11月26日 每周一测
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆
典例在线
1．若方程22
124
x y m m -=-+表示双曲线，则实数m 的取值范围是
A ．42m -<<
B ．2m ≠且4m ≠-
C ．2m >
D ．4m <-或 2m >
2．下列双曲线中与椭圆22
152x y +=有相同焦点的是
A ．2
214y x -=
B ．2
212
y x -=
C ．2
214
x y -=
D ．2
212
x y -=
3．双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的1
4
，则实数m = A ．
116
B ．
14
C ．4
D ．16
4．已知、分别是椭圆的左、右焦点， 椭圆上不存在点使
为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左、
右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．
1
3
B ．
12
C ．
23
D ．
34
6．如果椭圆22
1369
x y +=的弦被点(4,2)平分，则这条弦所在的直线方程是
A ．20x y -=
B ．280x y +-=
C ．23140x y +-=
D ．240x y +-=
7．已知椭右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线
:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．点M 到直线l 的距离不小于
则椭圆E 的离心率的取值范围是
A
B
C
D 8．设椭圆22
22 1 ()0x y b b
a a +=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点,()P a
b 满足122||||F F PF =，
设直线2PF 与椭圆交于M N 、两点，若||16MN =，则椭圆的方程为
A
B
C
D 9．椭圆的焦点在轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为________________．
10．已知12,F F 分别是双曲线22
11624
x y -=的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且满足
122PF PF =，则1PF =________________．
11．已知焦点在x m 等于_______________．
12．已知
是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆
交于
两点，若
1ABF △是锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是
_______________．
13．设椭圆与直线相交于，两点，若在椭圆上存在点，使得
直线，的斜率之积为，则椭圆的离心率为_______________．
14．如图，已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 、2F 分别作两条
平行直线AB 、CD 交椭圆Γ于点A ，B ，C ，D ． （1）求证：||||AB CD =；
（2）求四边形ABCD 面积的最大值．
15．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，椭圆C 过点(2,，
离心率为
2
． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若M ，N 为椭圆上关于原点对称的两点，且M ，N 异于椭圆C 的顶点，直线AM ，
AN 与y 轴的交点分别为P ，Q ．试探究：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出
定点的坐标；若不是，请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左、右焦点分别为F1，
F2，P为椭圆上一点(在x轴上方)，连接PF1并延长交椭圆于另一点Q，设＝λ．
（1）若点P的坐标为(1，3
2
)，且
2
PQF
△的周长为8，求椭圆C的方程;
（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率
1
[
2
e∈，求实数λ的取值范围．
1．【答案】D
【解析】由题意可得(2)(4)0m m -+>，解得4m <-或2m >，故选D ． 2．【答案】D
【解析】由椭圆的标准方程可得焦点坐标为(
，，即23c =，焦点在x 轴上，排除A 、B ；又选项C 中24153c =+=≠，所以C 不正确，故D 正确．故选D ．
4．【答案】C
【解析】设椭圆的上顶点
为
，∵椭圆上不存在
点
使
为钝角，
即
故选C ．
5．【答案】A
【解析】由题意设直线l 的方程为()(0)y k x a k =+>，分别令x c =-与0x =得
||()FM k a c =-，||OE ka =，由//OE MF ，可得1
||
||2||||
OE OB FM BF =，即2()k a a ka c a c =-+
，整理得
13c a =，所以椭圆C 的离心率1
3
e =．故选A ． 6．【答案】B
【解析】设弦的端点为11()A x y ,，22()B x y ,，代入椭圆方程，得22
11936369x y +=? ①，
2222936369x y +=? ②，①-②得12121212936()()()()0x x x x y y y y +--++= ③．
由中点坐标公式得
1242x x +=，12
22
y y +=，代入③式，得1212367()0)2(x x y y --+=，所以直线AB 的斜率121212y y k x x -=
=--，直线AB 的方程为1
242
()y x -=--，即
280x y +-=．故选B ．
8．【答案】C
【解析】由题意可得12(,0),(,0),F c F c -由212||||PF F F =
得方并整理得2
2
20a ac c --=，
点P
2PF
：
2580x cx -=，解之得0x =
，所以5c =
C ．
9．【答案】
【解析】由条件可知，，所以椭圆的标准方程为．
10．【答案】16
【解析】易知4a =，点P 在双曲线的右支上，所以128PF PF -=，又122PF PF =，所以116PF =． 11．【答案】12
13．【答案】
【解析】椭圆的焦点在轴上，设
，则直线，的斜率分别为，直线
，的斜率之积为，，即，是椭圆上的点，
，两式相减可得，，
椭圆的离心率．
【名师点睛】椭圆中常用结论：若点是椭圆且为常数）
上关于原点对称的两点，点是椭圆上任意一点，设直线的斜率都存在，并分别
记为，那么之积是与点位置无关的定值．
14．【答案】（1）证明见解析；（2）ABCD S
的最大值为
6．
【解析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB l ：1x my =-．
得22(34)690m y my +--=．
设33(,)C x y ，44(,)D x y ，由AB CD ∥，得CD l ：1x my =+．
得22(34)690m y my ++-=．
∴1234()y y y y +=-+，1234y y y y =，∴1234||||y y y y -=-．
，∴||||AB CD
=．
故ABCD S
的最大值为
6，此时0m =．
【名师点睛】若直线y k x
b =+与椭圆相交于两点112
2(,),(,)A x y B x y ，
则
1212,x x x x +（或1212,y y y y +），这实质上是解析几何中的“设而不求”法．
15．【答案】（1）22
184
x y +=；
（2）以PQ 为直径的圆经过定点，定点的坐标为(2,0)或(2,0)-． 【解析】（1）由题意可得
22
421a b +=
，2
c a =，结合222a b c =+可解得28a =，24b =， 故椭圆C 的标准方程为22
184
x y +=．
（2）由（1
）可知，(A -．设点00(,)M x y (不妨设00x >)，则点00(,)N x y --．
设直线:MN y kx =，由2218
4y kx
x y =???+
=??消去y ，可得2
2812x k =+
，所以0x =
，则0y =
所以直线AM
的方程为y x =
+，
因为直线AM 与y 轴交于点P ，令0x =，可
得y =
，故
点
P ．
同理
可得
点
Q ，所
以
|||PQ ==
； 设PQ 的中点为S ，则点S
的坐标为(0,k
， 则以PQ 为直径的圆的方程
为2
2
2(x y ++=，即
224x y y ++
=． 令0y =，可得24x =，即2x =或2x =-．
故以PQ 为直径的圆经过定点，定点的坐标为(2,0)或(2,0)-．
16．【答案】（1）22
143x y +=；（2）[，5]．
（2）方法1：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，所以设P (c ，y 0)，y 0＞0．设Q (x 1，y 1)． 因为P 在椭圆C 上，所以＋
＝1，解得y 0＝，即P (c ，)．
因为F 1(－c ，0)，所以＝(－2c ，－)，＝(x 1＋c ，y 1)．
由＝λ
，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－＝λy 1，解得x 1＝－2λλ+c ，y 1＝－，所以Q (－
c ，
－)．
因为点Q 在椭圆C 上，所以(2λλ+)2e 2＋2
22b a
λ＝1，
即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1，
因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e2＝λ－1，从而λ＝
2
2
31
1
e
e
+
-
＝
2
4
1e
-
－3．
因为
1
[,]
22
e∈
，所以≤e2≤，即≤λ≤5，所以λ的取值范围为[，5]．
设Q(x1，y1)，则x1＋c＝－
2
22
2
4
b c
c b
+
，即－c－x1＝
2
22
2
4
b c
c b
+
．
因为＝λ，所以λ＝
22222
22222 1
243314
3
11
c c b c a e
c x b a c e e
+++
====-
-----
．
因为
1
[,]
22
e∈
，所以≤e2≤，即≤λ≤5，所以实数λ的取值范围为[，5]．