习 题 6—4 1、一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则 (,,)M x y z C MA z u u u r ∈? = 亦即 z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x . 2、 求下列各球面的方程： （1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-； （3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(2 2 2 =-+++-z y x （2）由已知，半径73)2(6222=+-+= R ，所以球面方程为49222=++z y x （3）由已知，球面的球心坐标12 3 5,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(2 1 222=++++-= R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x （4）设所求的球面方程为：02222 22=++++++l kz hy gx z y x 因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以???????=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得???? ???=-=-==2210k g h l ∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x . 3、求下列旋转曲面的方程： （1）将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周所生成的旋转曲面； 解：222x y z +=(旋转抛物面) .
第四章曲线与曲面 Chapter 4 Curve and Curved Surface 建筑工程中常会遇到由曲线、曲面与平面围成的曲面体。如圆柱、壳体屋盖、隧道的拱顶以及常见的设备管道等等，它们的几何形状都是曲面体，如图4-1所示。在制图、施工和加工中应熟悉它们的特性。本章将介绍常用的一些曲线、曲面及其投影。 图4-1 悉尼歌剧院 第一节 曲线 [Curve] 一、曲线的投影特性[Characteristics of Curve Projection] （一） 曲线的形成 曲线可以看作是一个动点在连续运动中不断改变方向所形成的轨迹，如图4-2(a)；也
可以是平面与曲面相交的交线，如图4-2(b )；或两曲面相交形成的交线，如图4-2(c )。 （二） 曲线的分类 （1） 平面曲线——曲线上所有点都在同一平面上，如：圆、椭圆、抛物线、双曲线、 及任一曲面与平面的交线。 （2） 空间曲线——曲线上任意连续的四个点不在同一平面上，如：螺旋线或曲面与曲 面的交线。 （三） 曲线的投影特性 曲线上的点，其投影必落在该曲线的同面投影之上,见图4-2(a )中，曲线上M 点，其投影m 落在曲线的投影l 上。 曲线的投影一般仍为曲线。在对曲线L 进行投影时，通过曲线的光线形成一个光曲面，该光曲面与投影面的交线必为一曲线，见图4-3(a )。 若曲线是一平面曲线，且它所在平面为投影面垂直面时，则曲线在所垂直的投影上的投影为一直线，且位于平面的积聚投影上，见图4-3(b )；其他二投影仍为曲线。 若曲线是一平面曲线，且它所在平面为投影面平行面时，则该曲线在所平行的投影面上的投影为曲线的实形，见图4-3(c )，其它二投影均为直线且平行于投影轴。 空间曲线，在三个投影面上的投影仍为曲线。 二、 圆的投影 [Projection of Circle ] 圆是平面曲线之一，其投影由于圆面与投影面相对位置不同有三种情况： （1） 圆面平行于某一投影面时，则圆在该投影面上的投影为圆（实形）；另外两个投 影积聚为一直线段（长度等于圆的直径），且平行于投影轴。 （2） 圆面垂直于某一投影面时，则圆在该投影面上的投影积聚为一倾斜于投影轴的直 线段（长度等于圆的直径）；另外两个投影为椭圆。 （3） 圆面倾斜于投影面时，投影为椭圆（椭圆长轴等于圆的直径）。 如图4-4(a ) 所示，圆属于正垂面 P ，因此，正面投影为一直线，水平投影为一椭圆。 其投影图作法如下： （1） 定OX 轴及圆心的V 、H 投影 o ′、o ，见图4-4 (b )。
习 题 6—4 1、一动点移动时,与)0,0,4(A 及xOy 面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下,动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则 (,,)M x y z C MA z ∈?= 亦即 z z y x =++-222)4( 0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x ． 2、 求下列各球面的方程： （1)圆心)3,1,2(-,半径为6=R ； (2)圆心在原点,且经过点)3,2,6(-； (3)一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与;（4)通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解:(1）所求的球面方程为:36)3()1()2(2 2 2 =-+++-z y x (2)由已知,半径73)2(6222=+-+= R ,所以球面方程为49222=++z y x (３）由已知,球面的球心坐标12 3 5,1213,3242=-=-=+-==+=c b a , 球的半径21)35()31()24(2 1 222=++++-= R ,所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x （4)设所求的球面方程为:02222 22=++++++l kz hy gx z y x 因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-,所以???????=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得???? ???=-=-==2210k g h l ∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x . 3、求下列旋转曲面的方程: (１）将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周所生成的旋转曲面; 解:222x y z +=(旋转抛物面) ．
第二章轨迹与方程 学习目标 1．进一步理解曲线和方程的关系，会写出平面曲线的矢量式（坐标式）参数方程，能将曲线的参数方程与普通方程进行互化，认识一些常见平面曲线的方程及形状。 2．理解曲面方程的概念，能根据曲面上点的特征性质来导出曲面的方程。3．初步理解柱面的概念，知道母线平行于坐标轴的柱面方程。 4．理解空间曲线的一般方程、参数方程的概念，会求一些简单的空间曲线的一般方程和参数方程。 A：掌握 1：基本概念：平面曲线的矢量式参数方程，曲面的一般方程和参数方程（坐标式和矢量式），空间曲线的一般方程和参数方程（坐标式和矢量式）。 母线平行于坐标轴的柱面，空间曲线对坐标面的射影柱面及空间曲线在三坐标面上的射影。 2：基本方法 ①根据轨迹条件用矢量方法求平面曲线和空间曲线（圆柱螺旋线、圆锥螺旋 线）的参数方程。 ②根据轨迹条件求曲面的一般方程和用矢量方法求曲面（球面、圆柱面）的 参数方程。 ③将曲线、曲面的参数方程化为一般方程。 ④二次柱面简图的画法。 ⑤求空间曲线对坐标面的射影柱面和它在三坐标面上的射影。 3：基本理论 ①三元二次方程表示球面（包括点球面、虚球面）的充要条件的证明及球心、 半径的求法 ②母线平行于坐标轴的柱面方程的特征及证明 B：理解 将平面曲线和空间曲线的一般方程化为参数方程的常规方法。 教材分析 本章的学习重点是曲面及空间曲线的一般方程和参数方程（坐标式和矢量式）的定义，以及根据轨迹条件建立曲面的一般方程和参数方程、建立空间曲线的参数方程。 本章的学习难点是用矢量方法建立曲线和曲面的矢量式的参数方程。 在本章的学习中建议注意以下几个问题： 1：在学习轨迹与方程的对应关系时，必须弄清楚为什么要满足两个条件。 2：学习空间曲面的一般方程时应指出F（x,y,z）=0未必表示一个曲面，它可以表示多个曲面、空间曲线、空间点虚曲面，例如方程xyz=0表示三个坐标面， 方程表示一直线 方程表示一点（1，-1，2） 方程表示虚曲面
?∑====-∞→∞→t n i i i n n dt dt t dP P P n L c 01 1) (lim )(lim T dt dc dt dp dt dp dt dc dt dp dt dp T dc dp c T dt dp dt dp dt dp if t dc dp T c P dc dp c P t P c P t C r dt dp t r if P t P t t P P c ?=?== =±==?≠→=??=→?=??→???→??=?-?+=?→?对比上两式：对于参数对于一般参数＝单位切矢量，则：为曲线参数，即如选择设弧长为点切线方向的方向为点有切线弦长 ，:1 0:1lim ) ()(C 00)()(0曲线过于平坦 如果切矢量远小于弦长曲线过顶点或回转 倍如果切矢量是弦长的：切矢量：单位切矢量明确概念：??n dt dp dc dp )()()()(0)()(0 c P P t P P t c c t t c c dt t dP dt dc dt dt t dP c t ==?=?=?>=?=?可以用弧长参数表示曲线存在反函数的单调函数是关于参数k dc z d dc y d dc x d k c p dc p d k c p dc dp T dc dT T T T T c T c k T T T T T T T T c T T T c T T c T T T T T c c c 1)()()()()()lim ()lim (lim 1lim ,2/1222222 222''22 '21210002 12 10212121212121=??????++=?==?===???=??=∴=???=???=???=?=?? →?→?→?? →?? ?ρ?????曲率半径：又又：ΘΘ为单位主法线矢量点的法线）与主法线（通过曲率中心的法线平行垂直的平面）法平面（通过该点与在同一平面 点为中心向外辐射），以曲线某点有一束法线（为单位法矢量为法矢量，法矢量的矢量垂直单位切矢量对于空间的参数曲线：为曲率矢量，模为＝＝＝平行的单位矢量记为与垂直 与线的切线方向单位切矢量，方向为曲N R N T R N T N 1 KN N N T :????????????KN K KN dc dT dc dT dc dT dc dT T ρ?? ? ???????=?=?=???=化直平面决定的平面法平面决定的平面密切平面决定的平面通过定点标系，下列关系成立：组成互相垂直的直角坐为单位副法线矢量其中副法线的法线和垂直于设BT NB TN R T B N B N T N T B B N T B N T N T B ,,,,第六章 曲线与曲面 一、 曲线、曲面参数表示的基础知识 1、 参数曲线的定义：切矢量、法矢量、曲率、挠率 §切矢量：坐标变量关于参数的变化率； 弧长：对正则曲线P （t ）参数从0到T 的弧长； §曲率：曲线的弯曲变化率； §法矢量
第二章 曲面论 第二节 曲面的参数方程 一、 曲面的参数方程 设曲面∑是由显式 D y x y x f z ∈=),(),,( 所表示。 设),,(z y x 是曲面∑上的点，记向量),,(z y x r = ，则它们可构成一一对应。 于是曲面∑上的点可以用向量值函数 D y x y x f y x r ∈=),()),,(,,( 来表示， 也可以写为参数形式 ?????===),(, ,y x f z y y x x D y x ∈),(。
一般地，设3),(R v u r r ∈= ，其中参 数?∈),(v u ，这里?是2R 中的一 个区域。 我们称由3),(R v u r r ∈= ， ?∈),(v u ，所构成的3R 中点集∑为一张参数曲面，（即曲面∑，可以表示为参数方程表示的点集。） 记为?∈=∑),(),,(:v u v u r r ，（1） 把（1）用分量表示出来，就是 ?? ???===),(),(),,(v u z z v u y y v u x x ，?∈),(v u （2） 通常，我们称（1）是曲面∑的向量方程，而（2）是曲面∑的参数方程。 显然方程（1）和（2）之间的转换是直截了当的，所以我们可以认为（1）与（2）是一回事。
二、 几个用参数方程表示的常见 曲面 例1 平面的参数方程， 设30000),,(R z y x p ∈= 是一个固定的点， ),,(321a a a a = 与),,(321b b b b = 是自0p 出发的两个不平行的向量。这时，由a 与b 张成的平面可以用向量方程， 20),(,R v u b v a u p r ∈++= 来表示； 写成分量表示为 v b u a x x 110++=， v b u a y y 220++=， v b u a z z 330++=，
第二章曲面的表示与曲面论 第一节曲面的显式方程和 隐式方程 一、由显式方程表示的曲面 设2R D?是有界闭区域，函数 :连续。我们称函数f的图 f→ D R 像 z y R z f x f ∈ = G∈= x : ,( } y ),, ),(), y x (3D {( ) 为一张曲面，它展布在D上，称这 个曲面是由显式方程 , =) z∈ (), , ( y f D y x x 所确定的。 ∑表示一个曲面。 通常用 二、几种常见的曲面 例1 在空间直角坐标系中，中心 a、在xy平面 在坐标原点、半径为 上方的那个半球面（称为上半球面），它的显式方程为
222y x a z --=，D y x ∈),(， 其中 }:),{(222a y x y x D ≤+=，即D 是xy 平面上以原点为中心、半径为a 的圆盘。 显然，下半球面的方程为 222y x a z ---=，D y x ∈),(； 同样可给出左半球面、右半球面的方程式。 例2 点集 }1,0,,:),,{(=++≥z y x z y x z y x 是3R 中的一块等边三角形。这块曲面有显式表达 y x z --=1，D y x ∈),(， 其中}1,0,:),{(≤+≥=y x y x y x D 。 例 3 由方程axy z =，2),(R y x ∈， （常数0>a ），所确定的曲面称为双曲抛物面。 由于这曲面在在xy 平面的上的，第一、第三象限中，在xy 平面的上
方，而在第二、第四象限中是在xy 平面的下方，因此在原点)0,0,0(的近旁，曲面呈鞍的形状，俗称马鞍面。 例4 旋转曲面的方程 1设想在xz 平面上有一条显式曲线)0(),(b x a x f z ≤≤≤=。 如果固定z 轴不动，让xz 平面绕着z 轴旋转 360，那么这一条曲线就扫出一张曲面，称之为旋转曲面∑。 设∑∈),,(z y x ，它在过点),0,0(z 平行于xy 平面的平面上，以),0,0(z 为中心，半径为r 的圆周上（)(r f z =）， 222r y x =+， 于是得这个旋转曲面∑的方程为):(),(222222b y x a D y x f z ≤+≤+=。