知识点：相似三角形
1、相似三角形
1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；
2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。
如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。相似比为k。
4）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三角形相似的判定定理：
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)
判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这
两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
直角三角形相似判定定理:
○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
补充一：直角三角形中的相似问题：
斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.
射影定理：
CD2=AD·BD，
AC2=AD·AB，
BC2=BD·BA
（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.
补充二：三角形相似的判定定理推论
推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
相似三角形的判定
一、填空题：
1、如图，已知∠ADE=∠B ，则△AED ∽__________
2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于D ，则△ADE ∽_________
3、如图；在∠C=∠B ，则_________ ∽_________,__________ ∽_________
4、Rt △ABC ∽Rt △A ’B ’C ’, ∠C=∠C ’=90°,若AB=3，BC=2，A ’B ’=6, 则B ’C ’=__________, A ’C ’=______________
5、在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∠B=∠B ’, AB =6, BC=8,B ’C ’=4,则当A ’B ’=______时， △ABC ∽△A ’B ’C ’，当A ’B ’=________时，△ABC ∽△C ’ B ’ A ’
6、如图；在△ABC 中，DE 不平行BC,当_____=AE
AB
时，△ABC ∽△AED ，若AB=8，BC=7,AE=5,则DE=___________
7、如图；在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AF=4，EF ⊥AC 交AB 于E ，CD ⊥AB ，垂足D ，若CD=6，EF=3，则ED=________,BC=_________,AB=_______
8、如图；点D 在△ABC 内，连BD 并延长到E ，连AD 、AE ，若∠BAB=20°，AE AC
DE BC AD AB ==， 则∠
9、如图；在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=6，AD=，则BC=____
10、已知；CA ⊥DB ，DE ⊥AB ，AC 、ED 交于F ，BC=3，FC=1，BD=5， 则AC=_______
二、选择题；
11、下列各组图形必相似的是----------------------------------------------------（ ） A 、任意两个等腰三角形 D 、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形 C 、两条边成比例的两个直角三角形 B 、两条边之比为2：3的两个直角三角形 O
A
C A C
A B
E C
D
E
D
D 第8题第7题A
B
A
C
A
B C
D
E D E E F
第10题F
A
C B A D
C E
12、如图；∠AOD=90°，OA=OB=BC=CD ，那么下列结论正确是------（ ） A 、△OAB ∽△OCA B 、△OAB ∽△ODA C 、△BAC ∽△BDA D 、以上结论都不对
13、点P 是△ABC 中AB 边上一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）
截△ABC ，使得的三角形与原三角形相似，满足条件的直线最多有------（ ） A 、2条 B 、3条 C 、4条 D 、5条
14、在直角三角形中，两直角边分别是3、4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比是----------（ ） A 、
1225 B 、12
5 C 、45 D 、35 15、△ABC 中，D 是AB 上的一点，在AC 上取一点E ，使得以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC
相似，则这样的点最多是--------------------------------------------------------（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、无数 16、如图；正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，FC=
4
1
BC 结论正确个数是------（ ） （1）△ABF ∽△AEF （2）△ABF ∽△ECF （3）△ABF ∽△ADE （4）△AEF ∽△ECF （5）△AEF ∽△ADF （6）△ECF ∽△ADE
17、已知；△ABC 中，P 为AB 上一点，下列四个条件中；（1）∠ACP=∠B ；（2）∠APC=∠ACB ；（3）AB AP AC ?=2（4）AB ·CP=A P ·CB ，能满足△APC ∽△ACB 相似的条件是----------------------------------------------------------------------------------------（ ） A 、（1）（2）（4） B 、（1）（3）（4） C 、（2）（3）（4） D 、（1）（2）（3）
18、如图；正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是中点，DE 交AC 于F ，若DE=12，则EF 等于--------------------------------------------（ ） A 、8 B 、6 C 、4 D 、3
三、简答题
19、如图，已知在△ABC 中，AE=AC ，AH ⊥CE ，垂足K ，BH ⊥AH ，垂足H ，AH 交BC 于D 。
求证：△ABH ∽△ACK
A
O
D
第18题
第17题
第16题
o F
A
B
C
A
B
A
B
F
P E
K D A B
E
20、如图；正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，BP=3PC ，Q 是CD 中点， 求证：△ADQ ∽△QCP
21、如图；已知梯形ABCD 中，AD//BC ，∠BAD=90°，对角线BD ⊥DC 。
求证：（1）△ABD ∽△DCB （2）BD 2=AD·BC
22、如图；以DE 为轴，折叠等边△ABC ，顶点A 正好落在BC 边上F 点， 求证；△DBF ∽△FCE
23、△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=108°，D 是BC 上一点，且BD=BA 。 求证；△ABC ∽△DAC A B C
A D
B
C
A B C D E
24、在等边△ABC 中，D 在BC 上，E 在CA 上，BD=CE ，AD 、BE 相交于F 。 求证：（1）△ABD ∽△BFD （2）△AEF ∽△ADC
25、如图，已知AB//EF//CD 。若AB=6厘米，CD=9厘米，求EF
26 的对角线交于O ，OE 交BC 于E ，交AB 的延长线于F ，若AB=a ，BC=b ，BF=c ，求 BE
27、如图；在△ABC 中，∠BAC=120°，AD 平分∠BAC 交BC 于D 求证：AC AB AD 111+= E A
B E O D A
C B A
C