第六章平行四边形 １. 平行四边形的性质（一） 杨家湾二中顾怀林 一、学生起点分析 学生知识技能基础：学生在小学已经学习过平行四边形，对平行四边形有直观的感知和认识。 学生活动经验基础：在掌握平行线和相交线有关几何事实的过程中，学生已经初步经历过观察、操作等活动过程，获得了一定的探索图形性质的活动经验；同时，在学习数学的过程中也经历了很多合作过程，具有了一定的学习经验，具备了一定的合作和交流能力。 二、学习任务分析 四边形和三角形一样，也是基本的平面图形，在三角形有关知识的基础上，探索并掌握四边形的基本性质，进一步学习说理和简单的推理，将为学生学习空间与图形的后继内容打下基础，本节将用多种手段（直观操作、图形的平移、旋转、说理及简单推理等）探索平行四边形的性质并培养学生的探索意识。 教学目标： 1．经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯； 2．探索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用； 3．在探索活动过程中发展学生的探究意识。 教学重点：平行四边形性质的探索。 教学难点：平行四边形性质的理解。 教学方法：探索归纳法 三、教学过程设计 本节课分5个环节： 第一环节：实践探索，直观感知 第二环节：探索归纳，交流合作 第三环节：推理论证，感悟升华 第四环节：应用巩固，深化提高 第五环节：评价反思，概括总结
第一环节：实践探索，直观感知 1．小组活动一 内容： 问题1：同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张。将一张纸对折，剪下两张叠放的三角形纸片，将它们相等的一边重合，得到一个四边形。 （1）你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下； （2）给出小明拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置关系？说说你的理由，请用简捷的语言刻画这个图形的特征。 目的： 通过学生动手实践，引出平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形； 平行四边形的相邻的两个顶点连成的一段叫做它的对角线。 教师进一步强调：平行四边形定义中的两个条件：①四边形，②两边分别分别平行即AD // BC 且AB // BC；平行四边形的表示“”。 2．小组活动二 内容：生活中常见到平行四边形的实例有什么呢？你能举例说明吗？ 目的：加强知识的直观体验，使学生感受数学来源于生活，数学图形和生活是紧密相联系的。 效果：通过动手实践、探索、感知，学生进一步探索了平行四边形的概念，明确了平行四边形的本质特征。 第二环节探索归纳、合作交流 小组活动三： 内容：⑴平行四边形是中心对称图形吗？如果是,你能找出他的对称中心并验证你的结论吗?⑵你还发现平行四边形的那些性质呢? 活动目的： 这个探索活动与第一环节的探索活动有所不同，是从整体的角度研究平行四边形中心对称性的特征,明确了两条对角线的交点就是其对称中心，感知平行四边形的对边,对角的性质：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等等。
平行四边形及其性质
课题： 4 . 1 平行四边形及其性质 教材：北师大版义务教育课程标准实验教科书八年级上册 一、教材分析 1．教材的地位与作用 平行四边形是最基本的几何图形，也是“空间与图形”领域中研究的主要对象之一．它在生活中有着十分广泛的应用，这不仅表现在日常生活中有许多平行四边形的图案，还包括其性质在生产、生活各领域的实际应用． 本节课既是平行线的性质、全等三角形等知识的延续和深化，也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的坚实基础，在教材中起着承上启下的作用．平行四边形的性质还为证明两条线段相等、两角相等、两直线平行提供了新的方法和依据，拓宽了学生的解题思路．另外本节课是在学生掌握了平移、旋转知识的基础上探究平行四边形的性质，能使学生经历观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，对于培养学生的合情推理能力、发散思维能力以及探索、体验数学思维规律等方面起着重要的作用． 2．教学目标： 知识技能：理解并掌握平行四边形的相关概念和性质，培养学生初步应用这些知识解决问题的能力． 数学思考：通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力． 解决问题：学生亲自经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，体会解决问题策略的多样性． 情感态度：培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐． 3．教学重点、难点： 重点：理解并掌握平行四边形的概念及其性质． 难点：运用平移、旋转的图形变换思想探究平行四边形的性质． 4．教材处理： 基于“创造性地使用教材”和“真正地以学生为本”的教学理念，我将教材内容进行合理内化、整合． 首先，打破了原教材的知识结构，构建成一个新的教学体系，分为探索平行四边形的性质和平行四边形性质的应用这样两部分，本节课是探索平行四边形的性质．这样安排能很好地体现知识结构的完整性和系统性． 然后，将教材中平行四边形性质的探究活动完全开放，给学生充分探索的时间与空间，动手实验，动脑思考．力图构建学生主动探索、获取知识的平台，使学生真正成为实践的
第十八章平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.1 平行四边形的性质 第一课时 【岩帅中学李光兴】 一、教学目标： 1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、重点、难点 【重点】平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 【难点】运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？ 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？ 你能总结出平行四边形的定义吗？ (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“”来表示． 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC， 那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”． ①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）； ②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）． 平行四边形性质一：平行四边形的两组对边分别平行；
注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下． 猜想平行四边形的对边相等、对角相等． 下面证明这个结论的正确性． 已知：如图ABCD， 求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D， ∠BAD＝∠BCD． 分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论． （作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．） 证明：连接AC， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． 又AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA （ASA）． ∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D． 又∠1＋∠4＝∠2＋∠3， ∴∠BAD＝∠BCD． 由此得到： 平行四边形性质二：平行四边形的对边相等． 平行四边形性质三：平行四边形的对角相等．
平行四边形的概念和性质（1） 冒合中学杜碧玲 [教学目标] 1﹑了解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质，并能熟练用其来解决实际问题。 2﹑通过探索、发现、论证培养学生类比、转化的数学思想方法锻炼学生的自学能力和缜密的逻辑思维能力 3、让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，培养学生善于发现、积极思考、合作学习、勇于创新的学习态度 [教学重点、难点] （1）重点：掌握平行四边形的性质（2）难点：利用平行四边形的性质解决相关问题 [教学过程] 一、板书课题： 引入：在小学里，我们初步认识平行四边形，会计算平行四边形的周长和面积，这节课开始我们进一步来学习平行四边形的概念，研究它的性质—平行四边形的概念、和性质。 二、出示目标 出示事先写在小黑板上的教学目标： 1﹑了解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质，并能熟练用其来解决实际问题。 2﹑通过探索、发现、论证培养学生类比、转化的数学思想方法锻炼学生的自学能力和缜密的逻辑思维能力 3、让学生在观察、合作、讨论、交流中感受数学的实际应用价值，培养学生善于发现、积极思考、合作学习、勇于创新的学习态度 三、自学指导 （一）过渡语：怎样才能当堂达到学习目标呢？请同学们按照指导认真自学。（二）出示自学指导 认真看课本（P83-84）练习前面的内容。 1．理解平行四边形的概念和记法； 2．掌握平行四边形的对边相等对角相等的性质，注意兰色书签的内容； 3．利用三角形全等证明上述性质。
四、先学 （一）学生看书，教师巡视，师督促每一位学生认真、紧张的自学，鼓励学生质疑问难。 （二）检测 1、过渡语：同学们，看完的请举手。懂了的请举手。好下面就比一比，看谁能正确做出检测题。 2、检测题P84：1、2、3 3、学生练习，请三名同学到黑板上进行板演，教师巡视。（改集错误解进行二次备课） 五、后教 （一）更正：请同学们仔细看一看这三名同学的板演，发现错解的请举手（指名更正） （二）讨论： 教师根据学生发言的情况进行评平行四边形的概念，研究它的性质价，（教师要强调解题格式） （三）归纳：我们已经学习了平行四边形的概念和性质，你能说一说今天的收获吗？（指名说） 六、当堂训练 （一）讲述：让同学口答新知识，能运用新知识做对作业吗？好，要注意解题格式，书写工整。 （二）出示作业题： P90-91第1题2题第3题 （三）学生练习，教师巡视。
《平行四边形的性质》典型例题 例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度 例2 已知：如图，ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，AOB ?的周长比BOC ?的周长多8cm ，求这个平行四边形各边的长. 例3 已知：如图，在ABCD 中，BD AC 、交于点O ，过O 点作EF 交AB 、CD 于E 、F ，那么OE 、OF 是否相等，说明理由. 例4 已知：如图，点E 在矩形ABCD 的边BC 上，且DE AF AD DE ⊥=,，垂足为F .求证：.DC AF = 例5 O 是ABCD 对角线的交点，OBC ?的周长为59，38=BD ，24=AC ，则=AD ________，若OBC ?与OAB ?的周长之差为15，则=AB ______，ABCD 的周长=______. D C A B O
例6 已知：如图，ABCD 的周长是cm 36，由钝角顶点D 向AB ，BC 引两条高DE ，DF ，且cm DE 34=，cm DF 35=.求这个平行四边形的面积. 例7 如图，已知：ABCD 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ， 若?=∠60EAF ，cm BE 2=，cm FD 3=. 求：AB 、BC 的长和ABCD 的面积.
参考答案 例 1 分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数. 解 设平行四边形的一个内角的度数为x ，则它的邻角的度数为3x ，根据题意，得1803=+x x ，解得45=x ，∴.1353=x ∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°. 例2 分析 由平行四边形对边相等，可知=+BC AB 平行四边形周长的一半＝30cm ，又由AOB ?的周长比BOC ?的周长多8cm ，可知8=-BC AB cm ，由此两式，可求得各边的长. 解 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴.,,OO AO BC AD CD AB === 60=+++BC AD CD AB Θ，∴.30=+BC AB 8)(=++-++OC BC OB OB AB AO ，∴.8=-BC AB ∴.11,19====AD BC CD AB 答：这个平行四边形各边长分别为19cm ，11cm ，19cm ，11cm. 说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半.（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差. 例3 分析 观察图形，DOF BOE CFO AEO CDO ABO ?????????,,，从而可说明.OF OE = 证明 在ABCD 中，BD AC 、Θ交于O ，∴.OC AO = CD AB //Θ，∴CFO AEO FCO EAO ∠=∠∠=∠,， ∴)(AAS CFO AEO ???，∴.OF OE = 例4 分析 观察图形，AFD ?与DCE ?都是直角三角形，且锐角DEC ADF ∠=∠，斜边DE AD =，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE ，则ABE ?与AFE ?全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。 证明 ∵四边形ABCD 是矩形，∴?=∠90,//C BC AD ，∴.DEC ADE ∠=∠ DE AF ⊥Θ，∴?=∠=∠90C AFD ，
知识点讲解： 一、平行四边形定义 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(如图)，记作“□ABCD”。 平行四边形的表示：一般按一定的方向依次表示各顶点，如右图的平行四边形不能表示成 □ACBD，也不能表示成□ADBC。 二、平行四边形的性质 ①平行四边形的对边平行且相 等 四边形ACBD为平行四边形 ?AB CD ∥、AD BC ∥ ②平行四边形的对角相等； 四边形ACBD为平行四边形 A C B D ?∠=∠∠=∠ ， ③平行四边形的对角线互相平 分 四边形ACBD为平行四边形 OA OC OB OD ?== ， ④平行四边形是中心对称图 形，对称中心就是两条对角线 的交点；连接四边上任意一点 和平行四边形的对称中心，与 另一条边相交于一点，则这两 个点关于平行四边形的对称中 心对称。 四边形ABCD为平行四边形， E、F在AD，BC上，且线段 EF过点O?OE＝OF 平行四边形的定义及性质
⑤平行四边形中重要结论： O AOB BOC DOC D A S S S S ????=== AOB COD ??≌ AOD COB ??≌ ABC CDA ??≌ BCD DAB ??≌ 练个手先： 在□ABCD 中， ①若∠A －∠B ＝40°，则∠A ＝____； ②若周长为54cm ，AB －BC ＝5cm ，则AB ＝____cm ； ③若AC 平分∠DAB ，则对角线AC 与BD 的位置关系为____。 ④若∠A ＝30°，AB ＝7cm ，AD ＝6cm ，则ABCD S Y ＝ ____。 ⑤若E 为AD 上一点，且6ABE DCE S S ??+=，则ABCD S Y ＝ ____。
平行四边形及其性质(一) 一、教学目标： 1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角的性质． 2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的．3．培养学生发现问题、解决的能力及逻辑推理能力． 二、重点、难点 1．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等及对角线互相的性质，以及性质的应用． 2．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护栏，想一想它们是四边形。 平行四边形是我们常见的图形，请你在举出平行四边形在生活中应用的例 子。 你能说出平行四边形的定义吗？ (1)定义：两组对边分别的四边形是平行四边形． (2)如右图：平行四边形用符号“”来表示．读作。 2：平行四边的定义： ①用文字语言表示为： （如图是图形语言） 在四边形ABCD中，AB平行于DC，AD平行于BC，那么四边形ABCD是．②用符号语言表示为： ∵AB//DC，AD//BC，∴四边形ABCD是。（判定）；反过来： ∵四边形ABCD是。∴AB//DC，AD//BC（性质）． 注意：平行四边形中对边是指无公共的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共的边，邻角是指有一条公的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角． 所以我说定义很特殊：既可以当用，又可以当用。 3;平行四边的性质： 【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的一般性质（如内角和为360°）和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们进行探究．
我们根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行以外，度量它的边和角，发现平行四边形的对边，对角，邻角， （1）证明，如图：∵AB∥CD，AD∥BC∴∠+∠BAD＝180°，∠+∠ =180°∴平行四边形中，相邻的角互为补角． （2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等． 下面证明这个结论的正确性． 已知：如图ABCD， 求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD． 分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形即可得到结论． （作对角线是解决四边形问题常用的线，通过作对角线，可以把四边形的问题转化为形的问题来解决．） 证明：连接AC，如图 ∵AB∥，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠＝∠4．又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA （ASA）． ∴AB＝，＝AD，∠＝∠D．又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD．由此得到：用文字语言表示为 平行四边形性质1 平行四边形的对边相等． 平行四边形性质2 平行四边形的对角相等． 用符号语言表示为： ∵如图在ABCD中∴AB＝，CB＝AD，∠B＝∠，∠A＝∠C． 五、例习题分析 例1如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE． 分析：要证AF=CE，需证△≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠=∠B ，AD= ，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得=DF．由“边角边”可得出所需要的结论． 证明．在ABCD中，∵AB=CD，又∵= ∴BE=DF. ∵CB＝AD，∠B＝∠D ∴△≌△∴. 六、随堂练习 1．填空： 50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度． （1）在ABCD中，∠A= （2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm． 2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足， 求证：BE＝DF． 七、课后练习
C F B E D A 一、平行四边形基本定义： 1、平行四边形 定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 表示：平行四边形用符号“□”来表示。 ２、平行四边形性质： ３、扩展性质： 二.平行四边形的面积： 平行四边形的面积： 等于底和高的积，即S□ABCD=ah，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边到其 对边的距离，即对应的高。 平行四边形中的等积法使用： DF BC DE AB? = ? 三、总结： （1）平行四边形的性质和扩展性质要能够理解并灵活运用。 （2）平行四边形中对角线是常用辅助线。 例题1如图，在?ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD 边于点E，且AE=3，则AB的长为（）A．4 B．3 C． 2 5 D．2 例题2如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于 点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论 中：①△ABC≌△AED；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④ S△ABE=S△CDE；⑤S△ABE=S△CEF．其中正确的是（）A．①②③ 平行四边 形性质 平行四边形对边相等； 平行四边形对角相等； 平行四边形对角线互相平分。 平行四边形对角线分平行四边形成面积相等的四个小三角形。 平行四边形对角线分平行四边形成四个小三角形中，相邻两个小三角形周 长差等于边长差 平行四边形对角线的一半和大于任意一边长 过平行四边形对角线交点的任意一条直线分平行四边形成面积相等两部分
B ．①②④ C ．①②⑤ D ．①③④ 平行四边形的面积问题 实例：如图，已知四边形ABDE 是平行四边形，C 为边BD 延长线上一点，连结AC 、CE ，使AB=AC ． （1）求证：△BAD ≌△AEC ； （2）若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE 的面积． 平行四边形中的折叠 实例：如图，在?ABCD 中，点E ，F 分别在边DC ，AB 上，DE=BF ，把平行四边形沿直线EF 折叠，使得点B ，C 分别落在B′，C′处，线段EC′与线段AF 交于点G ，连接DG ，B′G． 求证：（1）∠1=∠2； （2）DG=B′G． DE=B′F，∴△DEG ≌△B′FG，∴DG=B′G． 一、选择题 1、如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且AB=5，△OCD 的周长为23，则平行四边形ABCD 的两条对角线的和是（ ）A ．18 B ．28 C ．36 D ．46 A ．246 B ．216 C ．-216 D ．274 2如图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有?ADCE 中，DE 最小的值是（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 *3如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＞CD ，按以下步骤作图：以A 为圆心，小于AD 的长为半径画弧，分别交AB 、CD 于E 、F ；再分别以E 、F 为圆心，大于 2 1 EF 的长半径画弧，两弧交于点G ；作射线AG 交CD 于点H ．则下列结论：①AG 平分∠DAB ，②CH=2 1 DH ，③△ADH 是
四边性质定理总结 平行四边形 定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形； 性质：（1）平行四边形的邻角互补，对角相等； （2）平行四边形的对边平行且相等； （3）平行四边形的对角线互相平分。 判定：（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 三角形中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线； 定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半。 矩形 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）矩形的四个角都是直角； （3）矩形的对角线相等； 判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2）对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三个角是直角的四边形是矩形； 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。 菱形 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）菱形的四条边相等； （3）菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角； （4）菱形的另一个面积计算公式：对角线乘积的一半。 判定：（1）定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边相等四边形是菱形。 正方形 定义：既是矩形又是菱形的四边形是正方形 性质：正方形具有矩形的性质又具有菱形的性质； （1）边：四条边相等，邻边相等，对边平行； （2）角：四个角都是直角； 对角线：相等且互相垂直平分;每一条对角线平分一组对角；正方形一条对角线上的一点到
平行四边形定义性质以 及判定定理 Revised as of 23 November 2020
性质 （1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。 （简述为“平行四边形的两组对边分别相等”[2]） （2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。 （简述为“平行四边形的两组对角分别相等”[2]） （3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的。 （简述为“平行四边形的邻角互补”） （4）夹在两条间的平行的高相等。（简述为“平行线间的高距离处处相等”） （5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条互相平分。 （简述为“平行四边形的对角线互相平分”[2]） （6）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。（推论） （7）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形。） （8）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。 （9）平行四边形是图形，对称中心是两对角线的交点. （10）平行四边形不是轴对称图形，但平行四边形是中心对称图形。矩形和菱形是图形。注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质。 （11）平行四边形ABCD中（如图）E为AB的中点，则AC和DE互相三，一般地，若E为AB上靠近A的n等分点，则AC和DE互相(n+1)等分。 （12）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和。 （13）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份。 （14）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。 （15）平行四边形的面积等于相邻两边与其夹角正弦的乘积 平行四边形的判定方法（共6种） 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）； 2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 3.对角线互相平分的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.所有邻角（每一组邻角）都互补的四边形是平行四边形； 6.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 辅助线作法 一、连接对角线或平移。 二、过顶点作对边的构成。 三、连接对角线与一边中点，或过对角线交点作一边的，构成线段平行或。 四、连接顶点与对边上一点的或延长这条线段，构造相似三角形或等积三角形。 五、过作对角线的垂线，构成线段平行或三角形。 平行四边形的定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形的定义、性质： （1）平行四边形对边平行且相等. （2）平行四边形两条对角线互相平分.（菱形和正方形）
平行四边形的性质及判定（典型例题） 1．平行四边形及其性质 例1 如图，O是ABCD对角线的交点．△OBC的周长为59，BD=38，AC=24，则AD=____若△OBC与△OAB的周长之差为15，则AB=ABCD的周长=____. 分析： AC，可得BC，再由平行四边形对边相等知AD=BC，由平行四边形的对角线互相平分，可知△OBC与△OAB的周长之差就为BC 与AB之差，可得AB，进而可得ABCD的周长． 对角线互相平分) ∴△OBC的周长=OB＋OC＋EC
=19＋12＋BC=59 ∴BC=28 ABCD中， ∴BC=AD(平行四边形对边相等) ∴AD=28 △OBC的周长-△OAB的周长 =(OB＋OC＋BC)-(OB＋OA+AB) =BC-AB=15 ∴AB=13 ∴ABCD的周长 =AB＋BC＋CD＋AD =2(AB＋BC) =2(13＋28) =82 说明：本题条件中的“△OBC占△OAB的周长之差为15”，用符
号语言表示出来后，便容易发现其实质，即BC与AB之差是15．例2 判断题 (1)两条对边平行的四边形叫做平行四边形．( ) (2)平行四边形的两角相等．( ) (3)平行四边形的两条对角线相等．( ) (4)平行四边形的两条对角线互相平分．( ) (5)两条平行线中，一条直线上任一点到另一条直线的垂线段叫做两条平行线的距离．( ) (6)平行四边形的邻角互补．( ) 分析：根据平行四边形的定义和性质判断． 解： (1)错 “两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”是两组对边，而不是两条对边．如图四边形ABCD，两条对边AD∥BC．显然四边形
平行四边形的性质 二、课中强化(10分钟训练) 1.如图3,在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是( ) A.∠1+∠2=180° B.∠2+∠3=180° C.∠3+∠4=180° D.∠2+∠4=180° 图3 图4 图5 2.如图4,ABCD的周长为16 cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE 的周长为( ) A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 3.如图5，ABCD中,EF过对角线的交点O,如果AB=4 cm,AD=3 cm,OF=1 cm,则四边形BCFE的周长为__________________. 4.如图6,已知在平行四边形ABCD中，AB=4 cm，AD=7 cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=_____________ cm. 图6 图7 5.如图7,在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF，求证:AE=CF. 6.如图8,在ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,BE=2 cm,DF=3 cm,∠EAF=60°,试求CF 的长. 图8
三、课后巩固(30分钟训练) 1.ABCD中,∠A比∠B大20°,则∠C的度数为( ) A.60° B.80° C.100° D.120° 2.以A、B、C三点为平行四边形的三个顶点,作形状不同的平行四边形,一共可以作( ) A.0个或3个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图9所示,在ABCD中,对角线AC、BD交于点O,下列式子中一定成立的是( ) A.AC⊥BD B.OA=OC C.AC=BD D.AO=OD 图9 图10 图11 4.如图10,平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.如图11,在平行四边形ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有( ) A.7个 B.8个 C.9个 D.11个 6.如图12,平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证:∠BAE=∠DCF. 图12 7、如图13所示,已知平行四边形ABCD中,E、F分别是BC和AD上的点,且BE=DF. 求证:△ABE≌△CDF. 图13
平行四边形知识框架 考点汇总 考点一：平行四边形的概念 考点二：平行四边形边的性质 考点三：平行四边形角的性质 考点四：平行四边形对角线的性质 考点五：平行四边形与角平分线
考点六：平行四边形的对称性 考点七：平行四边形的周长 考点八：平行四边形的面积 考点九：与性质有关的证明题 考点一：平行四边形的概念 【例1】两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作__________。 【例2】平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______； 两邻角______；平行四边形的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______．【例3】如图所示，已知四边形ABCD，从⑴AB DC ∥；⑵AB DC =；⑶AD BC ∥；⑷AD BC =；⑸A C ∠=∠；⑹B D ∠=∠中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形？请写出具体组合。 考点二：平行四边形边的性质 A D B C 热点精讲
【例4】 以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【例5】 如图，平行四边形ABCD 中，35AB BC AC ==，，的垂直平分线交AD 于E ，则 CDE △的 周长是 ． 考点三：平行四边形角的性质 【例6】 如图，在平形四边形ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足．如果125A ∠=?，则 BCE ∠= ． 【例7】 如图，在□ABCD 中，DB ＝DC 、∠A ＝65°，CE ⊥BD 于E ，则∠BCE ＝______． 考点四：平行四边形对角线的性质 【例8】 平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于O ，若AC ＝8，BD ＝6，则边AB 长 的取值范围 是 ． 【例9】 如图，□ABCD 中，对角线AC 和BD 长度之和为12，如果ABO △的周长为12， 则AB 的长为 ． E D C B A E D C B A
平行四边形的性质和判定 知识点1 平行四边形的定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。记作“□ABCD”。 知识点2 平行四边形的性质： 边：对边平行且相等。 角：对角相等，邻角互补。 对角线：对角线互相平分。 知识点3 平行四边形的判定： 边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。、 知识点4 两条平行线的距离。 知识点5 三角形的中位线 定义：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线。性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 例1、如图，是平行四边形的对角线上的点，．猜想：与有怎样的位置关E F ，ABCD AC CE AF BE DF 系和数量关系？并对你的猜想加以证明。 A B C D E F
【变式练习】已知，在□ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、CB 的延长线上，且∠1=∠2，DF 交AB 于G ，BE 交CD 于H 。求证：EH=FG 。 例2、已知如图，O 为平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，EF 经过点O ，且与AB 交于E ，与CD 交于F 。求证： 四边形AECF 是平行四边形。 例3、?ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，线DC 于点F （1）求证：CE=CF ； （2）若∠ABC=120°，FG ∥CE ，FG=CE ，求∠BDG ． 【变式练习】1、如图,在 ABCD 中，AE = CF ，M 、N 分别ED 、FB 的中点．求证：四边形ENFM 是平行四边形． C A B F C M N E
18.1.1平行四边形的 性质教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
18.1.1平行四边形的性质第一课时 喀什市第一中学阿迷娜姑丽.沙比尔 【教材分析】 本节课是冀教版八年级数学下册第二十二章第一节的内容，是本章的重点内容之一. 首先，平行四边形是四边形的一种延伸和发展，它的性质的探索需要借助已学过的平行线和三角形的相关知识以及平移旋转中心对称的知识进行探索。其次它又为我们接下来类比学习矩形、菱形等特殊四边形奠定重要基础.此外，平行四边形的性质还是计算、证明线段相等和角相等的重要依据和方法。因此平行四边形在本章中起着承上启下的作用. 【教学目标】 知识技能： 1.能准确叙述平行四边形的概念和性质. 并能用符号语言表示. 2.能初步应用平行四边形的概念及其性质进行计算和证明. 能力目标： 经历平行四边形的概念及其性质探究过程，发展合情推理能力，体会转 化、数形结合等数学思想. 情感态度： 1.通过图片欣赏，感受数学在生活中的运用，激发学习热情. 2.在探究活动中，学会与他人合作、交流思维过程和探究结果. 【教学重点、难点】 重点：因为平行四边形的概念和性质的探索，为接下来的平行四边形的判 定及矩形、菱形的概念、性质和判定均起到引导和示范的作用，因此我把平行 四边形的概念和性质作为本课的教学重点. 难点:因为八年级学生数学实验素养还比较薄弱,所以我把对于平行四边形性 质的探索定为本课的教学难点. 难点突破策略：以学生的生活经验和已有的数学活动经验为基础,选取易得 材料,以实验操作的方法辅以多媒体演示并运用转化的数学思想方法，即如何将 平行四边形转化为三角形使问题得到解决. 教学方法： 采用引导发现和直观演示相结合的方法 学法：探究法，合作交流法 教学准备：多媒体课件，三角板，三角形，平行四边形纸片等 教学过程： 一、引言（感受生活）出示课件：
平行四边形及特殊的平行四边形的性质（文字语言和符号语言） 图形边角对角线 平行四边形 两组对边分别平行两组对边分别相等两组对角分别相等对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平 行四边形 ∴AB∥CD,AD∥BC ∵四边形ABCD是平行四 边形 ∴AB=CD,AD=BC ∵四边形ABCD是平行四 边形 ∴∠ABC=∠ADC, ∠BAD=∠BCD ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC,OB=OD 矩形 两组对边分别平行两组对边分别相等四个角都是直角对角线相等且互相平分 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB∥CD,AD∥BC ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD,AD=BC ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=∠ADC =∠BAD=∠BCD=900 ∵四边形ABCD是矩形 ∴OA=OC,OB=OD且AC=BD 菱形 两组对边分别平行四条边都相等两组对角分别相等 对角线互相垂直、平分且每一条对角 线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB∥CD,AD∥BC ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD=AD=BC ∵四边形ABCD是菱形 ∴∠ABC=∠ADC, ∠BAD=∠BCD ∵四边形ABCD是菱形 ∴OA=OC,OB=OD，AC⊥BD,且 AC平分∠BAD与∠BCD BD平分∠ABC与∠ADC 正方形 两组对边分别平行四条边都相等四个角都是直角 对角线互相垂直平分、相等且每一条 对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB∥CD,AD∥BC ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=CD=AD=BC ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ABC=∠ADC =∠BAD=∠BCD=900 ∵四边形ABCD是正方形 ∴OA=OC=OB=OD，AC⊥BD且 AC平分∠BAD与∠BCD BD平分∠ABC与∠ADC 平行四边形及特殊的平行四边形的定义及判定（关系图见背面，符号语言自己补充） 1
《平行四边形的性质》教案1 教学目标： 1、动手操作实践的过程中，探索发现平行四边形的性质． 2、知道解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，渗透转化思想． 3、通过探索平行四边形的性质，培养学生简单的推理谁能力和逻辑思维能力． 教学重、难点： 重点：探索平行四边形的性质； 难点：解决平行四边形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，渗透转化． 教学过程： (一)创设情境揭示主题 问题1：同学们，你们留意观察过阳光透过长方形窗口投在地面上的影子是什么形状吗？ 学生根据自己的生活经验，可能回答：平行四边形、矩形、四边形……教师利用多媒体向学生展示：太阳光属于平行光，窗口投在地面上的影子通常是平行四边形．问题2：爱动脑筋的小刚观察到平行四边形影子有一种对称的美．他说只要量出一个内角的度数，就能知道其余三个内角的度数；只需测出一组邻边的长，便能计算出它的周长．这是为什么呢？ 通过本节课的学习，大家就能明白其中的道理．今天，我们来共同研究平行四边形及其性质． (二)实践探究感悟新知 活动一：拼图游戏 问题1：你能利用手中两张全等的三角形纸板拼出四边形吗？ 学生动手操作，教师留意观察，请学生将拼出的6种形状不同的四边形展示在黑板上． 问题2：观察拼出的这个四边形的对边有怎样的位置关系，说说你的理由．结合拼出的这个特殊四边形，给出平行四边形定义． 问题3：黑板上展示的图形中，哪些是平行四边形？ 学生对黑板上拼出的四边形进行识别．教师强调定义的两方面作用：一是可以判定一个四边形是不是平行四边形；二是平行四边形具有两组对边分别平行的性质．问题4：根据定义画一个平行四边形． 学生画图，亲身感悟平行四边形．教师画图示范．结合图形介绍平行四边形对边、对角、对角线等元素及平行四边形的记法、读法．
课题： 4 . 1 平行四边形及其性质 教材：北师大版义务教育课程标准实验教科书八年级上册 一、教材分析 1．教材的地位与作用 平行四边形是最基本的几何图形，也是“空间与图形”领域中研究的主要对象之一．它在生活中有着十分广泛的应用，这不仅表现在日常生活中有许多平行四边形的图案，还包括其性质在生产、生活各领域的实际应用． 本节课既是平行线的性质、全等三角形等知识的延续和深化，也是后续学习矩形、菱形、正方形等知识的坚实基础，在教材中起着承上启下的作用．平行四边形的性质还为证明两条线段相等、两角相等、两直线平行提供了新的方法和依据，拓宽了学生的解题思路．另外本节课是在学生掌握了平移、旋转知识的基础上探究平行四边形的性质，能使学生经历观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，对于培养学生的合情推理能力、发散思维能力以及探索、体验数学思维规律等方面起着重要的作用． 2．教学目标： 知识技能：理解并掌握平行四边形的相关概念和性质，培养学生初步应用这些知识解决问题的能力． 数学思考：通过观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力． 解决问题：学生亲自经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，体会解决问题策略的多样性． 情感态度：培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐． 3．教学重点、难点： 重点：理解并掌握平行四边形的概念及其性质． 难点：运用平移、旋转的图形变换思想探究平行四边形的性质． 4．教材处理： 基于“创造性地使用教材”和“真正地以学生为本”的教学理念，我将教材内容进行合理内化、整合． 首先，打破了原教材的知识结构，构建成一个新的教学体系，分为探索平行四边形的性质和平行四边形性质的应用这样两部分，本节课是探索平行四边形的性质．这样安排能很好地体现知识结构的完整性和系统性． 然后，将教材中平行四边形性质的探究活动完全开放，给学生充分探索的时间与空间，动手实验，动脑思考．力图构建学生主动探索、获取知识的平台，使学生真正成为实践的
平行四边形的性质 知识点： 1、定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作“□ABCD ” 2、性质： ①边：对边平行且相等 ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB ∥CD , AD ∥BC ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB=CD , AD=BC ②角：对角相等，邻角互补 ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴∠A=∠C ，∠B=∠D ，?=∠+∠180B A ,?=∠+∠180D C ③对角线：对角线互相平分 ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴OA=OC ，OB=OD 练习： 一、平行四边形的定义： 使用格式是：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD AB //，BC AD // 例1：如图：在□ABCD 中，如果E F ∥AD ，GH ∥CD ，EF 与GH 相交于点O ，则图中的平行四边形共有（ ） A ．4个 B 、5个 C 、8个 D 、9个 练习1、如图，E 、F 分别是□ABCD 边AD 、BC 上的点，并且AF ∥CE ，求证：∠AFB=∠DEC 二、平行四边形的对边相等 使用格式是：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=DC ，AD=BC ， 例1、如图，在平行四边形ABCD 中，AE=CF ，求证：AF=CE 。
练习1、平行四边形的周长等于56cm ，两邻边长的比为3：1，那么这个平行四边形较长的边长为 三、平行四边形的对角相等，邻角互补 使用格式是：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴∠A=∠C ，∠B=∠D ，?=∠+∠180B A ,?=∠+∠180D C 例1、已知□ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点，且AE=CF 。求证：∠ADF=∠CBE 练习1、在□ABCD 中，∠A 、∠B 的度数之比为5：4，则∠C 等于 （ ） A 、?60 B 、?80 C 、?100 D 、?120 四、平行四边形的对角线互相平分 使用格式是：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴OA=OC ，OB=OD 例1、如图，□ABCD ，过其对角线交点O ，引一直线交BC 于E ，交AD 于F ，若AB=2.4cm ，BC=4cm ，OE=1.1cm ，求四边形ABEF 的周长。 练习1、如图，已知：□ABCD 中，AC 、BD 相交于O 点，OE ⊥AD 于E ，OF ⊥BC 于F ，求证：OE=OF
