第一章随机事件及其概率
第一节随机现象及其统计规律性
一、随机现象：在自然界及人类社会中广泛存在着这样一类现象：在基本条件不变的情况下，一系列观察或试验会
得到不同的结果。这类现象称为随机现象。为了研究随机现象，必须引入如下两个基本概念：
1．如果一个试验在相同的条件下可以重复进行，但事先不能准确预言它的结果，这个试验就称为一个随机试验。
注：①随机试验的涵义是广泛的，可以指科学试验，也可以指对某一现象的观察。
②随机试验通常简称为“试验”，用E、E1、E2等表示。
2．设E是个随机试验，A表示E的一个既有可能发生又有可能不发生的结果，则A称为E的一个随机事件。
注：①随机事件通常简称为“事件”，用A、B、C、A1、A2、A3等表示。
②“必然事件”与“不可能事件”可理解为两个特殊的随机事件，分别用Ω及Ф表示。
二、随机现象的统计规律性：在大量次观察或试验中，随机现象一定会表现出某种较强的规律性，称为随机现象的
统计规律性。概率论就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。而随机现象的统计规律性最主要地表现为随机事件的频率稳定性，具体说明如下（可通过抛硬币的试验来理解）：
1．什么是随机事件的频率：设E是个随机试验，A是E的某个事件，n表示试验的总次数，n A表示这n次试验中A发生的次数，则n A/n称为这n次试验中A发生的频率，记为f n (A)，即f n (A)=n A/n。
2．什么是随机事件的频率稳定性：当试验的次数n较小时，事件A发生的频率具有较大的不确定性；但随着试验次数n的无限增大，事件A发生的频率将表现出越来越强的稳定性，即f n (A)越来越集中地在某个常数附近摆动。出现这种现象不是偶然的，而是必然的，是由事物的某种本质特性（如硬币的均匀性）所决定的。
第二节事件之间的关系及运算
一、事件可理解为由若干样本点组成的集合：设E是个随机试验，A表示E的一个事件。
1．E的一个基本结果称为E的一个“样本点”；E的所有样本点构成的集合称为E的“样本空间”。
注：①这两个概念又分别称为基本事件与基本空间。②E的样本空间的描述方式往往并不是唯一的。
2．所谓“将事件A表示为集合”，就是“将事件A表示为所有导致A发生的样本点的集合”。因此，随机事件
3．必然事件表示为集合就是样本空间，也就是全集，今后都用同一记号Ω表示；不可能事件表示为集合是空集，今后都用同一记号φ表示。
★基本例题1.1：对下列每一小题，写出E的样本空间Ω，并将有关事件表示为集合。
①E表示“随意掷一粒均匀骰子”，A={点数为奇}，B={点数≥4}，C={点数≤6}，D={点数＞6}。
②E表示“随意掷三枚均匀硬币”，A={恰有一枚正面朝上}，B={至少二枚正面朝上}，C={三枚都正面朝上}。
③袋中装有4只白球和2只黑球，E表示“从袋中先后各取一球”，A={第一次摸出的是黑球}，B={第二次摸出
的是黑球}，C={两次摸出的都是黑球}。（见课本P.8例6）
二、事件之间的关系及运算：见如下表格。主要应理解有关符号在概率论及集合论场合的含义。
此外还应记住如下基本公式：B A B A A A A A A A A =-Ω=Φ=Ω=ΦΦ=Ω=Ω??Φ；；；；；；； 交换律、结合律、分配律、摩根律见课本P.10，皆可推广到多个事件的情形。 ★基本例题1.2：见P.11例7、8。
第三节 概率的直接计算
设E 为一随机试验，A 是E 的一个随机事件，则A 发生的可能性大小用一个介于0和1之间的数来度量，这个数称为A 发生的概率，记为P(A)。由于实际情况千变万化，不可能规定P(A)的统一计算公式，只可能在某些特定场合下，对P(A)规定尽可能合理的计算公式。本节将介绍其中的三个，它们可用来直接计算随机事件的概率。
一、概率的统计定义（也称概率的统计含义）：n n A P A
n ∞→=lim )(。此式从严格的数学意义上来说是不对的，
仅用来帮助理解：（1）这个定义给我们提供了计算概率的一个方法：)()(大n n
n A P A =。实际中的各种百分率（如发芽率，次品率，命中率等）都可视作随机事件的频率，且它们一般都是在n 较大的情形下统计出来的，因此这些百分率都可以理解为概率。（2）若从理论上计算出事件A 发生的概率，这个概率在实际中就可以理解为百分率。
二、概率的古典定义：早期研究的概率模型称为古典概型。若随机试验E 的样本空间Ω是由有限个等可能发生的样本点所组成的，则称E 是个古典概型试验。此时，E 的一个事件A 发生的概率是：
★基本例题1.3：计算基本例题1.1中所有事件发生的概率。本题较简单。但稍微复杂的古典概型问题一般都要用到排列组合的基本知识，并且很多题目对考虑技巧的要求是比较高的。
★基本例题1.4：（1）12件产品中有7件正品与5件次品，现从中任取4件，问：①“恰好取出2件正品”的概率是多少？②“取出的前2件是正品，后2件是次品”的概率是多少？（2）同样是这12件产品，任取4次，每次取后放回，求以上的两个概率。
本题说明：①可以通过“假想编号”及“假想填空”等手段将实际问题转化为抽象的数学问题再加以解决。②要注意搞清有关对象是否可重复选取。③要注意搞清所考虑的问题是否与顺序有关。
★基本例题1.5：⑴证明结论：设有n 个签，其中有k 个好签，现有m 个人来抽签（1≤m ≤n ），每人抽一个，则“第i 个人抽到好签”的概率是k /n （1≤i ≤m ）。⑵10件产品中有8件正品与2件次品，现从中任取3件，每次取后不放回，求“第3次取得正品”的概率。 （很多其它问题与抽签问题完全类似，可直接利用第⑴小题结论）
★基本例题1.6：⑴将n 个人随意地分到N 个房间里（每间房可以分进多人），求“恰有n 间房，每间各有一人”的概率。⑵某班共40个同学，求该班“没有任何两人生日相同”的概率（生日相同指几月几日出生相同）。
★基本例题1.7：见课本P.16例13。由于样本空间的描述方式往往不是唯一的，故常可一题多解，例如本题。
★基本例题1.8：①先后掷10次骰子，求“至少出现1个6点”的概率；②从一副52张扑克牌中任取4张，求其中至少有两张牌的花色相同的概率。 本题说明：若直接计算一个事件发生的概率不太方便，可以考虑先计算它的对立事件发生的概率。
★基本例题1.9：现实生活中也可以经常试着给自己出一些古典概型方面的问题，例如：①安徽省电脑福利彩票“15选5”玩法：购买1注能中一等奖、二等奖的概率分别是多少？②包括中国队在内的10支球队用抽签的方式，随机均分成A 、B 两组各自进行循环赛。中国队希望能同时避开另外两个最强的对手，问这一愿望实现的概率有多大。③10本书随意放在书架上，求其中的3本书放在一起的概率。④从5双不同的鞋子中任取4只，一双鞋子也没有取到的概率是多少？
三、概率的几何定义：如果随机试验E 可以抽象为在点集Ω中随机、等可能地取点，则称E 是一个几何概型试验。此时，“所取之点落入Ω的一个子集A 之中”的概率为：μ(A)/μ(Ω)。这里μ(A)表示点集A 的“测度”，即点集A 的长度、面积或体积。 ★基本例题1.10：⑴向某圆内随意投掷一点，求该点落入圆的某一内接正方形内的概率。⑵某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，求乘客候车时间不超过2分钟的概率。
第四节 概率的基本性质
概率当然需要一个统一定义，但统一定义中不可能规定概率的统一计算公式，只能规定概率应满足的基本性质。这个统一定义就是“概率的公理化定义”，见课本P.12。无论概率的具体计算公式如何给出，它都必须满足定义中的三条基本性质。这三条基本性质是不加证明的，是公理；概率所应满足的其它性质可由这几条公理推出，是定理。不过无论是公理还是定理，从解题的角度来说都是一样重要的。我们将概率的有关性质集中于下：
记忆上述公式可以采用这样的方法：设想在文氏图中，Ω面积为1，P(A)即A 之面积。★基本例题1.11：见课本P.18–19例16、17、18。由课本对例18的解答可见，利用有关公式解决古典概型实际应用题规范的书写步骤是：①明确随机试验E 的内容；②用字母A 、B 、C 等表示有关事件；③将已知条件用概率论的语言表示；④明确所要求的是什么事件发生的概率，写出计算公式；⑤代入已知数据，求得结果。
第二章 条件概率与独立性
第一节 条件概率
一、条件概率的含义及求法：设A 、B 是某一随机试验的两个随机事件。在B 已经发生的前提下，A 发生的概 率记为P(A|B)，称为“在B 发生的前提下，A 发生的条件概率”。与此相对，P(A)是一种“无条件概率”。
★基本例题2.1：10件产品中包括8件正品与2件次品。现从中无放回地任取2件，设A ＝{第1次取得正品}，B ＝{第2次取得正品}，求：)A |P(B A)|P(B P(B)，，。
0。 条件概率的计算方法有两种：①根据条件概率的计算公式来求；②根据条件概率的含义来求（也就是在“缩减的样本空间”中直接求概率）。后者一般比前者要简单一些。
★基本例题2.2：⑴见P.24例1；⑵见P.25例2；⑶见P.39第4题（掷骰子问题）。
二、概率的乘法公式：⑴二个事件的情形：)|()()()|()()(B A P B P AB P A B P A P AB P ==
，或。 ⑵多个事件的情形：)|()|()|()()(121213121321-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A A P 。 概率的乘法公式适合于计算若干个事件同时发生的概率。 ★基本例题2.3：（1）见P.25例3；（2）将分别写有M 、A 、X 、A 、M 的五张卡片随机排成一行，正好排成MAXAM 的概率是多少？（3）袋中装有4只黑球及1只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，问第5次摸球时摸到黑球的概率是多少？
“完备事件组”的定义：见P.26。简而言之，设B 1，B 2，…B n 是E 的n 个事件，若在一次试验中，E 的这n 个事件必然会有一个发生，但又不可能有任何二个同时发生，就称这n 个事件是E 的一个完备事件组。
三、全概率公式与贝叶斯公式：设B 1，B 2，…B n 是E 的一个完备事件组，A 是E 的一个事件，则：
（1）)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++= （此为全概率公式）；
（2）)
()|()()()()|(A P B A P B P A P A B P A B P i i i i ==（其中i =1，2，… n ；此为贝叶斯公式）。 在以上的讨论中我们假定B 1，B 2，…B n 的概率均大于0。全概率公式与贝叶斯公式在实际中有着广泛的应用。如果我们发现某一事件A 的发生总是伴随着一组完备事件之一发生，那就很可能要用到这两个公式。使用时，关键要明确E 、A 、B 、B 、…、B 的实际含义。
第二节 独立性
一、 两个事件相互独立：设E 是个随机试验，A 、B 都是E 的事件，则：
1 ★基本例题2.5：见P.32例12。
2．结论：②见P.32推论2；①若P(A)与P(B)都不是0与1，则以下四个式子都与P(AB)＝P(A)P(B)等价：
)A |P(B P(B)A)|P(B P(B))B |P(A P(A)B)|P(A P(A)=?=?=?=
3．解决实际问题的思路：由结论①可知：“A 与B 相互独立”意思就是“A 与B 中任何一个事件发生的概率都不受另一事件是否发生而影响”。在解决实际问题时，通常是先根据这个含义，从直观上判断出两个事件应是相互独立的，再根据上述定义及结论来解题。
★基本例题2.6：见P.33例13。如果问的是“仅有一人击中目标”的概率呢？
二、 多个事件相互独立：设E 是个随机试验，A 、B 、C 、A 1、A 2、…、A n 都是E 的事件，则：
1．定义：①A 、B 、C 相互独立?P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)，P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)。 ②A 1、A 2、…A n 相互独立?A 1、A 2、…A n 中任意k 个事件同时发生的概率总等于这k 个事件概率的乘积
（2≤k ≤n ）。注意：多个事件“相互独立”必“两两相互独立”，但反之不一定。
2．结论：①A 1、A 2、…A n 相互独立?B 1、B 2、…B n 相互独立（B i 是A i 或A i ， i =1，2，…n ）。
②若A 1、A 2、…A n 相互独立，且这n 个事件发生的概率都是p ，则：P （A 1∪A 2∪…∪A n ）= 1–(1–p)n
。
3．解决实际问题的思路：同两个事件的情形类似，“n 个事件相互独立”意思就是“这n 个事件中的任意一个发生的概率都不受其它一个或多个事件是否发生而影响”。解决实际问题时，通常是先根据这个含义，从直观上判断出n 个事件应是相互独立的，再根据上述定义及结论来解题。
★基本例题2.7：⑴P.25例3（改为“放回抽样”）。⑵P.34例14（可利用上述结论②）。⑶P.34例15。
三、随机试验的独立性：
1．有关概念：①设E 1、E 2、…E n 是n 个随机试验，A 1是E 1的任一事件，A 2是E 2的任一事件，…A n 是E n 的任一事件。若A 1、A 2、…A n 总是相互独立的，就称这n 个试验是相互独立的，意思就是这n 个试验互不影响。 例如：“抛一枚硬币”、“掷一粒骰子”、“进行一次射击”这几个随机试验是相互独立的。
②若n 个随机试验相互独立，且内容完全相同，就称这n 次试验是“n 次独立重复试验”，意思就是将同样一个随机试验独立地、重复地做n 次。比如：“抛掷n 枚硬币”、“进行n 次射击”、“进行n 次有放回抽样”、“某种电脑型彩票先后n 次开奖”等都可视为“n 次独立重复试验”。也称“n 重伯努利试验”。
2．重要结论：设E 是个随机试验，A 是E 的一个事件，P(A)＝p ＞0。
①若将E 独立地、重复地做n 次，则在这n 次独立重复试验中，A 恰好发生k 次的概率是：k n k k n q p C -
（其中p q -=1）。 （课堂上仅就n=4、k=2的情形证明）（实际应用在下章学了二项分布之后再谈） ②即使p 很小，只要将E 独立、重复地一直做下去，A 迟早是要发生的。即：小概率事件迟早要发生。
第一节 随机变量及其分布函数
一、随机变量的概念：设E 是个随机试验，X 是个变量。如果X 取一个值代表E 的一个具体结果，X 取不同值代表E 的不同结果，则称X 为随机试验E 的一个随机变量。简言之，随机变量是用来表示随机试验结果的变量。今后，随机变量一般用大写字母X ，Y ，Z 等表示。
几点说明：①不论随机试验的结果是否与数字有关，其结果都可以用随机变量来表示。②与普通变量不同的是，随机变量的取值有个“可能性大小”的问题。③引入随机变量之后，随机事件就可以用关于随机变量的某数学表达式来表示。④随机变量可以分为两大类：离散型，连续型。前者只能取一些彼此孤立的点；后者可取之值连成数轴上的区间。⑤研究随机变量，主要是要研究其“分布”，也就是要弄清：第一，它能取哪些值；第二，它取不同值的可能性大小如何。如果将随机变量X 视为数轴上的一个随机点，研究其分布，也就是要弄清：第一，X 可能落在数轴上的哪些地方；第二，X 落在数轴上不同地方的可能性大小如何。事实上，只要P{X ∈I}（I 为任一区间）总可计算，则X 的分布状况就完全搞清了。
第一章随机事件和概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的
线性代数与概率论课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 课程名称：线性代数与概率论 所属专业：材料物理与材料化学 课程属性：必修 学分：4 （二）课程简介、目标与任务； 本课程将对线性代数和概率论里的一些常见概念和基础知识进行讲解。线性代数里所涉及到的对向量和矩阵的分析和操作，在科学研究和工程技术中均有着广泛的应用。从向量和矩阵中抽象出来的线性空间和线性变换的概念，将为学生以后更深入的学习和实践提供必要的背景和知识准备。概率论是统计方向的理论基础，对于将来实际工作中的数据分析和处理有着指导性作用。这门72学时的课把线性代数和概率论放在一起讲实际上强度是比较大的。 线性代数部分先从行列式讲起，接着介绍关于向量组和矩阵的一些基本概念和运算。有了这些知识储备后，在第三章对于线性方程组问题给出了一个完整的解答。第四章对向量和矩阵的数学抽象引入了线性空间与线性变换，并对空间的代数结构和变换性质作了讨论。最后两章是关于矩阵的比较实用部分，包括特征值与特征向量，矩阵对角化与二次型。概率论部分先定义了样本空间与随机事件，接着引入概率的概念，列举了一些计算简单概率的方法和例子。随后对随机事件的量化导致了随机变量的引入。从第四章到第七章均是关于随机变量和随机变量函数的内容，我们讨论了一些常见分布及其数字特征，包括期望值，方差和关联函数（协方差）等。对于独立的随机变量序列，我们运用切比雪夫不等式证明了大数律，最后介绍了中心极限定理。 希望学生通过本课程的学习，能够熟悉线性代数里的一些基本概念和思考问题的方法，培养数学抽象思维的能力，理解和熟练掌握向量和矩阵的一些性质和相关运算，对于随机过程和随机变量亦有一个初步的具体认识。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 所需要的先修知识储备为基本的微积分，代数方程和一些矢量分析。线性代数的知识，包括向量，矩阵和二次型，在以后的学习中都会用到。线性空间和线性变换的概念在后继的理论课例如量子力学和群论的学习中将扮演重要角色。概率论是后继数理统计
概率与统计课程教学大纲 总学时：72 学分：4.5 一、课程性质、任务和目的 概率统计是大学专科小学教育专业数学专业必修的专业课程。概率论是研究随机现象中数量规律的一门基础数学，数理统计则是应用概率论知识去认识世界的一种重要的数学理论和方法。它是研究如何有效地对带有随机性质的数据进行搜集、分析和推断的一门应用数学。概率论与数理统计已经被广泛地应用于工农业生产、国民经济及几乎一切科学技术领域，随着社会的进步与发展，概率论与数理统计已经渗透到社会科学与人们的日常生活中去成为人们从事生产劳动、科学研究和社会活动的一个基本工具。因此，在大学专科小学教育数学专业开设本课程是十分必要的，也是可能的。通过学习，应达到下面的教学目标：（１）提高学生的数学修养：作为一名小学数学教师，除了应该具备必然系统数量规律的知识之外，还应该懂得随机系统中的基本的数量规律，并初步学会用概率思想去思考随机系统中的数量关系与问题；（2）培养学生处理随机数据的能力；（３）胜任小学数学中有关概率统计的教学。 二、课程基本内容和要求 1.事件与概率 教学内容 随机试验，随机事件，基本事件，样本空间，概率的统计定义及性质，事件的关系及运算，古典概型，*几何概型，*概率的公理化，条件概率，事件的独立性，伯努利概型。 教学要求 (1)理解“事件”、“概率”这两个贯串全书的基本概念； (2)掌握事件的关系与运算； (3)理解样本空间与事件的实际意义； (4)掌握频率及其性质、古典概型与*几何概型等较简单的随机数学模型； (5)*理解概率的公理化定义； (6)熟练掌握概率的基本性质、条件概率和独立性，并能运用概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式以及n?重贝努里概型等熟练地进行事件的概率计算。 重点与难点：事件与概率； 2.随机变量及其分布 教学内容 随机变量与分布函数，离散型随机变量，连续型随机变量，*随机变量函数的分布。 教学要求 (1)能用随机变量来描述事件，使概率论从研究定性的事件及仅以组合分析工具为主的概率计算在理论上和方法上得到拓展； (2)深刻理解随机变量及其分布函数； (3)掌握离散型随机变量、连续性随机变量、随机变量的分布函数、*随机变量函数的分布； (4)了解定量地研究离散型与连续型随机变量及其概率分布的基本理论和方法； (5)了解常用分布的现实背景及其数学模型。
概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。
第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计
数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。 参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》 总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。 学分：3学分。 说明： 1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。 2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时)： 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、
专题二 概率统计（文科） （一）统计 【背一背基础知识】 一．抽样方法 抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围． 二．用样本估计总体 1.频率分布直方图：画一个只有横、纵轴正方向的直角坐标系，把横轴分成若干段，每一段对应一个组的组距，然后以此段为底作一矩形，它的高等于该组的 频率 组距 ，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组上的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图.在频率分布直方图中，每个小矩形的面积等于相应数据的频率，各小矩形的面积之和等于 1； 2.茎叶图：茎叶图是一种将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图.在茎叶图中，“茎”表示数的高位部分，“叶”表示数的低位部分. 3.样本的数字特征： （1）众数：一组数据中，出现次数最多的数据就是这组数据的众数（一组数据中的众数可能只有一个，也可能有多个）.在频率分布直方图中，最高的矩形的中点的横坐标即为该组数据的众数； （2）中位数：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.在频率分布直方图中，中位数a 对应的直线x a =的左右两边的矩形面积之和均为0.5，可以根据这个特点求频率分布直方图中的中位数； （3）平均数：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则()121 n x x x x n = +++L 叫做这n 个数的算数平均数.在频率分布直方图中，它等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和； （4）方差：设n 个数分别为1x 、2x 、L 、n x ，则 ()()() 2222 121n s x x x x x x n ? ?=-+-++-????L 叫做这n 个数的方差，方差衡量样本的稳定
《概率论》课程教学大纲 一、课程基本信息 二、课程教学目标 概率论是研究随机现象客观规律并付诸应用的数学学科，是本科各专业的一门重要基础理论课。该课程的教学目标是通过本课程的学习，使学生初步掌握处理随机现象的基础理论和基本方法，训练学生严密的科学思维及分析问题、解决问题的能力，为学生学习后续课打下良好的基础。具体目标如下： 1 学生获得概率论与数理统计的基本知识和基本运算技能； 2 学生在运用数学方法分析和解决问题的能力方面得到进一步的培养和训练； 3 为学习有关专业课程和扩大数学知识提供必要的数学基础。 三、教学学时分配 《概率论》课程理论教学学时分配表
四、教学内容和教学要求 第一章概率论的基本概念（12学时） （一）教学要求 1．理解随机事件及样本空间的概念，掌握随机事件间的关系及运算。 2．了解概率的统计定义及公理化定义。掌握概率的基本性质，会应用这些性质进行概率计算。 3．理解古典概率的定义，会计算古典概率。 4．理解条件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式。会用这些公式进行概率计算。 5．理解事件的独立性概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。 （二）教学重点与难点 教学重点：掌握古典概型中某事件发生的概率计算方法、条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式。 教学难点：全概率公式、贝叶斯公式及应用。 （三）教学内容 第一节随机试验、样本空间、随机事件（拟用MOOC） 1．确定性现象和随机现象的概念，随机试验的概念和特点。
2．样本空间、样本点、随机事件等概念。 3. 事件间的关系及运算。 第二节频率与概率（拟用MOOC） 1．频率的定义、基本性质及计算。 2．概率的公理化定义及概率的性质。 第三节古典概型（拟用MOOC） 1．等可能概型（古典概型）的定义，放回抽样和不放回抽样的概念。 2．等可能概型中事件概率的计算公式及其应用。 第四节条件概率（拟用MOOC） 1．条件概率的定义、性质及其计算。 2．乘法原理及其在计算概率中的应用。 3. 全概率公式和贝叶斯公式及其应用。 第五节独立性（拟用MOOC） 1．事件相互独立的定义、性质及在实际中的应用计算。 本章习题要点： 1. 求随机试验的样本空间。 2. 求古典概型中某事件发生的概率。 3. 利用乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式求概率。 4. 利用事件的独立性求概率。 第二章随机变量及其分布（8学时） （一）教学要求 1. 理解随机变量及其分布函数的概念，掌握分布函数的性质，计算与随机变量有关的概率。 2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、泊松(Poisson)分布及其应用。 3. 理解连续型随机变量及其概率密度概念，掌握概率密度与分布函数之间的关系；掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用。 4. 掌握求离散型随机变量的函数的概率分布；掌握求连续型随机变量的函数的概率密度和分布函数。 （二）教学重点与难点
概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 2、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数：112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积：f S y d ==?距；频率=频数/总数 2、频率之和：121n f f f ++???+=；同时 121n S S S ++???+=； 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 2、平均数： 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中：1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- 1、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关；?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。 五、回归分析 1、残差：??i i i e y y =-（残差=真实值—预报值）。分析：?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑， 分析：①意义：越小越好； ②计算：222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ 3、拟合度（相关指数）：221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑，分析：①.(]20,1R ∈的常数； ②.越大拟合度越高； 4、相关系数 ：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①.[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈；相关性很弱； (0.25,0.75)r ∈；相关性一般； [0.75,1]r ∈；相关性很强； 六、独立性检验 1、2×2列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ ②．犯错误上界P 对照表 3、独立性检验步骤
概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第二章 随机变量及其分布 教学要求： 一、理解随机变量的概念；理解离散型随机变量及其分布律的定义，理解分布律的性质；掌 握(0-1)分布、二项分布、Poisson 分布的概念、性质；会计算随机变量的分布律. 二、理解分布函数的概念及其性质；理解连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质， 并熟练掌握有关的计算；会由分布律计算分布函数,会由分布函数计算密度函数,由密度函数计算分布函数. 三、掌握均匀分布、正态分布和指数分布的概念、性质. 一、掌握一维随机变量函数的分布． 重点:二项分布、正态分布，随机变量的概率分布． 难点:正态分布，随机变量函数的分布． 练习一 随机变量、离散型随机变量及其分布律 1．填空、选择 (1)抛一枚质地均匀的硬币，设随机变量?? ?=，，出现正面 ，，出现反面H T X 10 则随机变量X 在区间 ]22 1 ，（上取值的概率为21. (2)一射击运动员对同一目标独立地进行4次射击,以X 表示命中的次数,如果 {}81 80 1= ≥X P ,则{}==1X P 8. (3)设离散型随机变量X 的概率分布为{},,2,1, ===i cp i X P i 其中0>c 是常数， 则（ B ） （A ）11-=c p ； （B ）1 1 +=c p ； （C ）1+=c p ； （D ）0>p 为任意常数 2．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球,以X 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律. 解：从1～5中随机取3个共有103 5=C 种取法. 以X 表示3个中的最大值.X 的所有可能取值为;5,4,3 {}3=X 表示取出的3个数以3为最大值,其余两个数是1,2,仅有这一种情况,则
《概率论与数理统计》教学大纲 课程编号：SC2113010 课程名称：概率论与数理统计英文名称：Probability and Statistics 学时：46 学分：3 课程类型：必修课程性质：公共基础课 先修课程：高等数学、线性代数开课学期：第3学期 适用专业：工、理（物理，化学）、经管类各专业 开课院系：全校各院系（人文学院及数学系除外） 一、课程的教学目标 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性及对这种客观规律性的观察组织和科学估计与判断的一门数学分支学科。由于该学科理论严谨，应用广泛，因而已成为现代工程技术与社会经济管理人员必须掌握的一种技术工具及我校理、工、经、管各专业的公共基础课。通过本课程的学习，要使学生掌握概率统计的基本概念，必要的基础理论，分析思想和常用的计算方法，从而为后继课程的学习和今后从事相关科研活动奠定基础。 二、课程的需求与任务 本课程的需求与任务为：（a）为理、工、经、管各专业的后继专业基础课和专业课（如随机过程、随机运筹学、统计信号处理、随机信号分析、统计模式识别、雷达系统仿真与性能评估、统计物理、计量经济学等）提供概念、理论基础和应用方法支持；（b）为今后从事的各种随机动态系统（如通信系统、雷达系统、计算机控制系统等）的规划论证、系统分析、设计、仿真、决策与控制研究提供数学思想和数学方法支持。 三、课程内容及基本要求 （一）概率论的基本概念（6学时） 内容：随机试验、样本空间与随机事件；频率与概率；古典概型与几何概型；条件概率与独立性。
基本要求： （1）理解样本空间，随机事件的概念，掌握事件的关系与运算。能熟练运用事件的和，积，差运算表示未知的事件。 （2）了解概率的公理化体系及概率论的发展历史，掌握概率的基本性质。熟练掌握概率的加法公式。会计算古典概型和几何概型问题的概率。 （3）了解条件概率的概念，熟练掌握概率的乘法公式、全概率公式和Bayes 公式。 （4）了解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算。 （二）随机变量及其分布（6学时） 内容：随机变量；离散型随机变量的概率分布；随机变量的分布函数；连续型随机变量的概率密度函数；随机变量的函数的分布。 基本要求： （1）理解随机变量概念，离散随机变量及其分布列的概念，理解独立重复试验的概念。掌握计算有关事件概率的方法。掌握0—1分布、Poisson分布、二项分布及其应用问题的求解方法。 （2）了解分布函数的概念，理解连续型随机变量及其概率密度的概念。掌握概率密度与分布函数的关系，分布函数与密度函数的性质，掌握均匀分布、指数分布、正态分布及其应用。 （3）了解β分布、γ分布、Weibull分布及其参数的几何特性。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）多维随机变量及其分布（8学时） 内容：二维随机变量；边缘分布；条件分布；相互独立的随机变量；两个随机变量的函数的分布。 基本要求： （1）了解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数的概念及性质、理解二维离散型随机变量的联合分布律及性质，二维连续型随机变量的联合密度函数及性质，会利用二维概率分布求有关事件的概率。 （2）了解边缘分布，条件分布。理解边缘密度，条件密度。会求二维离散型随机变量的边缘分布列及边缘分布函数。会求二维连续型随机变量的边缘密度函数与边缘分布函数。 （3）理解随机变量独立性的概念，掌握离散型和连续型随机变量独立性的条件。
《概率统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 1、课程名称（中/英文）概率统计/Probability and Statistic 2、课程性质：专业必修 3、周学时/学分：3/3 4、授课对象：地理信息系统专业、资源环境与城乡规划专业 5、使用教材：沈恒范．概率论与数理统计教程（第四版）．北京：高等教育出版社，2003年4月（国家级规划教材） 二、课程简介 概率论与数理统计是从数量侧面研究随机现象客观规律并付诸应用的数学学科，其理论与方法已广泛应用于工业、农业、军事和科学技术中。该课程是高等学校的一门重要的数学基础课，也是考研数学的重要组成部份。本课程有七章内容，第一章至第四章为概率论内容，第五章至第七章为数理统计，着重介绍概率论和统计分析与预测方法的基础理论。在教学中，教材上所给习题中一部份作为课堂例题讲解，其余在每次课后布置给学生完成。 三、教学目的与基本要求 概率统计方法是科学技术及各个社会人文领域中卓有成效地处理问题、解决问题的方法。通过教学，让学生知晓概率统计分析方法的基本特点、规律与原则，牢固掌握概率统计分析方法的基本概念和基本理论，从而树立“应用数学手段分 1 析和研究随机现象”的科学思想，培养解决实际问题的能力。 本教学针对概率论与数理统计概念难懂、方法难于掌握、思维难于展开、问题难于入手和习题难做的特点，采取以章节为序的方法，每一节先对概念、内容进行梳理、归纳、提炼，然后对内容、方法中问题进行讨论，针对疑难问题进行典型例题分析，边演绎、边讨论、边总结，学生每堂课后配合做一些相应的习题，最终达到消化、理解和掌握的目的。教学方法以课堂授课为主。
四、主要教学方法 充分利用教材，以课堂授课为主。在教学中，教材上所给习题中一部份作为课堂例题讲解，其余在每次课后布置给学生完成。教学中还补充教科书以外的例题进行讲解，从而拓宽学生视野。作业每周交一次。 五、教学进度表 章次题目教学时数 10第一章学时随机事件及其概率学时12第二章随机变量及其分布学时第三章8 随机变量的数字特征 学时正态分布5 第四章学时5 第五章数理统计的基本知识 学时参数估计第六章7 学时假设检验5 第七章2 学时总复习 学时总计54 2 六、考核方式和成绩评定方法 1、考核方式：闭卷考 2、成绩评定方法：平时、期中、期末成绩分别为10、20、70（平时成绩由作业成绩、课堂讨论成绩等构成） 七、正文 第一章随机事件及其概率（10学时） 教学目的：通过学习本章内容，理解随机事件、样本空间等基本概念，掌握事件之间的关系和运算；掌握频率与概率的相互联系；在古典问题的学习中，掌握摸球问题、质点入盒问题、随机取数问题等与之有联系的相应问题；掌握概率的加法、乘法及全概率公式的计算问题；
第一章
n Pm ?
随机事件和概率
（1）排列 组合公式
n Cm ?
m! (m ? n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 n!(m ? n)!
（2）加法 和乘法原 理
加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m×n 某件事由两个步骤来完成， 第一个步骤可由 m 种方法完成， 第二个步骤可由 n 种 方法来完成，则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但 在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如 下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 ? 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 ? 表示。 一个事件就是由 ? 中的部分点（基本事件 ? ）组成的集合。通常用大写字母 A， B，C，…表示事件，它们是 ? 的子集。 ? 为必然事件，? 为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分， （A 发生必有事件 B 发生） ：
（3）一些 常见排列 （4）随机 试验和随 机事件
（5）基本 事件、样本 空间和事 件
（6）事件 的关系与 运算
A? B
如果同时有 A ? B ， B ? A ，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件：A ? B，或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为 A 与 B 的差，记为 A-B，也可表 示为 A-AB 或者 A B ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
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概率论与数理统计 教学大纲 2018年6月
《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程名称：概率论与数理统计 英文名称：Theory of probability and mathematical statistics 课程类型：公共课、学科基础课 学时：64 学分：4 适用对象：四年制本科财经、管理类本科各专业 考核方式：考试 先修课程：微积分、线性代数 二、课程简介 中文简介： 概率统计在微积分和线性代数的基础上，进一步提高分析问题的能力，培养逻辑严密思考的方法。本课程对学习专业理论课是必需的，对数学后继课程：运筹学、经济计量学等都是重要的。对实际工作中进行经济数量分析都是必不可少的。 本大纲力图体现财经、管理类专业教学改革的需要，既注重学科的系统性、完整性和科学性，又带有教学上的灵活性和适用性，既考虑内容的选取要适合财经、管理类专业的需要，又避免引入过多的经济概念使教与学都感到困难。 本大纲将基本要求分为由低到高的三个等级，即对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、“理解”三级区分，对运算、方法和技巧方面的知识，由低到高分别用“会或能”、“掌握”、“熟练掌握”三级区分。 英文简介： Theory of probability and mathematical statistics is the important lesson such as differential and integral; linear algebra. The lesson can help to raise the ability of the students’ analysis, train their ability of the logical thinking. The lesson is necessary for professional academic lessons. The lesson is important for succeed lessons such as the
概率论与数理统计课程教学大纲（48学时） 撰写人：陈贤伟编写日期：2019 年8月 一、课程基本信息 1.课程名称：概率论与数理统计 2.课程代码： 3.学分/学时：3/48 4.开课学期：4 5.授课对象：本科生 6.课程类别：必修课 / 通识教育课 7.适用专业：软件技术 8.先修课程/后续课程：高等数学、线性代数/各专业课程 9.开课单位：公共基础课教学部 10.课程负责人： 11.审核人： 二、课程简介（包含课程性质、目的、任务和内容） 概率论与数理统计是描述“随机现象”并研究其数量规律的一门数学学科。通过本课程的教学，使学生掌握概率的定义和计算，能用随机变量概率分布及数字特征研究“随机现象”的规律，了解数理统计的基本理论与思想，并掌握常用的包括点估计、区间估计和假设检验等基本统计推断方法。该课程的系统学习，可以培养学生提高认识问题、研究问题与处理相关实际问题的能力，并为学习后继课程打下一定的基础。 本课程主要介绍随机事件及其概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律与中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验等。 体现在能基于随机数学及统计推断的基本理论和方法对实验现象和数据进行分析、解释，并能对工程领域内涉及到的复杂工程问题进行数学建模和分析，且通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力。 三、教学内容、基本要求及学时分配 1．随机事件及其概率（8学时） 理解随机事件的概念；了解样本空间的概念；掌握事件之间的关系和运算。理解概率的定义；掌握概率的基本性质，并能应用这些性质进行概率计算。理解条件概率的概念；掌握概率的加法公式、乘法公式；了解全概率公式、贝叶斯公式；理解事件的独立性概念。掌握应用事件独立性进行简单概率计算。理解伯努利试验；掌握二项分布的应用和计算。 2.随机变量及其分布（6学时） 理解随机变量的概念，理解随机变量分布函数的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质；掌握应用概率分布计算简单事件概率的方法，掌握二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布和应用，掌握求简单随机变量函数的概率分布的方法。 3．多维随机变量及其分布（7学时）
《概率论与数理统计》课程教学大纲 （2002年制定 2004年修订） 课程编号： 英文名：Probability Theory and Mathematical Statistics 课程类别：学科基础课 前置课：高等数学 后置课：计量经济学、抽样调查、试验设计、贝叶斯统计、非参数估计、统计分析软件、时间序列分析、统计预测与决策、多元统计分析、风险理论 学分：5学分 课时：85课时 修读对象：统计学专业学生 主讲教师：杨益民等 选定教材：盛骤等，概率论与数理统计，北京：高等教育出版社，2001年（第三版） 课程概述： 本课程是统计学专业的学科基础课，是研究随机现象统计规律性的一门数学课程，其理论及方法与数学其它分支、相互交叉、渗透，已经成为许多自然科学学科、社会与经济科学学科、管理学科重要的理论工具。由于其具有很强的应用性，特别是随着统计应用软件的普及和完善，使其应用面几乎涵盖了自然科学和社会科学的所有领域。本课程是统计专业学生打开统计之门的一把金钥匙，也是经济类各专业研究生招生考试的重要专业基础课。本课程由概率论与数理统计两部分组成。概率论部分侧重于理论探讨，介绍概率论的基本概念，建立一系列定理和公式，寻求解决统计和随机过程问题的方法。其中包括随机事件和概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理等内容；数理统计部分则是以概率论作为理论基础，研究如何对试验结果进行统计推断。包括数理统计的基本概念、参数统计、假设检验、非参数检验、方差分析和回归分析等。 教学目的： 通过本课程的学习，要求能够理解随机事件、样本空间与随机变量的基本概念，掌握概率的运算公式，常见的各种随机变量（如0－1分布、二项分布、泊松（Poisson）分布、均匀分布、正态分布、指数分布等）的表述、性质、数字特征及其应用，一维随机变量函数的分布、二维随机变量的和分布、顺序统计量的分布。理解数学期望、方差、协方差与相关系数的本质涵义，掌握数学期望、方差、协方差与相关系数的性质，熟练运用各种计算公式。了解大数定律和中心极限定量的内容及应用，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，能用所掌握的方法具体解决所遇到的各种社会经济问题，为学生进一步学习统计专业课打下坚实的基础。 教学方法： 本课程具有很强的应用性，在教学过程中要注意理论联系实际，从实际问题出发，通过抽象、概括，引出新的概念。由于本课程是研究随机现象的科学，学生之前从未接触过，学习起来会感到难度较大，授课时应突出重点，讲清难点。要使学生明白，本课程主要研究哪些方面的问题，从何角度、用何原理和方法进行研究的，是怎样研究的，得到哪些结论，如何用这些方法和结论处理今后遇到的社会经济问题。在教育中要坚持以人为本，全面体现学生的主体地位，教师应充分发挥引导作用，注意随时根据学生的理解状况调整教学进度。授课要体现两方面的作用：一是为学生自学准备必要的理论知识和方法，二是激发学生学习兴趣，引导学生自学。在教学中要体现计算机辅助
知识点总结：统计与概率 I 统计 1．三大抽样 (1)基本定义： ① 总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体． ② 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体． ③ 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本． ④ 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量． (2)抽样方法： ①简单随机抽样：逐个不放回、等可能性、有限性。=======★适用于总体较少★ 抽签法：整体编号（ 1~N ）放入不透明的容器中搅拌均匀逐个抽取n 次，即可得样本容量为 n 的样本。 随机数表法：整体编号（等位数，如001、111不能是1、111） 从0~9中随机取一行一列然后初方向随机 （上、下、左、右）重复，超过范围则忽略不计直至取得以n 为样本容量的样本。 ②系统抽样：容量大．等距，等可能。=======★适用于总体多★ 用随机方法编号，若N 无法被整除，则剔除后再分组，n N k 。再用简单随机抽样法来抽取一个个体，设为l ，则编号为l ，k+l ，2k+l ……（n-1）k ，抽出容量为n 的样本。（每组编号相同）。 ③分层抽样：总体差异明显．按所占比例抽取．等可能．=======★适用于由差异明显的几部分构成的总体★ 总体有几个差异明显的部分构成，经总体分成几个部分，然后按照所占比例进行抽样．抽样比为：k ＝n N 3．总体分布的估计： (1)一表二图： ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 ★注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 (2)茎叶图： ①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数．众位数等。 ②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。
[高等教育]概率统计教学大纲
教学内容： 第一章事件与概率（8学时） 1．随机事件与样本空间 2．事件的概率 3．概率的运算法则 4．独立试验序列概型 基本要求： 理解随机事件的概念；掌握事件间的关系及运算。理解概率与条件概率的概念；掌握概率的加法公式，乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式，并能在实际问题中加以应用。理解事件独立性和独立重复试验的概念；掌握伯努利概型和二项公式的应用方法。 重点：
掌握事件概率的计算与应用。 难点： 全概率公式和贝叶斯公式的应用。 第二章随机变量及其分布（8学时） 1．随机变量与分布函数 2．离散型随机变量及其分布 3．连续型随机变量及其分布 4．随机变量函数的分布 基本要求： 理解随机变量及其概率分布的概念；理解分布函
数的概念；会计算与随机变量有关的事件的概率。理解离散型随机变量分布律和连续型随机变量概率密度的概念；掌握概率密度与分布函数的关系；掌握离散型的0-1分布，二项分布，泊松分布及相互关系，连续型的均匀分布，正态分布和指数分布，并能进行应用。理解一维随机变量函数的概率分布。 重点： 掌握一维随机变量概率分布的有关计算。 难点： 一维随机变量函数的概率分布的计算。 第三章多维随机变量及其分布（8学时） 1．二维随机变量及其分布函数
2．边际分布 3．*条件分布与独立性 4．二维随机变量函数的分布 基本要求： 理解二维随机变量联合分布与边缘分布的概念；会计算离散型的联合分布律和边缘分布律以及连续型的联合概率密度和边缘密度。理解随机变量独立性的概念；掌握离散型和连续型随机变量独立的条件。会求简单的随机变量函数的概率分布。 重点： 掌握二维随机变量概率分布的有关计算。 难点： 二维随机变量函数的概率分布的计算。
山西财经大学 《概率论与数理统计》 教学大纲 山西财经大学应用数学系 概率论与数理统计教研室 2013/9/2
目录 一、前言 (1) 1．课程性质 (1) 2．教学目的 (1) 3．使用对象 (1) 4．基本教学要求 (1) 5．要求先修课程 (2) 二、教学内容 (2) 第1章概率论的基本概念 (3) 第2章随机变量及其分布 (5) 第3章二维随机变量及其分量 (8) 第4章随机变量的数字特征 (11) 第5章大数定律与中心极限定理 (15) 第6章样本与与抽样分布 (17) 第7章参数估计 (19) 第8章假设检验 (20) 三、课程教材及教学参考资料 (22) 四、学时分配建议表 (22)
山西财经大学 《概率论与数理统计》教学大纲 英文名称：probability theory & mathematical statistics 课程代码： 一、前言 为适应中国特色市场经济建设和当今科学技术发展对培养高素质宽口径的新型复合型人才的需要，规范我校《概率论与数理统计》课程的教学工作，特制定本大纲。 1．课程的性质 《概率论与数理统计》是研究随机现象数量规律的数学分支，是我校经济学、管理学、理学、工学、文学本科各专业（政治经济学、统计学、数学与应用数学三个专业除外）学生必修的一门重要的基础课，是培养学生认识数学、理解数学以及运用数学知识解决实际问题（如经济问题）的基本环节之一。 2．教学目的 （1）使学生掌握概率论与数理统计的基本概念、基本理论、基本方法和简单应用。 （2）学习处理随机现象的基本思想和基本方法，培养学生用这些思想和方法解决实际问题（如经济问题）的能力。 （3）为相关的后续课程提供必要的基础。 3．使用对象 本大纲使用对象为我校经济学、管理学、理学、工学、文学本科各专业（政治经济学、统计学、数学与应用数学三个专业除外）的全日制本科生。 4．基本教学要求 （1）对基础的要求： 学习本课程之前，要求学生具备排列组合、一元函数微积分学、多元函数