第十一章结构动力学
？？？本章的问题：
A.什么是动力荷载？
B.结构动力计算与静力计算的主要区别在哪？
C.本章自由度的概念与几何组成分析中的自由度概念有何不同？
D.建立振动微分方程的方法有几种？
E.什么是体系的自振频率、周期？
F.什么是单自由度体系的自由振动？
G.什么是单自由度体系的受迫振动？
H.什么是多自由度体系的自由振动？
I.什么是多自由度体系的受迫振动？
J.什么叫动力系数？动力系数的大小与哪些因素有关？
K.单自由度体系位移的动力系数与内力的动力系数是否一样？
L.在振动过程中产生阻尼的原因有哪些？
§11—1 概述
前面各章都是结构在静力荷载作用下的计算，在实际工程中往往还遇到另外一类荷载，即荷载的大小和方向随时间而改变，这一章我们将讨论这类荷载对结构的反应。
荷载分：
静力荷载：是指施力过程缓慢，不致使结构产生显著的加速度，因而可以略去惯性力影响的荷载。在静力荷载作用下，结
构处于平衡状态，荷载的大小、方向、作用点及由它所
引起的结构的内力、位移等各种量值都不随时间而变化。
动力荷载：在动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化，因而其计算与静力荷载作用下有所不同，二者
的主要差别就在于是否考虑惯性力的影响。
有时确定荷载是静荷载还是动荷载要根据对结构的反应情况来确定，若在荷载作用下将使结构产生不容忽视的加速度，即动力效应，就应按动荷载考虑。
在工程结构中，除了结构自重及一些永久性荷载外，其他荷载都具有或大或小的动力作用。当荷载变化很慢，其变化周期远大于结构的自振周期时，其动力作用是很小的，这时为了简化计算，可以将它作为静力荷载处理。在工程中作为动力荷载来考虑的是那些变化激烈、动力作用显著的荷载。
如风荷载对一般的结构可当做静荷载，而对一些特殊结构往往当做动荷载考虑。荷载按动力作用的变化规律，又可分为如下几种：
(1) 简谐周期荷载这是指荷载随时间按正弦(或余弦)规律改变大
小的周期性荷载，例如具有旋转部件的机器在等
速运转时其偏心质量产生的离心力对结构的影响
就是这种荷载。这类荷载在工程中见的较多。
(2) 冲击荷载这是指荷载很快地全部作用于结构，而作用时间很短
即行消失的荷载，例：如打桩机的桩锤对桩的冲击、
车轮对轨道接头处的撞击等。
(3) 突加荷载在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载，例
如粮食口袋卸落在仓库地板上时就是这种荷载。这种荷
载包括对结构的突然加载和突然卸载。这里要注意突加荷
载、和冲击荷载的区别。
(4) 快速移动的荷载例如高速通过桥梁的列车、汽车等。
(5) 随机荷载例如风力的脉动作用、波浪对码头的拍击、地震对建
筑物的激振等，这种荷载的变化极不规则，在任一
时刻的数值无法预测，其变化规律不能用确定的函数
关系来表达，只能用概率的方法寻求其统计规律。
3、如果结构受到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用，这种振动就称为自由振动；若在振动过程中还不断受到外部干扰力作用，则称为强迫振动。研究自由振动是研究强迫振动的基础。
4、结构动力计算的目的：
在于确定动力荷载作用下结构的内力、位移等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计的依据。因此，研究强迫振动就成为动力计算的一项根本任务。然而，结构在强迫振动时各截面的最大内力和位移都与结构自由振动时的频率和振动形式密切有关，因而寻求结构自振频率和振型就成为研究强迫振动的前提。
§11—2 结构振动的自由度
在动力荷载作用下，结构将发生弹性变形，其上的质点将随结构的变形而振动。质点在振动过程中任一瞬时的位置，可以用某种独立的参数来表示。例如图11—1a所示简支梁在跨中固定着一个重量较大的物体，如
果梁本身的自重较小而可略去，并把重物简化为一个集中质点，则得到图11—1b所示的计算简图。如果不考虑质点m的转动和梁轴的伸缩，则质点m的位置只要用一个参数y就能确定。我们把结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立参数的数目，称为该结构振动的自由度。据此，图11—l所示的梁在振动中将只具有一个自由度。结构振动自由度的数目，在结构动力学中具有很重要的意义。具有一个自由度的结构称为单自由度结构，自由度大于1的结构则称为多自由度结构。
图 11-1
在确定结构振动的自由度时，应注意以下几点：
不能根据结构有几个集中质点就判定它有几个自由度，而应该由确定质点位置所需的独立参数数目来判定。例如图11—2a所示结构，在绝对刚性的杆件上附有三个集中质点，它们的位置只需一个参数，即杆件的转角α。便能确定，故其自由度为1。又如图11—2b所示简支梁上附有三个集中质量，若梁本身的质量可以略去，又不考虑梁的轴向变形和质点的转动，则其自由度为3，因为尽管梁的变形曲线可以有无限多种形式，但
其上三个质点的位置却只需由挠度y
1、y
2
，、y
3
，就可确定。又如图11—2c
所示刚架，虽然只有一个集中质点，但其位置需由水平位移y
1
和竖直位移
y
2
：两个独立参数才能确定，因此自由度为2。
图11-2
在确定刚架的自由度时，我们仍引用受弯直杆上任意两点之间的距离保持不变的假定。根据这个假定并加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质点的位置，则该刚架的自由度数目即等于所加入链杆的数目。例如图11
—2d所示刚架上虽有四个集中质点，但只需加入三根链杆便可限制其全部质点的位置(11—2)，故其自由度为3。由此可见，自由度的数目不完全取决于质点的数目，也与结构是否静定或超静定无关。当然，自由度的数目是随计算要求的精确度不同而有所改变的。如果考虑到质点的转动惯性，则相应地还要增加控制转动的约束，才能确定自由度数。
以上是对于具有离散质点的情况而言的。但是，在实际结构中，质量的分布总是比较复杂的，除了有较大的集中质量外，一般还会有连续分布的质量。例如图11—2f所示的梁，其分布质量集度为m(kg／m)，此时，可看作是无穷多个mdx的集中质量，所以它是无限自由度。当然完全按实际结构进行计算，情况会变得很复杂。因此我们常常针对某些具体问题，采用一定的简化措施，把实际结构简化为单个或多个自由度的结构进行计算。例如图11—3a所示机器的块式基础，当机器运转时，基础将产生垂直振动?若用弹簧表示地基的弹性，用—个集中质量代表基础的质量，就可简化为图示的支承集中质量的弹簧，使结构转化为单自由度结构。又如图11—3b所示的水塔，顶部水池较重，塔身重量较轻，在略去次要因素后，就可简化为图示的直立悬臂梁在顶端支承集中质量的单自由度结构。
图11-3
§11—3 单自由度结构的自由振动
研究结构的动力计算，我们先从单自由度的简单结构开始。
所谓自由振动，是指结构在振动进程中不受外部干扰力作用的那种振动。产生自由振动的原因只是由于在初始时刻的干扰。
初始的干扰有两种情况：（1）由于结构具有初始位移；
（2）由于结构具有初始速度；或者这两种干扰同时存在。
例如图11—4所示，在跨中支承集中质量的简支梁，若把质点m拉离其原有的弹性平衡位置，达到图中虚线所示的偏离位置，然后突然放松，则质点将在原有平衡位置附近往复振动。由于在振动进程中不再受到外来干扰，所以这时的振动就是自由振动。这是由于结构具有初始位移而引起自由振动的例子。又如若对图11—4的质点施加瞬时冲击作用，在极短的时间内使其获得一定的初速度，当它还来不及发生显著的位移时，外力又突然消失，这样引起的结构振动，便是初始速度干扰下产生自由振动的例子。
图11-4
影响结构振动的因素很多，阻尼是其中之一，为简单起见不妨先略去阻尼的影响。
1、不考虑阻尼时的自由振动
对于各种单自由度结构的振动状态，都可以用一个简单的质点弹簧模型来描述，如图11—5a所示，弹簧下端悬挂一质量为m的重物。我们取此重物的静力平衡位置为计算位移y的原点，并规定位移y和质点所受的
,称为弹簧力都以向下为正。设弹簧发生单位位移时所需加的力为系为K
11
的刚度；而在单位力作用下产生的位移为
，称为弹簧的柔度，但两者的
11
关系为
图 11-5
为了寻求结构振动时其位移以及各种量值随时间变化的规律，应先建
立振动微分方程， 然后求解。建立振动微分方程有两种基本方法：
（ 1）是根据达朗伯原理(动静法)列出动力平衡方程，又称刚度法；
（ 2）是列位移方程，又称柔度法。 下面分别讨论。
(1) 列动力平衡方程 设质点m 在振动中的任一时刻位移为y ，取该质点为隔离体(图11—5b)，若不考虑质点运动时所受到的阻力，则作用于其上的外力有：
(a) 弹簧拉力11s k y =- 负号表示其实际方向恒与位移y 的方向相反，亦即永远指向静力平衡位置。此力有把质点m 拉回到静力平衡位置的趋势，故又称为恢复力。
(b) 惯性力I my ''=- 它的方向总是与加速度22d y
y dt
=&
&的方向相反，故有一负号。
至于弹簧处于静力平衡位置时的初拉力，则恒与质点的重量mg 相平衡而抵消，故在振动过程中这两个力都毋须考虑。
质点在惯性力I 与弹簧的恢复力S 作用下将维持动力平衡，故应有
I+S ＝0
将I 和S 的算式代入即得
或 110my
k y +=&& 命 211
k m
ω=
(11—1)
则有 20y y ω+=&&
(11—2)
这就是单自由度结构在自由振动时的微分方程。
(2) 列位移方程 上述振动微分方程也可以按下述方法来建立：
当质点m 振动时，把惯性力I my =-&&看作是一个静力荷载，则在其作用下结
构在质点处的位移y 应等于(图11—5c)：
亦即 110my
k y +=&& 可见与方法1结果相同。
式(11—2)是一个具有常系数的线性齐次微分方程，其通解形式由高等数学知：
12()cos y t A t A Sin t ωω=+ (b)
取y 对时间t 的一阶导数，则得质点在任一时刻的速度
12()sin cos y
t A t A t ωωωω=-+& (c)
此两式中的积分常数A l 和A 2可由振动的初始条件来确定。
若当 t ＝0时， 位移 y ＝y o ， 速度 0y y =&&
则有 A 1＝y 0 ，0
2y A ω
=&
因此 0
0cos sin y y y t t ωωω
=+
&
其中y 。称为初位移，0y &称为初速度。
再考察结构的自由振动曲线，由位移曲线知：是由两部分组成：（1 ）是由初位移y 。引起的，表现为余弦规律；
（2） 是由初速度0y &引起的，表现为正弦规律 (图11—6a 、b)。二者之
间的相位差为一直角，后者落后于前者900
详见下图 （11－6）
图 11-6
若令
0sin y a ?=
（d ）
cos y a ?ω
=&。
(e)
显然有
0/a y tg y ?ω
=
=
&
则位移方程可写成： sin()y a t ω?=+
且有 cos()y
a t ωω?=+& 可见这种振动是简谐振动(图11—6c)，式中a 表示质点的最大位移，称为振幅，?称为初相角。由于sin t ω和cos ωt 都是周期性函数，它们每经历一定时间就出现相同的数值，若给时间t 一个增量2T π
ω
=
，则位移y
和速度y
&的数值均不变，故T 称为周期，其常用单位为秒(s)；周期的倒数1
T
代表每秒钟内所完成的振动次数，称为工程频率；而2T πω=即为2π秒
内完成的振动次数，称为圆频率，通常ω用得较多，又简称为频率，其单位为次／(2π 秒)
频率也可用下式计算：
ω=
===
（11.8）
式中g 表示重力加速度，st ?表示由于重量mg 所产生的静力位移。 结论：计算单自由度结构的自振频率时，只需算出刚度k 11或柔度
11δ或位移st ?，代入式(11—8) 即可求得。由该式可知，
结构自振频率随刚度k 11的增大和质量m 的减小而增大，
这一特点在结构设计中对如何控制结构自振频率有重要意义。因为结构的自振频率只取决于它自身的质量和刚度，所以它反映着结构固有的动力特性（即为固有频率）。外部干扰力只能影响振幅和初相角的大小而不能改变结构的自振频率。如果两个结构具有相同的自振频率，则它们对动力荷载的反应也将是相同的。公式表明，ω 随st ?的增大而减小，也就是说，若把质点安放在结构上产生最大位移处，则可得到最低的自振频率和最大的振动周期。
图 11-7
例11—1： 图11—7所示三种支承情况的梁，其跨度都为l ，且El 都相等，在中点有一集中质量m 。当不考虑梁的自重时，试比较这三者的自振频率。
解：由式(11—8)可知，在计算单自由度结构的自振频率时，可先求出该结构在重量p=mg 作用下的静力位移。根据以前学过的位移计算的方法，可求出这三种情况相应的静力位移分别为：
代入式(11—8) 即可求得三种情况的自振频率分别为： 据此可得 123::1:1.51:2ωωω=.
此例说明随着结构刚度的加大，其自振频率也相应地增高。
前面的计算没有考虑阻尼的影响，实际结构的振动是有阻尼的影响的，下面予以考虑。
2．考虑阻尼作用时的自由振动
物体的自由振动由于各种阻力的作用将逐渐衰减下去，而不能无限延续。
阻尼力可分为两种：（1）是外部介质的阻力，例如空气和液体的阻力、支承的摩擦等；
（2）来源于物体内部的作用，例如材料分子之间的
摩擦和粘着性等。
由于内外阻尼的规律不同，且与各种建筑材料的性质有关，因而确切估计阻尼的作用是一个很复杂的问题。对此，人们提出过许多不同的建议，为使计算较简单，通常是引用福格第(Voigt)假定，即近似认为振动中物体所受的阻尼力与其振动速度成正比，这称为粘滞阻尼力，即
r y β=-&
(f)
式中β称为阻尼系数，负号表示阻力它的方向恒与速度的方向相反。
图 11-8
当考虑阻尼力时，质点m 上所受的力将如图11—8所示，增加阻尼一项。考虑其动力平衡，应有
I+R+S ＝0
110my
y k y β++=&&& (g)
仍令 211
k m
ω= 并令 2k m
β=
(h)
则有：220y ky y ω++=&&&
(12—9)
这是一个线性常系数齐次微分方程，设其解的形式为 代入原微分方程(11—9)，可得确定r 的特征方程 2220r kr ω++= 其两个根分别为：
1,2r k =-根据阻尼大小不同的情况有以下三种情况： (1) k ω< 即小阻尼情况 此时特征根1r 、2r 是两个复数，式(11—9)的通解为
''12(cos sin )kt e B t B t ωω-=+ （i ）
其中
'ω=(11—10)
称为有阻尼自振频率。常数1B 、2B 可由初始条件确定：将0t =时
0y y =和0y y =&&代入式（i ）
可得 故
00
0(cos 'sin ')'
kt y ky y e y t t ωωω-+=+
& (11—11)
上式也可写为
sin('')kt y be t ω?-=+
其中
b =(11—13)
00
''y tg y ky ω?=+&
(11—14)
式(11—12)的位移—时间曲线如图11—9所示，即为衰减的正弦曲线，其振幅按kt e -的规律减小，故k 称为衰减系数。
图 11-9
在工程中还经常采用阻尼比
作为阻尼的基本参数。由式(11—10)有
'ω=(11—15)
可见'ω随阻尼的增大而减小。在一般建筑结构中ξ是一个很小的数，约在0.01～0.1之间，因此有阻尼自振频率'ω与无阻尼自振频率ω很接近，可认为
'ωω≈ (k)
若在某一时刻n t 振幅为n y ，经过一个周期后的振幅为1n y +，则有 上式两边取对数得 12ln
2'
n n y T y π
ξωξωπξω+==≈
称为振幅的对数递减量。同理，当经过j 个周期后，有
ln 2n
n j
y j y πξ+= (11—15a)
若由实验测出n y 及1n y +或n j y +，则可由式(11—15)或式(11—15a)求出阻尼比ξ。
(2) k ω>即大阻尼情况 此时特征根1r 、2r 为两个负实数，式(11—9)的通解为
这是非周期函数，因此不会产生振动，结构受初始干扰偏离平衡位置后将缓慢地回复到原有位置。
(3) k ω=即临界阻尼情况 此时特征根是一对重根1,2r k =-，式(11—9)的通解为
这也是非周期函数，故也不发生振动。这是由振动过渡到非振动状态之间的临界情况，此时
阻尼比1ξ=，相应的β值称为临界阻尼系数，用cr β表示。在式(h)中，令
k ω=可得
2cr m βω= (l)
由式(j)及(h)、(1)又有
表明阻尼比ξ即为阻尼系数β与临界阻尼系数cr β之比。
§11—4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 强迫振动，是指结构在动力荷载及外来干扰力作用下产生的振动。若
干扰力()P t 直接作用在质点m 上，则质点受力将如图11—l0所示。同理由动力平衡条件得：
即 11()my
y k p t β++=&&& 或 21
2()y y y p t m
ξωω++=
&&& (11—16)
图 11-10
这个微分方程的解也包括两部分：
（1）为相应齐次方程的通解y 0，它由上一节式(i)表示为
（2） 是与干扰力p(t) 相适应的特解y 。它将随干扰力的不同而异。本节先来讨论干扰力为简谐周期荷载时的情况。具有转动部件的机器在匀速转动时，由于不平衡质量所产生的离心力的竖直或水平分力就是这种荷载的例子，它一般可表为
P(t) ＝Psin t θ
(11—17)
其中θ为干扰力的频率，p 为干扰力的最大值。代入微分方程解出如教材所述结果。表达式较繁，实际应用只应用平稳阶段。
由上述推导可知，振动系由三部分组成：
（1） 是由初始条件决定的自由振动；
（2）
第二部分是与初始条件无关而伴随干扰力的作用发生的振动，但其频率与体系的自振频率'ω一致，称为伴生自由振动。由于这两部分振动都含有因子t e ξω-，故它
们将随时间的推移而很快衰减掉；
（3）
最后只剩下按干扰力频率θ而振动的第三部分，称为纯强迫振动或稳态强迫振动(图11—11)。
我们把振动开始的一段时间内，几种振动同时存在的阶段称为过渡阶段；而把后面只剩下纯强迫振动的阶段称为平稳阶段。通常过渡阶段比较短，因而在实际问题中平稳阶段比较重要，故一般只着重讨论纯强迫振动。下面仍分别就考虑和不考虑阻尼两种情况来讨论。
图 11-11
1．不考虑阻尼的纯强迫振动
此时因ξ＝0，由式(11—19)的第三项可知纯强迫振动方程成为 22sin ()
p
y t m θωθ=- (11—
20)
因此，最大的动力位移(即振幅)为
2222
2
1()
1p
p A m m θωθωω=
=
--
(11—21)
但是，211
k m
ω=，代入上式，得： 1122
1
1st A p y δμθω
=
=-
(11—21a)
式中11st y p δ=，代表将振动荷载的最大值p 作为静力荷载作用于结构上时所引起的静力位移，而
22
1
1st
A
y μθω
=
=
- (11—22)
承μ位移动力系数 ：为最大的动力位移与静力位移之比值 。 若我们求出了内力的动力系数，也可仿此计算结构在动力荷载作用下的最大内力。 需要指出：
在单自由度结构上，当干扰力与惯性力的作用点重合时，位移动力系数和内力动力系数是完全一样的，此时对这两类动力系数可不作区分而统称为动力系数。
由式(11—22)可知，动力系数随比值
θ
ω
而变化。当干扰力的频率接近于结构的自振频率时，动力系数就迅速增大；当二者无限接近时，理论上
μ将成为无穷大，此时内力和位移都将无限增加。对结构来说，这种情形
是危险的。此时所发生的振动情况称为共振。 但实际上由于阻尼力的存在，共振时内力和位移虽然很大，但并不会趋于无穷大，而且共振时的振动也是逐渐由小变大，而不是一下就变得很大的。但是，内力和位移的值过大也是不利的，因此，在设计中应尽量避免发生共振。
2．考虑阻尼的纯强迫振动 取式(11—19)的第三项，并命
()
()
222
2
22
2
2
2
2
22
2
2
()cos 42sin 4P A m P
A m ωθ?
ωθξωθξωθ?
ωθξωθ-=??-+???
?
-
=-??-+???
?
（e）
则将有
()
sin
y A tθ?
=-
（11－23）
式中A为有阻尼的纯强迫振动的振幅，?是位移与荷载之间的相位差。由式（e）得：
振幅
A=
（11－24）
动力系数
μ=
（11－25）
可见动力系数μ不仅与θ和ω的比值有关，而且还与阻尼比ξ有关，这种关系可绘成图11-12所示的曲线。
图 11-12
现在，结合图11—12来研究μ随θ
ω
而变化的情况，并对位移与荷载
的相位关系作一简单讨论。
(1) 当θ远小于ω时，则θ
ω
很小，因而μ接近于1。这表明可近似地
将sin
P tθ作为静力荷载来计算。这时由于振动很慢，因而惯性力和阻尼力都很小，动力荷载主要由结构的恢复力所平衡。
由式(11—23)可知，位移y与荷载()
P t之间有一个相位差?，也就是说在有阻尼的强迫振动中，位移y要比荷载()
P t落后一个相位?；然而在无阻尼的强迫振动中，由式(11—20)可知，位移y与荷载()
P t是同步的(当
θω<时)，或是相差180?亦即方向相反的(当θω>时)。这是有无阻尼的重
大差别。不过在目前的有阻尼振动中，由于θ"远小于ω，故从式(11—25)可知，此时相位差?也很小，因而位移基本上与荷载同步。
(2) 当θ远大于ω时，则μ很小，这表明质量近似于不动或只作振幅很微小的颤动。这 时由于振动很快，因而惯性力很大，结构的恢复力和阻尼力相对地说可以忽略，此时动力荷载主要由惯性力来平衡。由于惯性力是与位移同相位的，所以动力荷载的方向只能是与位移的方向相反才能平衡。由式(11—25)亦可知，此时相位差差1800。
图 11-13
下面通过一个例题来说明方法的应用。
例11—2 重量Q ＝35kN 的发电机置于简支梁的中点上 (图11—13)，并知梁的惯性矩I ＝8.8×10－5m 4，E ＝210GPa ，发电机转动时其离心力的垂直分力为Psin θt ，且p ＝10kN 。若不考虑阻尼，试求当发电机每分钟的转数为θ＝500r ／min 时，梁的最大弯矩和挠度(梁的自重可略去不计)。
解：在发电机的重量作用下，梁中点的最大静力位移为 故自振频率为
s g st /13.6210
53.281.93
=?=?-＝
ω 干扰力的频率为 22 3.1450052.31/6060
n s πθ??=
== 根据公式可计算出动力系数 2
2
2
1
1 3.452.31162.3μθω
=
=
=??-- ???
求得跨中点最大弯矩 梁中点最大挠度为
图 11-14
以上的分析都是干扰力p(t)直接作用在质点m 上的情形。在实际问题中，也可能有干扰力p(t)不直接作用在质点上。例如上图11—14a 所示简支梁，集中质点m 在点1处，而干扰力则作用在点2处。建立质点m 的振动方程时，用柔度法较简便，现讨论如下。
设单位力作用在点1时使点1产生的位移为11δ；单位力作用在点2时使点1产生的位移为12δ：(图11—14b 、c)。若在任一时刻质点m 处的位
移为y ，则作用在质点m 上的惯性力为 I my =-&&，在惯性力I 和干扰力p
共同作用下，如图11—14d 所示，质点m 处的位移将为：
即：
12
1111
()my k p t δδ+=
&& (11.28)
这就是质点m 的振动微分方程。由此可见，对于这种情况，本节前面导出的各个计算公式都是适用的，只不过须将公式中的p(t) 用 12
()11
p t δδ 来代替。
§11—5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动
下面讨论几种特殊荷载的作用。
1、瞬时冲量：该荷载就是荷载p 只在极短的时间0t ?≈内给予振动物体的冲量。如图11—15a 所示，设荷载的大小p ，作用的时间为t ?，则其冲量以Q ＝P t ?来计算，即图中阴影线所表示的面积。
图 11-15
设在t ＝0时，有冲量Q 作用于单自由度质点上，且假定冲击以前质点原来的初位移和初速度均为零，则在瞬时冲量作用下质点m 将获得初速
度0y &，此时冲量Q 全部转移给质点，使其增加动量，动量增值即为0my &，
第10章 结构动力学 习 题 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其 端部集度为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为： (3) 121233 I M ml a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21 33 la k l c al ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： ( )3 (322) 1393 t q l ka m al l c al ++= 整理得：() . .. 33t q ka c a m a l l l + += 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚 功方程为：() (20111) 0333 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=? 则同样有：() . .. 33t q ka c a m a l l l + +=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为 c ，试建立体系自由振动时的运动方程。 解：
第一章 单自由度系统 1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。 单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。 1、 牛顿第二定律法 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力； （2） 利用牛顿第二定律∑=F x m && ,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法 适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1） 对系统进行受力分析和动量距分析； （2） 利用动量距定理J ∑=M θ &&,得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法： 适用范围：所有的单自由度系统的振动。 解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ； （2）由格朗日方程 θθ ??- ???L L dt )(&=0，得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 4、 能量守恒定理法 适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即 0) (=+dt U T d ，进一步得到系统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。 （2）由对数衰减率定义 )ln( 1 +=i i A A δ， 进一步推导有 2 12ζ πζδ-= ，
平狄克《微观经济学》（第7版） 平狄克《微观经济学》（第7版） 第11章附录 联合厂商的内部转移定价 课后练习题详解 跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。 以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。 1．复习关于莱斯卡摩托的数字化例子。计算讨论过的三种情况下上游分部、下游分部和企业总体所赚到的利润，三种情况即：（1）没有发动机的外部市场；（2）有一个市场价格为6000美元的发动机的竞争性外部市场；（3）该厂商是发动机外部市场的垄断供应商。在哪种情况下莱斯卡摩托赚到最多的利润？在哪种情况下上游分部赚到最多的利润？下游分部呢？ 解：莱斯卡摩托的需求为：20000P Q =-，故边际收益为200002MR Q =-。下游分部 装配汽车的成本为()8000A C Q Q =，上游分部生产发动机的成本为()22E E E C Q Q =。 （1）不存在发动机的外部市场的情况下，因为每辆车有一个发动机，因此E Q Q =。 利润函数为： ()22000080002Q Q Q Q π=--- 利润最大化的条件为： d 12000240d Q Q Q π=--= 解得：2000E Q =，2000018000P Q =-=（美元）。 上游分部的利润为： 280002000220008000000E π=?-?=（美元） 下游分部的利润为： ()18000200080002000160000004000000A π=?-?+=（美元） 总利润为：12000000E A ππ+=（美元）。 （2）有一个市场价格为6000美元的发动机的竞争性外部市场的情况。 价格低于没有外部市场时的最优转移价格8000美元，因此企业会从外部购买一些发动机。发动机的边际成本，以及最优转移价格现在是6000美元。 发动机的净边际收益为：2000028000120002E A E NMR MR MC Q Q =-=--=-。 令6000120002E Q =-，解得：3000E Q =。 因此，发动机和汽车的总产量现在为3000。 汽车的价格为：20000300017000P =-=美元。
Examine why people tend to use common r esour ces too much Consider some of the impor tant common r esour ces in our economy Consider some of the impor tant public goods in our economy Lear n t he def ini ng characteristics of public goods and common r esour ces Examine why private markets fail to pr ovide public goods See why the cost-benefit analysis of public goods is both necessar y and dif ficult An old song lyric maintains that “the best things in life are free.” A moment’s thought reveals a long list of goods that the songwriter could have had in mind. Na-ture provides some of them, such as rivers, mountains, beaches, lakes, and oceans.The government provides others, such as playgrounds, parks, and parades. In each case, people do not pay a fee when they choose to enjoy the benefit of the good.Free goods provide a special challenge for economic analysis. Most goods in our economy are allocated in markets, where buyers pay for what they receive and sellers are paid for what they provide. For these goods, prices are the signals that guide the decisions of buyers and sellers. When goods are available free of charge,however, the market forces that normally allocate resources in our economy are absent. In this chapter we examine the problems that arise for goods without market prices. Our analysis will shed light on one of the Ten Principles of Economics P U B L I C G O O D S A N D C O M M O N R E S O U R C E S 225
FBFr 第十章 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其 端部集度为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为： (3) 121233 I M m l a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21 33 la k l c al ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： () 3 (322) 1393 t q l ka m a l l c a l ++= 整理得：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++= 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚 功方程为：() (20111) 0333 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=? 则同样有：() . .. 33t q ka c a m a l l l + +=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为 c ，试建立体系自由振动时的运动方程。
习题 一、名词解释 信息不对称逆向选择外部性外部经济外部不经济公共物品私人物品 市场失灵科斯定理 二、选择题 1、按照传统经济学的观点，哪项不是导致市场失灵的因素（） A、垄断； B、外部效应； C、公共物品； D、政府干预。 2、不完全竞争市场中出现低效率的资源配置是因为（） A、产品价格大于边际成本； B、产品价格小于边际成本； C、产品价格大于边际收益； D、产品价格小于边际收益。 3、下列哪项不是纠正外部效应所造成的资源配置不当的方法（） A、使用税收和津贴； B、规定财产权； C、企业合并； D、制定反托拉斯法 4、当某厂商的经济活动存在外部不经济时（） A、厂商产量大于帕累托最优产量； B、厂商产量小于帕累托最优产量； C、厂商产量等于帕累托最优产量； D、以上三种情况都有可能。 5、如果某一经济活动存在外部经济，则该活动的（D） A、私人成本小于社会成本； B、私人利益大于社会利益； C、私人利益等于社会利益； D、私人成本等于社会成本。 6、某人的吸烟行为会造成（） A、生产的外部经济； B、消费的外部经济； C、生产的外部不经济； D、消费的外部不经济。 7、当一个消费者的行动对他人产生了有利的影响，而自己却不能从中得到补偿，便产生了（） A、消费的外部经济； B、消费的外部不经济； C、生产的外部经济； D、生产的外部不经济。 8、科斯定理假设交易成本为（） A、0； B、1； C、大于1； D、介于0和1之间。 9、如果上游工厂污染了下游居民的饮水，按照科斯定理，下列说法中哪个正确？（）
A、不管产权是否明确，只要交易成本为零，问题都可妥善解决； B、只要产权明确，且交易成本为零，问题都可妥善解决； C、只要产权明确，不管交易成本有多大，问题都可妥善解决； D、不论产权是否明确，交易成本是否为零，问题都可妥善解决。 10、根据科斯定理，当市场不能有效的配置资源时，问题的最终来源通常是（） A、价格没有高到使人们不过度消费； B、价格没有低到使企业不过度生产； C、没有很好的界定产权； D、政府没有出面加以管制。 11、在消费或使用上，公共物品的特点是（） A、竞争性和排他性 B、竞争性和非排他性 C、非竞争性和排他性 D、非竞争性和非排他性 12、市场不能提供纯粹的公共物品，是因为（） A、公共物品不具有排他性； B、公共物品不具有竞争性； C、消费者都想“免费搭便车”； D、以上三种情况都是。 13、造成交易双方信息不对称的原因有（） A、卖方故意隐瞒信息； B、买方认识能力有限； C、完全掌握信息的成本太高； D、以上三种情况都有可能。 三、判断题 1、垄断造成的资源配置的低效率通常只能由政府进行管制。 2、由政府提供的产品都是公共物品。 3、根据科斯定理，外部性总是要求政府为了使外部性内部化而进行干预。 4、如果交易成本大于受影响各方对外部性达成协议的潜在利益，就没有解决外部性的私人办法。 5、公共资源被过度使用是因为公共资源对消费者是免费的。 6、私人市场难以提供公共物品是由于无法避免搭便车的问题。 7、一条拥挤的收费道路仍然是一种公共资源。 8、品牌能成为提供有用的质量信号。 四、计算题 1、某一产品的市场需求函数为Q=1000-10P，成本函数为C=40Q，求： （1）若该产品为一垄断厂商生产，利润最大化时的产量、价格和利润为多少？ （2）要达到帕累托最优，产量和价格为多少？ （3）社会纯福利在垄断性生产时损失了多少？ 2 假定有一企业，从私人角度看，每多生产1单位产品可多得12元，从社会角度看，每多生产1单位产品还可再多得4元，产品成本函数为C=Q2-40Q，试问：为达到帕累托最优，若用政府补贴办法，可使产量增加多少? 3、设一个公共牧场的成本是C＝5X2+2 000，X是牧场上养牛的头数。每头牛的价格
同济大学朱慈勉 结构力学 第10章 结构动..习题答案 10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？ 10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？ 10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？ 10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？ 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为 c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。
解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度 为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为：.. .. 3 1212 3 3 I M ml a l l m a l =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2 121233 t t q l l q l ?? = 由弹性恢复力所引起的弯矩为：. 2 133 la k l c a l ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： ()3 .. . 3 2 2 13 9 3 t q l ka m a l l c a l + += 整理得：(). .. 33t q ka c a m a l l l ++ = 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚功方程为： (). .. 2 1110 3 3 3 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα- ? -?- ?=? 则同样有：(). .. 33t q ka c a m a l l l + + = 。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。 t )
第一章 单自由度系统 1、1 总结求单自由度系统固有频率的方法与步骤。 单自由度系统固有频率求法有:牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法与能量守恒定理法。 1、 牛顿第二定律法 适用范围:所有的单自由度系统的振动。 解题步骤:(1) 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力; (2) 利用牛顿第二定律∑=F x m && ,得到系统的运动微分方程; (3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法 适用范围:绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤:(1) 对系统进行受力分析与动量距分析; (2) 利用动量距定理J ∑=M θ &&,得到系统的运动微分方程; (3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法: 适用范围:所有的单自由度系统的振动。 解题步骤:(1)设系统的广义坐标为θ,写出系统对于坐标θ的动能T 与势能U 的表达式;进一步写求出拉格朗日函数的表达式:L=T-U ; (2)由格朗日方程 θθ ??- ???L L dt )(&=0,得到系统的运动微分方程; (3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。 4、 能量守恒定理法 适用范围:所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤:(1)对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 与势能U 的表达式;进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const (2)将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即 0) (=+dt U T d ,进一步得到系统的运动微分方程; (3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。 1、2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法与步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法与共振法。 方法一:衰减曲线法。 求解步骤:(1)利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期与相邻波峰与波谷的幅值i A 、1+i A 。 (2)由对数衰减率定义 )ln( 1 +=i i A A δ, 进一步推导有 2 12ζ πζδ-= ,
第11章 有市场势力的定价 11.1 课后复习题详解 1．设一厂商能实行完全的一级价格歧视。它会定的最低价格是什么？它的总产量是什么？ 答：厂商会定的最低价格等于边际成本，总产量等于完全竞争条件下的产量，即需求曲线与边际成本的交点。 如图11－1所示，由于厂商能实行一级价格歧视，向每个顾客索取其保留价格，由于各个消费者被索取的正好是他们愿付的最高价格，因此边际收益不再与厂商的产量决策相关，相反，从销售每个额外单位所增加的收益就简单地等于顾客为这个单位所付的价格，因而它由需求曲线给出。因为价格歧视并不影响厂商的成本结构，各额外单位的成本仍由厂商的边际成本曲线给出。因而，从生产和销售每个增加的单位所得到的利润就等于需求与边际成本之差，只要需求大于边际成本，厂商就能通过扩大生产而增加利润，并且它一直这么做，直到需求曲线与边际成本曲线相交，图11－1中，此时总产量为，价格为 。 图11－1 完全的一级价格歧视
2．汽车推销员是怎样实行价格歧视的？正确利用价格歧视的能力是怎样影响他或她的收入的？ 答：（1）由于汽车推销员一般将价格差额作为其利润，所以推销员可以通过达成协议将其一部分利润转让给顾客，也可以坚持要求顾客支付汽车的牌价，通过这种方式，推销员可以实行价格歧视。 （2）一个好的推销员知道怎样区分顾客，他能够确定哪些顾客如果得不到一个可观的折扣就会转向其他卖者。因此似乎要离开到别处购买的顾客可以得到大的折扣，而匆匆忙忙的顾客只能得到一小部分或者得不到折扣。因此，正确利用价格歧视的能力与汽车推销员的收入是正相关的。 3．电力事业公司常常实行二级价格歧视。为什么这可能会改善消费者的福利？ 答：（1）二级价格歧视指通过对相同产品或服务的不同消费量“区段”索取不同的价格。电力公司一般都存在着规模经济，从而平均成本和边际成本下降，故电力公司可以增加产量同时降低价格。分段定价价格小于垄断定价。因此电力公司实行二级价格歧视，能够增加自己利润，同时也可以改善消费者的福利。 （2）下面通过分析消费者剩余来看消费者福利的改善。如图11－2所示，假设实行 了二级价格歧视，分为两个价格和。假设为不实行价格歧视时的单一价格。保留价格高于的消费者取得消费者剩余，保留价格低于高于的消费者获得消费者剩余 。在不实行二级价格歧视的情况下，消费者剩余为，由此可见，在这种情况下，实行二级价格歧视时的消费者剩余增加，改善了消费者福利。
第十一章一般均衡分析与福利经济学 一、选择题 1．局部均衡分析是对下列哪一项的分析？（） A．一个部门的变化对其他部门的影响 B．一个市场出现的情况，忽视其他市场 C．经济中所有的相互作用和相互依存关系 D．与供给相独立的需求的变化 2．在甲和乙两个人．X和Y两种商品的经济中，达到交换的一般均衡的条件为（） A．对甲和乙，MRT XY = MRS XY B．对甲和乙，MRS XY = P X/P Y C．（MRS XY）甲 = （MRS XY）乙 D．上述所有条件 3．在甲和乙两个人，X和Y两种经济中，达到生产和交换的一般均衡发生在（）。 A．MRT XY = P X/P Y B．甲和乙的MRS XY = P X/P Y C．（MRS XY）甲 =（MRS XY）乙 D．MRT XY =（MRS XY）甲 =（MRS XY）乙 4．生产契约曲线上的点表示生产者（）。 A．获得了最大利润 B．支出了最小成本 C．通过生产要素的重新配置提高了总产量 D．以上均正确 5．边际转换率是下列哪一条曲线的斜率？（） A．消费契约曲线 B．效用可能曲线 C．社会福利曲线 D．生产可能曲线 6．如果对于消费者甲来说，以商品X 替代商品Y的边际替代率等于3；对于消费者乙来说，以商品X 替代商品Y的边际替代率等于2；那么有可能发生下述情况（）。 A．乙用X向甲交换Y B．乙用Y向甲交换X C．甲和乙不会交换商品 D．以上均不正确 7．由上题已知条件，在甲和乙成交时，商品的交换比例可能是（）。 A．1单位X和3单位Y相交换 B．1单位X和2单位Y相交换 C．X和Y之交换比例大于2，小于3 D．上述均不正确 8．小李有5个鸡蛋和5只苹果，小陈有5个鸡蛋和5只苹果，小李更喜欢鸡蛋，小陈更喜欢苹果。在帕雷托状态下，可能（）
10- 71 习 题 10-1 试说明动力荷载与移动荷载的区别。移动荷载是否可能产生动力效应？ 10-2 试说明冲击荷载与突加荷载之间的区别。为何在作厂房动力分析时，吊车水平制动力可视作突加荷载？ 10-3 什么是体系的动力自由度？它与几何构造分析中体系的自由度之间有何区别？如何确定体系的 动力自由度？ 10-4 将无限自由度的振动问题转化为有限自由度有哪些方法？它们分别采用何种坐标？ 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) m m m m m m 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-6 建立单自由度体系的运动方程有哪些主要方法？它们的基本原理是什么？ 10-7 单自由度体系当动力荷载不作用在质量上时，应如何建立运动方程？ 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 EI m 1 m 2 EI EI EI 2EI m m
10- 72 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度 为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为：.. .. 3 1212 3 3 I M ml a l l m a l =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2 121233 t t q l l q l ?? = 由弹性恢复力所引起的弯矩为：. 2 133 la k l c a l ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： ()3 .. . 3 2 2 13 9 3 t q l ka m a l l c a l + += 整理得：(). .. 33t q ka c a m a l l l ++ = 2）力法 A () 21 3t q l α 13 l α13 l k αB C . l c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚功方程为： (). .. 2 1110 3 3 3 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα- ? -?- ?=? 则同样有：(). .. 33t q ka c a m a l l l + + = 。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。 a A c EI =∞ k B m a a a a E D C F k m k θ l 3 3 l 2 A q (t ) c EI =∞ k B C m
第2章 习 题 2-1 试判断图示桁架中的零杆。 2-1（a ） 解 静定结构受局部平衡力作用，平衡力作用区域以外的构件均不受力。所有零杆如图（a-1）所示。 2-1 (b) 解 从A 点开始，可以依次判断AB 杆、BC 杆、CD
杆均为无结点荷载作用的结点单杆，都是零杆。同理，从H点开始，也可以依次判断HI杆、IF杆、FD杆为零杆。最后，DE杆也变成了无结点荷载作用的结点D的单杆，也是零杆。所有零杆如图（b-1）所示。
2-1(c) 解该结构在竖向荷载下，水平反力为零。因此，本题属对称结构承受对称荷载的情况。AC、FG、EB和ML 均为无结点荷载作用的结点单杆，都是零杆。 在NCP三角形中，O结点为“K”结点，所以 F N OG＝－F N OH（a） 同理，G、H结点也为“K”结点，故
F N OG＝－F N GH（b） F N HG＝－F N OH（c） 由式（a）、（b）和（c）得 F N OG＝F N GH＝F N OH＝0 同理，可判断在TRE三角形中 F N SK＝F N KL＝F N SL＝0 D结点也是“K”结点，且处于对称荷载作用下的对称轴上，故ID、JD杆都是零杆。所有零杆如图（c-1）所示。 2-2试用结点法求图示桁架中的各杆轴力。 2-2(a) (a)
解（1）判断零杆 ①二杆结点的情况。N、V结点为无结点荷载作用的二杆结点，故NA、NO杆件和VI、VU杆件都是零杆；接着，O、U结点又变成无结点荷载作用的二杆结点，故OP、OJ、UT、UM杆件也是零杆。②结点单杆的情况。BJ、DK、QK、RE、HM、SL、LF杆件均为无结点荷载作用的结点单杆，都是零杆；接着，JC、CK、GM、LG杆件又变成了无结点荷载作用的结点单杆，也都是零杆。所有零杆如图
第十一章市场失灵和微观经济政策 1、垄断是如何造成市场失灵的？ 解答：要点如下： 第一，在垄断情况下，厂商的边际收益小于价格.因此，当垄断厂商按利润最大化原则（边际收益等于边际成本）确定产量时，其价格将不是等于而是大于边际成本.这就出现了低效率的情况. 地二，为获得和维持垄断地位从而得到垄断利润的寻租活动是一种纯的浪费.这进一步加剧了垄断的低效率情况. 2、外部影响的存在是如何干扰市场对资源的配置的？ 解答：要点如下： 第一，如果某个人采取某项行动的私人利益小于社会利益（即存在外部不济），则当这个人采取该行动私人利益大于私人成本而小于社会成本时，他就采取这项行动，尽管从社会的角度看，该行动是不利的. 第三，上述两种情况均导致了资源配置失当.前者是生产不足，后者是生产过多. 3、如何看待“科斯定理”？它在资本主义社会适用吗？它在社会主义适用吗？ 解答：要点如下： 第一，科撕定理要求财产权明确.但是，财产权并不总是能够明确地加以规定.有的资源，例如空气，在历史上就是大家均可以使用的共同财产，很难将其财产权具体分派给谁；有的资源的财产权即使在原则上可以明确，但由于不公平问题、法律程序的成本问题也变得实际
上不可行. 第二，科斯定理要求财产权可以转让.但是，由于信息不充分以及买卖双方不能达成一致意见等等，财产权并与一定总是能够顺利地转让. 第三，即使财产权是明确、可在转让的，也不一定总能实现资源的最优配置.转让之后的结果可能是：它与原来的状态相比有所改善，但却不一定为最优. 第四，分配财产权会影响收入分配，而收入分配的变动可以造成社会不公平，引起社会动乱.在社会动乱的情况下，就谈不上解决外部影响问题了. 4、公共物品为什么不能依靠市场来提供？ 解答：要点如下： 第一，公共物品不具备消费的竞争性. 第二，由于公共物品不具备竞争的性，任何一个消费者消费一单位公共物品的机会成本是0.这意味着，没有任何消费者要为他所消费的公共物品去与其他任何人竞争.因此，时常不再是竞争的.如果消费者认识到他自己消费的机会成本为0，他就会尽量少支付给生产者以换取消费公共物品的权利.如果所有消费者均这样行事，则消费者们支付的数量就将不足以弥补公共物品的生产成本.结果便是低于最优数量的产出，甚至是0产出. 5、市场机制能够解决信息不完全和不对称问题吗？ 解答：要点如下：
第十一章信息经济学 一、重点和难点 （一）重点 1．逆向选择、道德风险、败德行为、委托代理问题、隐藏信息、信号发送、信号甄别、激励机制、参与约束、激励相容约束 2．委托代理问题中双方对待风险的态度对风险配置的影响 （二）难点 1．劳动力市场的信号发送和信号甄别 2．委托代理问题中的激励机制设计原则 二、关键概念 不完全信息逆向选择和道德风险道德风险市场信号显示市场信号筛选非对称信息败德行为委托-代理人问题参与约束激励相容约束 三、习题 （一）单项选择题 1．对于一项交易的双方来说一般会存在信息不对称，比如可能交易的买方对交易对手的情况不了解，那么原因有（）。 A.买方自身认识能力有限 B.交易对手有意隐瞒 C.对于买方来说，要想掌握更多的信息需要付出更大的成本 D.上面各项都有可能。 2.二手车市场上往往充斥的都是坏车，因为（）。 A.买者不愿出买好车的价钱 B.卖者会将好车留下，将坏车拿到市场上买 C.次品市场的逆向选择 D.二手车都是坏车 3.隐藏信息的成本包括（）。 A.保险公司需要为获取投保人的更多信息而产生成本 B.投保人的败德行为为本身提高了损失发生的概率，因而必须支付更多的赔偿 C.赔偿损失的费用 D. A 和B 4.关于败德行为（）。 A.是当事人在一定条件下的理性选择行为 B.对另外的交易方有积极效应 C.对社会总福利有正面效应 D.是一种非理性行为 5.保险市场上的风险体现在（）。 A.败德行为改变了损失发生的概率 B.隐藏信息带来的额外成本 C.逆向选择问题的存在 D.以上都是 6.下列因素在劳动力市场上传递信号最强的是（）。 A.家庭成员的身体状况
第十一章 市场失灵与微观经济政策 本章导读 市场机制并不是万能的，当市场中存在垄断、外部影响、公共物品和不完全信息时，市场价格已不能完全真实地反映市场的内在供求关系，市场会出现失灵，所以需要政府介入来对市场进行干预以改进资源的配置效率。本章将讲述垄断、公共物品、外部效应和不完全信息的概念、表现、成因以及它们对市场资源配置的影响，总结出消除市场失灵的微观经济政策。 基本概念 市场失灵 垄断 外部效应 公共物品 不完全信息 科斯定理 本章重点及难点 1、市场失灵的主要原因、种类及表现形式； 2、各种市场失灵的解决方式； 3、不完全信息对市场资源配置效率的影响。 第一节 垄断与市场失灵 前面的各章在于论述所谓看不见的手的原理，即：市场经济在一系列理想化假定条件下，可以导致整个经济达到一般均衡，导致资源配置达到帕累托最优状态。但是，由于完全竞争市场以及其他一系列理想化假定条件并不是现实经济的真实写照，由于商品有私人产品与公共产品之分，资源有公共资源与天然垄断资源之分，1因此，市场机制只能保证资源配置的边际私人收益等于边际私人成本而无法保证资源配置的边际社会收益等于边际社会成本，帕累托最优状态某些领域通常不能自动地实现。对于价格机制在某些领域不能自动地实现资源配置的帕累托最优我们称为市场失灵（market failure ）。 垄断主要指对某种产品市场的垄断，是通过对某种产品的生产和销售进行控制来获取高额利润的行为或状态。垄断是某个行业集中在一个操纵者手中，可以分为国内垄断和国际垄断，也可以包括买方垄断和卖方垄断。 一、垄断导致市场失灵的表现 在垄断和其他不完全竞争市场中，因为他们面临的是两条向右下方倾斜的收益曲线，且 平均收益曲线AR 和需求曲线AR D =高于边际收益曲线MR ， 所以按照市场经济中的利润最大化原则，在均衡点时，厂商定价会大于边际成本，造成低效率的资源配置状态，损失社会福利。如图11—1所示，垄断厂商的利润最大化产量为，小于帕累托最优状态的产量，价格为,福利净损失为三角形abc 的面积，这部分是社会的纯损，即不论是垄断厂商还是消费者，都没有办法在市场机制的作用下获得。具体来说， MC MR =m p MC m q *q MC p m ＞厂商如果按照帕累托最优状态定价，消费者原来可以实现的所有消费者剩余为大三角形。在垄断的市场结构中，实际上消费者的消费者剩余只为小三角形，垄断厂商为得到一部分垄断利润为矩形，而小三角形的部分在社会福利中无法计算到。 aD p *bD p m m cbp p * abc 1 Private goods are both excludable and rival ；Public goods are neither excludable nor rival ；Common resources are rival but not excludable ；Natural monopoly is excludable but not rival.
第十一章练习 1答： 在垄断市场中，厂商定价可能会大于边际成本，结果使生产资源得不到最佳利用，产量低于完全竞争时的产量，导致不能通过市场实现帕累托最优。 2答： 一项经济活动存在外部经济时，该活动的私人利益小于社会利益，这时，私人活动水平就有可能低于社会所要求的最优水平；一项经济活动存在外部不经济时，该活动的私人利益大于社会利益，这时，私人活动水平就有可能高于社会所要求的最优水平。 3答： 科斯定理的主要内容是只要产权明确，并且假定交易成本为0，则不管开始时将产权赋予给哪一方，都可以达到资源的最优配置。也就是说，产权明确给A或明确给B，对于最后的资源最优配置没有影响，当然，这里是在假定交易成本为0的情况下所得出的结论。正如实际经济中的情况，如果交易成本不为0，那么只是明确产权并不能达到资源的最优配置。 一般根据科斯定理，最终导致资源配置无效的外部影响是产权不明确。如果产权明确，有些外部影响就不会产生。也就是说，解决外部影响问题不一定非得要求政府干预，只要产权明确，市场就能自动解决外部影响问题。但是，传统经济学认为解决外部影响问题时要求有政府的干预。当出现外部不经济时就要进行征税，征税的数额应等于外部不经济给其他社会成员造成的损失，从而使得私人成本等于社会成本；当出现外部经济时，政府就要采取津贴的办法，使私人收益与社会收益相等，从而使得资源配置达到最优。可以说，科斯定理的产生是对传统的经济学解决外部影响问题的方法提出了挑战，并且在理论和实践中也得到验证。就定理本身来说既适用资本主义社会，也适用于社会主义社会。 但是，科斯定理也存在一定的缺陷。例如科斯定理指的是一种静态的、双头博弈的、非协同的博弈。萨缪尔森(1995)指出这种静态的、双头博弈的、非协同的博弈产生的解不是确定的，而纳什解只是一种可能解，并且一般而言，这种解也不是帕累托最优解。科斯没有给出博弈论的证明，证明在交易成本为零时，会趋于帕累托有效。另外，当事人的人数大大增加，交易成本可能就难以控制，而且也难以有高效的机制保证各方自愿参加交易。 4答： 由于“搭便车”现象存在，私人提供公共产品会有巨大的外部经济，会使供给水平低于社会所要求的最优水平，所以不能由私人提供公共产品，而应由政府来提供。 5答： 信息不完全是指有关市场主体获取的或掌握的信息不足以使市场主体做出理性判断或决策。而信息不对称可看作是信息不完全中的一种情况，即一些人比另外一些人具有更多的有关经济信息。市场不能彻底解决信息不完全，例如，消费者并不完全清楚要购买的商品的质量，生产者也并不完全清楚市场上究竟需要多少本企业产品，也不完全知道可供给它做出最有利选择的所有生产技术和所能使用的最合算的全部生产要素。市场也不能彻底解决信息不对称。例如，保险公司就难于充分了解参加保险的自行车主是否会谨慎小心地保管自己的车子，除非公司要派专人天天跟在每辆投保的自行车后面监视。如果真这样做，代价实在太大了。这样，自行车主的行为对保险公司来说就必然是一种不完全的或者说不对称的信息。 6 （1）解： 由需求曲线：Q＝500－5P，得逆需求曲线：P＝100－Q/5，边际收益曲线：MR＝100－2Q/5，
第十章 10-5 试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆自身的质量。 (a) (b) EI 1=∞ EI m y ? 分布质量的刚度为无穷大，由广义坐标法可知，体系仅有两个振动自由度y ，?。 (c) (d) 在集中质量处施加刚性链杆以限制质量运动体系。有四个自由度。 10-8 图示结构横梁具有无限刚性和均布质量m ，B 处有一弹性支座（刚度系数为k ），C 处有一阻尼器（阻尼系数为c ），梁上受三角形分布动力荷载作用，试用不同的方法建立体系的运动方程。 解：1）刚度法 该体系仅有一个自由度。 可设A 截面转角a 为坐标顺时针为正，此时作用于分布质量m 上的惯性力呈三角形分布。其端部集度为.. ml a 。 取A 点隔离体，A 结点力矩为：.... 3121233 I M ml a l l mal =???= 由动力荷载引起的力矩为： ()()2121 233 t t q l l q l ??= 由弹性恢复力所引起的弯矩为：.21 33 la k l c al ? ?+ 根据A 结点力矩平衡条件0I p s M M M ++=可得： ( ) 3 (3221393) t q l ka m al l c al ++= 整理得：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++= 2）力法 . c α 解：取AC 杆转角为坐标，设在平衡位置附近发生虚位移α。根据几何关系，虚 功方程为：() (2) 01110333 l t q l l k l l l c m x xdx ααααααα-?-?-?=? 则同样有：() . .. 33t q ka c a m a l l l ++=。 10-9 图示结构AD 和DF 杆具有无限刚性和均布质量m ，A 处转动弹簧铰的刚度系数为k θ，C 、E 处弹簧的刚度系数为k ，B 处阻尼器的阻尼系数为c ，试建立体系自由振动时的运动方程。
《结构力学》第02章在线测试剩余时间：50:36 答题须知：1、本卷满分20分。 2、答完题后，请一定要单击下面的“交卷”按钮交卷，否则无法记录本试卷的成绩。 3、在交卷之前，不要刷新本网页，否则你的答题结果将会被清空。 第一题、单项选择题（每题1分，5道题共5分） 1、两刚片用一个单铰和过该铰的一根链杆相连组成 B、有一个自由度和一个多余约束的可变 A、瞬变体系 体系 C、无多余约束的几何不变体系 D、有两个多余约束的几何不变体系 2、两刚片用三根延长线交于一点的链杆相连组成 B、有一个自由度和一个多余约束的可变 A、瞬变体系 体系 C、无多余约束的几何不变体系 D、有两个多余约束的几何不变体系 3、两个刚片用三根不平行也不交于一点的链杆相连，组成 A、常变体系 B、瞬变体系 C、有多余约束的几何不变体系 D、无多余约束的几何不变体系 4、用铰来连接四个刚片的结点叫什么？ A、单铰结点 B、不完全铰结点 C、复铰结点 D、组合结点 5、连接四个刚片的铰有几个约束？ A、3 B、4 C、5 D、6 第二题、多项选择题（每题2分，5道题共10分） 1、几何不体系的计算自由度 A、可能大于零 B、可能等于零 C、可能小于零
D、必须大于零 E、必须等于零 2、从一个无多余约束的几何不变体系上去除二元体后得到的新体系 A、是无多余约束的几何不变体系 B、是几何可变体系 C、自由度不变 D、是有多余约束的几何不变体系 E、是几何瞬变体系 3、建筑结构可以是 A、无多余约束的几何不变体系 B、有多余约束的几何不变体系 C、几何瞬变体系 D、几何常变体系 E、几何可变体系 4、列论述正确的是 A、几何常变体系一定无多余约束 B、静定结构一定无多余约束 C、有多余约束的体系一定是超静定结构 D、有多余约束的体系一定是几何不变体系 E、几何瞬变体系都有多余约束 5、下列关于瞬变体系的论述正确的是 A、在外力作用下内力可能是超静定的 B、几何瞬变体系都有多余约束 C、在外力作用下内力可能是无穷大