(2010年广东卷文)
已知：ABC ?中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==+且75A ∠=o
，则b =( )
A.2 B ．4＋23 C ．4—23 D ．62- 答案：A
解析：0000000
26
sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304
A +==+=+=
由62a c ==+可知,0
75C ∠=,所以0
30B ∠=,1sin 2
B =
由正弦定理得261
sin 2sin 2264
a
b B A
+=
?=?=+,故选A
（2010全国卷Ⅱ文） 已知：△ABC 中，12
cot 5
A =-
，则cos A = ( ) A ．1213 B.513 C. 513- D. 1213
-
答案：D
解析：本题考查同角三角函数关系应用能力，先由cotA=12
5
-知A 为钝角，cosA<0排 除A 和B ，再由13
12
cos 1cos sin ,512sin cos cot 22-==+-==
A A A A A A 求得和. 3.(2009全国卷Ⅱ理）已知ABC ?中，12
cot 5
A =-， 则cos A = ( )
A. 1213
B.513
C.513-
D. 1213
-
答案 D
解析 已知ABC ?中，12cot 5A =-
，(,)2
A π
π∴∈. 221112
cos 13
51tan 1()12
A A
=-
=-
=-
++-
故选D. 4.（2009湖南卷文）在锐角ABC ?中，1,2,BC B A ==则
cos AC
A
的值等于 ， AC 的取值范围为 .
答案 2)3,2(
解析 设,2.A B θθ∠=?=由正弦定理得
,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC
θθθθ
=∴=?=
由锐角ABC ?得0290045θθ<
，
又01803903060θθ<-
，故23
3045cos 22
θθ<
<<
， 2cos (2,3).AC θ∴=∈
5.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知2
2
2a c b -=，且
sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)2
2
2a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在ABC ?中sin cos 3cos sin ,A C A C = 则由正弦定理及余弦定理
有:222222
3,22a b c b c a a c ab bc
+-+-=
化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.
解法二:由余弦定理得: 2
2
2
2cos a c b bc A -=-.又2
2
2a c b -=,0b ≠. 所以2cos 2b c A =+
①
又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=
sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =
由正弦定理得sin sin b
B C c
=
，故4cos b c A = ②
由①，②解得4b =.
评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。
6.（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25
cos
25
A =，
3AB AC ?=
．
（I ）求ABC ?的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．
解 （1）因为25cos 25
A =，234cos 2cos
1,sin 255A A A ∴=-==，又由3AB AC ?= 得cos 3,bc A =5bc ∴=，1
sin 22
ABC S bc A ?∴=
= （2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得
2222cos 20a b c bc A =+-=，25a ∴=
7.（2009浙江文）（本题满分14分）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25
cos
25
A =
，3AB AC ?=
．
（I ）求ABC ?的面积； （II ）若1c =，求a 的值． 解（Ⅰ）5
31)552(212cos
2cos 22
=-?=-=A A 又),0(π∈A ，54cos 1sin 2
=-=A A ，而35
3
cos ...===bc A AC AB AC AB ，所以5=bc ，所以ABC ?的面积为：
25
4
521sin 21=??=A bc （Ⅱ）由（Ⅰ）知5=bc ，而1=c ，所以5=b 所以5232125cos 222=?-+=
-+=A bc c b a
8.（2009北京理） 在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,,3
a b c B π
=，4
cos ,35
A b =
=。 （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC ?的面积.
【解析】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识，主要考查基本运算能力．
解（Ⅰ）∵A 、B 、C 为△ABC 的内角，且4,cos 3
5
B A π
==
， ∴23,sin 35
C A A π=
-=， ∴231343sin sin cos sin 32210C A A A π+??
=-=+=
???
. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3343
sin ,sin 510
A C +=
=，
又∵,33
B b π
=
=，∴在△ABC 中，由正弦定理，得 ∴sin 6
sin 5
b A a B =
=. ∴△ABC 的面积1163433693
sin 32251050
S ab C ++=
=???=
. 9.(2009山东卷理)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+
3
π)+sin 2
x. (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设A,B,C 为?ABC 的三个内角，若cosB=
31，1
()24
c f =-，且C 为锐角，求sinA. 解 （1）f(x)=cos(2x+
3π)+sin 2
x.=1cos 213cos 2cos sin 2sin sin 233222
x x x x ππ--+=- 所以函数f(x)的最大值为
13
2
+,最小正周期π. （2）()2c f =
13sin 22C -=－41, 所以3
sin 2
C =
, 因为C 为锐角, 所以3C π=, 又因为在?ABC 中, cosB=
31, 所以 2
sin 33
B =
, 所以 2113223
sin sin()sin cos cos sin 232326
A B C B C B C +=+=+=
?+?=
. 10.(2009山东卷文)(本小题满分12分)设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2
cos
sin 2
π???
<<-+x x x 在
π=x 处取最小值.
（1）求?.的值;
（2）在?ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a 2
3
)(=
A f , 求角C.
解 （1）1cos ()2sin cos sin sin 2
f x x x x ?
?+=?
+- sin sin cos cos sin sin x x x x ??=++- sin cos cos sin x x ??=+ sin()x ?=+
因为函数f(x)在π=x 处取最小值，所以sin()1π?+=-,由诱导公式知sin 1?=,因为0?π<<,所以2
π
?=
.所以()sin()cos 2
f x x x π
=+
=
（2）因为23)(=
A f ,所以3
cos 2
A =,因为角A 为?ABC 的内角,所以6A π=.又因为
,2,1==b a 所以由正弦定理,得
sin sin a b A B =,也就是sin 12
sin 222
b A B a ==?=, 因为b a >,所以4π
=
B 或4
3π=
B .
当4π=B 时,76412C ππππ=--=;当43π=B 时,36412
C πππ
π=--
=. 【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.
10.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，
2
3cos )cos(=
+-B C A ,ac b =2
，求B. 解析：本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=
23(负值舍掉)，从而求出B=3
π。 解：由 cos （A -C ）+cosB=32及B=π-（A+C ）得 cos （A -C ）-cos （A+C ）=3
2
， cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=3
2
,
sinAsinC=3
4
.
又由2
b =a
c 及正弦定理得
2sin sin sin ,B A C =
故 2
3sin 4
B =
， 3sin 2B =
或 3sin 2
B =-（舍去）， 于是 B=
3π 或 B=23
π. 又由 2
b a
c =知a b ≤或c b ≤
所以 B =
3
π。
11.（2009安徽卷理）在?ABC 中，sin()1C A -=, sinB=
1
3
. （I ）求sinA 的值；
(II)设AC=6，求?ABC 的面积. 解：（Ⅰ）由2C A π-=
，且C A B π+=-，∴42B A π=-，∴2sin sin()(cos sin )42222
B B B A π=-=-， ∴2
11sin (1sin )23A B =-=，又sin 0A >，∴3
sin 3
A =
（Ⅱ）如图，由正弦定理得sin sin AC BC
B A
= ∴3
6sin 3321sin 3
AC A
BC B
?=
=
=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+
322616
33333
=
?+?=
∴116
sin 63232223
ABC S AC BC C ?=
??=???= 12.（2009安徽卷文）（本小题满分12分） 在
ABC 中，C-A=， sinB=。
（I ）求sinA 的值；(II)设AC=
，求
ABC 的面积。
【思路】（1）依据三角函数恒等变形可得关于sin A 的式子，这之中要运用到倍角公式； （2）应用正弦定理可得出边长，进而用面积公式可求出S . 解（1）∵2
c A c A B π
π-=+=-且∴4
2
B
A π
=
-
∴2sin sin(
)(cos sin )4
2222
B B B A π
=-
=- ∴22111
sin (cos sin )(1sin )22223
B B A B =-=-=
又sin 0A > ∴3
cos 3
A =
（2）如图，由正弦定理得sin sin AC BC
BC B A
=
=
∴3
6sin 3321
sin 3
AC A BC B ===??
A B
C
sin sin()sin cos cos sin 322163333C A B A B A B =+=+=?+?=?又
∴116
sin 63232223
S ABC AC BC C =
=???=?? . 13.（2009江西卷文）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，6
A π
=，(13)2c b +=．
（1）求C ；
（2）若13CB CA ?=+
，求a ,b ，c ．
解：（1）由(13)2c b += 得
13sin 22sin b B
c C
=+=
则有
55sin()
sin
cos cos sin 666sin sin C C C
C
C
π
ππ
π-
--=
=1313cot 2222C +=+ 得cot 1C = 即4
C π
=
.
（2） 由13CB CA ?=+ 推出 cos 13ab C =+ ；而4
C π
=,
即得
2
132
ab =+, 则有 2
132(13)2sin sin ab c b a c
A C
?=+???
+=???=?? 解得 2132a b c ?=??=+??=??
14.（2009江西卷理）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
sin sin tan cos cos A B
C A B
+=
+,sin()cos B A C -=.
（1）求,A C ；
（2）若33ABC S ?=+,求,a c . 解：(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B +=
+，即sin sin sin cos cos cos C A B
C A B
+=+，
所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，
得 sin()sin()C A B C -=-. 所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立). 即 2C A B =+, 得3
C π
=
，所以.23
B A π+=
又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A π-=，或56
B A π-=（舍去） 得5,4
12
A B π
π
=
=
(2)162sin 3328
ABC S ac B ac ?+=
==+， 又
sin sin a c A C =, 即 23
22
a c =， 得22,2 3.a c ==
15.（2009天津卷文）在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===
（Ⅰ）求AB 的值。 （Ⅱ）求)4
2sin(π
-
A 的值。
（1）解：在ABC ? 中，根据正弦定理，
A BC C A
B sin sin =，于是522sin sin ===B
C A
BC
C AB （2）解：在ABC ? 中，根据余弦定理，得AC
AB BC AC AB A ?-+=2cos 2
22
于是A A 2cos 1sin -==
5
5， 从而5
3sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-==
=A A A A A A 10
2
4sin 2cos 4cos 2sin )42sin(=
-=-πππA A A 【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。
16.（2009四川卷文）在ABC ?中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且
510sin ,sin 510
A B =
= （I ）求A B +的值；
（II ）若21a b -=-，求a b c 、、的值。
解（I ）∵A B 、为锐角，510
sin ,sin 510
A B =
=
∴ 2
225310
cos 1sin ,cos 1sin 510
A A
B B =-=
=-=
253105102
cos()cos cos sin sin .5105102
A B A B A B +=-=
?-?= ∵ 0A B π<+< ∴ 4
A B π
+=
（II ）由（I ）知34C π=，∴ 2
sin 2
C = 由
sin sin sin a b c
A B C
==得 5102a b c ==，即2,5a b c b ==
又∵ 21a b -=
-
∴ 221b b -=- ∴ 1b = ∴ 2,5a c ==
17.（2009全国卷Ⅱ理）设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3
cos()cos 2
A C
B -+=
，2b ac =，求B
分析：由3cos()cos 2A C B -+=
，易想到先将()B A C π=-+代入3cos()cos 2
A C
B -+=得3
cos()cos()2A C A C --+=
。
然后利用两角和与差的余弦公式展开得3sin sin 4A C =；又由
2b ac =，利用正弦定理进行边角互化，得2
sin sin sin B A C =，进而得3
sin 2
B =
.故233B ππ=或。
大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当23B π=
时，由1
cos cos()2
B A
C =-+=-，进而得3
cos()cos()212
A C A C -=++
=>，矛盾，应舍去。
也可利用若2
b a
c =则b a b c ≤≤或从而舍去23
B π
=。不过这种方法学生不易想到。 评析：本小题考生得分易，但得满分难。
18.（2009辽宁卷文）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平
面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为0
75，0
30，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为0
60，AC ＝0.1km 。试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ，2≈1.414，6≈2.449） 解：在ACD ?中，DAC ∠＝30°，ADC ∠＝60°－DAC ∠＝30°， 所以CD ＝AC ＝0.1
又BCD ∠＝180°－60°－60°＝60°，
故CB 是CAD ?底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA 5分 在ABC ?中，
ABC
AC
BCA AB ∠=∠sin sin ，
即AB ＝
20
6
2351sin 60sin +=??AC
因此，km 33.020
6
23≈+=
BD
故B 、D 的距离约为0.33km 。 12分
19.（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔
顶。测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为0
75，0
30，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为0
60，AC=0.1km 。试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算
结果精确到0.01km ，2≈1.414，6≈2.449）
解:在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,
所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ， 在△ABC 中，,AB C si n C
B C A sin ∠=∠A AB
即AB=,20
6
2315sin ACsin60+= 因此，BD=
。km 33.020
6
23≈+ 故B ，D 的距离约为0.33km 。
20.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M ，N 间的距离，飞机沿水平方向在A ，B
两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M ，N
间的距离的步骤。
解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角；B 点到M ，
N 的俯角22,αβ；A ，B 的距离 d （如图所示） . ②第一步：计算AM . 由正弦定理2
12sin sin()
d AM ααα=
+ ；
第二步：计算AN . 由正弦定理2
21sin sin()
d AN βββ=
- ；
第三步：计算MN. 由余弦定理22112cos()MN AM AN AM AN αβ=+-?- .
方案二：①需要测量的数据有：
11
,αβ
A 点到M ，N 点的俯角1α，1β；
B 点到M ，N 点的府角2α，2β；A ，B 的距离 d （如图所示）. ②第一步：计算BM . 由正弦定理1
12sin sin()
d BM ααα=
+ ；
第二步：计算BN . 由正弦定理1
21sin sin()
d BN βββ=
- ；
第三步：计算MN . 由余弦定理22222cos()MN BM BN BM BN βα=
+-?+
21.（2009四川卷文）在ABC ?中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且
510
sin ,sin 510
A B =
=
（I ）求A B +的值； （II ）若21a b -=
-，求a b c 、、的值。
解（I ）∵A B 、为锐角，510
sin ,sin 510
A B =
=
∴ 2
225310
cos 1sin ,cos 1sin 510
A A
B B =-=
=-=
253105102
cos()cos cos sin sin .5105102
A B A B A B +=-=
?-?= ∵ 0A B π<+< ∴ 4
A B π
+=
（II ）由（I ）知34C π=，∴ 2
sin 2
C = 由
sin sin sin a b c
A B C
==得 5102a b c ==，即2,5a b c b ==
又∵ 21a b -=
-
∴ 221b b -=- ∴ 1b = ∴ 2,5a c ==
22.（2009湖北卷文） 在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23=
(Ⅰ)确定角C 的大小： （Ⅱ）若c ＝7,且△ABC 的面积为
2
33,求a ＋b 的值。
解（1）由32sin a c A =及正弦定理得，
2sin sin sin 3
a A A
c C ==
3
sin 0,sin 2
A C ≠∴=
Q ABC ?Q 是锐角三角形，3
C π
∴=
（2）解法1：7,.3
c C π
=
=
Q 由面积公式得
133sin ,6232
ab ab π==即 ① 由余弦定理得
22222cos
7,73
a b ab a b ab π
+-=+-=即 ②
由②变形得25,5a b =+=2
（a+b)故 解法2：前同解法1，联立①、②得
2222766
a b ab a b ab ab ??+-=+??
?==??＝１３
消去b 并整理得4
2
13360a a -+=解得2
2
49a a ==或
所以2332a a b b ==????
==??
或故5a b += 23.（2009宁夏海南卷文） 如图，为了解某海域海底构造，
在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量，已知50AB m =， 120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深
200BE m =，于C 处测得水深110CF m =，求∠DEF 的余弦值。
解：作//DM AC 交BE 于N ，交CF 于M ．
22223017010198DF MF DM =+=+=，
222250120130DE DN EN =+=+=，
2222()90120150EF BE FC BC =-+=+=．
在DEF ?中，由余弦定理，
2222221301501029816
cos 2213015065
DE EF DF DEF DE EF +-+-?∠===???.
24.(2009湖南卷理). 在ABC ?，已知
2233AB AC AB AC BC ?=?=
，求角A ，B ，C 的大小.
解 设,,BC a AC b AB c ===
由23AB AC AB AC ?=? 得2cos 3bc A bc =，所以3cos 2
A =
又(0,),A π∈因此6
A π
=
由233AB AC BC ?= 得2
3bc a =，于是23sin sin 3sin 4
C B A ?=-
所以53sin sin(
)64C C π?-=，133sin (cos sin )224
C C C ?+=，因此 22sin cos 23sin 3,sin 23cos20C C C C C ?+=-=，既sin(2)03
C π
-=
由A=6π知506C π<<，所以3π-，4233C ππ-<，从而
20,3C π-=或2,3
C ππ-=，既,6C π=或2,3C π=故
2,,,636
A B C πππ
===或2,,663A B C πππ===。
25..（2009天津卷理）（在⊿ABC 中，BC=5，AC=3，sinC=2sinA
(I) 求AB 的值： (II) 求sin 24A π?
?
-
??
?
的值 （Ⅰ）解：在△ABC 中，根据正弦定理，
A
BC
C AB sin sin =
于是AB=
522sin sin ==BC BC A
C
（Ⅱ）解：在△ABC 中，根据余弦定理，得cosA=5
5
22222=
?-+AC AB BD AC AB 于是 sinA=5
5
cos 12=-A 从而sin2A=2sinAcosA=
54,cos2A=cos 2A-sin 2
A=5
3 所以 sin(2A-
4π)=sin2Acos 4π-cos2Asin 4π=10
2 26.（2009四川卷理）在ABC 中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且
310
cos 2,sin 510
A B ==
（I ）求A B +的值； （II ）若21a b +=
-，求,,a b c 的值。
解：（Ⅰ）A 、B 为锐角，10sin 10B =，2
310cos 1sin 10
B b ∴=-= 又2
3
cos 212sin 5
A A =-=
， 5sin 5A ∴=
，2
25cos 1sin 5
A A =-=， 253105102
cos()cos cos sin sin 5105102
A B A B A B ∴+=-=?-?=
0A B π<+<
4
A B π
∴+=
（Ⅱ）由（Ⅰ）知34C π=,2
sin 2
C ∴=. 由正弦定理
sin sin sin a b c A B C
==得 5102a b c ==，即2a b =，5c b =
21a b -=
-Q ，
221b b ∴-=-，1b ∴=
2,5a c ∴==
27.（2009上海卷文） 已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =
，
(s i n ,s i n B A =
，(2,2)p b a =--
.
（1） 若m //n
，求证：ΔABC 为等腰三角形；
（2） 若m ⊥p ，边长c = 2，角C = 3
π
，求ΔABC 的面积 .
证明：（1）//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v
Q
即22a b
a b R R
?
=?，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a b = ABC ∴?为等腰三角形
解 （2）由题意可知//0,(2)(2)0m p a b b a =-+-=u v u v
即
a b ab ∴+=
由余弦定理可知， 2224()3a b ab a b ab =+-=+-
2()340ab ab --=即 4(1)ab ab ∴==-舍去
11sin 4sin 3223
S ab C π
∴=
=??=
2005—2008年高考题
一、选择题
1.（2008福建)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2
+c 2
-b 2
)tan B =3ac ,
则角B 的值为 （ ）
A.
6
π
B.
3π
C.
6π或56π
D.
3π或23
π
答案 D
2.（2008海南）如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ）
A.
18
5
B.
43 C.2
3 D.
8
7
答案 D
3.（2008陕西）ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若26120c b B ===
，，， 则a 等于 （ ）
A ．6
B ．2
C ．3
D ．2
答案 D
4.（2007重庆）在ABC △中，3AB =，45A = ，75C =
，则BC =
（ ）
Ａ．33- Ｂ．2
Ｃ．2
Ｄ．33+
答案 Ａ
5.(2007山东)在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ ）
A.2AC AC AB =?
B.2BC BA BC =?
C.2AB AC CD =?
D.22
()()AC AB BA BC CD AB
???=
答案 C
6.（2006年全卷I ）
的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列， 且c=2a ，则cosB=
( )
A ．
41 B ．43 C ．42 D ．3
2
答案 B 二、填空题
7.（2005福建）在△ABC 中，∠A=90°，k AC k AB 则),3,2(),1,(==的值是 . 答案 2
3
-
8.（2008浙江）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若
()C a A c b cos cos 3=-，则
=A cos _________.
答案
33
9.(2008湖北)在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则
cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .
ABC ?
答案
612
10.（2007北京）在ABC △中，若1tan 3
A =
，150C =
，1BC =，则AB = . 答案
2
10
11.（2007湖南）在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b=7，3c =，则
B = ．
答案
6
5π 12.（2007重庆）在△ABC 中，AB=1,BC =2,B=60°，则AC ＝ .
答案 3 三、解答题
14.（2008湖南）在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45
且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45
+θ(其中sin θ=
2626
，090θ<<
)且与点A 相距1013海里的位置C.
（I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;
（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解 （I ）如图，AB =402，AC=1013，26,sin .26
BAC θθ∠==
由于090θ<<
,所以cos θ=2265261().2626
-= 由余弦定理得BC=
.510cos 222=?-+θAC AB AC AB
所以船的行驶速度为
105
15523
=（海里/小时）. （II ）解法一 如图所示，以A 为原点建立平面直角坐 标系，
设点B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 2）, C （x 1，y 2）, BC 与x 轴的交点为D
.
由题设有，x 1=y 1=
2
2
AB=40, x 2=ACcos 1013cos(45)30CAD θ∠=-= , y 2=ACsin 1013sin(45)20.CAD θ∠=-= 所以过点B 、C 的直线l 的斜率k =
20
210
=,直线l 的方程为y =2x -40. 又点E （0，-55）到直线l 的距离d=
|05540|
357.14
+-=<+
所以船会进入警戒水域.
解法二 如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q. 在△ABC 中，由余弦定理得，
222
cos 2AB BC AC ABC AB BC
+-∠=?
=22240210510132402105
?+?-???=31010.
从而2
910
sin 1cos 1.1010
ABC ABC ∠=-∠=-= 在ABQ ?中，由正弦定理得，
AQ=10
402sin 1040.sin(45)2210
210
AB ABC ABC ?
∠==-∠?
由于AE=55>40=AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE =AE -AQ=15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离.
在Rt QPE ?中，PE=QE ·sin sin sin(45)PQE QE AQC QE ABC ∠=?∠=?-∠
=5
15357.5
?
=< 所以船会进入警戒水域.
14．（2007宁夏，海南）如图，测量河对岸的塔高AB 时，
可以选与塔底B 在同一水平面内
的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，
，
并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ． 解 在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin BC CD
BDC CBD
=∠∠．
所以sin sin sin sin()
CD BDC s BC CBD β
αβ∠=
=
∠+·． 在Rt △ABC 中，tan sin tan sin()
s AB BC ACB θβ
αβ=∠=
+·．
15．（2007福建）在ABC △中，1tan 4A =，3
tan 5
B =． （Ⅰ）求角
C 的大小；
（Ⅱ）若ABC △最大边的边长为17，求最小边的边长． 解 （Ⅰ）π()C A B =-+ ，
1345tan tan()113145
C A B +
∴=-+=-=--?．又0πC << ，3
π4C ∴=．
（Ⅱ）3
4
C =π ，AB ∴边最大，即17AB =．
又∵tanA ＜tanB ，A 、B ??
?
??∈2,
0π∴角A 最小，BC 边为最小边． 由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ?
==???+=?
，，
且π02A ??∈ ???，，
得17
sin 17
A =
．由sin sin AB BC C A =得：BC=AB ·
2sin sin =C A ． 16．（2007浙江）已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=． （I ）求边AB 的长； （II ）若ABC △的面积为
1
sin 6
C ，求角C 的度数． 解 （I ）由题意及正弦定理，得21AB BC AC ++=+，2BC AC AB +=， 两式相减，得1AB =．
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b
高一必修5 解三角形单元测试题 1．在△ABC 中，sinA=sinB ，则必有 （ ） A ．A=B B ．A ≠B C ．A=B 或A=C －B D ．A+B= 2 π 2．在△ABC 中，2cosBsinA=sinC ，则△ABC 是 （ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 3．在ABC ?中，若 b B a A cos sin =，则B 的值为 （ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 90 4．在ABC ?中，bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 等于 （ ） A ．60° B ．45° C ．120° D ．30° 5．在△ABC 中，b =， ，C=600，则A 等于 （ ） A ．1500 B ．750 C ．1050 D ．750或1050 6．在△ABC 中，A:B:C=1:2:3，则a:b:c 等于 （ ） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ． 2: D ． 7．△ABC 中，a=2，A=300，C=450，则S △ABC = （ ） A B ． C 1 D ．11)2 8．在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则acosB+bcosA 等于 （ ） A ． 2 b a + B ． b C ． c D ．a 9．设m 、m ＋1、m ＋2是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．0＜m ＜3 B ．1＜m ＜3 C ．3＜m ＜4 D ．4＜m ＜6 10．在△ABC 中，已知a=x ， A=450，如果利用正弦定理解这个三角形有两个解， 则x 的取值范围为 （ ） A ． B ．2
解三角形公式
海伦－秦九韶公式 假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： 而公式里的p为半周长（周长的一半）： 注1："Metrica"(《度量论》）手抄本中用s 作为半周长，所以 和 两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。cosC = (a^2+b^2-c^2）/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√（1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2] =1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2） （2ab-a^2-b^2+c^2）] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2
b^2=a^2+c^2-2ac cos B c^2=a^2+b^2-2ab cos C 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。 变形公式 cos C=(a^2+b^2-c^2)/2ab cos B=(a^2+c^2-b^2)/2ac cos A=(c^2+b^2-a^2)/2bc 海伦-秦九韶公式 p=(a+b+c)/2（公式里的p为半周长） 假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 高中数学基本不用。 已知三条中线求面积 方法一：已知三条中线Ma,Mb,Mc， 则 S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb) *(Ma+Mb-Mc)]/3 ； 方法二：已知三边a，b，c ；
《解三角形》知识点归纳及题型汇总 1、①三角形三角关系： A+B+C=180°； C=180°— (A+B)； ② . 角平分线性质 : 角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③ . 锐角三角形性质：若A>B>C则60 A 90 ,0 C 60 . 2、三角形三边关系： a+b>c; a-b 的外接圆的半径，则有 a b c 2R ．sin sin sin C 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边： a2Rsin， b2Rsin， c2Rsin C ； ②化边为角： sin a， sin b， sin C c ； 2R2R2R ③ a : b : c sin:sin:sin C ； ④a b c a b c=2R sin sin sin C sin sin sin C 6、两类正弦定理解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角. 7、三角形面积公式： S C1 bc sin1 ab sin C1 ac sin．=2RsinAsinBsinC=abc 2 2224R = r (a b c) =p( p a)( p b)( p c) ( 海伦公式 ) 2 8、余弦定理：在 C 中， a2b2c22bc cos，b2a2c22ac cos ， c2a2b22ab cosC ．9、余弦定理的推论： cos b2c2 a 2， cos a2c2b2， cosC a2b2c2． 2bc2ac2ab 10、余弦定理主要解决的问题： ①已知两边和夹角，求其余的量. ②已知三边求角 解三角形试题精选（自我测试） 一、选择题：（每小题5分，计40分） 题号12345678 答案 1．已知△ABC 中，a =2,b =3,B =60°,那么角A 等于（ ） （A ）135° (B)90° (C)45° (D)30° 2.在ABC ?中，,75,45,30 ===C A AB 则BC =（ ） A.33- B.2 C.2 D.33+ 3.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =3 π,a = 3 ,b =1， 则c =( ) （A ）1 （B ）2 （C ） 3 —1 （D ） 3 4．在中，角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,若2 2 2 3a c b ac +-=，则角B 的值为（ ） Ａ．6 π Ｂ．3 π Ｃ．6 π或 56 π Ｄ．3 π或 23 π 5．在△ABC 中，若 C c B b A a cos cos cos = = ，则△ABC 是（ ） （A ）直角三角形. （B ）等边三角形. （C ）钝角三角形. （D ）等腰直角三角形. 6. A B C ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等 比数列，且2c a =，则cos B =（ ） A ．1 4 B ．3 4 C ． 24 D ． 23 7．在ABC ?中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ?一定是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 8．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23 ，那么b =（ ） （数学5必修）第一章：解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长为（ ） A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，090C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 5．在△ABC 中，,26-= AB 030C =，则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 一、选择题： 1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ ） A ． 30° B ．45° C ．60° D ．120° 2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ） A ．310+ B ．( ) 1310 - C ．13+ D ．310 3、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．30°或120° D ． 30°或150° 4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ） A ．无解 B ．一解 C ． 二解 D ．不能确定 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 为（ ） A ． 3 π B ． 6 π C ．32π D ． 3π或32π 6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ） A ．()10,8 B ． ( ) 10,8 C ． ( ) 10,8 D ． ()8,10 8、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 9、△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围( ) A ．2>x B ．2 解三角形公式 1、内角和： 180=++C B A ； 1800,1800,1800<<<<< 解三角形单元测试题 一、选择题： 1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（ ） A ． 30° B ．45° C ．60° D ．120° 2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ） A ．310+ B ．( ) 1310 - C ．13+ D ．310 3、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．30°或120° D ． 30°或150° 4、在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是（ ） A ．无解 B ．一解 C ． 二解 D ．不能确定 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=2 2 2 ，则角A 为（ ） A ． 3 π B ． 6 π C ．32π D ． 3π或32π 6、在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ） A ．()10,8 B ． ( ) 10,8 C ． ( ) 10,8 D ． ()8,10 8、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 9、△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围( ) A ．2>x B ．2 三角函数及解三角形练习题 一．解答题（共16小题） 1．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，求C的大小． 2．已知3sinθtanθ=8，且0＜θ＜π． （Ⅰ）求cosθ； （Ⅱ）求函数f（x）=6cosxcos（x﹣θ）在[0，]上的值域． 3．已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点． （Ⅰ）数a的值； （Ⅱ）求f（x）的单调递增区间． 4．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin2x． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），求函数g（x）在[﹣，]上的值域． 5．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值； （2）求f（x）的单调递增区间． 6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求ω和φ的值； （Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值． 7．已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]． （1）若∥，求x的值； （2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值． 8．已知函数的部分图象如图所示． （1）求函数f（x）的解析式； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值围． 9．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，M 为最高点，该图象与y轴交于点F（0，），与x轴交于点B，C，且△MBC的面积为π． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若f（α﹣）=，求cos2α的值． 10．已知函数． （Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x值； （Ⅱ）设函数，如图，点P，M，N分别是函数y=g（x）图象的零值点、最高点和最低点，求cos∠MPN的值． 11．设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f （）=0． 解三角形专题 1、在ABC ?中，已知内角3 A π = ，边BC =设内角B x =,面积为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域； (2)求y 的最大值. 3、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.2 1 222ac b c a =-+ （1）求B C A 2cos 2 sin 2++的值； （2）若b =2，求△ABC 面积的最大值． 4、在ABC ?中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量(2sin ,m B =， 2cos 2,2cos 12B n B ? ?=- ?? ?，且//m n 。 （I ）求锐角B 的大小； （II ）如果2b =，求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 5、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值； （II ）若2=?，且22=b ，求c a 和b 的值. 6、在ABC ?中，cos A = ，cos B =. （Ⅰ）求角C ； （Ⅱ）设AB =，求ABC ?的面积. 7、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =u r ， (sin ,1cos ),//,.n A A m n b c =++=r u r r 满足 （I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值. 8、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。 9、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知1 1tan ,tan 2 3 A B ==，且最长边的边长为l.求： （I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长. 解三角形的方法 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在ABC ?中，已知a 、b 、A （1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b < 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1 三角形三角关系： A+B+C=180 ； C=180°— (A+B)； 2、三角形三边关系： a+b>c; a-b 解三角形练习题及答案 解三角形习题及答案 、选择题（每题5分，共40分） 1、己知三角形三边之比为5 : 7 : 8,则最大角与最小角的和为（）. A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 2、在厶ABC中，下列等式正确的是（）. A. a : b=Z A ：Z B B . a : b= sin A : sin B C. a : b= sin B : sin A D . asin A= bsin B 1 : 2 : 3,则它们所对的边长之比为（ 3、若三角形的三个内角之比为 A. 1 : 2 : 3 B . 1 ： 3 : 2 C . 1 : 4 : 9 D . 1 ：；』2 : 3 4、在厶ABC中，a= V5 , b= 尿，/ A= 30 °贝卩c等于（）. A. 2 5 B. --:5C . 2 ；5或■、5 D. . 10或■,5 5、已知△ ABC中，/ A= 60° a=76 , b= 4,那么满足条件的厶ABC的形 状大小（）. A .有一种情形B.有两种情形 C .不可求出 D .有三种以上情形 6、在厶ABC 中，若a2+ b2—c2v 0,则4 ABC 是（）. A .锐角三角形B.直角三角形 C .钝角三角形 D .形状不能确定 7、sin7cos37 -sin 83 sin 37 的值为( ) A.—一 2 B. 1 2 C. 1 2 n 3 D.— — 8、化简1 T：等于( ) A. 3 B.二 C. 3 D. 1 2 二、填空题(每题5分，共20分) 9、已知cos a —cos B 二丄，sin a —sin 3 =丄，贝S cos (a —B )= . 2 3 10、在厶ABC 中，/ A= 105° / B= 45° c=忑，贝S b= _____________ . a + b + c 你在厶ABC 中，/ A= 60° a= 3,则sinA + sinB + sinC = --------- ? 12、在厶ABC中，若sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4,则最大角的余弦值等于__ . 班别：__________ 姓名： _____________ 序号：_______ 得分： _______ 9、______ 10、_______ 11、 ________ 12、__________ 4.6 正弦、余弦定理 解斜三角形 建构知识结构 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) （3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===外 证明：由三角形面积 111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === 得sin sin sin a b c A B C == 画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b c R A B C === 3．余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA , 222 cos 2b c a A bc +-=； 证明：如图ΔABC 中， sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===- 222222 2 2 sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A =+=+-=+- 当A 、B 是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。 要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 有三种情况：bsinA 解三角形测试题 一、选择题： 1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于（） A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120° 2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b=2,∠A=30°C．a=1,b=2,∠A=100°D．b=c=1, ∠B=45° 3、在锐角三角形ABC中，有（） A．cosA>sinB且cosB>sinA B．cosA A ． )sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβ α-?a C ． )sin(cos sin αββα-a D ．) cos(sin cos βαβ α-a 8、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南 偏东60°,则A,B 之间的相距 （ ） A ．a (km) B ．3a(km) C ．2a(km) D ．2a (km) 二、填空题： 9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA= 12 7 , 则ΔABC 是______三角形. 10、在ΔABC 中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____. 11、在ΔABC 中，若S ΔABC = 4 1 (a 2+b 2－c 2 ),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=32 31 ,则cosC=_______. 三、解答题： 13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC= B A B A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B). 14、已知ΔABC 三个内角A 、B 、C 满足A+C=2B, A cos 1+ C cos 1 =－ B cos 2 , 求2 cos C A -的值. 15、二次方程ax 2－2bx+c=0,其中a 、b 、c 是一钝角三角形的三边,且以b 为最长. D C 第一章 解三角形 一、选择题 1．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )． A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 2．在△ABC 中，下列等式正确的是( )． A ．a ∶b ＝∠A ∶∠B B ．a ∶b ＝sin A ∶sin B C ．a ∶b ＝sin B ∶sin A D ．a sin A ＝b sin B 3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )． A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2 C ．1∶4∶9 D ．1∶2∶3 4．在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c 等于( )． A ．25 B ．5 C ．25或5 D ．10或5 5．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )． A ．有一种情形 B ．有两种情形 C ．不可求出 D ．有三种以上情形 6．在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＜0，则△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不能确定 7．在△ABC 中，若b ＝3，c ＝3，∠B ＝30°，则a ＝( )． A ．3 B ．23 C ．3或23 D ．2 8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边．如果a ，b ，c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为 2 3 ，那么b ＝( )． A ． 2 3 1+ B ．1＋3 C ． 2 3 2+ D ．2＋3 9．某人朝正东方向走了x km 后，向左转150°，然后朝此方向走了3 km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值是( )． 解三角形习题及答案 一、选择题（每题5分，共40分） 1、己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )． A ．90° B ．120° C ．135° D ．150° 2、在△ABC 中，下列等式正确的是( )． A ．a ∶b ＝∠A ∶∠B B ．a ∶b ＝sin A ∶sin B C ．a ∶b ＝sin B ∶sin A D ．a sin A ＝b sin B 3、若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )． A ．1∶2∶3 B ．1∶3 ∶2 C ．1∶4∶9 D ．1∶ 2∶3 4、在△ABC 中，a ＝5 ，b ＝ 15，∠A ＝30°，则c 等于( )． A ．2 5 B ．5 C ．2 5 或5 D ．10或5 5、已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形 状大小 ( )． A ．有一种情形 B ．有两种情形 C ．不可求出 D ．有三种以上情形 6、在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＜0，则△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不能确定 7、)( 37sin 83sin 37cos 7sin 的值为??-?? A.23- B.21- C.2 1 D.23 8、化简 1tan15 1tan15 +-等于 （ ） A B C ．3 D ．1 二、填空题（每题5分，共20分） 9、已知cos α－cos β=2 1，sin α－sin β=3 1，则cos （α－β）=_______． 10、在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，c ＝2，则b ＝ ． 11、在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝3，则C B A c b a sin sin sin ++++＝ ． 12、在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值等于 ． 班别： 姓名： 序号： 得分： 9、 10、 11、 12、 三、解答题 13、（12分）已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形． 14、（14分）已知2 1 )tan(=-βα，7 1tan -=β，求)2tan(βα-的值 第一章 解三角形 一、选择题 1．己知三角形三边之比为 5∶ 7∶8，则最大角与最小角的和为 ( ) ． A ． 90° B ． 120° C ．135° D ． 150° 2．在△ ABC 中，下列等式正确的是 ( ) ． A ． a ∶ b ＝∠ A ∶∠ B C ． a ∶ b ＝sin B ∶ sin A B ．a ∶ b ＝ sin A ∶ sin B D ． asin A ＝ bsin B 3．若三角形的三个内角之比为 1∶ 2∶ 3，则它们所对的边长之比为 ( ) ． A ． 1∶ 2∶3 B ．1∶ 3 ∶ 2 C ． 1∶ 4∶9 D ． 1∶ 2 ∶ 3 4．在△ ABC 中， a ＝ 5 ， b ＝ 15 ，∠ A ＝ 30°，则 c 等于 ( ) ． A ． 2 5 B ． 5 C ．2 5 或 5 D ． 10 或 5 5．已知△ ABC 中，∠ A ＝ 60°， a ＝ 6 ， b ＝ 4，那么满足条件的△ ABC 的形状大小 ( ) ． A ．有一种情形 B ．有两种情形 C ．不可求出 D ．有三种以上情形 6．在△ ABC 中，若 a 2 ＋ b 2－ c 2 ＜ 0，则△ ABC 是( ) ． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不能确定 7．在△ ABC 中，若 b ＝ 3 ， c ＝ 3，∠ B ＝ 30°，则 a ＝( ) ． A ． 3 B ． 2 3 C ． 3 或 2 3 D ． 2 8．在△ ABC 中， a ，b ， c 分别为∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边．如果 a ， b ， c 成等差数列， ∠ B ＝ 30°，△ ABC 的面积为 3 ，那么 b ＝ ( ) ． 2 1 3 B ． 1＋ 3 2 3 D ． 2＋ 3 A ． 2 C ． 2 9．某人朝正东方向走了 x km 后，向左转 150°，然后朝此方向走了 3 km ，结果他离出 发点恰好 3 km ，那么 x 的值是 ( ) ．解三角形试题精选
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