§3 LU 分解法
——Gauss 消去法的变形
知识预备：
1矩阵的初等行变换、初等矩阵及其逆、乘积
2矩阵的乘法
3上三角矩阵的乘积、单位下三角矩阵的乘积 4单位下三角矩阵的逆、可逆的上三角矩阵的逆
一、Gauss 消去法的矩阵解释
Gauss 消去法实质上是将矩阵A 分解为两个三角矩阵相乘。 我们知道，矩阵的初等行变换实质就是左乘初等矩阵。
第一轮消元：相当于对A （1）
左乘矩阵L 1，即
)2()1(1A A L =
其中
)
1(11
)
1(1
1)2()2(2
)2(2)2(22)
1(1)
1(12)1(11)
2(131211,,1001
011a a l a a a a a a a A
l l l L i i nn n n n n =???
???
???????
?=?????
??
?????????---=
第二轮消元：对应于
)3()2(2A A L =
一般地
1,,2,1)
1()(-==+n k A A L k k k (1)
其中
n
k k i a a l l l L k kk
k ik
ik nk k
k k ,,2,1,,10111)()
(1 ++==???
????
??
?
??
???
????
?--=+整个消元过程为
U A A L L L L n n n 记)(1221=-- ?????
?
?
??
??
?
?
?=nn n
n
u u u u u u 22211211………（2） 从而
U L U L L L L U L L L L A n n n n ?===---------1
112121111221)(
其中L 是单位下三角矩阵，即
,1,,1,,3,2,,11
11)()(21323121???
?
??-===?????
??
?????????=n j n i l l l l l l L j jj j ij
a a ij n n …（3） 【注】消元过程等价于A 分解成LU 的过程
回代过程是解上三角方程组的过程。
二、矩阵的三角分解
1、若将A 分解成L?U ，即A=L?U ，其中L 为单位下三角矩阵,U 为非奇异上三角矩阵,则称之为对A 的Doolittle 分解。
当A 的顺序主子式都不为零时，消元运算可进行，从而A 存在唯一的Doolittle 分解。
证明：若有两种分解，A=L 1U 1，A=L 2U 2，则必有L 1=L 2，U 1=U 2。
因为L 1U 1=L 2U 2，而且L 1，L 2都是单位下三角矩阵，U 1,U 2都是可逆上三角矩阵,所以有
112112--=U U L L
因此 )(1
12112单位矩阵I U U L L ==-- 即
L 1=L 2，U 1=U 2、
2、若L 是非奇异下三角矩阵，U 是单位上三角矩阵时，A 存在唯一的三角分解，A=LU ，称其为A 的Crout 分解（对应于用列变换实施消元）
三、直接分解（LU 分解）算法
LU 分解算法公式——按矩阵乘法
??????
?
???
???????????
?????????=nn n
n
n n u u u u u u l l l l l A 222112112132312111
11 第一步：利用A 中第一行、第一列元素确定U 的第一行、L 的第一列
元素。由
),,2,1()0,,0,,,()0,,0,0,1(1211n j u u u u a j
T ij j j j ==?=
),,3,2()0,,0,()0,,1,,,(11
1111211n i u l u l l l a i T ii i i i =?=?=-
得 u 1j =a 1j n j ,,2,1( =) l i1=a i1/u 11n i ,,3,2( =)
第r 步:利用A 中第r 行、第r 列剩下的元素确定U 的第r 行、L 的第r 列元素（r=2，3，…，n ）.由
)
,,1,()0,,0,,,()0,,0,1,,,(1
1
21121n r r j u u l u u u l l l a rj
kj r k rk T
jj j j rr r r rj +=+=?=∑-=-得U 的第r 行元素为
∑-=+=-=1
1
,,1,,
r k kj rk rj rj n r r j u l a u
由
)
,,2,1()0,,0,,,()0,,0,1,,,(1
1
21121n r r i u l u l u u u l l l a rr
ir kr r k ik T
rr r r ii i i ir ++=+=?=∑-=-得
),,1,1,,3,2(/)(1
1
n r i n r u u l a l rr
kr r k ik ir ir +=-=-=∑-=…………
(4)
直接分解的紧凑格式：
方程组的三角分解算法（LU 分解）
对于方程组Ax=b ，设A=LU (Doolittle 分解)。
由于 ???==?=y
Ux b
Ly b Ax
1、求解Ly=b ：
∑-==-==1
1
11),,3,2(,,i k k ik i i n i y l b y b y (5)
2、求解Ux=y ：
)1,2,,2,1(,/)(,/1
--=-
==∑+=n n i u x u
y x u y x ii n
i k k ik
i i nn n n (6)
LU 分解算法
步1，输入A ，b ；
步2，对j=1,2,…,n 求,:111j j j a u u =
对i=2,3,…,n 求;/:11111u a l l i i i = 步3,对r=2,3,…,n 做（3.1）-(3.2): （3.1）∑-=+=-
=1
1),,,1,(,r k kj rk
rj rj n r r j u l
a u
（3.2）);;,,1(/)(1
1
n r n r i u u l
a l rr
r k kr ik
ir ir ≠+=-
=∑-=
步4，∑-=-
===1
1
11;:,,,3,2,i k k ik
i i i y l
b y y n i b y 求对
步5，ii n
i k k ik
i i i n n u x u
y x x n i y x /)(:1,,1,1
∑+=-=-==求对
步6，输出);,,2,1(n i x i =结束。
????
??????-=????????????????????-713542774322322x x x 解：对系数矩阵A 进行LU 分解
6
)(,2,2/)(1
,3,1,2,3,2,22332133133332222123132322322121223121131211=--===-===-=-=====u l u l a u u u u l a l u u u l a u l l u u u j j j 所以因此
????
?
???????
???
?????-=613322121121A 先解627,521,3,213121=-+-=-=-===y y y y y y b Ly 则。
再解
22/)323(,23/)5(,1,321323=--=-=--===x x x x x x y Ux 解出
程序：LU_factorization
%Not Select Column LU_factorization clear all
n=3;a=[2 2 3;4 7 7;-2 4 5];b=[3;1;-7]; %n=3;a=[1 4 7;2 5 8;3 6 11];b=[1;1;1]; %LU_factorazation for i=2:n
a(i,1)=a(i,1)/a(1,1); end a
for r=2:n for j=r:n s=0.;
for k=1:r-1
s=s+a(r,k)*a(k,j); end
a(r,j)=a(r,j)-s; end
for i=r+1:n s=0.;
for k=1:r-1
s=s+a(i,k)*a(k,r); end
a(i,r)=(a(i,r)-s)/a(r,r); end a end
%Extract Lower/Upper Triangular Part l=tril(a); for i=1:n l(i,i)=1; end
u=triu(a);
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??，233x ?? ??=?? ???? ，则1A ＝ ，1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 2. 什么是不动点迭代法？()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点？ 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件： i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。（10分） 四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? （10分） 七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式，并 判断其是否收敛？（10分） 八．就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。（10分）
2010 ~ 2011 学年第 1学期 《 数值分析 》课程考试试卷（A ） 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2010 年__ 月_ 日 时 考试形式：闭卷√□、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 一、填空（每个空3分，共30分） 1，设 *3.1415, 3.141x x ==，则* x 有__________位有效数字。 2，* 3587.6x =是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差≤*r e ___________. 3，已知=?? ? ??-=1,4032A A 则_______， =∞A _______. 4，设0)(≥''x f , 则由梯形公式计算的近似值T 和定积分? = b a dx x f I )(的值的大小 关系为___________.（大于或者小于） 5, 已知, 3,2,1,03210====x x x x 4,5.2,1.1,03210====f f f f ，则均差 ],,,[3210x x x x f _______________. 6, 已知A=???? ? ? ?2021012a a ，为使A 可分解为T LL A =，其中L 为对角线元素为正的下三角形 矩阵，则a 的取值范围为_______________，如果a =1，则L =______________. 7，若b a ,满足的正规方程组为：??? ? ? ?? =+=+∑∑∑∑∑=====n i n i n i i i i i n i n i i i y x b x a x y b x na 1112111 则x y 与之间的关系式为______________________ 8，若1λ是1 -A 的按模最大的特征值，则A 的按模最小的特征值为___________
期末考试试卷（A 卷） 2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题（每小题2分，共10分） 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。 （ ） 2. 为了减少误差,进行计算。 （ ） 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。 （ ） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。（ ） 5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关，与常数项无关。 （ ） 二、填空题（每空2分，共36分） 1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____，2x =______，Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩
第一章 1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。 3 .14,7/100)4(143 .0,7/1)2(0031 .0,1000/)3(1 .3,)1(========x a x a x a x a ππ 试估计x 的绝对误差和相对误差。 解：（1）0132.00416 .01.3≈= ≈-= -=a e e x a e r π （2）0011.00143 .0143.07/1≈= ≈-=-=a e e x a e r （3）0127.000004 .00031.01000/≈= ≈-=-=a e e x a e r π （4）001.00143 .03.147/100≈= ≈-=-=a e e x a e r 2. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。 解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2 x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2 x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10 -4 x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5 由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σn i=1∣?f/?x i ∣δx i e r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1 x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049 e r （μ2）≦1/∣μ2∣［x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3 / x 1δx 4］ =0.501937 3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。 解：设=()u f x ， ()()()()() ()||||||||||()||()|| | |()||()||||r r r x e u df x e x df x e x e u u dx u dx u x df x x df x x e x x dx u dx u δ= ≈==≤ ()||10.2 (())| |()||ln ln ln r r r r df x x x x f x x x dx u x x x x δδδδ==??==
北京大学数值分析试题2015
北京大学2014--2015学年第一学期 研究生期末考试试题A (闭卷考试) 课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位 一、填空题(每空3分，共24分) (1) 设 1222A ?? -=? ?-?? ? ?，则A 的奇异值 为 。 (2) 设0.00013753x =为真值0.00013759 T x =的近似值，则 x 有 位有效数字。 (3) 设数据1 2 3 ,,x x x 的绝对误差为0.002，那么 123 x x x -+的绝对误差约为 ____ _。 (4) ) x (l ,),x (l ),x (l n 10 是以0 1 ,, ,,(2) n x x x n ≥为节点的 拉格朗日插值基函数， 则 2 0(2)()n k k k x l x =+= ∑ 。 (5) 插值型求积公式22 =≈∑?()() n k k k x f x dx A f x 的求积系 数之和0 n k k A ==∑ 。 其中2 x 为权函数，1≥n 。 （6）已知(3,4) ,(0,1)T T x y ==，求Householder 阵H 使Hx ky =，其中k R ∈。 H= 。
(7) 数值求积公式1 1 2()((0)3f x dx f f f -??≈ ++???? ?的代数精度为___。 (8) 下面Matlab 程序所求解的数学问题是 。 （输入向量x , 输出S ） x =input('输入x ：x ='); n=length(x ); S=x (1); for i=2:n if x (i)应用数值分析(第四版)课后习题答案第9章
第九章习题解答 1.已知矩阵????? ???????=??????????=4114114114,30103212321A A 试用格希哥林圆盘确定A 的特征值的界。 解：,24)2(, 33)1(≤-≤-λλ 2.设T x x x x ),...,,(321=是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，若i x x =∞， 试证明特征值的估计式∑≠=≤-n i j j ij ii a a 1λ. 解：,x Ax λ = ∞∞∞∞≤==x A x x Ax i λλ 由 i x x =∞ 得 i n in i ii i x x a x a x a λ=++++ 11 j n j i i ij i ii x a x a ∑≠==-1)(λ j n j i i ij j n j i i ij i ii x a x a x a ∑∑≠=≠=≤=-11λ ∑∑≠=≠=≤≤-n j i i ij i j n j i i ij ii a x x a a 11λ 3.用幂法求矩阵 ???? ??????=1634310232A 的强特征值和特征向量，迭代初值取T y )1,1,1()0(=。 解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1]; for k=1:100 y=A*z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end
z=y/c if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end 11.0000 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9999 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0003 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9989=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0040 =c ,0.7498) 1.0000 0.5000(z 10.9859=c ,0.7506) 1.0000 0.5001(z 11.04981 =c ,0.7478) 1.0000 0.4995(z 10.8316 =c ,0.7574) 1.0000 0.5020(z 11.5839 =c ,) 0.7260 1.0000 0.4928 (z 9.4706 =c ,0.8261) 1.0000 0.5280(z 17 = c ,0.5882) 1.0000 0.4118(z 11T (11)10T (10)9T (9)8T (8)7T (7)6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)=========== 强特征值为11，特征向量为T 0.7500) 1.0000 0.5000(。 4.用反幂法求矩阵???? ??????=111132126A 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取 T y )1,1,1()0(=。 解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1]; for k=1:100 AA=A-6*eye(3); y=AA\z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end z=y/c; if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end d=6+1/c
重庆大学数值分析课程试卷 2012 ~2013 学年 第 1学期 开课学院：数统学院 课程号： 考试日期： 考试方式 ： 考试时间 120 分钟 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得 分 注：1.大标题用四号宋体、小标题及正文推荐用小四号宋体；2.按A4纸缩小打印 一、 选择题（3分/每小题，共15分） 1、以下误差公式不正确的是（ A ） A. ()()()1212x x x x εε ε- =- B. ()()()1212x x x x εεε+=+ C ．()()()122112x x x x x x εε ε = + D. ()()2 2 x x x εε = 2、通过点()0 0,x y ，()11,x y 的拉格朗日插值基函数()0l x ，()1l x 满足（C ） A. ()000l x =,()110l x = B. ()000l x =,()111l x = C. ()001l x =,()111l x = D. ()001l x =,()110l x = 3、已知等距节点的插值型求积公式 ()()3 52 k k k f x d x A f x =≈ ∑ ? ，则3 k k A == ∑ （ C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4、解线性方程组A x b =的简单迭代格式() () 1k k x B x f +=+收敛的充要条件是（ B ） A. ()1A ρ< B. ()1B ρ< C. ()1A ρ> D. ()1B ρ> 5、已知差商021[,,]5 f x x x =，402[,,]9f x x x =，234[,,]14f x x x =，032[,,]8f x x x =， 则 420[,,]f x x x = （ B ） A. 5 B. 9 C. 14 D. 8 二、 填空题（3分/每小题，共15分） 1取 3.141592x =作为数 3.14159265 4...的近似值，则x 有____6____位有效数字 2、Cotes 求积公式的代数精度为 5 学院 专业、班 年级 学号 姓名 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密
第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、
第7章复习与思考题
求f (X )= 0的零点就等价于求(x )的不动点，选择一个初始近似值X 0，将它代入X =「(X ) 的右端，可求得 X 1 h%X °)，如此反复迭代有 X k 1 二(X k ), k =0,1,2,..., (X)称为迭代函数，如果对任何 X 。? [a,b]，由x k 卜h%x k ),k =0,1,2,...得到的序列 〈X k 1有极限 则称迭代方程收敛，且X* =?(x*)为?(X )的不动点 故称 X k q 二(X k ), k =0,1,2,...为不动点迭代法。 5?什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定 X k 1 二「(X k )(k =0,1,2,...)的收敛阶 P219 设迭代过程X k 1'h%X k )收敛于 (X)的根X*，如果当k > 时，迭代误差 e k = x k - x *满足渐近关系式 —t C,C =const 式 0 e/ 则称该迭代过程是 p 阶收敛的，特别点，当 p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛， p=2时称为平方收敛。 以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。 6?什么是求解f(x)=0的牛顿法？它是否总是收敛的？若 f(X*) =0，X*是单根，f 是光 滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。 牛顿法: 当| f (X k )卜J 时收敛。 7?什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。 在牛顿法的基础上使用 2点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。 收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2 计算量弦截法 <牛顿法(减少了倒数的计算量) 8?什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？ P229 X - m X k 1 =X k f (X k ) f (X k )
数值分析第四版习题及答案
第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****1 2 3 4 5 1.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给 的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设0 28,Y =按递推公式 11 783100 n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .若取78327.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字78327.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 11N dx x +∞ +?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能
使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设212 S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1 101n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 21)f =,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 63 22)70 2. (21)(322)--++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =-,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x -=-+ 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 {101012121010;2. x x x x +=+=假定只用 三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1 sin ,2 s ab c = 其中c 为弧 度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令