质点系：许多相互联系的质点组成的系统。

质量的单位是千克(公斤)，符号为kg。

1.质点是理想化的物理模型；2.平动物体可以作为质点；3.一个物体是否可以作为质点要视具体问题而定。

例：地球的自传与公转问题：有人说：“地球很大不可以作为质点，原子很小可以作为质点。

”这句话是否正确，为什么？三、参考系与坐标系1、参考系：被选作参考的物体或物体系。

宇宙中物体永恒运动。

大物 第一章 运动学

2 2 2
2

24
注意点 a) 加速度为速度随时间的改变率,加速度大, 速度不一定大.(如上抛运动)
b) 加速度的方向
i) 直线运动时 与速度方向成 0 或1800 ii) 曲线运动时 有指向凹
a
v
v v
a
a
25
处的。
以抛体为例
小结 (以一维运动为例) x = x(t)
求 导
v
dx dt
2
求0~5秒内物体走过的路程、位移和第5秒 时刻的速度。
28
解： x t 2 4t 2( SI）
t=0时，x1=2， t=5时，x2=7， 位移 x=x2 -x1=5(m)
速度 v=dx/dt=2t-4
令v=0,得t=2 路程S=13m -2 t=2 0
t=5 v=6m/s
2 t=0
rB
B
实际走过的路径的长度
位移(矢量) r -----位置的移动
y1 O
rA
A x1 x 2
r
X
14
2. 位移和路程的区别
位移和路程代表
不同的物理意义
Y y2
rB
B
位移的单值性和
路程的多值性
y1
rA
A
r
O
x1 x2
X
15
例1: 物体作何种运动时,其位移的大小和路 程相等? 答: 例2: 苏州 -50 无锡 单向直线运动 无锡 O 常州 常州 40 苏州 X(km)
2 2
1 2
at
2
V0 2a s
33
推导：
dv a ( const .) dt dv adt v v 0 at v dx dt v 0 at

高等动力学

高等动力学引言高等动力学是物理学中的一个重要分支，研究物体在外加力的作用下的运动规律。

它建立在牛顿力学的基础上，通过引入更复杂的数学和物理概念，使得对运动的分析更加准确和深入。

本文将介绍高等动力学的基本概念、运动方程和一些常见的应用。

基本概念动量动量是物体运动的一个重要量描述，它定义为物体质量与速度的乘积。

用数学公式表示为：动量（p）= 质量（m） × 速度（v）动量的单位是千克·米/秒（kg·m/s），是一个矢量量。

动量的大小和方向分别由质量和速度决定。

当物体速度改变时，动量也会随之改变。

动能动能是物体运动的能量形式，它定义为物体的动量与速度的平方之比的一半。

用数学公式表示为：动能（K）= 1/2 × 质量（m） × 速度的平方（v²）动能的单位是焦耳（J），也是一个标量量。

动能与物体的质量和速度成正比，速度越大，动能越大。

动力学定律在高等动力学中，有三条基本的运动定律，分别是：•第一定律（惯性定律）：物体在不受外力作用时，保持静止或匀速直线运动。

•第二定律（运动定律）：物体所受合力等于其质量乘以加速度。

•第三定律（作用-反作用定律）：任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。

这些定律描述了物体在外界作用下的运动行为，为高等动力学的研究提供了基础。

运动方程直线运动方程对于物体在直线上的运动，高等动力学提出了一些运动方程，使得能够更加精确地描述和预测物体的运动。

•位移-时间关系：位移（x）= 初速度（v₀） × 时间（t） + 1/2 × 加速度（a） × 时间的平方（t²）•速度-时间关系：速度（v）= 初速度（v₀） + 加速度（a） × 时间（t）•速度-位移关系：速度的平方（v²）= 初速度的平方（v₀²） + 2 × 加速度（a） × 位移（x）曲线运动方程对于物体在曲线上的运动，运动方程的形式会有所变化。

运动方程


计算速度还可以用下面的方法:
| vx | cosθ = v0
cosθ =
x x2 + h2
| vx
|=
v0 cosθ
=
v0
x2 + h2 x
vx = − v0
x2 + h2 x
负号表示船速沿 x 轴负方向.
vs = − v0
s2 + h2 s
复合函数 求导规则
h
vx θ v0
O
s
v⊥ x
a
=
dvx dt
微信公众号:daxuewulinet
例1-9. 如图, 一艘小船在湖面上, 岸边的人以恒定速率 v0 收拉绳 子, 求小船距离岸边 s 时的速 度和加速度.
解: 如图建立坐标
x, h 和 l 总是满足勾股定理:
x2 + h2 = l2
上式两侧同时对时间求导数
dx2 + dh2 = dl 2 dt dt dt
kdx
v v0
0
v
lnv
= − kx
x
ln v = −kx
v0
0
v0
v = v0e−kx
与上一例题不同, 本题第一步做了变量代 换.
题设给的是 v 与 t 满足的方程, 需要求解 的是函数 v(x), 所以要根据运动学关系, 适当地引入 x 变量, 后面的求解过程与上 一例题类似.
分离变量和变量代换是解决运动学问题 常用的数学手段, 必须熟练掌握.
[ ]
2ti
+
(19
−
2t
2
)
j
⋅ (2i
−
4tj )
= 4t − 4t(19 − 2t 2 )

基于六自由度运动方程的潜艇转向位置推算表

在敌舷角为大舷角 的情况下较 大。
于较为科学的潜艇 六 自由度 运 动方 程对 潜艇位 置 的实 时 推算制作而成 的 ， 与传统 方 法 比较起 来 ， 从原 理上 讲前 进
了一步。
５ 结束语
潜艇转 向机动是鱼雷 攻击过 程 中的一个重 要环节 ， 与 传统方法相 比， 根据潜艇六 自由度运 动方程制 作而成 的潜
本文采用 美 国泰勒 海 军舰船 研 究 和发展 中心发 表 的
角度在 ３ 。～１０ 的数 值 ， 向速度 给 出了 ４，， 节 ３种情 ０ ８。 转 ６８ 况 。② 通过潜艇六 自由度运 动仿 真程 序也 可 以得 出潜 艇 转 向前速度为其他数值 的位移量 坐标 ， 并据 此制 成不 同转 向角度 、 向速度 下潜 艇转 向到时位 置推算 表 。③ 如 有需 转
潜艇 在进 行 鱼雷 攻击 肘 ， 论是 走 接近航 向航路 、 无 离 开航 向航路还是反方 向航路 ， 均至少要进行 １ 变向变速 ， 次 因此潜艇的转 向过 程是 潜艇 在 进行 鱼雷 攻击 时测 定 目标 运动要素所必不可少 的。现 今 ， 艇航 海长在 进行 鱼雷攻 潜 表 １是某型潜艇转 向前速度 为 ８节 ， 向右转 向， 在不 同 转 向速度 、 向角度的情况下 其转 向到 时位 置相 对于开 始 转 转 向位 置点的位移量表格 。
度 １． １节 。 ７４
对应的表格 ， 后依 据 转 向速度 、 向角 度找 到对 应 的单 然 转 元格 ， 利用战术 尺将 单 元格 中 的横 、 纵位 移量 转化 为 图上 的距离 ， 并从转 向开始 点沿 着转 向前 航 向 ， 取距 离转 向 截 开始点为潜艇纵位移量 的点 ， 此点作 转 向前航 向线 的垂 过 线 。如果潜艇是右 （ ） 左 舵转 向， 则从转 向开始点沿着 转 向 前航向顺 （ ） 逆 时针 旋转 ９ 。 ０ 的方 向截取距离转 向开始 点为

流体力学中的三大基本方程讲解


运动方程：
x y z 0 x y z
x x x x 1 p 2 x 2 x 2 x x y z fx ( 2 2 2) t x y z x x y z
y
（ dt）dxdydz dxdydz dtdxdydz t t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxdydz / dt dxdydz t t
（微团密度在单位时间内的变率与微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
（x） （y） （z） 0 t x y z
a
在三个坐标轴上的分量表示成：
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
d x p dxdydz dxdydz f x dxdydz dt x
单位体积流体的运动微分方程：
d x p fx dt x
单位质量流体的运动微分方程：
质量为m微团以v运动具有mv22动能若用重量mg除之得v22g理想不可压缩流体在重力场中作稳定流动时沿流线or无旋流场中流束运动时单位重量流体的位能压力能和动能之和是常数即机械能是守恒的且它们之间可以相互转换
流体力学中的三大基本方程
刘颖杰
1 连续性微分方程

理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用 数学描述：
欲求Q，须 求

1 层流： max 2
紊流：
0 82 max
谢
谢
！
dxdydz f
f x dxdydz
② 表面力： 理想流体，没有粘性，所以表面力只有压力 X方向上作用于垂直x轴方向两个面的压力分别为：
p dx pM p x 2
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对于均匀磁场B，矢势A可以写成
1 A R B 2
4
此式证明如下：
利用公式
(u1 u2 ) (u2 )u1 - (u1 )u2 u1 ( u2 ) u2 ( u1 ) u x u y u z u x y z 当 u r 时， r 3, r x y z x y z 1 1 ( B r ) (r ) B ( B )r B( r ) r ( B) 2 2 而 B 为均匀磁场， (r ) B 0, B 0
1
系统运动方程取决于系统本身的情况和外部环境，
而外部环境通常是电磁场和各种模型中的势场。
当系统的线度不大时，外加的宏观电磁场可以看成 是均匀的，但可随时间变化。哈密顿中的明显含时因
素几乎全部出自外电磁场的变化。
二、具体形式
1. 空间运动部分
这部分可从系统经典分析力学中的哈密顿H(x,p,t) 得到。只要将其中的x和p换成粒子的位置和动量算 符，即可得到哈密顿算符。如电磁场中的带电粒子
2 M2 l (l 1)B , M z mB
其中
B
e 9.2740154 10 24 J T 1 2m
5.7883826 105 eV T 1
称为玻尔磁子。
﹟
8
2. 有关自旋的项 对 H中与自旋有关的项，由于没有经典类比，无
法从经典分析力学中得出，应该利用电子自旋磁矩
式中 , 都是x,y,z,t的 方程
i | (t ) H | (t ) t
是时间的一阶微分方程，初态 | (t0 ) 给定，原则上 可以知道任意时刻的状态 | (t ) 。由此可定义一个
演化算符U(t,t0)使其满足
例如，哈密顿中自旋在外磁场B中的能量附加项为
e e M B S B B m 2m
另外，一个电子的自旋磁矩与自己的轨道磁矩的相 互作用能 (即旋轨耦合)，例如对类氢离子中电子为
Ze 2 1 ( R) S L 2 2 4 0 2m c R R 1
注意：哈密顿算符在此两个绘景中是一样的。为什么？
21
于是得
H i A (t ) [ H H , A H (t )] t
3
2 1 将 H (P qA) q V 2m
两边同时作用到任意态矢量 上，注意到 iqA iq (A ) 2iqA iq( A)
有
1 2 q iq q2 2 H P AP( A) A q V 2m m 2m 2m
式中 L R P 为粒子的角动量算符。
于是单粒子的哈密顿可以写成
7
1 2 q q2 2 H P BL A q V 2m 2m 2m
式中A2项由于数量级小，往往可以略去。 由此可定义单粒子的轨道磁矩算符
M q L 2m
在L的本征态|lm>中，轨道磁矩的大小及其z分量取确 定值，例如对电子有
2
经典哈密顿量为
2 1 H ( P qA) q V 2m
V是其它因素对哈密顿的贡献。 故单粒子的哈密顿算符为
2 1 ˆ ˆ qA) q V H (P 2m
其中 A A( R, t ), ( R, t ).
为方便起见，以后算符上不再加算符符号。
景中态矢量是含时的，服从Schrö dinger方程
17
i | (t ) S H S | (t ) S t
而一般算符则不含时（一些含时微扰除外），这样
S i A 0 t
在Schrö dinger绘景中还可以取各种表象(representation)。每一种表象都同一组特定的基矢相联系，而 基矢是不含时的。
14
1， 若t t ' 令 (t t ' )为阶跃函数，定义为 (t t ' ) 0 若t t '
则上述时序算符为
C[H (t1 )H (t2 )H (tn )] (t1 t2 ) (t2 t3 ) (tn1 tn )
H (t1 ) H (t2 )H (tn )


5
但 ( B )r ( Bx By Bz )(xi yj zk ) x y z Bx i By j Bz k B 1 1 ( B r ) ( B 3B ) B 2 2 而 B A 1 1 A ( B r ) r B （前面曾经介绍过） 2 2
故可知态矢量的归一化性质不随时间改变，即若 | (t0 ) 是归一化的，则 | (t ) 对一切时间都是归一 化的。
13
当哈密顿显含时间时, 由于H (t1 ) 与 H (t2 ) 不一定对易, 式
U (t , t0 ) e
i ( t t0 ) H
不再成立。 但演化算符的微分方程
12
于是得演化算符满足的微分方程为
i U (t , t0 ) HU (t , t0 ) t
当H中不显含时间时，此式在 U (t0 , t0 ) 1 的初始条 件下的解为
U (t , t0 ) e
i ( t t0 ) H
这就是当H中不显含时间时演化算符的具体形式，
是一个幺正算符。
符取进行，即含时幺正算符是
19
U 1 (t ,0) U (0, t ) e
i S H t
式中 H S 是这个系统的SP中的哈密顿。若H S本身含时 间，则上式不成立，无法建立HP。 2. HP绘景中的态矢量和算符 SP中的态矢量和算符经过上述含时幺正算符的作
用后所得的新的态矢量和算符就是 HP 中的态矢量
和算符，记为
| H U 1 (t ,0) | (t ) S | (0) S AH (t ) U 1 (t ,0) ASU (t ,0)
20
3. Hersenberg方程
HP 的特点是，态矢量 | H 不随时间改变，因为
幺正变换把任意时刻态矢量都变回初态的态矢量， 而在HP中描写物理量的算符则是随时间变化的, 即
这是我们经常使用的公式。它说明了矢势同矢径 和磁场的关系。
﹟
6
而电磁波是横波，即有 A 0，且式
1 2 q iq q2 2 H P AP( A) A q V 2m m 2m 2m
右方第二项成为
q q AP BR P m 2m q q BRP BL 2m 2m
§11
一、一般形式
运动方程
§11.1 Schrö dinger方程 根据量子力学基本原理4，微观体系的状态 | (t ) 随时间的变化规律满足下列Schrö dinger方程
i | (t ) H | (t ) t
此方程适用于粒子有自旋或无自旋以及单粒子或 多粒子等所有情况。 当单粒子有自旋时，波矢量和哈密顿分别是位形 空间和自旋空间二者直积空间中的矢量和算符。
| (t ) U (t , t0 ) | (t0 )
显然，U(t,t0)的具体形式取决于薛定谔方程中的H。 将上式代入薛定谔方程中，得
i U (t , t0 ) | (t0 ) HU (t , t0 ) | (t0 ) t
此式对同一系统的一切初态 | (t0 ) 都成立。
讨论原子问题时，常在哈密顿中加上由自旋引起
的能量。这些都相当于在哈密顿中V这一项。
﹟
10
3. 含有自旋的薛定谔方程
在 S z 表象下，含有自旋的薛定谔方程可以写为 如下的泡利方程
e [ H1 S B f ( R) S L] i i t t m
一、Heisenberg picture (HP)
1.定义： 当系统的哈密顿 H S不含时时，可以保持 Hilbert
S | ( t ) 空间中基矢框架不动，将 连同所有描写物
理量的算符 A S 全部进行一个含时的幺正变换。这 种描述方式就是HP。
注意：与基矢的幺正变换相区别。
幺正变换选用这个系统的演化算符U(t,0)的逆算
上式中的求和是对 t1, t2 ,tn 的一切排列进行，故右 边共有 n! 项，但是对于每一组 t1, t2 ,tn的值，只有 一项不为零。 比如，对时间序列 1，3，5，4，2
其排列有5！项，在这些排列中，只有5,4,3,2,1这个 排列是非0的。其它任何一个排列都存在 t t ' 的项， (t - t '。 )0 从而导致一个因子
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一、绘景变换 我们说，幺正变换U(t)使我们得到量子力学关系式 的另一个绘景。 改变绘景的目的是选择适当的含时幺正变换，使 得在新的绘景下，某一问题的解决更方便一些。 二、薛定谔绘景(Schrö dinger picture)
到目前为止, 我们所用的绘景没有经过幺正变换，
称之为Schrö dinger绘景（SP）。 为了同新绘景相区别，我们把为Schrö dinger绘景 中的矢量和算符写成 | (t ) S , AS 的形式。在这个绘
﹟
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§11.3 绘景变换
量子力学中的各种关系式，可以直接用矢量和算
符表示，也可以取不同的表象用矩阵表示。不同表 象中的矢量和算符，通过一个不含时的幺正矩阵联 系起来。一个关系式在不同表象中的形式是完全等 价的。 现在取一个含时间的幺正算符 U(t)，作用在所有 的矢量和算符上进行幺正变换。这样会得到与原来 的矢量和算符的关系完全平行和等价的关系，但其 形式会发生较大的变化。这种变换叫…