一、三角形与平行线
七年级下学期综合题(二）
１１ 如图， AB ∥CD , 点P 为一个动点, 下面四个图形中点P 相对于A 、B 、C 、D 四点的
位置不同， 那么∠APC 与∠P AB , ∠ＰC Ｄ的关系是否也不同, 请你分别探讨， 写出你的结论, 并对每一个结论说明理由．
１2。已知, 如图, 射线C Ｂ∥OA, ∠C=∠OA Ｂ, 点E 、F 在CB 上, 且满足∠F ＯB ＝∠ＡOB, OE 平分∠ＣO Ｆ．
(1) 若∠C=１00°, 求∠EOB 的度数.
(2） 若平行移动ＡB, 其它条件不变, 那么∠OBC:∠OF Ｃ的值是否发生变化? 若变
化， 找出变化规律, 若不变, 求出这个比值. （3) 在平行移动AB 的过程中, 若∠ＯEC ＝∠OB Ａ, 则有①
COE
AOB
∠∠为定值； ②
OAB
OEB
∠∠ 为定值, 其中有一个结论是正确的, 找出正确结论并求该定值.
13。已知， 如图， 直线AB ∥CD, 直线EF 分别交AB 、CD 于E 、Ｆ两点, EM 、FN 分别平分
∠BE Ｆ、∠CF Ｅ. (1) 求证： EM ∥FN;
(２） 如图, ∠D ＦE 的平分线交ＥM 于G 点, 求∠EG Ｆ度数;
(3） 如图∠BEG 、∠DFG 的平分线交于H 点, 试问： ∠H 与∠Ｇ的度数是否存在某种
特定的等量关系? 证明你的结论， 并根据结论猜想： 若∠BE Ｈ、∠DFH 的平分线交于K 点, ∠Ｋ与∠G 度数关系,请是,说明理由。
14 已知直线a ∥b, 点Ａ在直线a 上, 点B 、Ｃ在直线b 上. (1) 如图, 求证: ∠1+∠２+∠3=1８0°.
(２) 如图, 点D 在线段BC 上， 且恰有A Ｂ平分∠MAD, AC 平分∠NA Ｄ,
若∠D ＥC=(x+z ）°， 且x 、z 满足方程组???
??=++=++=++90
z 91y 90x 890z 91y 90x 890z y x 2
22, 求证: ∠1＝∠2.
(3） 若点Ｆ为线段A Ｂ上不与Ａ、B 重合的一动点, 点Ｈ在AC 上, FQ 平分∠ＡFD 交
AC 于Q, 设∠HF Ｑ=y °, (此时点D 为线段BC 不与点B 、C 重合的任一点）， 问当α、β、y 之间满足怎样的等量关系时， ＦH ∥a ． （如图)
14
１５ 探究下列问题：
在下列三个图形中, 已知∠A ＢC ＝2°, ∠θ=９0°. (1) 在图(a ）中, ∠α1=∠β1, 试求∠Ａ的度数;
（2） 在图(b ）中， ∠α1=∠β1， ∠α2＝∠β2, 试求∠Ａ的度数; (3） 在图(c )中， ∠α1=∠β1, ∠α2=∠β2, …， ∠αn ＝∠βn (n 为大于１的自然数）,
试推出∠Ａ的度数ｘ与n 的关系式.
M N
1６如图，所示△ＡBC是三块平面镜.
已知: 入射光线EF经平面镜AC反射成光线ＦG, 满足∠EFＣ=∠AFG．(其余光线经平面镜反射类同)
(1) 如图1，若EF∥AB,FG∥ＢC, ∠A=7０°, 则∠B的度数为;
(２）如图２, 光线EＦ经平面镜ＡC反射成ＦG, 再经平面镜AＢ反射成GＦ（∠GE Ｂ≠
∠FＥC）, 若∠A=80°, 求∠FEG的度数;
(3) 如图３,若光线EＦ∥AB,FG∥ＢC, FＧ经平面镜AB反射成GH, ＧＨ∥AC, G
Ｈ经平面镜BC反射成HD，问ＨＤ是否平行于AB? 若平行,请画出HD,并证
明；若不平行, 请说明理由.
１７两条平行直线上各有n个点, 用这n对点按如下规则连接线段: ①同一直线上的点之间不连接,②连接的任意两条线段可以有共同的端点，但不得有其他的交点.
(1) 画图说明当n=1，2，3时, 连接的线段最多各有多少条?
(2)由(1) 猜想n（n为正整数)对点之间连接的线段最多有多少条, 证明你的结论;
（３）当n=20０９时，所连接的线段最多有多少条？
(4)试猜想当n对点时, 按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
(5) 当ｎ=２０09时,按上述规则画出的图形中, 最少有多少个三角形？
18 如右图, 一个直角△AＢC的木框和一个端点为O且可任意调整角度的直尺，其中∠ACＢ=90°,∠Ａ=α.
(1)如图,调整角尺, 使角尺的一边OＤ垂直于AB，另一边OＥ经过直角顶点Ｃ,与
ＡB交于E点, 若∠ＤOE=45°,α=30°, 求∠BＣE；
(2) 如图, 使角尺的一边OD垂直于边AB, 另一边OE搭在直角边AＣ上，调整此时
的角度,使∠DＯＥ=∠A,延长BC交OE于Ｆ,作FG平分∠CＦＥ交AC于G，请判断此时FG与ＡB的位置关系, 并证明你的结论;
(３）如图, 使角尺的两边分别与△ABC的两边垂直,即OD⊥ＡＣ于D, OＥ⊥AB交ＢＡ的延长线于E, ∠DＯＥ与∠ACB的平分线交于点Ｐ. 是否存在一个α, 使∠
P=α? 若存在, 请求出α的值; 若不存在，请说明理由．
19。已知△ABC中，AB=AC,AD⊥BＣ于D.
(1)如图(1)中,ＡB＝AC=１3, BC＝10, AD=１2,P为边BC上
任意一点, P Ｅ⊥AB 于E ，
ＰＦ⊥A Ｃ于F , 求PE +PF 的值;
(2) 如图（2)中, AB =ＡC =１3, ＢC =24, AD =5, P 为线段B Ｃ延长上任一点, PE ⊥AB 于
Ｅ， ＰF ⊥AC 于Ｆ， 试探究PE 与PF 之间是否存在某种确定的数量关系, 若存在, 试求出; 若不存在, 请说明理由.
图(1） 图(2)
2０ 6. 如图, 四边形ABCD 中， AD ∥BC, D Ｅ平分∠A ＤB, ∠BD Ｃ=∠BC Ｄ． (1) 求证: ∠1+∠2＝９0°.
（２) 若∠A ＢD 的平分线与CD 的延长线交于F, 且∠Ｆ=55°, 求∠ABC. (3） 若H 是BC 上一动点, F 是ＢA 延长线上一点, FH 交B Ｄ于Ｍ, FG 平分∠ＢFH, 交
DE 于N, 交BC 于G ． 当H 在ＢC 上运动时（不与B 重合), ①DNG
DMH
BAD ∠∠+∠的
值不变; ②
BMH
DNG
∠∠的值不变， 其中只有一个结论是正确的, 请判断正确的结论并
求出其值．
1、如图,△ＡBC 中，B 、C 两点分别相交在x 轴的负半轴和正半轴上，AO 、BD 是内角∠B
ＡC 、∠ABC 的平分线，AO 、BD 相交于点I,若∠B ＡC=α+β，∠ＡＢC=α-β，∠ＡCB=α(０°<β<α<90°）。
(1）求∠AIB 的度数;
（２)一直线垂直于T 、Ｅ、Ｐ，
求证：∠BEQ=1
2
β．
I
D
C B
A
２、在直角坐标系中，E 、F 分别是x 轴负半轴和正半轴上一点，G 是y 轴正半轴上一点，且∠OG Ｅ＝∠O ＧＦ.
（１)设E(a ，0）,F （ｂ，0),G （０，c ）,若｜a+b|＋（a+2ｃ－4）２≤-(b ＋c-5)２
,求Ｅ、F 、G
三点的坐标，并求出S △EFG ;
(2)Ｐ是ｘ轴正半轴上一点，过P 点任作一直线分别交GE 、GF 的延长线于A 、B ，求证:∠
AP Ｅ=
1
2
(∠ABG-∠A ) (3）在(２)的条件下，过Ｐ另作一直线分别交GE 、GF 于Ｃ、D ，且使∠A ＰE ＝∠CPE ，下
面两个结论：①∠AP Ｃ的度数是一个定值。②∠A+∠BD Ｃ的度数是一个定值。其中只有一个结论是正确的,请选出正确的结论，并求出其值。
3、如图,在直角坐标系中，A （a 。 (1）求Ａ、B 的坐标及S △OAB ；
(2)E 、D 是AB 上两点，并且满足∠A (３)在（2)的条件下，ＤP 平分∠①
P BDO OEA ∠∠-∠为定值;②BDO OEA
∠+∠为定值，其中只有一个是正确的,请
你作出正确的选择,并证明你的结论。
解：
设在△ABＣ中，ＢD 平分∠ABＣ,C Ｄ平分△ＡBC 与∠A 的关系为:∠D＝∠A／２?理由:?如图,的和”得:?∠D＋∠DBＣ＝∠DCE ?所以∠Ｄ＝∠DCE -∠DBC
同理∠Ａ=∠ACＥ-∠ABＣ?因为BD 平分∠ABＣ，ＣＤ平分△ABC 的外角∠AＣE ?所以∠DBC=∠AＢC/2，∠ＤCE=∠ACE/2
所以∠D=∠ＡCE/2－∠ＡBC/2?＝(∠ACＥ－∠ABC)/2 ＝∠A／2
P G
F E D C B A 第2题图 P O D
E B
A 第3题图
P
O
D
E B
A
第3题图
第二个结论对,1/１0
４、如图, 直线AB 分别交ｘ轴、ｙ轴于A 、B ， Ｃ在ｙ轴正半轴上, 作∠OC Ｄ=∠ＯAB ，
C Ｄ交ＯA 于D.
(1) 请说明ＣD 与AB 的位置关系, 并予以证明;
(2） ∠ADC 的平分线DE 与∠ＯAB 的平分线交于F, 求∠Ｆ;
(3) M 是线段ＡD 上任意一点（不同于A 、D), 作MN ⊥x 轴交A Ｆ于N ， 作∠ADE 与∠
ANM 的平分线交于P 点, 在前面的条件下, 给出下列结论：①∠P-∠M ＡN 的值不变；②∠Ｐ
的值不变. 可以证明， 其中有且只有一个结论是正确的, 请你作出正确的选择并求值.
５、如图, 点Ａ、B 在x 轴上， 点Ｃ在y 轴的正半轴上,
(1)若CE 平分∠ACB 交ＡB 于点E. 求证:∠CA Ｂ-∠C ＢA ＝2∠OCE ；
（2)若∠CAB=6０o, 点M 为AC 延长线上的动点, M Ｆ、BG 为△A ＭB 的角平分线且交于
点Ｉ． 下列结论：①
IF
IG
的值不变;②MG+ＢF 的值不变. 其中有且只有一个是正确的, 请指出正确的结论并求出该值.
6、在直角坐标系中,已知△A ＢC 的三个顶点是Ａ（0，a ），B(b ，０），C （c ，0)，D 是线段
上AB 上任一点,直线O Ｄ交直线AC 于Ｅ，∠A ＤO 和∠ABO 的平分线交于点P 。
（1)若｜a －2ｂ-c|+（ａ+２ｂ）2+（b+1）２ｎ
＝0(其中n 为正整数），求A 、B 、C 的坐标,并
求△ABC 的面积。
(2）若E 点在AC 边的延长线上,∠ACB 与∠ＡＥD 的平分线交于Q 点，下面两个结论:①∠
Ｐ+∠Q 的值不变;②∠Ｐ－∠Q 的值不变，其中只有一个结论是正确的,请选择正确的结论并给出证明，求出定值。
（3)若E 点CA 边上的延长线上，第（2)问的结论是否仍然成立呢?若成立，请给出证明;若
不成立，不否存在其它的特性呢？试探索,并说明理由。
5题图 第6题图
7、 图甲，平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 轴，ｙ轴于A 、B 两点，令∠O ＡB =x °，
∠ＯＢA =y °. (12332(2)x y =-求∠ＯAB ,∠O ＢＡ.
(２)如图乙,沿AB 、OB 放置两面镜子，从Ｏ点发出的光线经AB 、ＯB 两次反射后，光线DF
与入射光线OC 交于Ｅ点，在（1）的条件下，求∠CED ．
(3)如图丙，过线段A Ｏ上任一点Ｇ作直线交线段AB 于Ｍ,交ｙ轴负半轴于N ,∠AMG 与∠NO
Ｇ的平分线交于Ｐ点,且∠ＭBN =∠M ＮＢ,下列结论①∠P 的值不变；②∠P +∠M ＮB 的值不变,可以证明，其中有且只有一个结论正确，请选择并求值。
O E C B A M I C G
O F B A Q P
C E
D O B
A
8、在平面直角坐标系xO ｙ中,x 轴上和第一象限ＡB 方向上各有一平面镜，A Ｂ方向上的平面镜与x 轴的夹角为∠β,一束光线CD 以∠α的入射角射到ｘ轴上的点D (m ，0)，经两次反射后的反射线光线EF ,40340m αα--=+- (1)求点D 的坐标与∠α的度数.
（2）∠β在什么范围时,反射光线ＥF 才能与入射光线CD 相交于一点Ｈ ?
（3)在（２）的条件下,平面镜绕Ｂ点旋转,设射线ＥF 交x 轴于F 点，则下列结论：①
DHE HED EFD ∠+∠∠的值是定值；②DHE HED
EFB ∠-∠∠的值是定值。其中只有一个正确，请
你判断出正确的结论，并证明。
9、在直角坐标系ｘOy中,在第一象限AB方向和ｘ轴上各有一平面镜，一束光线CD经过两
次反射后的反射光线是EF,且∠DCE＞∠DＥC，已知C(m,0），E（n，0)，其中m，n满足2
|3|(4)0
m n
-++=
(1）求C、E的坐标。
(２）若∠ABＥ=30°,求入射光线DC和反射光线EF所在直线的夹角∠Ｑ的度数。
(3)若平面镜ＡB绕D点旋转时,设法线DＨ交y轴于H,则下列结论:
①
DCE DEC
OHD
∠+∠
∠
为定值,②
DCE DEC
OHD
∠-∠
∠
为定值。其中只有一个正确,请你判断
出正确的结论，并证明。
１0、如图,直角坐标系中，A点是第二象限一点,AB⊥x轴于B,且C（0，2)是y轴正半轴上一点，OB—OC=2，S四边形ABＯC=1１。
(1）求Ａ点坐标；
（2）设D为线段OB上一动点,当∠CDO=∠A时，CD与AC之间存在怎样的位置关系?并证明。
（3）当D点在线段OB上运动时,作ＤＥ⊥CD交AB于E,∠ＢED，∠ＤCＯ的平分线交于M,现给出两个结论。①∠M的大小不变；②∠BED+∠CDO的大小不变。其中只有一
个结论正确,请你判断哪个结论正确，并说明理由。