直线和圆锥曲线经常考查的一些题型
直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．
直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。
解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： （1）直线的斜率不存在，直线的斜率存， （2）联立直线和曲线的方程组； （3）讨论类一元二次方程 （4）一元二次方程的判别式 （5）韦达定理，同类坐标变换 （6）同点纵横坐标变换
（7）x,y ，k(斜率)的取值范围
（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等
运用的知识：
1、中点坐标公式：12
12
,y 2
2
x x y y x ++==
，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中
点坐标。
2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，
则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
AB ==
=
=
或者AB =
=
=
=
3、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =
4、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则
1212,b c x x x x a
a
+=-
=
。
常见的一些题型：
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆2
2
:
14
x
y
C m
+
=始终有交点，求m 的取值范围
思路点拨：直线方程的特点是过定点（0，1），椭圆的特点是过定点（-2，0）和（2，0），
和动点04m ±
≠（，且。
解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆2
2
:
14
x
y
C m
+
=过动
点04m ±≠（，且，如果直线:1l y kx =+和椭圆2
2
:
14
x
y
C m
+
=始终有交点，则
14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。
规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l y kx =+?过定点（，） :(1)1l y k x =+?-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+?-过定点（，2）
证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。
练习：1、过点P(3,2) 和抛物线232--=x x y 只有一个公共点的直线有（ ）条。
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
分析：作出抛物线232
--=x x y ，判断点P(3,2)相对抛物线的位置。
解：抛物线232
--=x x y 如图，点P （3，2）在抛物线的内部，
根据过抛物线内一点和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点，可知过点P(3,2) 和抛物线232
--=x x y 只有一个公共点的直线有一条。故选择D 规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。
一、过一定点P 和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：
（1）若定点P 在抛物线外，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；
（2）若定点P 在抛物线上，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；
（3）若定点P 在抛物线内，则过点P 和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。
二、过定点P 和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：
（1）若定点P 在双曲线内，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；
（2）若定点P 在双曲线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；
（3）若定点P 在双曲线外且不在渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；
（4）若定点P 在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P 和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；
（5）若定点P 在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P 和双曲线只有一个公共点的直线不存在。
题型二：弦的垂直平分线问题
弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2
y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得A B E ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2
y x =相交A 、B 两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E 点坐标，最后由
2
倍。运用弦长公式求弦长。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2(1)y k x y x =+??=?
消y 整理，得
2
2
2
2
(21)0k x k x k +-+= ①
由直线和抛物线交于两点，得
2242
(21)4410k k k ?=--=-+>
即2104
k <<
②
由韦达定理，得：2
12221,k x x k
-+=-
121x x =。
则线段AB 的中点为2
2
211(,
)22k k
k
--
。
线段的垂直平分线方程为： 2
2
1112()22k y x k
k k --
=-
-
令y=0,得02
1
1
22
x k =
-，则2
11(,0)22
E k
-
A B E ? 为正三角形，
∴2
11(
,0)22
E k
-
到直线AB 的距离d 为
。
AB =
k
=
2d k
=
2
22k
k
∴
=
解得13
k =±
此时053
x =
。
思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：
高是边长的
2
倍，将k 确定，进而求出0x 的坐标。 例题3、已知椭圆
12
2
2
=+y
x
的左焦点为F ，O 为坐标原点。
（Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
分析：第一问求圆的方程，运用几何法：圆心在弦的垂直平分线上，圆心到切线的距离等于圆心到定点的距离；第二问，过定点的弦的垂直平分线如果和x 轴相交，则弦的斜率存在，且不等于0，设出弦AB 所在的直线的方程，运用韦达定理求出弦中点的横坐标，由弦AB 的方程求出中点的总坐标，再有弦AB 的斜率，得到线段AB 的垂直平分线的方程，就可以得到点G 的坐标。
解：(I) ∵a 2
=2，b 2
=1，∴c=1，F(-1，0)，l:x=-2.
∵圆过点O 、F,∴圆心M 在直线x=-上21
设M(-t ,2
1
)，则圆半径：r =|(-21)-(-2)|=23
由|OM|=r ，得2
3)21(2
2
=
+-
t ，解得t=±2，
∴所求圆的方程为(x+2
1)2+(y ±2)2=4
9.
(II)由题意可知，直线AB 的斜率存在，且不等于0, 设直线AB 的方程为y=k(x+1)(k ≠0)， 代入
2
2
x
+y 2
=1，整理得
(1+2k 2
)x 2
+4k 2
x+2k 2
-2=0
∵直线AB 过椭圆的左焦点F ，
∴方程一定有两个不等实根,
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点N(x 0，y 0)，
则x 1+x 1=-
,1
242
2
+k
k
2
0122
12(),2
21k
x x x k =
+=-
+
002
(1)21
k
y k x k =+=
+
∴AB 垂直平分线NG 的方程为 )(100x x k
y y --
=-
令y=0，得
2
2
0022
221
21
C k
k
x x ky k k =+=-
+
++
2
2
2
11
21
2
42
k
k k =-
=-
+
++
∵.02
1,0<<-
∴≠c x k
∴点G 横坐标的取值范围为（0,2
1-）
。 技巧提示：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理，将弦的中点用k 表示出来，韦达定理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技
巧。再利用垂直关系将弦AB 的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标（关于k 的函数）。直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。 练习1：已知椭圆)0(1:
2
22
2>>=+
b a b
y a
x C 过点)2
3,
1(，且离心率2
1=
e 。
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点)0,8
1
(G ，求k 的取值范围。
分析：第一问中已知椭圆的离心率，可以得到,a b 的关系式，再根据“过点)2
3,
1(”得到
,a b 的第2个关系式，解方程组，就可以解出,a b 的值，确定椭圆方程。
第二问，设出交点坐标，联立方程组，转化为一元二次方程，通过判别式得出,k m 的不等式，再根据韦达定理，得出弦MN 的中点的横坐标，利用弦的直线方程，得到中点的纵坐
标，由中点坐标和定点)0,81
(G ，得垂直平分线的斜率，有垂直平分线的斜率和弦的斜率之
积为-1，可得,k m 的等式，用k 表示m 再代入不等式，就可以求出k 的取值范围。
解：（Ⅰ） 离心率2
1=e ，22
1314
4
b a
∴
=-
=
，即2243b a =（1）；
又椭圆过点)23,1(，则22
1914a b
+=，（1）式代入上式，解得24a =，23b =，椭圆方程为2
2
14
3
x
y
+
=。
（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ，弦MN 的中点A 00(,)x y 由22
3412
y kx m
x y =+??+=?得：222(34)84120k x m kx m +++-=， 直线)0(:≠+=k m kx y l 与椭圆交于不同的两点，
2222644(34)(412)0m k k m ∴?=-+->，即22
43m k <+ (1)
由韦达定理得：2
12122
2
8412,3434mk m x x x x k
k
-+=-
=
++，
则20002
2
2
443,343434mk mk
m x y kx m m k
k
k
=-=+=-
+=
+++，
直线AG 的斜率为：2
2
2
32434413234348
AG m
m k K m k m k k
k
+=
=
----
-
+，
由直线AG 和直线MN 垂直可得：
2
2413234m k m k k
=---- ，即2
348k m k
+=-
，代入（1）
式，可得2
2234(
)438k k k
+<+，即2
120
k >
，则10
10
k k >
<-
。
老师支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：y kx m =+，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门
路。本题解决过程中运用了两大解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。 练习2、设1F 、2F 分别是椭圆2215
4
x y +
=的左右焦点．是否存在过点(5,0)A 的直线l 与椭
圆交于不同的两点C 、D ，使得22F C F D
=？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说
明理由． 分析：由
22F C F D
=得，点C 、D 关于过2
F 的直线对称，由直线l 过的定点A(5,0)不在
22154
x y +=的内部，可以设直线
l 的方程为：
(5)y k x =-，联立方程组，得一元二次方
程，根据判别式，得出斜率k 的取值范围，由韦达定理得弦CD 的中点M 的坐标，由点M 和点F 1的坐标，得斜率为1k
-
，解出k 值，看是否在判别式的取值范围内。
解：假设存在直线满足题意，由题意知，过A 的直线的斜率存在，且不等于。设直线l 的方程为：(5),(0)y k x k =-≠，C 11(,)x y 、D 22(,)x y ，CD 的中点M 00(,)x y 。 由22
(5)4520
y k x x y =-??+=?得：2222(45)50125200k x k x k +-+-=， 又直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，则2222=(50)4(45)(12520)0k k k ?-+->，即2
105
k <<
。
由韦达定理得：22
12122
2
5012520,4545k
k x x x x k
k
-+=
=
++，
则2212
0002
2
2
252520,(5)(
5)2
454545x x k
k
k x y k x k k
k
k
+-==
=-=-=
+++，M(
22
2545k
k
+，
2
2045k k
-
+)。
又点2F (1,0)，则直线2M F 的斜率为2
222
2
205452515145M F
k
k k k k k
k -
+==--+， 根据2C D M F ⊥得：2
1M F k k =- ，即
22
5115k
k
=--，此方程无解，即k
不存在，也就是不
存在满足条件的直线。
老师提醒：通过以上2个例题和2个练习，我们可以看出，解决垂直平分线的问题，即对称问题分两步：第一步，有弦所在的直线和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），通过判别式得不等式，由韦达定理得出弦中点的坐标；第二步是利用垂直关系，得出斜率之积为-1，或者是利用中点坐标和对称轴直线的斜率，写出垂直平分线的方程，就可以解决问题。需要注意的一点是，求出的参数一定要满足判别式。
题型三：动弦过定点的问题
圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。
例题4、已知椭圆C ：
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>
的离心率为
2
，
且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。 （I ）求椭圆的方程；
（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。
分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A 1、A 2的坐标都知道，可以设直线PA 1、PA 2的方程，直线PA 1和椭圆交点是A 1(-2,0)和M ，通过韦达定理，可以求出点M 的坐标，同理可以求出点N 的坐标。动点P 在直线:(2)l x t t =>上，相当于知道了点P 的横坐标了，由直线PA 1、PA 2的方程可以求出P 点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M 、N 点的坐标，求出直线MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。
解：（I ）由已知椭圆C
的离心率2
c e a =
=
，2a =,
则得1c b ==。
从而椭圆的方程为
2
2
14
x
y +=
（II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由122
(2)44
y k x x y =+??+=?消y 整理得222
111(14)161640k x k x k +++-= 12x - 和是方程的两个根，
2
1121
164214k x k
-∴-=
+
则2
1121
2814k x k
-=
+，1121
414k y k
=
+，
即点M 的坐标为2
11221
1
284(
,
)1414k k k
k
-++，
同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为2
22
2
2
22
82
4(
,
)1414k k k k --++
12(2),(2)p p y k t y k t =+=-
1212
2k k k k t
-∴
=-
+，
直线MN 的方程为：
1211
21
y y y y x x x x --=
--，
∴令y=0，得2112
12
x y x y x y y -=
-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4x t
=
又2t > ，∴402t
<
<
椭圆的焦点为0)
4t
∴
=
3
t =
故当3
t =
时，MN 过椭圆的焦点。
方法总结：本题由点A 1(-2,0)的横坐标－2是方程222
121(14)161640k x k x k +++-=的一个
根，结合韦达定理运用同类坐标变换，得到点M 的横坐标：2
112
1
2814k x k -=
+，
再利用直线A 1M 的方程通过同点的坐标变换，得点M 的纵坐标：112
1
414k y k =
+；
其实由222
(2)44
y k x x y =-??+=?消y 整理得222
222(14)161640k x k x k +-+-=，得到2
2222164214k x k -=+，即2
222
2
82
14k x k -=+，2222414k y k -=+很快。
不过如果看到：将2
1121
164214k x k
--=
+中的12k k 用换下来，1x 前的系数2用－2换下来，
就得点N 的坐标2
222222
824(,
)1414k k k
k
--++，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样
真容易出错，但这样减少计算量。
本题的关键是看到点P 的双重身份：点P 即在直线1A M 上也在直线A 2N 上，进而得到
12122k k k k t
-=-
+，由直线MN 的方程
1211
21
y y y y x x x x --=
--得直线与x 轴的交点，即横截
距2112
12
x y x y x y y -=
-，将点M 、N 的坐标代入，化
简易得4x t
=
，由
4t
=
3
t =
，到此不要忘了考察3
t =
是否满足2t >。
另外：也可以直接设P(t ，y 0)，通过A 1，A 2的坐标写出直线PA 1，PA 2的直线方程，再分别和椭圆联立，通过韦达定理求出M 、N 的坐标，再写出直线MN 的方程。再过点F ，求出t 值。
例题5、（07山东理）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。
分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点，并且椭圆的右顶点和A 、B 的连线互相垂直，证明直线l 过定点，就是通过垂直建立k 、m 的一次函数关系。
解（I ）由题意设椭圆的标准方程为
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>
3,1a c a c +=-=，2
2,1,3a c b ===
2
2
14
3
x
y
∴
+
=
（II ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由22
3412y kx m
x y =+??+=?
得 222
(34)84(3)0k x m kx m +++-=，
2
2
2
2
6416(34)(3)0m k k m ?=-+->，2
2
340k m +->
2
12122
2
84(3),3434mk m x x x x k
k
-+=-
?=
++（注意：这一步是同类坐标变换）
22
22
121212122
3(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k
-?=+?+=+++=
+（注意：这一
步叫同点纵、横坐标间的变换）
以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-，
1
2
12122
y y x x ∴
?
=---，1212122()40y y x x x x +-++=，
2
2
2
2
2
2
3(4)4(3)1640343434m k m mk k
k
k
--+
+
+=+++，
2
2
71640m mk k ++=，解得
1222,7
k m k m =-=-
，且满足22
340k m +->
当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27
k m =-
时，2
:()7
l y k x =-
，直线过定点2
(,0)7
综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2
(,0).7
经验：在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是“弦对定点张
直角”，也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为1-，建立等式。直线不过定点，也不知道斜率，设出m kx y l +=：，是经常用的一招，在第二讲中就遇到了这样设的直线。
练习：直线m kx y l +=：和抛物线2
2y px =相交于A 、B ，以AB 为直径的圆过抛物线的
顶点，证明：直线m kx y l +=：过定点，并求定点的坐标。
分析：以AB 为直径的圆过抛物线的顶点O ，则OA ⊥OB ，若设1122(,),(,)A x y B x y ，则12120x x y y +=，
再通过2
2
12121212()()()y y kx m kx m k x x m k x x m ?=+?+=+++，将条件转化为221212(1)()0k x x m k x x m ++++=，再通过直线和抛物线联立，计算判别式后，可以得到12x x ，12x x +，解出k 、m 的等式，就可以了。
解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22y kx m
y px
=+??=?得，2220ky py m p -+=，（这里消x 得到的）
则2480p m kp ?=->………………（1） 由韦达定理，得：121222p m p y y y y k
k
+=
=
，，
则2
1212
12122
()y m y m y y m y y m
x x k k k
---++== ， 以AB 为直径的圆过抛物线的顶点O ，则OA ⊥OB ，即12120x x y y +=，
可得
2
1212122
()0y y m y y m
y y k
-+++=，则22
(1)220k m p pm m k +-+=，
即2
2
20k m p m k +=，又0mk ≠，则2m kp =-，且使（1）成立， 此时2(2)l y kx m kx kp k x p =+=-=-：，直线恒过点(2,0)p 。
注：这个题是课本上的很经典的题，例题5、（07山东理）就是在这个题的基础上，由出题
人迁移得到的，解题思维都是一样的，因此只要能在平时，把我们腾飞学校老师讲解的内容理解透，在高考中考取140多分，应该不成问题。
本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量小一些，也运用了同类坐标变换——韦达定理，同点纵、横坐标变换-------直线方程的纵坐标表示横坐标。其实解析几何就这么点知识，你发现了吗？
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。
例题6、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：
222
2
1x y a
b
+
= (0)a b >>上的三点，其中点A 0)
是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC = ，2BC AC =
，如图。
(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；
(II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线x =PQ
的斜率。
解：(I) 2B C A C =
，且BC 过椭圆的中心O O C AC ∴=
0AC BC =
2
ACO π∴∠=
又A 0)
∴点C 的坐标为。
A 0)是椭圆的右顶点，
a ∴=
2
22
112
x
y b
+
=
将点C 代入方程，得2
4b =，
∴椭圆E 的方程为
2
2
112
4
x
y
+
=
(II) 直线PC 与直线QC 关于直线x =
∴设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为k -，从而直线PC 的方程为：
(y k x -
=-
，即
)y kx k =+-，
由2
2
)
3120
y kx k x y ?=+
-??
+-=??消y ，整理得：
222
(13)(1)91830k x k x k k ++-+--
=x =
是方程的一个根，
2
2
918313P k k x k
--∴=
+
即2
P x =
同理可得：
2
Q x =
))P Q P Q y y kx k kx k -=+-+-+
＝()P Q k x x +-
＝
22
P Q x x -=
-
＝
13
P Q PQ P Q
y y k x x -∴=
=
-
则直线PQ 的斜率为定值1
3
。
方法总结：本题第二问中，由“直线PC 与直线QC
关于直线x =互为相反数，设直线PC 的斜率为k ，就得直线QC 的斜率为-k 。
222
(13)(1)91830k x k x k k ++-+--=的根，易得点P 的横坐标：
2
P x =
k 用-k 换下来，就得到了点Q 的横坐标：
2
Q x =
，这样计算量就减少了许多，在考场上就节省了大量的时间。
接下来，如果分别利用直线PC 、QC 的方程通过坐标变换法将点P 、Q 的纵坐标也求出来，计
算量会增加许多。
直接计算P Q y y -、P Q x x -，就降低了计算量。总之，本题有两处是需要同学们好好想一想，如何解决此类问题，一是过曲线上的点的直线和曲线相交，点的坐标是方程组消元后得到的方程的根；二是利用直线的斜率互为相反数，减少计算量，达到节省时间的目的。 练习1、已知椭圆C ：222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>
2
，且在x 轴上的顶点分别为
A 1(-2,0),A 2(2,0)。 （I ）求椭圆的方程；
（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。 解：（I ）由已知椭圆C
的离心率2
c e a =
=
2a =,
则得1c b ==。
从而椭圆的方程为
2
2
14
x
y +=
（II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，
由122
(2)14y k x x y =+???+=??消y 整理得222
121(14)161640k x k x k +++-= 12x - 和是方程的两个根
2
112
1
164214k x k -∴-=
+
则2
1121
2814k x k
-=
+，112
1
414k y k =
+，
即点M 的坐标为2
11221
1
284(
,
)1414k k k
k
-++
同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为2
22222
2
824(
,
)1414k k k
k
--++
12(2),(2)p p y k t y k t =+=-
1212
2k k k k t
-∴
=-
+，
直线MN 的方程为：
1211
21
y y y y x x x x --=
--，
∴令y=0，得2112
12
x y x y x y y -=
-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4x t
=
又2t > ，∴402t
<
<
椭圆的焦点为0)
4t
∴
=
3
t =
故当3
t =
MN 过椭圆的焦点。
方法总结：本题由点A 1(-2,0)的横坐标－2是方程222
121(14)161640k x k x k +++-=的一个
根，结合韦达定理得到点M 的横坐标： 2
112
1
2814k x k -=
+，利用直线A 1M 的方程通过坐标变换，得点M 的纵坐标：112
1
414k y k =+；
再将2
112
1164214k x k
--=+中的12k k 用换下来，1x 前的系数2用－2换下来，就得点N 的坐标
2
222222
824(,
)1414k k k
k
--++，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少许多，并且也不易出错，
在这里减少计算量是本题的重点。否则，大家很容易陷入繁杂的运算中，并且算错，费时耗精力，希望同学们认真体会其中的精髓。
本题的关键是看到点P 的双重身份：点P 即在直线1A M 上也在直线A 2N 上，进而得到
1212
2k k k k t
-=-
+，由直线MN 的方程
1211
21
y y y y x x x x --=
--得直线与x 轴的交点，即横截距
2112
12
x y x y x y y -=
-，将点M 、N 的坐标代入，化简易得4x t
=
，由
4t
=
解出3
t =
，到此
不要忘了考察3
t =2t >。
练习2、：（2009辽宁卷文、理）已知，椭圆C 以过点A （1，32
），两个焦点为（－1，0）（1，
0）。
（1） 求椭圆C 的方程；
（2） E ,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直
线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。
分析：第一问中，知道焦点，则 ，再根据过点A ，通过解方程组，
就可以求出 ，求出方程。
第二问中，设出直线AE 的斜率k ，写出直线的方程，联立方程组，转化成一元二次方程，由韦达定理和点A 的坐标，可以求出点E 的坐标,将点E 中的k,用-k 换下来，就可以得到点F 的坐标，通过计算yE-yF ，xE-xF ，就可以求出直线EF 的斜率了
解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为 ，将点A 的坐标代入方 程： ，解得 ， （舍去） 所以椭圆方程为 。
（Ⅱ）设直线AE 方程为：3(1)2
y k x =-+
，代入
2
2
14
3
x
y
+
=得
2
2
2
3(34)4(32)4(
)1202
k x k k x k ++-+--=
设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F ,因为点3
(1,)2A 在椭圆上，所以
2
234()122x 34E k k --=+ 3
2
E
E y kx k =+- ………8分
又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以—K 代K ，可得
22
1a b =+2
2
,a b 222211
x y a a +=-221914(1)a a +=-24a =22114
a c =<=22143x y +=
2
23
4(
)12
2x 34F k k
+-=
+ 3
2
F
E y kx k =-++
所以直线EF 的斜率()212
F E F E EF F E
F E
y y k x x k
K x x x x --++=
=
=
--
即直线EF 的斜率为定值，其值为12
。 ……12分
总结：此类题的关键就是定点在曲线上，定点的坐标是方程的根，通过韦达定理，将动点的坐标求出，在根据斜率互为相反数，就可以直接求出第二动点的坐标，最后由斜率公式，可以求出斜率为定值。
题型五：共线向量问题
解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过韦达定理------同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。 例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M ：2
2
19
4
x
y
+
=于P 、Q 两点，且D P D Q l =uuu r uuu r
,求实数l
的取值范围。
分析：由D P D Q
l =uuu r uuu r 可以得到12
123(3)x x
y y l l ì?=?í
?=+-???
，将P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),代人曲线方程，解出
点的坐标，用l 表示出来。
解：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),
Q D P D Q l =uuu r uuu r
\
(x 1,y 1-3)=l (x 2,y 2-3)
即12123(3)x x y y l l ì=??í
?=+-???
方法一：方程组消元法
又Q P 、Q 是椭圆
2
9
x
+
2
4
y
=1上的点
\22222222
194()(33)194x y x y l l l ì??+=???í?+-?+=?
???
消去x 2，
可得
222
2
22
(33)14
y y l l l l
+--=-
即y 2=
1356l l
-
又Q －2￡y 2￡2，
\
－2￡
1356l l
-￡
2
解之得：
155
λ≤≤
则实数l 的取值范围是1
,55??
????
。
方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法
设直线PQ 的方程为：3,0y kx k =+≠， 由22
34936
y kx x y =+??+=?消y 整理后，得 2
2
(49)54450k x kx +++= P 、Q 是曲线M 上的两点
22(54)445(49)k k ∴?=-?+＝2
144800k -≥
即2
95k ≥ ① 由韦达定理得：
12122
2
5445,4949k x x x x k
k
+=-
=
++
2
121212
2
1
()2x x x x x x x x +=
+
+
22
2
2
54(1)
45(49)k
k λλ
+∴
=
+
即2
2
2
2
3694415(1)
99k k k
λλ+==+
+ ②
由①得2
1
1095
k
<
≤，代入②，整理得
2
36915(1)
5
λ
λ<
≤+，
解之得
155
λ<<