6.1平方根同步练习（1）
知识点：
1.算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于a ，那么这个正数叫做a 的算术平方根。A 叫做被开方数。
1.平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根
2.平方根的性质：正数有两个平方根，互为相反数 0的平方根是0 负数没有平方根 同步练习：
一、基础训练
1．（05年南京市中考）9的算术平方根是（ ） A ．-3 B ．3 C ．±3 D ．81 2．下列计算不正确的是（ ）
A ．4=±2
B ．2
(9)81-==9
C ．30.064=0.4
D ．3216-=-6 3．下列说法中不正确的是（ ）
A ．9的算术平方根是3
B ．16的平方根是±2
C ．27的立方根是±3
D ．立方根等于-1的实数是-1 4．364的平方根是（ ）
A ．±8
B ．±4
C ．±2
D ．±2
5．-1
8
的平方的立方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-14 D ．1
4
6．
16
81
的平方根是_______；9的立方根是_______． 7．用计算器计算：41≈_______．32006≈_______（保留4个有效数字） 8．求下列各数的平方根． （1）100；（2）0；（3）9
25
；（4）1；（5）11549；（6）0．09．
9．计算：
（1）-9；（2）38-；（3）
1
16
；（4）±0.25．
二、能力训练
10．一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（） A．x+1 B．x2+1 C．x+1 D．21
x+
11．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（）
A．-3 B．1 C．-3或1 D．-1
12．已知x，y是实数，且34
x++（y-3）2=0，则xy的值是（）
A．4 B．-4 C．9
4
D．-
9
4
13．若一个偶数的立方根比2大，算术平方根比4小，则这个数是_______．14．将半径为12cm的铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的小铁球，不计损耗，?小铁
球的半径是多少厘米？（球的体积公式为V=4
3
πR3）
三、综合训练
15．利用平方根、立方根来解下列方程．
（1）（2x-1）2-169=0；（2）4（3x+1）2-1=0；
（3）27
4
x3-2=0；（4）
1
2
（x+3）3=4．
平方根第2课时
要点感知1 一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的__________或__________,这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的__________.
预习练习1-1 (2014·梅州)4的平方根是__________.
1-236的平方根是__________，-4是__________的一个平方根.
要点感知2 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方与开平方互为逆运算.正数有__________个平方根,它们__________；0的平方根是__________；负数__________.
预习练习2-1 下列各数：0，(-2)2，-22，-(-5)中,没有平方根的是__________.
2-2下列各数是否有平方根？若有，求出它的平方根；若没有，请说明为什么？
(1)(-3)2；(2)-42；(3)-（a2+1）.
要点感知3正数a的算术平方根可以用a表示；正数a的负的平方根可以用表示__________,正数a的平方根可以用表示__________,读作“__________”.
预习练习3-1 计算：±4
25
=__________，-
4
25
=__________，
4
25
=__________.
知识点1 平方根
1.(2013·资阳)16的平方根是( )
A.4
B.±4
C.8
D.±8
2.下面说法中不正确的是( )
A.6是36的平方根
B.-6是36的平方根
C.36的平方根是±6
D.36的平方根是6
3.下列说法正确的是( )
A.任何非负数都有两个平方根
B.一个正数的平方根仍然是正数
C.只有正数才有平方根
D.负数没有平方根
4.填表：
a 2 -2 37
a294981 225
5.求下列各数的平方根：
(1)100；(2)0.008 1；(3)25 36
.
知识点2 平方根与算术平方根的关系6.下列说法不正确的是( )
A.21的平方根是±21
B.4
9
的平方根是
2
3
C.0.01的算术平方根是0.1
D.-5是25的一个平方根
7.若正方形的边长为a,面积为S,则( )
A.S的平方根是a
B.a是S的算术平方根
C.a=±S
D.S=a
8.求下列各数的平方根与算术平方根：
(1)(-5)2；(2)0；(3)-2；(4)16.
9.已知25x2-144=0，且x是正数，求2513
x 的值.
10.下列说法正确的是( )
A.因为3的平方等于9，所以9的平方根为3
B.因为-3的平方等于9，所以9的平方根为-3
C.因为(-3)2中有-3，所以(-3)2没有平方根
D.因为-9是负数，所以-9没有平方根
11.|-9|的平方根是( )
A.81
B.±3
C.3
D.-3
12.计算：()26-=__________,-()27-=__________,±25=__________.
13.若8是m的一个平方根，则m的另一个平方根为__________.
14.求下列各式的值：
(1)225；(2)-36
49
；(3)±
144
121
.
15.求下列各式中的x：
(1)9x2-25=0；(2)4(2x-1)2=36.
16.全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限，近似地满足如下的
关系式：d=7×12
t-(t≥12).其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失的时间，单位是年.
(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径；
(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
17.在物理学中，电流做功的功率P=I2R，试用含P，R的式子表示I，并求当P=25、R=4时，I的值.
18.(1)一个非负数的平方根是2a-1和a-5，这个非负数是多少？
(2)已知a-1和5-2a是m的平方根，求a与m的值.
挑战自我
19.已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,求a+2b的平方根.
6.2 立方根
要点感知1一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的__________,即如果x3=a,那么__________叫做__________的立方根.
预习练习1-1 (2014·黄冈)-8的立方根是( )
A.-2
B.±2
C.2
D.-1 2
1-2 -64的立方根是__________,-1
3
是__________的立方根.
要点感知2 求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方互为逆运算.正数的立方根是__________；负数的立方根是__________；0的立方根是__________.
预习练习2-1下列说法正确的是( )
A.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0
B.一个数的立方根不是正数就是负数
C.负数没有立方根
D.一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0
要点感知3一个数a的立方根可以用3a表示,读作“__________”,其中__________是被开方数,__________是根指数.
预习练习3-1计算：327=__________.
知识点1 立方根
1.(2014·潍坊)()2
31-的立方根是( )
A.-1
B.0
C.1
D.±1
2.若一个数的立方根是-3,则该数为( )
A.-33
B.-27
C.±33
D.±27
3.下列判断：①一个数的立方根有两个，它们互为相反数；②若x3=(-2)3，则x=-2；③15的立方根是315；④任何有理数都有立方根，它不是正数就是负数.其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.立方根等于本身的数为__________.
5.364的平方根是__________.
6.若x-1是125的立方根，则x-7的立方根是__________.
7.求下列各数的立方根：
(1)0.216；(2)0；(3)-210
27
；(4)-5.
8.求下列各式的值：
(1)30.001；(2)3
343
125
-；(3)-3
19
1
27
-.
知识点2 用计算器求立方根
9.用计算器计算328.36的值约为( )
A.3.049
B.3.050
C.3.051
D.3.052
10.估计96的立方根的大小在( )
A.2与3之间
B.3与4之间
C.4与5之间
D.5与6之间
11.计算：325≈__________(精确到百分位).
12.
已知
3
1.12
=1.038,3
11.2
=2.237,
3
112
=4.820,则
3
1120=__________,30.112-=__________.
13.(1)填表：
a
0.000 001
0.001 1 1 000 1 000 000
3
a
(2)由上表你发现了什么规律?请用语言叙述这个规律：______________________________. (3)根据你发现的规律填空：
①已知33=1.442,则33000=__________,30.003=__________； ②已知30.000456=0.076 96,则3456=__________.
14.下列说法正确的是( )
A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B.一个数的立方根比这个数平方根小
C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D.3a 与3a -互为相反数 15.计算()3
37-的正确结果是( )
A.7
B.-7
C.±7
D.无意义 16.正方体A 的体积是正方体B 的体积的27倍，那么正方体A 的棱长是正方体B 的棱长的( )
A.2倍
B.3倍
C.4倍
D.5倍 17.-27的立方根与81的平方根之和是__________. 18.计算：-364=__________，3
37
164
-=__________. 19.已知2x+1的平方根是±5，则5x+4的立方根是__________. 20.求下列各式的值： (1)
3
1000-； (2)-3
64-； (3)-
3
729+
3
512；
(4)30.027-********
-
+3
0.001-.
21.比较下列各数的大小：
(1)39与3；(2)-342与-3.4.
22.求下列各式中的x：
(1)8x3+125=0；(2)(x+3)3+27=0.
a 与(b-27)2互为相反数，求3a-3b的立方根.
23.若8
24.很久很久以前,在古希腊的某个地方发生大旱,地里的庄稼都干死了,人们找不到水喝,于是大家一起到神庙里去向神祈求.神说：“我之所以不给你们降水,是因为你们给我做的正方体祭坛太小,如果你们做一个比它大一倍的祭坛放在我面前,我就会给你们降雨.”大家觉得很好办,于是很快做好了一个新祭坛送到神那里,新祭坛的棱长是原来的2倍.可是神愈发恼怒,他说：“你们竟敢愚弄我.这个祭坛的体积不是原来的2倍,我要进一步惩罚你们！”
如图所示,不妨设原祭坛边长为a,想一想：
(1)做出来的新祭坛是原来体积的多少倍？
(2)要做一个体积是原来祭坛的2倍的新祭坛,它的棱长应该是原来的多少倍？
挑战自我
25.请先观察下列等式：
3
2
2
7
=23
2
7
，
3
3
3
26
=33
3
26
，
3
4
4
63
=43
4
63
，
…
(1)请再举两个类似的例子；
(2)经过观察,写出满足上述各式规则的一般公式.
参考答案课前预习
要点感知1立方根(或三次方根) x a
预习练习1-1 A
1-2-4 -1 27
要点感知2 正数负数0
预习练习2-1 D
要点感知3 三次根号a a 3 预习练习3-1 3
当堂训练
1.C
2.B
3.B
4.0,1或-1
5.±2
6.-1
7.(1)∵0.63=0.216，
∴0.216的立方根是0.6，即30.216=0.6；
(2)∵03=0，
∴0的立方根是0，即30=0；
(3)∵-210
27
=-
64
27
，且(-
4
3
)3=-
64
27
，
∴-210
27
的立方根是-
4
3
，即3
10
2
27
-=-
4
3
；
(4)-5的立方根是35-.
8.(1)0.1；
(2)-7
5
；
(3)-2 3 .
9.B 10.C 11.2.92 12.10.38 -0.482 0 13.(1)0.01 0.1 1 10 100
(2)被开方数扩大1 000倍,则立方根扩大10倍
(3)14.42 0.144 2 7.696
课后作业
14.D 15.B 16.B 17.0或-6 18.-4 -3
4
19.4
20.(1)-10；
(2)4；
(3)-1；
(4)0.
21.(1)39>3；
(2)-342＜-3.4.
22.(1)8x3=-125,x3=-125
8
,x=-
5
2
;
(2)（x+3）3=-27,x+3=-3,x=-6.
23.由题意知a=-8，b=27，
所以3a-3b=-5.
故3a-3b的立方根是35-.
24.(1)8倍； (2)32倍. 25.(1)355
124=535124,366215=636215； (2)33
1
n n n +-=n 331n n -(n ≠1,且n 为整数).
6.3 实数 第1课时 实数
要点感知1 无限__________小数叫做无理数,__________和__________统称为实数. 预习练习1-1 下列说法：①有理数都是有限小数；②有限小数都是有理数；③无理数都是无限小数；④无限小数都是无理数，正确的是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④ 1-2 实数-2，0.3，17，2，-π中，无理数的个数是( )
A.2
B.3
C.4
D.5 要点感知2 实数可以按照定义和正负性两个标准分类如下：
?
??????????
???
?
???
????????
?
正有理数零负有理数实数正无理数负无理数 ?
??????????
???
?
???????????
???
正整数
正有理数正分数正无理数
实数负整数负有理数负分数负无理数
预习练习2-1 给出四个数-1，0，0.5，7，其中为无理数的是( ) A.-1 B.0 C.0.5 D.7
要点感知3 __________和数轴上的点是一一对应的，反过来，数轴上的每一个点必定表示一个__________.
预习练习3-1 和数轴上的点一一对应的是( )
A.整数
B.有理数
C.无理数
D.实数
3-2 如图，在数轴上点A表示的数可能是( )
A.1.5
B.-1.5
C.-2.6
D.2.6
知识点1 实数的有关概念
1.(2014·湘潭)下列各数中是无理数的是( )
A.2
B.-2
C.0
D.1 3
2.(2013·安顺)下列各数中，
3.141 59，-38，0.131 131 113…，-π，25，-1
7
，无理数的
个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.写出一个比-2大的负无理数__________.
知识点2 实数的分类
4.下列说法正确的是( )
A.实数包括有理数、无理数和零
B.有理数包括正有理数和负有理数
C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
D.无论是有理数还是无理数都是实数
5.实数可分为正实数，零和__________.正实数又可分为__________和__________，负实数又可分为__________和__________.
6.把下列各数填在相应的表示集合的大括号内.
-6，π，-2
3
，-|-3|，
22
7
，-0.4，1.6，6，0，1.101 001 000 1…
整数：{ ,…}，负分数：{ ,…}，无理数：{ ,…}. 知识点3 实数与数轴上的点一一对应
7.下列结论正确的是( )
A.数轴上任一点都表示唯一的有理数
B.数轴上任一点都表示唯一的无理数
C.两个无理数之和一定是无理数
D.数轴上任意两点之间还有无数个点
8.若将三个数-3，7，17表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是
__________.
9.如图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动),圆上的一点由原点到达点O ′,点O ′所对应的数值是__________.
10.(2014·包头)下列实数是无理数的是( )
A.-2
B.1
3
C.4
D.5 11.下列各数：2 ，0，9，0.23 ，227
，0.303 003…(相邻两个3之间多一个0)，1-2中，无理数的个数为( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个 12.有下列说法：①带根号的数是无理数；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④-17是17的平方根.其中正确的有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个 13.若a 为实数，则下列式子中一定是负数的是( )
A.-a 2
B.-(a+1)2
C.-2a
D.-(a 2+1) 14.如图,在数轴上表示实数15的点可能是( )
A.点P
B.点Q
C.点M
D.点N 15.下列说法中,正确的是( ) A.2，3，4都是无理数 B.无理数包括正无理数、负无理数和零 C.实数分为正实数和负实数两类
D.绝对值最小的实数是0
16.有一个数值转换器,原理如下：当输入的x为64时,输出的y是( )
A.8
B.8
C.12
D.18
17.在下列各数中,选择合适的数填入相应的集合中.
-1
5
，39，
2
，3.14，-327，0，-5.123 45…，0.25，-
3
2
.
有理数集合：{ ,…} 无理数集合：{ ,…} 正实数集合：{ ,…} 负实数集合：{ ,…}
18.有六个数：0.142 7，(-0.5)3，3.141 6，22
7
，-2π，0.102 002 000 2…，若无理数的个数为
x,整数的个数为y,非负数的个数为z,求x+y+z的值.
挑战自我
19.小明知道了2是无理数,那么在数轴上是否能找到距原点距离为2的点呢？小颖在数轴上用尺规作图的方法作出了在数轴上到原点距离等于2的点,如图.小颖作图说明了什么？
第2课时实数的运算
要点感知1 实数a的相反数是__________；一个正实数的绝对值是它__________；一个负
实数的绝对值是它的__________；0的绝对值是__________.即：|a|=
0.
a
a
a
?
??
?
?
??
>
=
<
，当时；
，当时；
，当时
预习练习1-1 (2013·绵阳)2的相反数是( )
A.2
B.
2
2
C.-2
D.-
2
2
1-2 (2013·铁岭)-2的绝对值是( )
A.2
B.-2
C.
2
2
D.-
2
2
要点感知 2 正实数__________0,负实数__________0.两个负实数,绝对值大的实数__________.
预习练习2-1 在实数0，-3，2，-2中，最小的是( )
A.-2
B.-3
C.0
D.2
要点感知3 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且__________可以进行开平方运算,__________可以进行开立方运算.
预习练习3-1 计算364+(-16)的结果是( )
A.4
B.0
C.8
D.12
知识点1 实数的性质
1.(2013·北京)-3
4
的倒数是( )
A.4
3
B.
3
4
C.-
3
4
D.-
4
3
2.无理数-5的绝对值是( )
A.-5
B.5
C.1 5
D.-1 5
3.下列各组数中互为相反数的一组是( )
A.-|-2|与38-
B.-4与-()24-
C.-32与|32-|
D.-2与1 2
知识点2 实数的大小比较
4.(2013·柳州)在-3，0，4，6这四个数中，最大的数是( )
A.-3
B.0
C.4
D.6
5.如图，在数轴上点A，B对应的实数分别为a，b，则有( )
A.a+b>0
B.a-b>0
C.ab>0
D.a
b
>0
6.若2a=-a，则实数a在数轴上的对应点一定在( )
A.原点左侧
B.原点右侧
C.原点或原点左侧
D.原点或原点右侧
7.比较大小：(1)3__________5；(2)-5__________-26；(3)32__________23(填“＞”或“＜”).
知识点3 实数的运算
8.(2012·玉林)计算：32-2=( )
A.3
B.2
C.22
D.42
9.(2013·河南)计算：|-3|-4=__________.
10.2-3的相反数是__________，绝对值是__________.
11.计算：
（1）(2+3)+|3-2|; （2）38+0-1
4
; （3）35-|-35|+23+33.
12.计算：
(1)π-2+3(精确到0.01)；(2)|2-5|+0.9(保留两位小数).
13.-3的相反数是( )
A.3
B.-3
C.3
D.-3
14.若|a|=a，则实数a在数轴上的对应点一定在( )
A.原点左侧
B.原点右侧
C.原点或原点左侧
D.原点或原点右侧
15.比较2，5，37的大小，正确的是( )
A.2<5<37
B.2<37<5
C.37<2<5
D.5<37<2
16.(2013·连云港)如图，数轴上的点A，B分别对应实数a，b,下列结论正确的是( )
A.a>b
B.|a|>|b|
C.-a D.a+b<0 17.下列等式一定成立的是( ) A.9-4=5 B.|1-3|=3-1 C.9=±3 D.-()29-=9 18.如果0 x ,x,x2中,最大的数是( ) A.x B.1 x C.x D.x2 19.点A在数轴上和原点相距3个单位，点B在数轴上和原点相距5个单位，则A,B两点之间的距离是__________. 20.若(x1,y1)※(x2,y2)=x1x2+y1y2,则(2,-1 3 )※(- 1 2 ,3)=__________. 21.计算： (1)23+32-53-32；(2)|3-2|+|3-1|. 22.某居民生活小区需要建一个大型的球形储水罐,需储水13.5立方米,那么这个球罐的半径r 为多少米？(球的体积V=4 3 πr3,π取3.14,结果精确到0.1米) 23.如图所示，某计算装置有一数据入口A和一运算结果的出口B，下表给出的是小红输入的数字及所得的运算结果： A 0 1 4 9 16 25 36 B -1 0 1 2 3 4 5 若小红输入的数为49，输出的结果应为多少？若小红输入的数字为a,你能用a表示输出结果吗？ 24.我们知道：3是一个无理数，它是一个无限不循环小数，且1＜3＜2，我们把1叫做3的整数部分，3-1叫做3的小数部分. 利用上面的知识，你能确定下列无理数的整数部分和小数部分吗？ (1)10；(2)88. 第六章实数（2） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列各式中无意义的是（ ） A. 6 1- B. 21-）（ C.12+a D.222-+-x x 2.在下列说法中：①10的平方根是±10；②-2是4的一个平方根；③ 94的平方根是3 2 ④0.01的算术平方根是0.1；⑤ 24a a ±=，其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列说法中正确的是（ ） A.立方根是它本身的数只有1和0 B.算数平方根是它本身的数只有1和0 C.平方根是它本身的数只有1和0 D.绝对值是它本身的数只有1和0 4. 641的立方根是（ ） A.21± B.41± C.41 D.2 1 5.现有四个无理数5，6，7，8，其中在实数2+1 与 3+1 之间的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.实数7- ，-2，-3的大小关系是（ ） A. 237--- B. 273--- C. 372--- D.723--- 7.已知351.1 =1.147，31.15 =2.472，3151.0 =0.532 5，则31510的值是（ ） A.24.72 B.53.25 C.11.47 D.114.7 8.若33)2(,2,3--=--=-=c b a ，则 c b a ,,的大小关系是（ ） A.c b a B.b a c C.c a b D.a b c 9.已知x 是169的平方根，且232x y x =+，则y 的值是（ ） A.11 B .±11 C. ±15 D.65或 3143 10.大于52-且小于23的整数有（ ） A.9个 B.8个 C .7个 D.5个 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 3-绝对值是 ，3- 的相反数是 . 12. 81的平方根是 ，364 的平方根是 ，-343的立方根是 ， 一、本章共3小节共8个课时（3.10～3.21第5、6周） 二、本章概念 1.算术平方根 2.被开方数 3.平方根（二次方根） 4.开平方 5.立方根（三次方根） 6.开立方 7.根指数 8.无理数 9.实数 10.实数与数轴上的点一一对应. 三、分类的数学思想 1. 2. 四、估算 下列各数分别界于哪两个整数之间 1 【知识要点】 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”. 2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a” （a称为被开方数）. 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个. 联系： （1）被开方数必须都为非负数； （2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根. （3）0的算术平方根与平方根同为0. 5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a”（a称为被开方数）. 6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根. 7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）. 8. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如 =. 25= 50 ,5 2500 10.平方表：（自行完成） 题型规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1. 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同. 3≥0a≥0. 4、公式：⑴)2=a（a≥0）=（a取任何数）. 实数 第一课时 教学目标： 了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小；了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算。 教学重点：实数的意义和实数的分类；实数的运算法则及运算律。 教学难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的；准确地进行实数范围内的运算。 教学过程 一、导入新课： 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3 ， 3 5- ，478 ，911 ，119 ，59 我们发现，上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 3 3.0= ，30.65-=- ， 47 5.8758= ，90.8111= ，11 1.29= ，50.59= 二、新课： 1、 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。无限不循环小数又叫无理数， 3.14159265π=也是无理数；有理数和无理数统称为实数 ??????????→?整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数 像有理数一样，无理数也有正负之分。 ，π 是正无理数， ，π-是负无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分， 实数也可以这样分类： ???????????????正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 2、探究 如图所示，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O ′，点O ′的坐标是多少？ 每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大 数a 的相反数是a -，这里a 表示任意一个实数。一个正实数的绝对值是本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 3、例1 （1）求下列各数的相反数和绝对值： 2.5，－7，5π-，0，32，π－3 （2） 一个数的绝对值是3，求这个数。 实数（第1课时） 教学目标： 知识与技能:1、理解无理数和实数的概念及实数的分类。 2、知道实数与数轴上的点具有一一对应关系。 过程与方法: 1、经历对实数进行分类的过程,培养学生的分类意识。 2、经历从有理数逐步扩充到实数的过程,学生了解人类对数的认识是不断发展的。 3、感受实数可以用数轴上的点来表示，增强学生数形结合的思想。 情感态度价值观:1、通过活动探究，体会数系扩充对人类发展的作用； 2、善于观察、勇于探究，并能有意识地运用已有知识解决新问题. 重 点：1、学生了解无理数和实数的概念。 2、实数的分类。 难 点：对无理数的认识和理解 活动1【导入】激情引趣 1、你了解 2吗？有怎样的认识 ？ 2、2闯“祸”了 “不好了，不好了，保安和2 吵起来了。”数字π急忙去探明真相，原来是刚来到“数字王国”的 2，看到一群数字如：3，847，53-，911，119，95 …自由进入“数字王国”，好奇的2也想进去，却被保安拦住，于是2 就和保安理论，保安说 2 和它们不一样，2 不服气，保安又指了指大门上的标志“××××王国”，于是 2 只好作罢。 【设计意图】一个精彩的故事导入，就能够大大调动学生的积极性，增强学生的求知欲以及对数学学习的兴趣。通过有趣的数学故事，引起学生对数学学习的兴趣，开发他们的智力，提高学生探究问题的积极性，从而提高他们逻辑思考能力。 活动2【探究】探究新知 1、算一算：把下列有理数转换成小数的形式，你有什么发现？ 3，478，91135-，119， 9 5 整数和分数统称为有理数 有限小数和无限循环小数叫有理数 2、议一议2是整数吗？是分数吗？是有理数吗？那又是什么数呢？ 观察：2=1.41421356237309504880168… 像这种无限不循环的小数叫做无理数 3、 无理数的诞生（微视频） 4、说一说 实数 1.算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 2. 如果a x =2 ，则x 叫做a 的平方根，记作“±a ” （a 称为被开方数）。 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个且为正。 联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。 5. 如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作“3a ” （a 称为被开方数）。 6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 8. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 实数：有理数和无理数统称为实数 有理数：有限小数或无限循环小数（分数又可以转化成无限循环小数） 无理数：无限不循环小数（常见无理数有2，3，π等） 10. 数轴上的点和实数一一对应。 题型规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 3、a 本身为非负数，有非负性，即a ≥0；a 有意义的条件是a ≥0。 4、公式：⑴(a )2=a （a ≥0）；⑵3a -=3a -（a 取任何数）。 5、区分(a )2=a （a ≥0），与 2a =a 6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。 【典型例题】 1.下列语句中，正确的是（ ） A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B ．负数没有立方根 C ．一个实数的立方根不是正数就是负数 D ．立方根是这个数本身的数共有三个 2. 下列说法正确的是（ ） A ．-2是2 )2(-的算术平方根 B ．3是-9的算术平方根 C ．16的平方根是±4 D ．27的立方根是±3 （一）教学目标 1从感性上认可无理数的存在，并通过探索说出无理数的特征，弄清有理数与无理数的本质区别，了解并掌握无理数、实数的概念以及实数的分类，知道实数与数轴上的点的一一对应关系。 2让学生体验用有理数估计一个无理数的大致范围的过程，掌握“逐次逼近法”这种对数进行分析、猜测、探索的方法 3培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一、矛盾转化的辨证唯物主义观点 （二）教材分析 “实数”是在对算术平方根的研究的基础上，实现数的范围到有理数后的进一步扩展。由、π激起学生思维的火花，揭示现实空间无限不循环小数的存在，并从本质上理解无理数与有理数的区别。 重点：无理数、实数的意义，在数轴上表示实数。 难点：无理数与有理数的本质区别，实数与数轴上的点的一一对应关系。 （三）学生分析 学生对有理数和平方根已有初步的了解，也已经了解近似数，掌握计算器的简单运用。但对七年级学生来讲，思维仍较直观，无理数显得比较抽象，难以理解。对的探索是本课的关键，不仅得到无理数的概念，还有利于培养学生的分析、探索的能力。 （四）设计理念 让学生主动参与合作交流，探索、发现，注重知识形成的过程 （五）教学方法 启发式、探索式教学 （六）教学过程 复习有理数相关概念学生以前学过有理数，可以请学生简单地说一说有理数的基本概念、分类． 活动1 使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？动手试一试，说说你的发现并与同学交流 小结无限不循环的小数----------叫做无理数 活动2 举例无理数 活动3 练习 给出无理数定义后，请学生自己找找无理数，让学生在寻找的过程中，体会无理数的基本特征． 活动4 实数分类（类似于有理数分类） 小组合作完成 活动5 根据有理数的相关知识试着回答下列问题 活动6 讲解例题 活动7 小结 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 活动8 练习 总结及作业 第1课时 实 数 【教学目标】 1、了解无理数和实数的概念；会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力； 2、了解分类的标准与分类结果的相关性，进一步了解体会“集合”的含义； 3、了解实数范围内相反数和绝对值的意。 【学难点与重点】 1、难点：理解实数的概念。 2、重点：正确理解实数的概念。 【教学过程】 一、 创设情境 学生以前学过有理数，可以请学生简单地说一说有理数的基本概念、分类． 试一试 1、使用计算器计算，把下列有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3，5 3 ，847，119，911，95 动手试一试，说说你的发现并与同学交流． （结论：上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式） 可以在此基础上启发学生得到结论：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式． 2、追问：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗？ （课件展示） 阅读下列材料： 设x=0.3 =0.333…① 则10x=3.333…② 则②－①得9x=3，即x=3 1 即0.3 =0.333…=3 1 根据上面提供的方法，你能把0.7 ，0.41 化成分数吗？且想一想是不是任何无限循环小数都可以化成分数？ 在此基础上与学生一起得到结论：任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数，所以任何一个有限小数或无限循环小数都是有理数。 二、引入新知 1、在前面两节的学习中，我们知道，许多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，它们不能化成分数．我们给无限不循环小数起个名，叫“无理数”．有理数和无理数统称为实数． 例1（1）你能尝试着找出三个无理数来吗？ （2）下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 解决问题后，可以再问同学：“用根号形式表示的数一定是无理数吗？” 2、实数的分类 （1）画一画 学生自己回忆并画出有理数的分类图． （2）挑战自己 请学生尝试画出实数的分类图． 例2把下列各数填人相应的集合内： 整数集合｛…｝ 负分数集合｛…｝ 正数集合｛…｝ 负数集合｛…｝ 有理数集合｛…｝ 无理数集合｛…｝ 三、探一探 实数 一、本章知识结构 二、基础知识 1．算术平方根。 （1）定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根. 记为a ”,a 叫做被开方数。 （2）规定：0的算术平方根是0 （3）性质：算术平方根a 具有双重非负性： ①被开方数a 是非负数，即a ≥0. ②算术平方根a 本身是非负数，即a ≥0。 也就是说， 任何正数的算术平方根是一个正数， 0的算术平方根是（ 0 ）， 负数没有算术平方根。 2．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根或二次方根 （2）非负数a 的平方根的表示方法: a ± （3）性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数。 0 只有一个平方根，它是0 。 负数没有平方根。 说明：平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根。要特别注意： a ≠±a 。 3.平方根与算术平方根的区别与联系： 区别：①定义不同算术平方根要求是正数 ②个数不同平方根有2个，算术平方根1个 ③表示方法不同：算术平方根为a ，平方根为±a 联系：①具有包含关系：算术平方根平方根? ②存在条件相同：0≥a ③0的平方根和算术平方根都是0。 4．a 2的算术平方根的性质 a (a ≥0) 2a =│a │= -a (a<0) 从算术平方根的定义可得：2)(a =a (a ≥0) 5．立方根 （1） 定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根 （2） 数a 的立方根的表示方法:3a （3） 互为相反数的两个数的立方根之间的关系：互为相反数 （4） 两个重要的公式 为任何数） 为任何数）a a a a a (()3(3333== 6．开方运算： （1）定义： ①开平方运算：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方。 ②开立方运算：求一个数立方根的运算叫做开立方 （2）平方与开平方是互逆关系，故在运算结果中可以相互检验。 7．无理数的定义 无限不循环小数叫做无理数 8．有理数与无理数的区别 教案：实数 目标确定的依据： 1、课程标准相关要求： 了解实数和无理数的概念：知道数轴上的点与实数一一对应。 2、教材分析： 实数是继学生学习了自然数、有理数、无理数之后的内容，通过本节 的学习，使学生逐步经历数系的扩展过程。从而形成新的知识结构， 为后继的学习打下基础。 3、学情分析： 学生已经在七年级上学期学习了《数怎么不够用了》，经历了自然数向有理数的扩展过程，本节课继续使学生经历此过程，从而得出无理数的概念，以及实数的概念，本节课的难点就是实数的分类，及实数 与数轴上的点一一对应，学生往往在分类时遗漏一些东西，或添加一些东西，要使学生互相交流讨论，教师引导予以解决。同时学生对实 数与数轴上的点一一对应弄不明白，要引导学生通过数形结合予以解决。 目标： 1.了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。 2.理解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。 评价任务： 1、通过计算器，计算出常见的有理数化为小数的形式，归纳出有理 数的特征。 2、通过分析2、3等，得出这些是无限不循环的小数，从而归纳出无理数的定义，进一步归纳出实数的定义。 3、能够通过互相交流，对实数进行分类，并展示结果。 4、能够从圆在数轴上的滚动，找出所表示的数。能够根据正方形的特点，找出数轴上表示的无理数。 5、用自己的语言归纳总结出实数与数轴上的点一一对应。 6、能够利用估算，并利用数轴比较两个无理数的大小。 学习环节评价要点教学流程 探索新知1、通过计算器， 计算出常见的 有理数化为小 数的形式，归纳 出有理数的特 征。 2、通过分析 2、3等， 得出这些是无 限不循环的小 数，从而归纳出 无理数的定义， 进一步归纳出 实数的定义。1、回顾：有理数及分类。 2、举出所常见的有理数，通过计算器化为小数，观察特点。总结出无限循环小数和有限小数是有理数。 3、引出概念：教师引导学生再举出所学的数，2、3使学生分析出特点，把它们归类。从而得到无理数的概念。 4、得出实数的概：念 再探新知1、能够通过互 相交流，对实数 进行分类，并展 示结果。1、思考有理数的分类，你能对实数分类吗？同桌交流，并展示结果。教师总结出实数的分类。 按正负分类： 实数 6.1平方根同步练习（1） 知识点： 1.算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根。A叫做被开方数。 1.平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根 2.平方根的性质：正数有两个平方根，互为相反数 0的平方根是0 负数没有平方根 同步练习： 一、基础训练 1．（05年市中考）9的算术平方根是（） A．-3 B．3 C．±3 D．81 2．下列计算不正确的是（） A=±2 B= C 3．下列说法中不正确的是（） A．9的算术平方根是3 B 2 C．27的立方根是±3 D．立方根等于-1的实数是-1 4的平方根是（） A．±8 B．±4 C．±2 D 5．-1 8 的平方的立方根是（） A．4 B．1 8 C．- 1 4 D． 1 4 6_______；9的立方根是_______． 7______________（保留4个有效数字） 8．求下列各数的平方根． （1）100；（2）0；（3）9 25 ；（4）1；（5）1 15 49 ；（6）0．09． 9．计算： （1）234 二、能力训练 10．一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（） A．x+1 B．x2+1 C+1 D 11．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（） A．-3 B．1 C．-3或1 D．-1 12．已知x，y+（y-3）2=0，则xy的值是（） A．4 B．-4 C．9 4 D．- 9 4 13．若一个偶数的立方根比2大，算术平方根比4小，则这个数是_______．14．将半径为12cm的铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的小铁球，不计损耗，?小铁 球的半径是多少厘米？（球的体积公式为V=4 3 πR3） 三、综合训练 15．利用平方根、立方根来解下列方程． （1）（2x-1）2-169=0；（2）4（3x+1）2-1=0； （3）27 4 x3-2=0；（4） 1 2 （x+3）3=4． 第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 七年级数学（下）辅导资料（4） 知识整理：石怿成华丽 【知识要点】 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。 2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a” （a称为被开方数）。 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。 联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。 5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a” （a称为被开方数）。 6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 8. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如 25= =. ,5 2500 50 10.平方表：（自行完成） 题型规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 30a≥0。 4、公式：⑴2=a（a≥0）a取任何数）。 5、区分2=a（a≥0），与2a=a __________________________________________________ 1）25— 3 27 ＋2- 2）3 2- ＋ 2 - 3）33 008.0127 26 --- 3）22 ＋12- 327 4）（15-）（53+） 5）3231)3(27---+- 4）25—327＋2- --- __________________________________________________ 5）32- ＋ 2- 6）33 008.0127 26 --- 6）22 ＋12- 327 7）（15-）（53+） 8）3231)3(27---+- 9）3353+- 10）4 1083- + --- __________________________________________________ 11）2332-+- 12）316273--+- 13）32)3223(-+ 14）3 1 ×（1—81）＋31- 15）3353+- 16）4 1083- + 17） 2332-+- __________________________________________________ 18）316273--+- 19）32)3223(-+ 20）3 1 ×（1—81）＋31- 21）123221-+-+- 22）52233221-+-+-+- 23） 1664)13(233+-+--- __________________________________________________ 24）（-2）3×2)4(-＋33)4(-×（-2 1）2—3 27 25）（- 2 1）×（-2）2 —381-＋2)21(- 26）123221-+-+- 27）52233221-+-+-+ - 28）1664)13(233+-+--- 七年级数学下册第一章《实数》知识点整理 ★重点★ 实数的有关概念及性质，实数的运算 ☆内容提要☆ 一、严重概念 ．数的分类及概念 数系表： 说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）初中数学复习提纲2）有标准 2．非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）初中数学复习提纲 多见的非负数有： 性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。 3．倒数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;c.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a ＜1;D.积为1。 4．相反数：①定义及表示法 ②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;c.和为0,商为-1。 5．数轴：①定义（“三要素”） ②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;c.建立点与实数的一一对应关系。 6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）定义及表示： 奇数：2n-1 偶数：2n（n为自然数） 初中数学复习提纲7．绝对值：①定义（两种）：代数定义： 几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。 二、实数的运算 ． 运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方） 2． 运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的] 分配律） 3． 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左” 到“右”（如5÷初中数学复习提纲×5）;c.由“小”到“中”到“大”。 三、应用举例（略） 附：典型例题 ． 初中数学复习提纲已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│ =b-a. 新人教版七年级数学下册《实数》题型分类归纳 班级： 姓名： 《实数》知识点比较： 算术平方根 平方根 立方根 定义 若正数x ，a 2 =x ，正数x 叫做a 的算术平方根，a =x 。 若数x ，a 2=x ， 数x 叫做a 的平方 根，a ±=x 若数x ，a 3 =x ， 数 x 叫做 a 的立 方根，3x a =。 a 的范围 0≥a 0≥a a 是任意数 表示 a (根号a ) a ±(正负根号 a ) 3 a (三次根号a ) 正数有一个算术平方根，是正数 正数有两个平方根，它们互为相反数 正数有一个立方根，是正数 0的算术平方根是0 0的平方根是0 0的立方根是0 负数没有算术平方根 负数没有平方根 负数有一个立方根，是负数 性质 ?? ?≥≥0 0a a 双重非负性 33 -a a -= a a =2 () )0(2 ≥=a a a a a =3 3 () a a =3 3 被开方数的小数点向右（左）每移动两位，算术平方根的小数点向右（左）移动一位。 被开方数小数点向 右（左）每移动三位，立方根的小数点向右（左）移动一位。 例1、求下列各数的算术平方根。 （1）100 （2）6449 （3）16 9 1 （4）0.0025 （5）0 （6） 2 （7）()26- 例2、求下列各数的平方根。 （1）100 （2）6449 （3）16 9 1 （4）0.0025 （5）0 （6） 2 （7）()26- 例3、求下列各数的立方根。 （1）1000 （2）278 （3）27 10 2 （4）0.001 （5）0 （6）2 （7） ()36- 类型二：化简求值 例1、 求下列各式的值。 （1）22= （2）256 169 -= （3）0196.0= （4）2224-25-= （5）327--= （6）33512729+= 例2、求下列各式的值 （1）222-4-25）（+ （2）22 42.06-100001.0?+?）（ 类型三：算术平方根的双重非负性? ??≥≥00 a a 一、 被开方数的非负性0≥a 例1、下列各式中，有意义的有哪些？ 2 1 6- 6- 2)6(- 6- a 2a a 例2、若下列各式有意义，在后面横线上写出x 的取值范围。 （1）x _________ （2）x -5__________ 例3、若x 、y 都是实数，且833+-+-=x x y ，求y 3x +的立方根。 二、 算术平方根的非负性 0≥a 人教版七年级数学下册实数知识点归纳及常见考题 【知识要点】 1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。 2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a” （a称为被开方数）。 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。 联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。 5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a” （a称为被开方数）。 6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 8. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如 50 2500 ,5 25= =. 10.平方表：（自行完成） 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 30a≥0。 4、公式：⑴2=a（a≥0a取任何数）。 5、区分)2=a（a≥0），与 2 a=a 6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。【典型例题】 第六章实数 考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳 起来有四类 ,7等； （1）开方开不尽的数，如32 π+8等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 3 （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现） 是有理数，而不是无理数。 判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16 3、有理数与无理数的区别 （1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； （2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。 考点二、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义 （1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 （2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。如果，那么x叫做a 的平方根。 （3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。如果，那么x 叫做a的立方根。 2、运算名称 （1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 （2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号 （1）正数a的算术平方根，记作“a”。 （2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。 （3）一个数a 的立方根，用表示，其中a 是被开方数，3是根指数。 4、运算公式 4、开方规律小结 （1）若a ≥0，则a 的平方根是a ±，a 的算术平方根a ；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。 实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 （2）若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是 。 （3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。 考点三、实数的性质 有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。 1、相反数 （1）实数a 的相反数是-a ；实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零） （2）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。 2、绝对值 （1）要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，数轴分为正负两半，那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。|a|≥0。 （2）若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0，零的绝对值是它本身。 （3） ?? ?<-≥)0()0(a a a a 3、倒数 （1）如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。实数a 的倒数是1/a （a ≠0） （2）倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点四、实数的三个非负性及性质 1、在实数范围内，正数和零统称为非负数。 2、非负数有三种形式 （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a|≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即 ≥0； 七年级数学《实数》测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、下列说法不正确的是（ ） A 、 251的平方根是1 5 ± B 、－9是81的一个平方根 C 、0.2的算术平方根是0.04 D 、－27的立方根是－3 2、若a 的算术平方根有意义，则a 的取值范围是（ ） A 、一切数 B 、正数 C 、非负数 D 、非零数 3、若x 是9的算术平方根，则x 是（ ） A 、3 B 、－3 C 、9 D 、81 4、在下列各式中正确的是（ ） A 、2 )2(-＝－2 B 、 3 C 、16＝8 D 、22＝2 5、估计76的值在哪两个整数之间（ ） A 、75和77 B 、6和7 C 、7和8 D 、8和9 6、下列各组数中，互为相反数的组是（ ） A 、－2与2 )2(- B 、－2和38- C 、－ 2 1 与2 D 、︱－2︱和2 7、在－2，4，2，3.14， 3 27-， 5 π ，这6个数中，无理数共有( ) A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 8、下列说法正确的是（ ） A 、数轴上的点与有理数一一对应 B 、数轴上的点与无理数一一对应 C 、数轴上的点与整数一一对应 D 、数轴上的点与实数一一对应 9、以下不能构成三角形边长的数组是（ ） A 、1，5，2 B 、3，4，5 C 、3，4，5 D 、32，42，52 10、若有理数a 和b 在数轴上所表示的点分别在原点的右边和左边，则2b －︱a －b ︱等于（ ） A 、a B 、－a C 、2b ＋a D 、2b －a 二、填空题（每小题3分，共18分） 11、81的平方根是__________，1.44的算术平方根是__________。 12、一个数的算术平方根等于它本身，则这个数应是__________。 13、38-的绝对值是__________。 14、比较大小：27____42。 15、若36.25＝5.036，6.253＝15.906，则253600＝__________。 16、若10的整数部分为a ，小数部分为b ，则a ＝________，b ＝_______。 七年级数学（下）辅导资料（4） 【知识要点】 1.算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 2. 如果x2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“±a ” （a 称为被开方数）。 3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 4. 平方根和算术平方根的区别与联系： 区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。 联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0的算术平方根与平方根同为0。 5. 如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作“3a ” （a 称为被开方数）。 6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。 7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 8. 立方根与平方根的区别： 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0. 9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n 倍，算术平方根扩大（或缩小）n 倍，例如502500,525==. 10.平方表：（自行完成） 题型规律总结： 1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。 3 0意义的条件是a ≥0。 4、公式：⑴2=a （a ≥0）（a 取任何数）。 5、区分2=a （a ≥0），与 2a =a 6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。 【典型例题】 1.下列语句中，正确的是（ D ） A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B ．负数没有立方根 C ．一个实数的立方根不是正数就是负数 D ．立方根是这个数本身的数共有三个 2. 下列说法正确的是（ C ） A ．-2是（-2）2的算术平方根 B ．3是-9的算术平方根 C ．16的平方根是±4 D ．27的立方根是±3 3. 已知实数x ，y 满足2 =0，则x-y 等 于 解答：根据题意得，x-2=0，y+1=0， 解得x=2，y=-1， 所以，x-y=2-（-1）=2+1=3． 第六章《实数》测试题 一、单选题（每小题只有一个正确答案） 1．25的平方根是（ ） A ．±5 B ．﹣5 C ．5 D ．25 2．下列式子中，正确的是（ ） A ．3388-=- B ． 3.60.6-=- C ．2(3)3-=- D ．366=± 3．要使代数式2x -有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x≠2 B ．x≥2 C ．x>2 D ．x≤2 4．下列说法正确的是 ( ) A ．一个数的平方根有两个,它们互为相反数 B ．一个数的立方根不是正数就是负数 C ．负数没有立方根 D ．如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数一定是-1或0或1 5．在下列各数322 2,3,8, , ,36,0.10100100013 π--?? （两个1之间，依次增加1个0），其中无理数有（ ） A ．6个 B ．5个 C ．4个 D ．3个 6．下列说法正确的是（ ） A ．正有理数和负有理数统称为有理数 B ．符号不同的两个数互为相反数 C ．绝对值等于它的相反数的数是非正数 D ．两数相加，和一定大于任何一个加数 7．下列各组数中互为相反数的是（ ） A ．－2与2（-2) B ．－2与38- C ．2与（-2）2 D ．|-2|与2 8．估计56﹣24的值应在（ ） A ．5和6之间 B ．6和7之间 C ．7和8之间 D ．8和9之间 9．如图，若 A 是实数 a 在数轴上对应的点，则关于 a ， a ，1的大小关系表示正确的是（ ） A B C D 10a的值为( ) A．-1 B．1 C．-2 D．2 11( ) A B C D 12．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2020所对应的点是（） A．点A B．点B C．点C D．点D 二、填空题 13________________． 14__________，__________. 15,． 16． 17。 三、解答题 18．把下列各数分别填在相应的集合里： ﹣2.4，3，﹣，0.333…，0，﹣（﹣2.28），3.14，﹣|﹣2|，1.010010001…， 正有理数集合{_____…} 整数集合{_____ …}新人教版七年级数学下册第六章实数测试题及答案
最新人教版七年级数学下册实数知识点
新人教版初中七年级数学下册《实数》教案
数学人教版七年级下册实数 【教学设计】
七年级下册实数知识点总结及常见题
数学人教版七年级下册实数概念
初中数学七年级下册实数
最新人教版七年级下册数学《实数》知识归纳
数学七年级下册实数
新人教版七年级下册实数课时练习题
七年级下册数学实数知识点总结
(人教版)七年级数学下学期实数知识点归纳及常见考题
七年级数学下实数计算题
七年级数学下册第一章《实数》知识点整理
新人教版七年级数学下册《实数》题型
人教版七年级数学下册实数知识点归纳及常见考题
(完整版)新人教版七年级下册数学第六章实数知识点总结及阶梯练习
人教版七年级数学下册第六章实数测试题(打印版7套)
人教版七年级数学下册实数知识点归纳及常见考题
人教版初中数学七年级下册《实数》测试题(含答案)
相关主题
文本预览