期望与方差的相关公式
-、数学期望的来由
早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？
用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。
这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
定义1 若离散型随机变量ξ可能取值为i a （i =1，2，3 ，…），其分布列为i
p （i =1，2，3， …），则当i i i p a ∑∞=1<∞时，则称ξ存在数学期望，并且数学期望为E ξ=∑∞
=1i i i p a ，如果i i i p a ∑∞
=1=∞，则数学期望不存在。[]1
定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=x i 的概率为P （ξ=x i ）=P i （i =1，
2，…，n ，…），则称E ξ=∑x i p i 为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.
期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E ξ由ξ的分布列唯一确定.
二、数学期望的性质
（1）设C 是常数，则E(C )=C 。
（2）若k 是常数，则E (kX )=kE (X )。
（3）)E(X )E(X )X E(X 2121+=+。
三、 方差的定义
前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，
是随机变量一个重要的数字特征。但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。
定义3方差：称D ξ=∑（x i －E ξ）2p i 为随机变量ξ的均方差，简称方差.
ξ
D 叫标准差，反映了ξ的离散程度.
定义4设随机变量X 的数学期望)(X E 存在，若]))([(2X E X E -存在，则称
]))([(2X E X E - 为随机变量X 的方差，记作)(X D ，即]))([()(2X E X E X D -=。 方差的算术平方根)(X D 称为随机变量X 的标准差，记作)(X σ，即
)()(X D X =σ
由于)(X σ与X 具有相同的度量单位，故在实际问题中经常使用。
D ξ表示ξ对
E ξ的平均偏离程度，D ξ越大表示平均偏离程度越大，说明ξ的取值越分散.
方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度，若X 的取值相对于其数学期望比较集中，则其方差较小；若X 的取值相对于其数学期望比较分散，则方差较大。若方差)(X D =0，则随机变量X 以概率1取常数值。
由定义4知，方差是随机变量X 的函数2)]([)(X E X X g -=的数学期望，故
?????--=?∑∞∞
-∞=连续时当离散时当X dx x f X E x p X E x X D k k k k ,)()]([X ,)]([)(212 当X 离散时, X 的概率函数为 ,2 ,1 ,)()(====k P x X P x P K K k ；
当X 连续时，X 的密度函数为)(x f 。
求证方差的一个简单公式：
公式1：22)]([)()(X E X E X D -=
证明一：
2
2222)]([)(])]([)(2[]
))([()(X E X E x E X XE X E X E X E X D -=+-=-=
证明二：21()n
i i i D x E p ξξ==-?∑
221
22
111222
22
[2()]2()2()()()n
i i i
i n n n
i i i i i i i i x x E E p x p E x p E p E E E E E ξξξξξξξξξ=====-+?=-?+?=-+=-∑∑∑∑ 22()D E E ξξξ∴=-
可以用此公式计算常见分布的方差
四、方差的性质
（1）设C 是常数,则D (C )=0。
（2）若C 是常数,则)()(2X D C CX D =。
（3）若X 与Y 独立，则
公式2： )()()(Y D X D Y X D +=+。
证 由数学期望的性质及求方差的公式得
{}{}
)()()]([)()]([)()
()(2)]([)]([)()(2)()()]()([]2[)]([])[()(222
222
222
222
2Y D X D Y E Y E X E X E Y E X E Y E X E Y E X E Y E X E Y E x E XY Y X E Y X E Y X E Y X D +=-+-=---++=+-++=+-+=+ 可推广为：若1X ,2X ，…，n X 相互独立，则
∑∑===n
i i n i i X D X D 11)(][
∑∑===n
i i i n i i i X D C X C D 121)(][
（4） D (X )=0 ?P (X = C )=1， 这里C =E (X )。
五、常见的期望和方差公式的推导过程
（一）离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质列举及证明
1．由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：
（1）p i ≥0，i ＝1，2，…；
（2）p 1＋p 2＋ (1)
2．离散型随机变量期望和方差的性质：
E (a ξ＋b)＝a E ξ＋b ，D (a ξ＋b)＝a 2 D ξ。
（1） 公式3：E （a ξ+b ）=aE ξ+b ，
证明：令a b ηξ=+ ,a b 为常数 η也为随机变量
()()i i P ax b P x ξ+== 1,2,3...i =
所以 η的分布列为
1122()()...()n n E ax b p ax b p ax b p η=++++++
=112212(......)(......)n n n a x p x p x p b p p p ++++++++
E η=aE b ξ+
()E a b aE b ξξ+=+说明随机变量ξ的线性函数a b ηξ=+的期望等于随机变量ξ期望的线性函数
（2） 公式4：D （a ξ+b ）=a 2D ξ（a 、b 为常数）.
证法一： 因为 21()n
i i i D x E p ξξ==-?∑
221
22
111222
22
[2()]2()2()()()n
i i i
i n n n
i i i i i i i i x x E E p x p E x p E p E E E E E ξξξξξξξξξ=====-+?=-?+?=-+=-∑∑∑∑ 22()D E E ξξξ∴=-
所以有：2
2221
1()[()]()n n i i i i i i D a b ax b aE b p a x E p a D ξξξξ==+=+-+?=-?=∑∑ 证毕 证法二：D ξ=222221111()2()
()n n n n i i i i i i i i i i i x E p x p E x p E p E E ξξξξξ====-?=-+=-∑∑∑∑.
E(a ξ＋b)＝aE ξ＋b ， D(a ξ+b)=a 2D ξ．
2
22211()[()]()n n i i i i i i D a b ax b aE b p a x E p a D ξξξξ==+=+-+?=-?=∑∑
（二）二项分布公式列举及证明
1．二项分布定义：若随机变量ξ的分布列为：P (ξ＝k )＝C n k p k q n-k 。（k ＝0，1，2，…，
n ，0＜p ＜1，q ＝1－p ，则称ξ服从二项分布，记作ξ~B (n ，p )，其中n 、 p 为参数，并记C n k p k q n-k =b(k ；n ，p )。
2．对二项分布来说，概率分布的两个性质成立。即：
（1）P (ξ＝k )＝C n k p k q n-k ＞0，k ＝0，1，2，…，n ；
（2）∑=n k 0P (ξ＝k )＝∑=n
k 0C n k p k q n-k ＝(p ＋q) n ＝1。
二项分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它有着广泛的应用。
3．服从二项分布的随机变量ξ的期望与方差公式：
若ξ～B （n ，p ），则E ξ=np ，D ξ=npq （q =1－p ）.
（3） 公式5：求证：E ξ=np
方法一：
在独立重复实验中，某结果发生的概率均为p （不发生的概率为q ，有1p q +=），那么在n 次实验中该结果发生的次数ξ的概率分布为
服从二项分布的随机变量ξ的期望E np ξ=.证明如下：
预备公式 1
1k k n n kc nc --=
10011
0220211(1)()110
11111()(......)n n n n k k n n k n n n n n n n p q c p q c p q c p q c p q c p q ----------------+=++++++
因为()(1),k k n k k
k n k n n p k c p p c p q ξ--==-=
所以 0
0111
2220012......n n n k k n k n n
n n n n n E c p q c p q c p q k c p q nc p q ξ---=?+?++?++?++
=0011
0220211(1)()110
11111(......)n n n k k n n k n n n n n n n np c p q c p q c p q c p q c p q ---------------++++++
=1()n np p q np -+=
所以 E ξ= np 得证
方法二： 证明：若 ),(~p n B X ，则X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X 的数学期望。
若设???=次试验失败
如第次试验成功
如第i i X i 01 i =1,2，…，n 则12...n X X X X =+++，因为 P X P i ==)1(，q P X P i =-==1)0(
所以p p q X E i =*+*=10)(，则
=)(X E np X E X E n
i i n i i ==∑∑==1
1)(][
可见，服从参数为n 和p 的二项分布的随机变量X 的数学期望是np 。
需要指出，不是所有的随机变量都存在数学期望。
公式6212
12(1)k
k k n n n k C nC n n C --
--=+-
21
1k k n n k C knC --=