《圆》章节知识点
、圆的概念
1. 平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点称为圆心，定长称
为半径，以点0为圆心的圆记作“ LJ 0:读作“圆0。
2.确定圆的基本条件：（1 ）、圆心：定位置，具有唯一性， （2 ）、半径：定大小。
3. 半径相等的两个圆叫做等圆，两个等圆能够完全重合。
4. ①连接圆上任意两点的线段叫做 弦，经过圆心的弦叫做 直径，②圆上任意两点间的部分叫
做圆弧，简称弧，弧用符号“C ”表示，圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条 等弧，每
一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧称为 优弧，小于半圆的弧称为 劣弧。③在同圆或等圆 中, 能过重合的两条弧叫做 等弧。理解：弧在圆上，弦在圆及圆上：弧为曲线形，弦为直线形。
5. 不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯一一个。
6.
①三角形的三个顶点确定一个圆， 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆,
圆心是三角形三边垂直平分线的交点， 叫做三角形的 外心，这个三角形叫做这个圆的内接三
角形。②与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆, 平分线的交点，叫做三角形的内心。三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆， 圆心是三个 角
的角平分线的交点，他到三条边的距离相等：内心到三顶点的连线平分这三个角。
（补充）圆的集合概念 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念: 1、圆：至U 定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆;
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫
外接圆的
内切圆的圆心是三角形三条角
中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定
长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离
都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离d与半径r的大小关系决定的。
1、点在圆内=点C在圆内;
2、点在圆上=点B在圆上;
3、点在圆外=点A在圆外;
解题注意点和圆的位置不确定性。
圆的对称性
圆是轴对称图形，他有无数条对称轴, 每一条过圆心的直线都是他的对称轴。圆是以圆心为
对称中心的中心对称图形，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合，这种性质叫做圆的旋转不变性。圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。
三、直线与圆的位置关系：相交，相切，相离
如果圆0的半径为圆心0到直线l的距离为d，那么:
1、直线与圆相离 d Ar二无交点；
2、直线与圆相切 d =r = 有一个交点;
3、直线与圆相交 d w r二有两个交点;
.CD
.
G
四、圆与圆的位置关系
设两圆半径分别为R和r，圆心距为d，那么：
外离（图1）
—
1无交点
—
、
d〉R + r ；
外切（图2）
—
1有一个交点
—
[
d =R +
r ；
相交（图3）—
、
有两个交点—
、
R —r 内切（图4）—有一个交点— 、 d =R-r ； 内含（图5） — 无交点—d c R-r ； 五、垂径定理（非常重要）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧; （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧; （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共 5个结论中, 可推出其它3个结论，即: ①AB 是直径 ②AB 丄CD ③CE=DE ④弧BC =弧BD /?M AC =弧 BD 解题技巧：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要做“ 垂直于弦的直径 六、 圆心角定理 顶点在圆心的角叫做 圆心角。圆心角的度数与他所对的弧的度数相等。 圆心角定理：在 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的 弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中, 只要知道其中的1个相等，则可以推 出其它的 3个结论, 即：① N AOB =NDOE :② AB = DE ； ③OC =OF :④弧BA =弧BD 七、圆周角定理 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做 圆周角。 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角（或弧的 即：???/AOB 和N ACB 是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ??Z AOB =2^ACB 2、圆周角定理的推论: 只要知道其中 2个即 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在O O 中，??? AB //CD C O 作为辅助线。 A B D B 推论1 :同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧; :上C =Z D 即：在O O中，?復C、N D都是所对的圆周角 推论2 :半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆， 所对的弦是直径。 ??上C =90。 即：在O O中，??? AB是直径或C =90° 推论3 :若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 A 即：在△ ABC 中，T OC=OA=OB ???△ABC是直角三角形或N C=90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定 理。 注：忽略一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角边有两种不同的角。 八、圆内接四边形 般的，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形, 这个圆 叫做多边形的外接圆。 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补。 推论：圆内接四边形任何一个外角都等于他的内对角。 E ???四边形ABCD 是内接四边形 ???N C +N BAD =180* N B +N D =180。 NDAE =N C 九、切线的性质与判定定理 直线和圆有唯一公共点(即直线和圆相切)时，这条直线叫做圆的切线, 叫做切点。 (1) 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线; ???MN 是O O 的切线 以上三个定理及推论也称二推一定理: 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 连接圆心与切点间的线段是解圆的切线问题时常用的辅助线, 垂直”解决与圆的切线有关的问题时，常需要补充的线是 作过切点的半径。 九、切线长定理 在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到 即：在O O 中, 这个唯一的公共点 两个条件: 过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：r MN 丄0A 且MN 过半径OA 外端 (2)性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论 1 :过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论 2 :过切点垂直于切线的直线必过圆心。 通常叙述为：见切点连半径得 圆的切线长。 M N A 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切相等，圆心和圆外这一点的连线平分两条切线的夹 角。 即：??? PA、PB是的两条切线 ???PA = PB PO平分N BPA ]^一、圆幕定理 (1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在O O中，???弦AB、CD相交于点P , ???PA PB= PC -PD (2 )推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即：在O O中，???直径AB丄CD , ???CE2 =AE BE (3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线 段长的比例中项。 (4)割线定理：从圆 外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 相等(如上图) 即：在O O中，???PB、PE是割线 即：在O O中，??? PA是切线，PB是割线 2 ?- PA =PC PB E ???PC -PB =PD PE 十二、两圆公共弦定理 两圆相切时，连心线必过切点，这一性质是由圆的对称性决定, 两个圆组成的图形是轴对称 图形，对称轴是经过两圆圆心的直线。 圆公共弦定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 如图：O1O2垂直平分AB 。 即：T O O I、O O2相交于A、B两点 ???QO2垂直平分AB 注：两圆相交时，依照两圆圆心和公共弦的位置，可分为两种情况: ①两圆圆心在公共弦同侧，②两圆圆心在公共弦异侧。 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式: (1)公切线长：RUO1O2C 中，AB2 =02 = J O Q, -CO22; (2)外公切线长：CO2是半径之差；内公切线长：CO2是半径之和。 十四、圆内正多边形的计算 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 把一个圆分成相等的弧，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形, 这个圆叫做正多边形的外接圆。经过各分点做圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆 的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆。 正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心。正多边形外接圆的半径叫做正 多边形的半径。正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正多边形内切圆半径叫做正多边形的边心距。 正n边形的半径R与边心距r把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 关系式： 中心角 a n = ^36 ^ ; 边长 a n =2 Rs in ^80 - n n 边心距 r n = Rcos 180 - n 1 1 面积S n =2a n r n ?“訐叫 (1)正三角形 (2) 正四边形 同理，四边形的有关计算在R 也0A 冲进行， (3) 正六边形 同理，六边形的有关计算在R 世0A 中进行， AB:OB:OA =1:73:2 . 在O O 中^ ABC 是正三角形，有关计算在 RUBOD 中进行: OD : BD: 0B= 1V3 : 2 A 1 ;R 2=r2+（3a n ）2 ；周长 C -na n ； 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：(1)弧长公式：丨=_R 180 n辽R2 (2 )扇形面积公式：S =-一 360 n:圆心角R:扇形多对应的圆的半径 2、圆柱: 圆柱侧面展开图 2 — S侧+ 2S底=2兀rh +2 兀r (2) 圆柱的体积：V =^r2h (2) 圆锥侧面展开图 2 毎=S侧+ S底FRr "r (2) 圆锥的体积：V=-兀r2h 3 补充: 圆中四心：外心：各边垂直平分线的交点 内心：各角角平分线的交点 垂心：各边高线的交点 重心：各边中线的交点 I I :扇形弧长S :扇形面积 底面圆周长 母线长 C1
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