四川省成都市第七中学高2020届高二上期入学考试
数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案集中填写在答题卷上．） 1．化简 15 45 75 45cos cos cos sin ????－的值为( )
A ．
12 B ．
2 C ． 12- D ．
2
-
【答案】A
【解析】 15 45 75 45cos cos cos sin ????－
15 45 15 45cos cos sin sin ????=－
1
602
cos ==
o ，故选A ． 【考点】余弦和差公式 【难度】★★★ 2．直线
123
x y
-=-在x 轴上的截距是( ) A ．2 B ．3 C ．2- D ．3-
【答案】C
【解析】令0y =得到2x =-，故选C ． 【考点】直线的截距 【难度】★★★
3．点()25P ，
关于直线1x y +=的对称点的坐标是( ) A ．()52--，
B ．()41--，
C ．()63--，
D ．()42--， 【答案】B
【解析】设点()25P ，关于直线1x y +=的对称点Q 的坐标为m n （，）
， 则由题意可得()5
112
25122
n m m n -??-=-??-?++?+=??，41m n ∴=-=-，，故选B ．
【考点】点关于直线对称的点的求法 【难度】★★★
4．已知数列{}n a 的首项12a =，且()11n n n a na ++=，则5a = ( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11 【答案】C
【解析】由题得()11n n
n a a
n
++=
，()21114
1
a a
+==，()32
2162
a a
+==，
()4
3
3183
a a
+==，()54
41104
a a
+=
=，故选C ．
【考点】递推公式 【难度】★★★
5．下列说法中正确的是( )
A ．斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形
B ．水平放置的正方形的直观图有可能是梯形
C ．一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体
D ．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台 【答案】D
【解析】对于选项A ，斜棱柱的每个侧面是平行四边形，但是全部展开以后，那些平行四边
形未必可以构成一个平行四边形.所以是假命题．对于选项B ，水平放置的正方形的直观图是平行四边形，不可能是梯形，所以是假命题．对于选项C ，一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱不一定是长方体，因为底面可能不是矩形，所以是假命题．对于选项D ，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台，是真命题．故选D
【考点】空间几何体的概念+三视图和直观图 【难度】★★★★
6．两个公比均不为1的等比数列{}n a ，{}n b ，其前n 项的乘积分别为n A ,n B ，若
5
5
2a b =，则
9
9
A B = ( ) A ．512 B ．32 C ．8 D ．2
【答案】A
【解析】由题得()()()()()()
9
19285599129991291928552512a a a a a a A a a a B b b b b b b b b b ?????????=====?????????．故选A ． 【考点】等比数列的性质 【难度】★★★★
7．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张丘建算经》（成书约公元5世纪）卷上二十二“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一
月日织九匹三丈，问日益几何？其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天比前一天多织相同量的布．已知第一天织5尺，经过一个月（按30天计）后，共织布九匹三丈．问从第2天起，每天比前一天多织布多少尺？（注：1匹4=丈，1丈10=尺）那么此问题的答案为( )
A ．
12尺 B ．815尺 C ．1631尺 D ．1629
尺 【答案】D
【解析】设每天多织布d 尺，由题意得：3029
3053902
d ??+
=， 解得1629d =
．∴每天多织布1629
尺．故选D ． 【考点】等比数列求和公式 【难度】★★★★
8．函数()0,0,2f x Asin x A πω?ω??
?
=+>><
??
?
（）的部分图象如图所示，要得到函()24
g x sin x π
=+（）的图象，只需将函数()f x 的图象( )
A ． 向右平移12π长度单位
B ． 向左平移24π长度单位
C ． 向左平移12π长度单位
D ． 向右平移24
π
长度单位
【答案】D
【解析】由函数()f x Asin x ω?=+（）的部分图象可得1A =，再根据
127==44123T πππ
ω?-，求得2ω=，最小正周期T π=．再根据五点法作图可得23
π
?π?
+=，求得3
π
?=
∴函数()23f x sin
x π
=+（）．()224243g x sin
x sin x πππ?
?=+-???
?（）=（）+，所以应该向右右平移
24
π
长度单位．故选D ．
【考点】角函数解析式的求法+三角函数图像的变换 【难度】★★★★
9．若点A 在点C 的北偏东30?，点B 在点C 的南偏东60?，且AC BC ＝，则A 在点B 的( )
A ． 北偏东15?
B ． 北偏西15?
C ．北偏东10?
D ． 北偏西10? 【答案】B
【解析】由90ACB ∠=?，又AC BC ＝，∴45CBA ∠=?，而30β=?，
∴90453015α=?-?-?=?．∴点A 在点B 的北偏西15?．故选B ．
【考点】方位角的计算 【难度】★★★★
10．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】C
【解析】由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2PD =，2AD =，
2CD =，1AB =，由勾股定理可知：PA =PC =3PB =，BC =，则在四棱锥中，直角三角形有：PAD ?，PCD ?，PAB ?共三个，故选C ．
【考点】三视图 【难度】★★★★
11．已知等差数列{}n a 中，若3a ，11a 是方程220x x --=的两根，单调递减数列
{}()n b n N *∈通项公式为27n b n a n λ=+?．则实数λ的取值范围是(
)
A ．(),3-∞-
B ． 1,6??
-∞- ??? C ． 1,6??-+∞ ???
D ． ()3,-+∞ 【答案】B
【解析】由3a ，11a 是220x x --=的两根，∴3111a a +=．（或两根为3112,11a a -?+=）
∵{}n a 等差，∴31177122a a a a +=?=，∴2
12
n b n n λ=+． ∵{}n b 递减，∴10n n b b +-<对
恒成立，
()()2
2
1111022n n n n λλ???++
+-+<
??
? ()12102n λ?++
<，∴142
n λ<-+对恒成立．
∵min
11426n ??-=- ?
+??，∴1
6λ<-．故选B ． 【考点】韦达定理+等差数列的性质+数列的单调性+等式的恒成立问题 【难度】★★★★★
12．在锐角ABC ?中，A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c , 且cos cos b A a a B =+，则
11
tan tan A B
-的取值范围为( ) A ．233? ? B ．22,63 C ．(3 D ．()1,+∞
【答案】A
【解析】由cos cos b A a a B =+化边为角整理可得：()sin sin B A A -=，由此 2B A =．
结合在锐角ABC ?中，有32B ππ
<<，由111
23tan tan sin A B B ?-=∈ ??
． 故选A ．
【考点】正余弦定理 【难度】★★★★★
二、填空题：（共4小题，每小题5分，满分20分．请把答案填写在答题卷上．） 13.已知228x y +=，则x y +的最大值为___________． 【答案】4
【解析】因为22
8x y +=，所以设22sin ,22cos x y αα==， 所以，()22sin cos 4sin ,4x y πααα??
+=+=+ ??
?
所以x y +y 的最大值为4. 故答案为：4.
【考点】三角换元+三角恒等变换 【难度】★★★
14.在长方体1111ABCD A B C D -中，1345AB AD AA ===，，，则直线1AC 与平面ABCD
所成角的大小为__________ 【答案】45o 【解析】
试题分析：根据题意，由于长方体1111ABCD A B C D -中， 1345AB AD AA ===，，，由于点1C 在底面的射影为C ，那么可知得到线面角为1CAC ,然后借助于已知的边长和三角函数定义可知则直线1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值为
2
2
，故可知角的大小为45o 。 考点：线面角的求解
点评：本题主要考查了求线面角的过程：作、证、求，用一个线面垂直关系 【考点】线面角 【难度】★★★
15.如图，已知扇形AOB 的弧长为
82
3
π，半径为42，点C 在弧AB 上运动，且点C 不与点,A B 重合，则四边形OACB 面积的最大值为___________．
【答案】163【解析】已知扇形AOB 的弧长为
82
3
，半径为4223AOB π∠=。 由三角形的面积公式可知，1
sin 16sin 2
OCA S AOC OA OC AOC ?=
∠??=∠
1
sin 16sin 2
OCB S BOC OB OC BOC ?=∠??=∠，所以四边形OACB 面积为
()16sin sin OCA OCB S S AOC BOC ??+=∠+∠，因为23
AOC BOC π
∠+∠=，
，由此四边形OACB
面积为216sin sin 163sin 36OCA OCB S S AOC AOC AOC ππ????????+=∠+∠-∠=∠+ ? ?
??????
?，
20,3AOC π??
∠∈ ???
，5,666AOC πππ??∠+∈ ???，所以最大值为163，当3AOC π∠=时取
等号。
【考点】函数最值 【难度】★★★
16.在ABC V 中，60o B ∠=，12,,AC BC k ==，这样的三角形恰有一个，则k 的取值范围是_________．
【答案】{}
01283k A k <≤=或
【解析】因为ABC V 中，60,12,,o
ABC AC BC k ∠===所以由正弦定理得：
12sin 60sin o
k
A
=，即83sin k A =，因为0120A < 01283k A k <≤=或。 【考点】正弦定理的应用+函数与方程 【难度】★★★★ 三、解答题（共6题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卷的相应题号的下面．） 17.在 ABC V 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知 ()()3cos 3cos cos a b C c B A -=-． (1)求 sin sin B A 的值； (2)若7c a =，求角C 的大小． 【答案】（1）3； （2） . 【解析】 (1)由正弦定理得，()()sin 3sin cos sin 3cos cos A B C C B A -=-， sin cos cos sin 3sin cos 3cos sin A C A C C B C B ∴+=+ 即sin 3sin ()()A C C B ++=，即sin sin 3sin 3sin B B A A =∴=， ． (2)由(1)知37b a c a == Q ，， ∴222222 971 cos 2232 a b c a a a C ab a a +-+- === ?? ∵() 3 C C π π ∈∴= ，，． 【考点】正余弦定理 【难度】★★★★ 18.如图，空间四边形ABCD中，E F G H ，，，分别是AB BC CD DA ，，，的中点，且AB AD BC DC == ，． （1）求证：BD∥平面EFGH； （2）求证：四边形EFGH是矩形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】（1）E H Q，分别为AB DA ，的中点． ∴EH BD ∥，又BD?平面EFGH，EH?平面EFGH， BD ∴∥平面EFGH； （2）取BD中点O，连续OA OC ，． AB AD BC DC == Q，．AO BD CO BD ∴⊥⊥ ，， 又0 AO CO ?=．BD ∴⊥平面AOC． BD AC ∴⊥． E F G H ，，，分别是AB BC CD DA ，，，的中点 ． 11 22 EH BD EH BD FG BD FG BD EF AC ∴== ，且；，且，． ∥∥∥ EH FG EH FG ∴= ，且 ∥．∴四边形EFGH是平行四边形． AC BD EF AC EH BD EF EH ⊥∴⊥ Q，又，． ∥∥∴四边形EFGH为矩形 【考点】线面平行的判定+直线间平行垂直的判定 【难度】★★★★ 19.已知直线l在,x y轴上截距相等,且到点() 1,22,求直线l的方程. 【答案】(26 y x =-±或50 x y +-=或10 x y +-= 【解析】当直线l在,x y轴上截距都等于0时，设直线l的方程为y kx = 2 2 =2 +1 k k - 26 k=-± 所以直线l 的方程为() 26y x =-± 直线l 在,x y 轴上截距不等于0时，设直线l 的方程为 1x y a a += 由已知得 322 a -=解得1a =或5a = 所以直线的方程为50x y +-=或10x y +-= 综上所述，直线l 的方程为(26y x =-或50x y +-=或10x y +-= 【考点】直线方程 【难度】★★★★ 20.已知正项数列{}n a 满足2 (21)2n n a n a n =-+. （1）求证：数列{}n a 是等差数列; （2）若数列{}n b 满足4011 n n b n =-，且数列{}n b 的最大项为p b ，最小项为q b ，求p q +的值. 【答案】（1）见解析； （2）7. 【解析】由已知有：2 (21)2(2)(1)0n n n n a n a n a n a ---=-+=且0n a >， 所以由2n a n =,*n N ∈ 12(1)22n n a a n n +-=+-=，由211(21)20a a ---=解得12a =， 所以数列{}n a 是以首项为2，公差为2的等差数列； （2）4040101110 2(111 111111 n n b n n n n = = ==----， 当4p =时，p b 最大，当3q =时，q b 最小，所以7p q +=. 【考点】数列的最值问题 【难度】★★★★ 21.请阅读下面材料： 根据两角和与差的正弦公式，有 sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+…………① sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-…………② 由①+②得sin()sin()2sin cos αβαβαβ++-=…………③ 令A αβ+=，B αβ-=有2A B α+= ，2A B β-=， 代入③得sin sin 2sin cos 22 A B A B A B +-+=． （Ⅰ）试证明：cos cos 2sin sin 22 A B A B A B +--=-； （Ⅱ）若ABC V 的内角A ，B ，C ，满足2cos 2cos 22sin A B C -=，试判断ABC V 的形状． 【答案】（1）见解析； （2）直角三角形. 【解析】（Ⅰ）因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，① cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，② ① － ②得cos()cos()2sin sin αβαβαβ+--=-. ③ 令A αβ+=，B αβ-=有2A B α+= ，2A B β-=， 代入③得cos cos 2sin sin 22 A B A B A B +--=-． （Ⅱ）由二倍角公式, 2cos 2cos 22sin A B C -=可化为 22212sin 12sin 2sin A B C --+=, 即222sin sin sin A B C +=. 设ABC V 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 由正弦定理可得222a b c +=. 根据勾股定理的逆定理知，ABC V 为直角三角形． 【考点】两角和差的正余弦+二倍角的余弦+正弦定理 【难度】★★★★ 22.“郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员求出，地面指挥中心的在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为B ，C ，D ）．当返回舱距地面1万米的P 点的时（假定以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°， D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向． （1）求B ，C 两救援中心间的距离； （2）D 救援中心与着陆点A 间的距离． 【答案】（1（2 【解析】（1）由题意知PA AC ⊥,PA AB ⊥，则PAC V ,PAB V 均为直角三角形， 在Rt PAC ?中，1PA =,60PCA ∠=?，解得3 AC = 在Rt PAB ?中，1PA =,30PBA ∠=?，解得AB = 又90CAB ∠=?,3 BC = = （2）sin sin ACD ACB ∠=∠= cos ACD ∠= 又30CAD ∠=?，所以sin sin(30) ADC ACD ∠=?+∠= 在ADC ?中，由正弦定理， sin sin AC AD ADC ACD =∠∠ sin sin AC ACD AD ADC ?∠= = ∠万米 【考点】解三角形. 【难度】★★★★
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