有限元复习题：
一、变分原理部分:
1、什么是弹性体的虚位移？
2、什么是弹性体的虚位移原理的条件和结论？和刚体的虚位移原理有何区别？
3、谈谈虚位移原理在有限元建模中的应用。
二、弹性力学平面问题
一、平面应力问题
1、弹性力学平面应力问题有什么几何特征、载荷特征和应力特征？
2、简要叙述平面应力问题有限元位移法分析步骤，并给出主要公式。
3、 有限元求解弹性力学问题时要保证解答收敛的必要条件是什么(单元的位移多项式要满足什么条件)？
4、单元的刚度方程()()()[]{}{}e e e k F δ=反映的物理意义是什么？推导这一单元刚度方程的方法主要有哪些？ (结点平衡法，虚位移原理，最小势能原理等) 单元刚度矩阵中任意一个元素rs k 的物理意义是什么？
5、什么是等参单元？说明平面问题的四边形四结点、四边形八结点单元是等参单元。
6、有限元位移法分析弹性力学平方面问题时如果采用四边形八结点单元，选取的位移函数多项式包括那些项(用直角坐标x , y 表示)？
7、简要叙述平面刚架有限元分析步骤。给出主要公式。
8、试问六面体八结点空间单元的位移函数多项式中都包含了那些项（用直角坐标表示）？
9、图1示为一等腰直角三角形单元，设弹性模量为 1.0E =，波松比0μ=，试求：
（1）、形函数矩阵[N ]
（2）、几何矩阵[B ]
a a i j
m
x y
图1 图2
一．是非题（认为该题正确，在括号中打；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。（×）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。（√）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。（√）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。（×）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。（×）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。（√）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。（×）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。（×）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。（√）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。（√） 二．单项选择题（共20分，每小题2分）C B B C B C D C C C 1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为 ____C__________。 （A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法 2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用__B____的结点和______的插值函数。（A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与_____B______相等。 （A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数 4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般______C_____。 （A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律 5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少 是__B____完全多项式。 （A）m-1次（B）m次（C）2m-1次 6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了____C_____形式，因此，不用 进行回代计算。 （A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵 7 对称荷载在对称面上引起的________D________分量为零。 （A）对称应力（B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移 8 对分析物体划分好单元后，______C____会对刚度矩阵的半带宽产生影响。 （A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号 9 n个积分点的高斯积分的精度可达到__C____阶。 （A）n-1 （B）n（C）2n-1 （D）2n 10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的____C______。 （A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性 三．简答题（共20分，每题5分） 1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。 （1）对称性；（2）奇异性；（3）主对角元恒正；（4）稀疏性；（5）非零元素带状分布
西安交通大学 级研究生课程考试试题 考试（查）科目：有限元方法（II ）时间 年 月 日下午 一、4 ) 4,4(),()5,5(),()2,6(),()2,2(),(4 4332211====y x ， y x ，y x ， y x 母体单元为22?的正方形，如图所示。 求：（1）单元坐标变换()(ξηξ,,, y y x x == （2）变换的Jacobi 行列式detJ 的解析表达式，并分析该变换是否存在奇异性（8分）。 二、分析以下两种单元的位移场是否具备收敛到真实解所需的各项条件。（30） （1） 13结点矩形平面应力单元 结点参数取为：)13~ 1( ,=i v u i i 位移场为： 3 132 2 123 113 102 92 83726524321xy y x y x y xy y x x y xy x y x u ααααααααααααα++++++++++++= 3 262 2 253 243 232 222 2132021918217161514xy y x y x y xy y x x y xy x y x v ααααααααααααα++++++++++++=（2） 6自由度三角形薄板弯曲单元 结点参数取为： ()3~1=i w i ()6~4=??? ????i n w i 位移场为： 2 652 4321y xy x y x w αααααα+++++= 三、13结点平面应力单元如图所示， 在计算单元刚度矩阵时取图示的9个 积分点。试分析在单元一级是否存在 出现零变形能位移模式的可能性。 ,u x 7 8 10 9 11 12 1 2 3 4 5 6
1、有限元法是近似求解（连续）场问题的数值方法。 2、有限元法将连续的求解域（离散），得到有限个单元，单元与单元之间用（节点）相连。 3、从选择未知量的角度看，有限元法可分为三类（位移法力法混合法）。 4、以（节点位移）为基本未知量的求解方法称为位移量。 5、以（节点力）为基本未知量的求解方法称为力法。 7、直梁在外力作用下，横截面上的内力有（剪力）和（弯矩）两个。 8、平面刚架结构在外力作用下，横截面上的内力有（剪力）、（弯矩）、（轴力）。 9、进行直梁有限元分析，节点位移有（转角）、（挠度）。 10、平面刚架有限元分析，节点位移有（转角）、（挠度）、（？？？）。 11、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是（）。 12、弹性力学问题的方程个数有（15）个，未知量个数有(15)个。 13、弹性力学平面问题方程个数有（8），未知数（8）个。 15h、几何方程是研究（应变）和（位移）关系的方程。 16、物理方程描述（应力）和（应变）关系的方程。 17、平衡方程反映（应力）和（位移）关系的方程。 18、把进过物体内任意一点各个（截面）上的应力状况叫做（该点）的应力状态。
19、形函数在单元节点上的值，具有本点为（1），他点为零的性质，并在三角形单元的后一节点上，三个形函数之和为（1）。 20、形函数是（三角形）单元内部坐标的（线性位移）函数，它反映了单元的（位移）状态。 21、节点编号时，同一单元相邻节点的（编号）尽量小。 25、单元刚度矩阵描述了（节点力）和（节点位移）之间的关系。矩形单元边界上位移是（线性）变化的。 从选择未知量的角度来看，有限元法可分为三类，下面那种方法不属于其中（ C ）。 力法 B、位移法 C、应变法 D、混合法 下面对有限元法特点的叙述中，哪种说法是错误的（ D ）。可以模拟各种几何形状负责的结构，得出其近似值。 解题步骤可以系统化，标准化。 容易处理非均匀连续介质，可以求解非线性问题。 需要适用于整个结构的插值函数。 几何方程研究的是（ A ）之间关系的方程式。 应变和位移 B、应力和体力 C、应力和位移 D、应力和应变 物理方研究的是（ D ）之间关系的方程式。 应变和位移 B、应力和体力 C、应力和位移 D、应力和应变 平衡方程研究的是（ C ）之间关系的方程式。
1．针对下图所示的3个三角形元，写出用完整多项式描述的位移模式表达式。 2．如下图所示，求下列情况的带宽: a)4结点四边形元； b)2结点线性杆元。 3．对上题图诸结点制定一种结点编号的方法，使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下，单元的带宽分别是多大 4．下图所示，若单元是2结点线性杆单元，勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽是多大按一右一左重新编号（即6变成3等）后，重复以上运算。
5．设杆件1－2受轴向力作用，截面积为A，长度为L，弹性模量为E，试写出 杆端力F 1，F 2 与杆端位移 2 1 ,u u之间的关系式，并求出杆件的单元刚度矩阵)(] [e k 6．设阶梯形杆件由两个等截面杆件○1与○2所组成，试写出三个结点1、2、3的 结点轴向力F 1，F 2 ，F 3 与结点轴向位移 3 2 1 , ,u u u之间的整体刚度矩阵[K]。 7．在上题的阶梯形杆件中，设结点3为固定端，结点1作用轴向载荷F 1 =P，求各结点的轴向位移和各杆的轴力。
8． 下图所示为平面桁架中的任一单元，y x ,为局部坐标系，x ，y 为总体坐标系，x 轴与x 轴的夹角为θ。 （1） 求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k （2） 求单元的坐标转换矩阵 [T]； （3） 求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k 9．如图所示一个直角三角形桁架，已知27/103cm N E ?=，两个直角边长度 cm l 100=，各杆截面面积210cm A =，求整体刚度矩阵[K]。
10．设上题中的桁架的支承情况和载荷情况如下图所示，按有限元素法求出各结点的位移与各杆的力。 11．进行结点编号时，如果把所有固定端处的结点编在最后，那么在引入边界条件时是否会更简便些 12．针对下图所示的3结点三角形单元，同一网格的两种不同的编号方式，单元的带宽分别是多大
1.结点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置（×） 2.对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元。√ 3.平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案（×） 4.用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析（×） 5.一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好（√） 6.四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数√ 7.在三角形单元中其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。√ 8.等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。√ 9.四边形单元的Jacobi行列式是常数。× 10.等参元是指单元坐标变换和函数插值采用相同的结点和相同的插值函数。√ 11.有限元位移模式中，广义坐标的个数应与单元结点自由度数相等√ 12.为了保证有限单元法解答的收敛性，位移函数应具备的条件是位移函数必须能反映单元的刚体位移和常量应变以及尽可能反映单元间的位移连续性。√ 13.在平面三结点三角形单元中，位移、应变和应力具有位移呈线形变化，应力和应变为常量特征。√ 1.梁单元和杆单元的区别？(自己分析:自由度不同)杆单元只能承受拉压荷载，梁单元则可以承受拉压弯扭荷载。具体的说，杆单元其实就是理论力学常说的二力杆，它只能在结点受载荷，且只有结点上的荷载合力通过其轴线时，杆件才有可能平衡，像均布荷载、中部集中荷载等是无法承担的，通常用于网架、桁架的分析；而梁单元则基本上适用于各种情况（除了楼板之类），且经过适当的处理（如释放自由度、耦合等），梁单元也可以当作杆单元使用。 2.有限单元法结构刚度矩阵的特点？对称性，奇异性，主对角元恒正，稀疏性，非零元素呈带状分布。 3.有限单元法的收敛性准则？完备性要求，协调性要求。位移模式要满足以下三个条件包含单元的刚体位移。当结点位移由体位移引起时，弹性体内不会产生应变。包含单元的常应变。与位置坐标无关的应变。位移模式在单元内要连续，在相邻单元之间的位移必须协调。当选择多项式来构成位移模式时，单元的连续性总得到满足，单元的协调性就是要求单元之间既不会出现开裂也不会出现重叠的现象。。 4.任何一个有限元分析问题都是空间问题，什么情况下可以简化为平面问题？轴对称问题？空
一 判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 （√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是 薄板 ，但前者受力特点是： 平行于板面且沿厚度均布载荷作用 ，变形发生在板面内； 后者受力特点是： 垂直于板面 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ，后者为 长柱体 。3．位移模式需反映 刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。 5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。 6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是 节点位移 ，单元应力可由它求得，其计算公式为 {}{} [][]e D B σδ=。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u ，v ，w 9．变形体基本变量有位移应变应力 基本方程 平衡方程 物理方程 几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
有限元试题及答案
一判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小（√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内； 后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：σx，σy，τxy ，三个独立的应变分量：εx，εy，γxy，但对应的弹性体几何形状前者为薄板，后者为长柱体。3．位移模式需反映刚体位移，反映常变形，满足单元边界上位移连续。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性，奇异性，还可按节点分块。
5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为二维问题处理。6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是节点位移，单元应力可由它求得，其计算公式为。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u，v，w 9．变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
1、何为有限元法？其基本思想是什么？ 有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。 基本思想是化整为零集零为整。 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？ 有两点：用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似。 3、单元、节点的概念？ 节点：表达实际结构几何对象之间相互连接方式的概念 单元：网格划分中的每一个小部分称为单元，网格间相互联结点称为节点 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？ 结构离散化、单元分析、整体分析 5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？ 位移法、力法、混合法本课程讲授位移法 6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？ 弹性力学变量:外力、应力、应变和位移。 描述弹性体应变分量与位移分量之间的方程称为几何方程；物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系；弹性体上外力在虚位移发生过程中所做的虚功与储存在弹性体内的需应变能相等。 弹性矩阵由材料的弹性模量和泊松比确定，与坐标位置无关。 7、何为平面应力问题和平面应变问题？ 平面应力问题：在结构上满足a几何条件：研究对象是等厚度薄板。b载荷条件：作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面无外力作用。 平面应变问题：满足a几何条件：长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变。b载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力两条件的弹性力学问题。 1、何为结构的离散化？离散化的目的？何为有限元模型？ ①离散化:把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。②目的：建立有限元计算模型③通常把由节点,单元及相应的节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模型2、结构离散化时，划分单元数目的多少以及疏密分布，将直接影响到什么？确定单元数量的原则？通常如何设置节点？
例1某三角形3节点单元，3个节点的坐标分别为(0, 0)、(3, 0)、(0, 4)o 作用在单元内的点(1, 1)处作用有一个大小等于10N、方向沿x轴正向的集中 力P。求该集中力的等效节点荷载。 解：(1)形函数及形函数矩阵计算 根据面积比或形函数公式，可计算得到各形函数为: Ar 5 Ar 4 3 A, = —、A 9——、A’ 3 =— 12 12 °12 形函数矩阵为: (2)等效节点荷载计算 例2图示三角形3节点单元，设13边的长度为3m,在13边作用有如图所示的分布荷载，求该分布荷载的等效节点荷载。 解：(1)形函数及形函数矩阵计算 在13边上，节点2的形函数％ = 0,设t为节点1到节点3的位置参数, 在节点1处取0，在节点3处取1,则在13边上有： A* =! —/■> M = t 1 O
-20此一10N3 - 20(1 -/- Wt lot - 20 =3f 1 -1 1 一 I 10￡ - 20 dt = 3 Jo d - t) (io* - 20)' o *(10* - 20) >d t 25 T o o o 20 5 1 - t0 0 0 Z 0 LA;J = 0 1 — f 0 0 0 匕 (2)分布荷载的参数表示 在13 边上，q v = 0 ,设 / = a + bt ,由: t = 0, q x = -20 t = 1 , q x = -10 可求得： a = -20 b = 10 于是有: lOt - 20 Cly 另外，由于在边上为一次函数，也可直接根据形函数插值建立分布函数: （3）等效节点荷载计算 \dl -25 - 20
计算力学试题答案 1. 有限单元法和经典Ritz 法的主要区别是什么？ 答：经典Ritz 法是在整个区域内假设未知函数，适用于边界几何形状简单的情形；有限单元法是将整个区域离散，分散成若干个单元，在单元上假设未知函数。有限单元法是单元一级的Ritz 法。 2、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有什么特征？刚度矩阵[K ]奇异有何物理意义？在求解问题时如何消除奇异性？ 答：单元刚度矩阵的特征：⑴对称性⑵奇异性⑶主元恒正⑷平面图形相似、弹性矩阵D 、厚度t 相同的单元，e K 相同⑸e K 的分块子矩阵按结点号排列，每一子矩阵代表一个结点，占两行两列，其位置与结点位置对应。 整体刚度矩阵的特征：⑴对称性⑵奇异性⑶主元恒正⑷稀疏性⑸非零元素呈带状分布。 []K 的物理意义是任意给定结构的结点位移所得到的结构结点力总体上满足力和力矩的平衡。 为消除[]K 的奇异性，需要引入边界条件，至少需给出能限制刚体位移的约束条件。 4. 何为等参数单元？为什么要引入等参数单元？ 答：等参变换是对单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换，采用等参变换的单元称之为等参数单元。 借助于等参数单元可以对于一般的任意几何形状的工程问题和物理问题方便地进行有限元离散，其优点有：对单元形状的适应性强；单元特性矩阵的积分求解方便（积分限标准化）；便于编制通用化程序。 5、对于平面4节点（线性）和8节点（二次）矩形单元，为了得到精确的刚度矩阵，需要多少个Gauss 积分点？说明理由。 答：对于平面4节点（线性）矩形单元： (,)i N ξη∝1,,,ξηξη T B DB 221,,,,,ξηξηξη∝ =J 常数 所以2m = 因而积分点数为：22?矩阵 对于平面8节点（二次）矩形单元： (,)i N ξη∝22221,,,,,,ξηξηξηξη T B DB 221341,,,,,,ξηξηξηη∝ =J 常数 所以4m = 因而积分点数为：33?矩阵 ⑴矩形、正方形、平行四边形=J 常数 2、总刚度矩阵[K]的任一元素k ij 的物理意义是什么？如何解释总刚度矩阵的奇异性和带状稀疏性？ 答：K 中元素的ij K 物理意义：当结构的第j 个结点位移方向上发生单位位移，而其它结点位移方向上位移为零时，需在第i 个结点位移方向上施加的结点力大小。 奇异性：K =0,力学意义是对任意给定结点位移所得到结构结点力总体上是满足力和力矩的平衡。 反之，给定任意满足力和力矩平衡结点载荷P ，由于K 的奇异性却不能解得结构的位移a ,因而结构仍可能发生任意的刚体位移。为消除[]K 的奇异性，结构至少需给出能限制刚体位移的约束条件。 带状稀疏性：由于连续体离散为有限个单元体时，每个结点的相关单元只是围绕在该结点周围为数甚少的几个，一个结点通过相关单元与之发生关系的相关结点也只是它周围的少数几个，因此虽然总体单元数和结点数很多，结构刚度矩阵的阶数很高，但刚度系数中非零系数却很少，即为总刚度矩阵的稀疏性。另外，只要结点编号是合理的，这些稀疏的非零元素将集中在以主对角线为中心的1 1.52 m n +≥=141 2.522 m n ++≥==
有限元复习 一、选择题（每题1分，共10分） 二、判断题（每空1分，共10分） 三、填空题（每空1分，共10分） 三、简答题（共44分）共6题 四、综述题（共26分）两题 一．基本概念 1. 平面应力/平面应变问题；空间问题/轴对称问题；杆梁问题；线 性与非线性问题 平面应力问题 （1） 均匀薄板（2）载荷平行于板面且沿厚度方向均匀分布 在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY 平面的三个应力分量，即x y xy yx σσττ=、、 （000z zx xz zy yz σττττ=====，，）。 一般0z σ=，z ε并不一定等于零，但可由x σ及y σ求得，在分析问题时不必考虑。于是只需要考虑 x y xy εεγ、、三个应变分量即可。 平面应变问题
（1） 纵向很长，且横截面沿纵向不变。（2）载荷平行于横截面且沿纵向 均匀分布 z yz zx εγγ===只剩下三个应变分量x y xy εεγ、、。也只需要考虑x y xy σστ、、三个应力分量即可 轴对称问题 物体的几何形状、约束情况及所受外力都对称于空间的某一根轴。 轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别）：轴对称单元为圆环体，单元与单元间为节圆相连接；节点力与节点载荷是施加于节圆上的均布力；单元边界是一回转面；应变不是常量。 在轴对称问题中，周向应变分量θε是与r 有关。 板壳问题 一个方向的尺寸比另外两个方向尺寸小很多，且能承受弯矩的结构称为板壳结构，并把平分板壳结构上下表面的面称为中面。如果中面是平面或平面组成的折平面，则称为平板；反之，中面为曲面的称为壳。 杆梁问题 杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。 平面（应力应变）问题与板壳问题的区别与联系 平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时
《结构有限元分析》复习题（闭卷） 一、绪论 1.概述有限元法分析问题的过程。 二、平面问题 2.对平面问题T3单元，推导其位移模式。 3.对平面问题T3单元，证明形函数在本节点取值为1，在其它节点取值为0。 4.对平面问题T3单元，证明形函数在任意一点上取值之和为1。 5.对平面问题T3单元，证明边界上一点的形函数，与相对顶点的坐标无关。 6.对平面问题T3单元，证明边界上的位移协调性。 7.对平面问题T3单元，说明单元边界上无限点的约束等效于对该边节点的约束。 8.对平面问题T3单元，证明Li=Ni（i=i、j、m）。 9.对平面问题T3单元，证明∑NiXi=X，∑NiYi=Y。 10.对平面问题T3单元，利用最小势能原理，推导单元刚度矩阵的矩阵表达式。 11.说明刚度矩阵的性质和物理意义。 12.对平面问题T3单元，推导单元自重的等效节点力。 13.对平面问题T3单元，推导单元边界上均布压力的等效节点力。 14.对平面问题T3单元，推导单元边界上三角形分布压力的等效节点力。 15.对平面问题R4单元，推导其位移模式。 16.对平面问题R4单元，证明边界上的位移协调性。 17.试写出处理约束的两种方法（划0置1法，乘大数法）的过程。 三、空间问题和轴对称问题 18.对轴对称问题T3单元，推导其位移模式。 19.对轴对称问题T3单元，采用简化计算，推导单元自重的等效节点力。 20.对轴对称问题T3单元，采用简化计算，推导离心力的等效节点力。 21.对轴对称问题T3单元，采用简化计算，推导边界上梯形分布压力的等效节点力。 四、等参单元 22.对平面问题Q4等参单元，构造其位移模式。 23.对平面问题Q4等参单元，推导其几何矩阵。 24.对平面问题Q4等参单元，说明雅可比行列式的意义，并加以数学证明。 25.对平面问题Q4等参单元，证明其完备性、协调性。 26.对平面问题Q4-8变节点等参单元，构造其形函数。 27.对空间问题Hex8-20变节点等参单元，构造其形函数。
1、何为有限元法其基本思想是什么 有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法 以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。 基本思想是化整为零集零为整。 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里 有两点：用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似 函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似。 3、单元、节点的概念 节点：表达实际结构几何对象之间相互连接方式的概念 单元：网格划分中的每一个小部分称为单元，网格间相互联结点称为节点 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤 结构离散化、单元分析、整体分析 5、有限元方法分几种本课程讲授的是哪一种 位移法、力法、混合法本课程讲授位移法 6、弹性力学的基本变量是什么何为几何方程、物理方程及虚功方程弹性矩阵的特点 弹性力学变量 : 外力、应力、应变和位移。 描述弹性体应变分量与位移分量之间的方程称为几何方程；物理方程描述应力分 量与应变分量之间的关系；弹性体上外力在虚位移发生过程中所做的虚功与储存在弹 性体内的需应变能相等。 弹性矩阵由材料的弹性模量和泊松比确定，与坐标位置无关。 7、何为平面应力问题和平面应变问题 平面应力问题：在结构上满足 a 几何条件：研究对象是等厚度薄板。 b 载荷条件：作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面无外力作 用。 平面应变问题：满足 a 几何条件：长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变。 b 载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵 向方向均匀分布，两端面不受力两条件的弹性力学问题。 1、何为结构的离散化离散化的目的何为有限元模型 ①离散化 : 把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。②目的：建立有限元 计算模型③通常把由节点 , 单元及相应的节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模 型
有限元法基础试题（A ） 一、填空题（5×2分） 1.1单元刚度矩阵e T k B DBd Ω = Ω? 中，矩阵B 为__________，矩阵D 为___________。 1.2边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_______边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_______边界。 1.3内部微元体上外力总虚功： ()(),,,,e x x xy y bx xy x y y by d W F u F v dxdy δστδτσδ??=+++++??+(),,,,x x y y xy y x u v u u dxdy σδσδτδδ??+++??的表达式中，第一项为____________________的虚功，第二项为____________________的虚功。 1.4弹簧单元的位移函数1N +2N =_________。 1.5 ij k 数学表达式：令j d =_____，k d =_____，k j ≠，则力i ij F k =。 二、判断题（5×2分） 2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（ ） 2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。 （ ） 2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。 （ ） 2.4常应变三角单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 2.5 对称单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 三、简答题（26分） 3.1列举有限元法的优点。（8分） 3.2写出有限单元法的分析过程。（8分） 3.3列出3种普通的有限元单元类型。（6分） 3.4简要阐述变形体虚位移原理。（4分） 四、计算题（54分） 4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m ，单元②的弹簧常数为20000N/m ，单元③的弹簧常数为10000N/m ，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。（10分） 4.2对于如图所示的杆组装，弹性模量E 为10GPa ，杆单元长L 均为2m ，横截面面积A 均为2×10-4m 2，弹簧常数为2000kN/m ，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元②的应力。（10分）
重庆大学研究生有限 元大作业
课程研究报告 科目：有限元分析技术教师：阎春平姓名：色学号： 2 专业：机械工程类别：学术 上课时间： 2015 年 11 月至 2016 年 1 月 考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师 (签名)
有限元分析技术作业 姓名: 色序号: 是学号: 2 一、题目描述及要求 钢结构的主梁为高160宽100厚14的方钢管，次梁为直径60厚10的圆钢管（单位为毫米），材料均为碳素结构钢Q235；该结构固定支撑点位于左右两端主梁和最中间。主梁和次梁之间是固接。试对在垂直于玻璃平面方向的2kPa 的面载荷（包括玻璃自重、钢结构自重、活载荷（人员与演出器械载荷）、风载荷等）作用下的舞台进行有限元分析。 二、题目分析 根据序号为069，换算得钢结构框架为11列13行。由于每个格子的大小为1×1（单位米），因此框架的外边框应为11000×13000（单位毫米）。 三、具体操作及分析求解 1、准备工作 执行Utility Menu：File → Clear＆start new 清除当前数据库并开始新的分析，更改文件名和文件标题，如图1.1。选择GUI filter，执行 Main Menu: Preferences → Structural → OK，如图1.2所示
图1.1清除当前数据库并开始新的分析 图1.2 设置GUI filter 2、选择单元类型。 执行Main Menu: Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete →Add→ select→ BEAM188，如图2.1。之后点击OK(回到Element Types window) →Close
姓名：色学号：2 专业：机械工程类别：学术 上课时间：2015年11 月至2016 年 1 月考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师(签名)
有限元分析技术作业 姓名: 色序号: 是学号: 2 一、题目描述及要求 钢结构的主梁为高160宽100厚14的方钢管，次梁为直径60厚10的圆钢管（单位为毫米），材料均为碳素结构钢Q235；该结构固定支撑点位于左右两端主梁和最中间。主梁和次梁之间是固接。试对在垂直于玻璃平面方向的2kPa的面载荷（包括玻璃自重、钢结构自重、活载荷（人员与演出器械载荷）、风载荷等）作用下的舞台进行有限元分析。 二、题目分析 根据序号为069，换算得钢结构框架为11列13行。由于每个格子的大小为1×1（单位米），因此框架的外边框应为11000×13000（单位毫米）。 三、具体操作及分析求解 1、准备工作 执行Utility Menu：Fi le→Clear＆start new 清除当前数据库并开始新的分析，更改文件名和文件标题，如图 1.1。选择GUI filter，执行Main Menu: Preferences→Structural→OK，如图1.2所示 图1.1清除当前数据库并开始新的分析 1
2 图1.2 设置GUI filter 2、选择单元类型。 执行Main Menu: Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete →Add→ select→ BEAM188，如图2.1。之后点击OK(回到Element Types window) →Close 图2.1选择单元 3、定义材料属性 该钢结构材料为碳素结构钢Q235，其弹性模量为210GPa ，执行Main Menu→Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic ，此处协调单位制为mmkgs ，故EX 设为2.1E8, PRXY 设置
1、何为有限元法？其基本思想是什么? 有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。 基本思想是化整为零集零为整。 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里? 有两点：用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似。 3、单元、节点的概念? 节点：表达实际结构几何对象之间相互连接方式的概念 单元：网格划分中的每一个小部分称为单元，网格间相互联结点称为节点 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤? 结构离散化、单元分析、整体分析 5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种? 位移法、力法、混合法本课程讲授位移法 6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？ 弹性力学变量：外力、应力、应变和位移。 描述弹性体应变分量与位移分量之间的方程称为几何方程；物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系；弹性体上外力在虚位移发生过程中所做的虚功与储存在弹性体内的需应变能相等。 弹性矩阵由材料的弹性模量和泊松比确定，与坐标位置无关。 7、何为平面应力问题和平面应变问题? 平面应力问题：在结构上满足a几何条件：研究对象是等厚度薄板。b载荷条件: 作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面无外力作用。 平面应变问题：满足a几何条件：长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变。b载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力两条件的弹性力学问题。 1、何为结构的离散化？离散化的目的？何为有限元模型? ①离散化：把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。②目的：建立有限元计算模型③通常把由节点，单元及相应的节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模型 2、结构离散化时，划分单元数目的多少以及疏密分布，将直接影响到什么？确定单元数量的原则？通常如何设置节点？
一、 简答题（共40分，每题10分） 1. 论述单元划分应遵循的原则。 2. 说明形函数应满足的条件。 3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。 4. 阐述边界元法的主要优缺点。 二、 计算题（共60分，每题20分） 1. 一杆件如图3所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已 知：杆件材料的杨氏模量2 721/100.3in lbf E E ?==，截面积2125.5in A =， 2275.3in A =，长度in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点 和C 点位移。备注：（1）1 lbf （磅力，libra force ） = N 。（2）杨氏模量、弹性 模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10分） 2. 如图2 所示，有一正方形薄板，沿对角承受压力作用，厚度t=1m ，载荷 F=20KN/m ，设泊松比μ=0，材料的弹性模量为E ，试求它的应力分布。（15分） 学院 专业 学号 姓名 y 图1
图2 3. 图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q，单元厚度为t，求单元的等效结点荷载。 图3
一、简答题 1. 答： 1）合理安排单元网格的疏密分布 2）为突出重要部位的单元二次划分 3）划分单元的个数 4）单元形状的合理性 5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分 6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差 7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量 2. 答： 形函数应满足的三个条件： a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由 其它单元形变所引起的位移。 b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所 有点都具有相同的应变。当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相 等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。 c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元 位移协调。 3. 答： 含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。 意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。 4. 答： 有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。有限单元法中所利用的主要是伽辽金（Galerkin）法。它可以用于已经知道问题的微分方程和
研究生课程有限元试题 笔试部分，50分 一、简答题（共20分，每题5分） 1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。 2、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。 3、简述有限单元法的收敛性准则。 4、常用于大型结构有限元分析的方法有哪些？指出你所了解的现代有限元分析 商业软件系统。 二、分析计算题：（每题15分，共30分） 5、已知一矩形等截面（如右图示）弹性体扭转问题的泛函表达式为： ()dxdy y x I a a b b ?? --????????-???? ????+??? ????=φφφφ422 式中，φ为应力函数，且在边界上()0,=y x φ 试求： （1）求其泛函极值必要条件所应满足的微分方程。 （2）若选取φ的近似解形式为： ()() 222 2b y a x --=αφ ，求使泛函I 取极值的具体近似解（α为待定系数）。 6、如图a 所示为正方形薄板，其板厚度为t ，四边受到均匀荷载的作用，荷载集度为21/N m ，同时在y 方向相应的两顶点处分别承受大小为2/N m 且沿板厚度方向均匀分布的荷载作用。设薄板材料的弹性模量为E ，泊松比0ν=。
试求 （1）利用对称性，取图（b）所示1/4结构作为研究对象，并将其划分为4个面积大小相等、形状相同的直角三角形单元。给出可供有限元分析的计算模型（即根据对称性条件，在图（b）中添加适当的约束和荷载，并进行单元编号和结点编号）。 （2）设单元结点的局部编号分别为i、j、m，为使每个单元刚度矩阵e K相同，试在图（b）中正确标出每个单元的合理局部编号；并求单元刚度矩阵e K。（3）计算等效结点荷载。 （4）应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。
硕士研究生课程考试试卷 （学年第学期） 考试科目：（A/B卷）考试班级： 考试形式：（开/闭卷）考试时间：分钟考试人数： 命题人签名：系分管领导签名： 一．判断题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) 1．用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数U的选择没有任何限制。（）2．四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。（） 3.在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。（） 4.利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可采用与位移插值函数不同结点的形函 数进行应力插值。 ( ) 5.对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元。 ( ) 6. 所有任意不规则几何对象都是在激活坐标系中创建的。（） 7. 在平面三结点三角形单元的共边界上应和应力均有突变。（） 8. 布尔运算对生成的实体模型进行加、减、粘接、互分等操作。（） 9. 平面问题三角常应变有限元中形函数Ni之和为1。（） 10. 布尔运算的集合对象必须没有划分单元网格，如果已经划分有单元网格，则必须 首先清除网格，才可以对其进行布尔运算。（）二．单项选择题（共20分，每小题2分） 1. 在平面三节点三角形单元中，位移、应变和应力具有____特征。 （A）位移、应力呈线形变化，应变为常量；（B）位移、应变呈线形变化，应力量； （C）位移、应变和应力均呈线形变化；（D）位移呈线形变化，应力和应变为常量 2.在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为
____________。 （A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法 3.ANSYS前处理器标识为____： （A）/PREP7 （B）/SOLU （C）/POST1 （D）/POST26 4.等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用___ 的结点和______的插值函数。 （A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 5.节点自由度是随变化的。 （A）单元类型 B 单元坐标 C 单元形状 D 单元形函数 6.有限元位移模式中，广义坐标的个数应与__________相等。 （A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数 7.采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。 （A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解 （C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律 8.如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至 少是_____完全多项式。 （A）m-1次（B）m次（C）2m-1次 9.与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因此，不用 进行回代计算。 （A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵 10.扩展名为err的文件是指： （A）记录文件（B）错误文件（C）结果文件（D）图形文件三．简答题（共3题，每小题5分） 1.梁单元和杆单元的区别？ 2.有限单元法结构刚度矩阵的特点？