普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]
高三新数学第一轮复习教案（讲座28）—数列概念及等差数列
一．课标要求：
1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数；
2．通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式；
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等差数列与一次函数的关系。
二．命题走向
数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个
解答题。对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高。
预测09年高考：
1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、
生活中的实际问题的解答题；
2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，
还可能涉及部分考察证明的推理题。
三．要点精讲
1．数列的概念
（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；
数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或
首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；
数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，
那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a =
1n （n N +∈）。
说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；
② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21()1,2n k k Z n k
-=-?∈?+=?；
③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……
（3）数列的函数特征与图象表示：
序号：1 2 3 4 5 6
项 ：4 5 6 7 8 9
上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。
（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列
项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的
前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式。
2．等差数列
（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差
等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。
（2）等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；
说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为
常数列，0d < 为递减数列。
（3）等差中项的概念：
定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其中2
a b A += a ，A ，b 成等差数列?2
a b A +=。 （4）等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=
=+。 四．典例解析
题型1：数列概念
（2008广东文4）
例1．记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（ ）
A 、2
B 、3
C 、6
D 、7
【解析】4224123S S S d d --==?=,选B.
2.根据数列前4项，写出它的通项公式：
（1）1，3，5，7……；
（2）2212-，2313-，2414-，2515
-； （3）11*2-，12*3，13*4-，14*5。
解析：（1）n a =21n -； （2）n a = 2(1)11n n +-+； （3）n a = (1)(1)
n
n n -+。 点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。
例2．数列{}n a 中，已知21()3
n n n a n N ++-=∈， （1）写出10a ，1n a +，2n a ； （2）2793
是否是数列中的项？若是，是第几项？ 解析：（1）∵21()3n n n a n N ++-=∈，∴10a 21010110933
+-==， 1n a +()()22111313
3n n n n +++-++==，2n a ()222421133
n n n n +-+-==； （2）令2793213
n n +-=，解方程得15,16n n ==-或， ∵n N +∈，∴15n =， 即2793
为该数列的第15项。 点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属。
题型2：数列的递推公式
例3．如图,一粒子在区域{}(,)|0,0x y x y ≥≥上运动,在第一秒内它从原
点运动到点1(0,1)B ,接着按图中箭头所示方向在
x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个
单位长度。
（1）设粒子从原点到达点n n n A B C 、、时，
所经过的时间分别为n n n a 、b 、c ，试写出}n n n a {}、{b }、{c 的通相公式； （2）求粒子从原点运动到点(16,44)P 时所
需的时间；
（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标。
解析：(1) 由图形可设12(1
,0),(2,0),,(,0)n A A A n ，当粒子从原点到达n A 时，明显有
13,a = 211,a a =+
3111234,a a a =+=+? 431,a a =+
5332054,a a a =+=+? 651,a a =+
… …
2123(21)4,n n a a n --=+-? 2211,n n a a -=+
∴2114[35(21)]n a a n -=++++- ＝2
41n -,
222114n n a a n -=+=。 221212(21)441n n b a n n n --=--=-+,
2222244n n b a n n n =+?=+。
222121(21)42(21)(21)n n c b n n n n n --=+-=-=-+-,
2222242(2)(2)n n c a n n n n n =+=+=+,
即2n c n n =+。
（2）有图形知，粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间是到达点44C 所经过得时间44c 再加（44－16）＝28秒，
所以24444282008t =++=秒。
（3）由2n c n n =+≤2004
，解得1n ≤≤n=44， 经计算，得44c ＝1980<2004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点44C ，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）。
点评：从起始项入手，逐步展开解题思维。由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在。
例4．（1）已知数列{}n a 适合：11a =，1n a +22
n n a a =
+，写出前五项并写出其通项公式；
（2）用上面的数列{}n a ，通过等式1n n n b a a +=-构造新数列{}n b ，写出n b ，并写出{}n b 的前5项。 解：（1）11a = ，223a =，324a =，425a =，526a =，……，21
n a n =+； （2）22212(1)(2)
n b n n n n =-=++++， 113b =，216b =，3110b =，4115b =，5121b =． 点评：会根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，了解递推公式是给出数列的又一种重要方法，能根据递推公式写出数列的前几项。
题型3：数列的应用
例5．湖南省2008届十二校联考第一次考试
如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同
的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
(1)设数列{}n a 是公方差为p 的等方差数列，求n a 和1n a -(2 )n n N ≥∈，的关系式；
(2)若数列{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；
(3) 设数列{}n a 是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将12310a a a a ，，，，这种顺
序的排列作为某种密码，求这种密码的个数．
(1)解：由等方差数列的定义可知：221n n a a p --=(2
)n n N ≥∈，………………5分 (2)证法一：∵{}n a 是等差数列，设公差为d ，则11n n n n a a a a d -+-=-=
又{}n a 是等方差数列，∴222211n n n n a a a a -+-=-………………………………7分
∴ 1111()()()()n n n n n n n n a a a a a a a a --+++-=+-
即211()20n n n n d a a a a d -++--=-=， …………………………………10分
∴0d =，即{}n a 是常数列．…………………………………………………11分 证法二：∵{}n a 是等差数列，设公差为d ，则1n n a a d --=……○1
又{}n a 是等方差数列，设公方差为p ，则221n n a a p --=……○
2…………7分 ○
1代入○2得，220+-=n d da p ……○3 同理有，2120-+-=n d da p ……○4
两式相减得：即212()20n n d a a d --==，…………………………………10分
∴0d =，即{}n a 是常数列．………………………………………………11分
证法三：（接证法二○1、○2）
由○1、○2得出：若0d =，则{}n a 是常数列 …………………8分
若0d ≠， 则22n d p a d
=+ 是常数, ∴0d =，矛盾…………10分 ∴ {}n a 是常数列． …………………11分
(3)依题意， 2212n n a a --=(2
)n n N ≥∈，， 214a =，242(1)22n a n n =+-=+
∴n a n a = ……………………………13分 即该密码的第一个数确定的方法数是1，其余每个数都有“正”或“负”两种
确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是92512=种，
故，这种密码共512种．…………………………………………………16分
。
点评：解决此类问题的思路是先将实际问题转化为数列模型来处理。
例6．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____）内。
答案：140 85
解析：从题目所给数据规律可以看到：收缩压是等差数列.舒张压的数据变化也很有规律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了3毫米、2毫米，…照此规律，60岁时的收缩压和舒张压分别为140；85.
点评：本题以实际问题为背景，考查了如何把实际生活中的问题转化为数学问题的能力.它不需要技能、技巧及繁杂的计算，需要有一定的数学意识，有效地把数学过程实施为数学思维活动。
题型4：等差数列的概念
例7．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ）
A.等比数列，但不是等差数列
B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列
D.既非等比数列又非等差数列
答案：B ；
解法一：a n =???≥-==????≥-=-)2( 12)1( 1)
2( )1( 11n n n a n S S n S n n n ∴a n =2n －1（n ∈N ）
又a n +1－a n =2为常数，1
2121-+=+n n a a n n ≠常数 ∴{a n }是等差数列，但不是等比数列.
解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n 的二次函数，则这个数列一定是等差数列。
点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式a n =S n －S n －1的推理能力.但不要忽略a 1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活。
例8．设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1,2,3,…），证明：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…）
证明：
1必要性：设数列}{n a 是公差为1d 的等差数列，则： --=-+++)(311n n n n a a b b )(2+-n n a a =--+)(1n n a a )(23++-n n a a =1d -1d =0， ∴1+≤n n b b （n =1,2,3,…）成立；
又2)(11+-=-++n n n n a a c c )(12++-n n a a )(323++-+n n a a =61d （常数）（n =1,2,3,…）
∴数列}{n c 为等差数列。
2充分性：设数列}{n c 是公差为2d 的等差数列，且1+≤n n b b （n =1,2,3,…），
∵2132++++=n n n n a a a c ……① ∴432232++++++=n n n n a a a c ……②
①－②得：
)(22++-=-n n n n a a c c )(231++-+n n a a )(342++-+n n a a =2132++++n n n b b b
∵+-=-++)(12n n n n c c c c 2212)(d c c n n -=-++
∴2132++++n n n b b b 22d -=……③ 从而有32132+++++n n n b b b 22d -=……④ ④－③得：0)(3)(2)(23121=-+-+-+++++n n n n n n b b b b b b ……⑤
∵0)(1≥-+n n b b ，012≥-++n n b b ，023≥-++n n b b ，
∴由⑤得：01=-+n n b b （n =1,2,3,…），
由此，不妨设3d b n =（n =1,2,3,…），则2+-n n a a 3d =（常数）
故312132432d a a a a a c n n n n n n -+=++=+++……⑥
从而3211324d a a c n n n -+=+++31524d a a n n -+=+……⑦
⑦－⑥得：3112)(2d a a c c n n n n --=-++，
故311)(21d c c a a n n n n +-=-++322
1d d +=（常数）（n =1,2,3,…）， ∴数列}{n a 为等差数列。
综上所述：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…）。
证法二：
令A n = a n+1- a n ，由b n ≤b n+1知a n - a n+2≤a n+1- a n+3。
从而a n+1- a n ≥a n+3 - a n+2,即A n ≥A n+2（n=1,2,3,…）
由c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2, c n+1 = 4a n+1 + 2a n+2 - 3 a n+3得
c n+1-c n =( a n+1- a n+2(a n+2- a n+1)+3(a n+3 - a n+2)，即
A n +2A n+1+3A n+2=d 2. ⑥
由此得
A n+2+2A n+3+3A n+2=d 2. ⑦
⑥-⑦得
(A n -A n+2)+2(A n+1- A n+3)+3(A n+2- A n+4)=0 ⑧
因为A n -A n+2≥0，A n+1- A n+3≥0，A n+2- A n+4≥0,
所以由⑧得A n -A n+2=0(n=1,2,3,…)。
于是由⑥得
4A n +2A n+1=A n+1+2A n+2+3A n+2=d 2, ⑨
从而
2A n +4A n+1=4A n+1+2A n+2=d 2 ⑩
由⑨和⑩得4A n +2A n+1=2A n +4A n+1,故A n+1= A n ,即
a n+2- a n+1= a n+1- a n (n=1,2,3,…)，
所以数列{a n }是等差数列。
点评：该题考察判断等差数列的方法，我们要讲平时积累的方法巧妙应用，有些结论可以起到事半功倍的效果。
题型5：等差数列通项公式
例9．江苏省如皋中学2007—2008学年度第二学期阶段考试高三数学（理科）
对数列{}n a ，规定{}n a ?为数列{}n a 的一阶差分数列，其中)(1N n a a a n n n ∈-=?+。 对自然数k ，规定{}n k
a ?为{}n a 的k 阶差分数列，其中
)(1111n k n k n k n k a a a a --+-??=?-?=?。
（1）已知数列{}n a 的通项公式),(2N n n n a n ∈+=，试判断{}n a ?，{}
n a 2?是否为
等差或等比数列，为什么？
（2）若数列{}n a 首项11=a ，且满足)(212N n a a a n n n n ∈-=+?-?+，求数列{}
n a 的通项公式。
（3）对（2）中数列{}n a ，是否存在等差数列{}n b ，使得n
n n n n n a C b C b C b =+++ 2211对一切自然N n ∈都成立？若存在，求数列{}n b 的通项公式；若不存在，则请说明理由。
解：（1）()()()
2211221+=+-+++=-=?+n n n n n a a a n n n ，∴{}n a ?是首项为4，公差为2的等差数列。
()()2222122=+-++=?n n a n
∴{}
n a 2?是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。
（2）n n n n a a a 212-=+?-?+，即n n n n n a a a a 211-=+?-?-?++，
即n n n a a 2=-?，∴n n n a a 221+=+
∵11=a ，∴12224?==a ，232312?==a ，342432?==a ，猜想：12-?=n n n a
证明：ⅰ）当1=n 时，01211?==a ；
ⅱ）假设k n =时，12-?=k k k a
1+=k n 时，()()111212222-++?+=+?=+=k k k k k k k k a a 结论也成立
∴由ⅰ）、ⅱ）可知，12-?=n n n a
（3）n n n n n n a C b C b C b =+++ 2211，即 122112-?=+++n n n n n n n C b C b C b
∵
()
1112111013212321------?=++++=++++n n n n n n n n n n n n C C C C n nC C C C
∴存在等差数列{}n b ，n b n =，使得n n n n n n a C b C b C b =+++ 2211对一切
自然N n ∈都成立。
点评：应用等差数列的通项公式将因式转化为只含首项和公差的式子，变元减少，因式就容易处理了。
例10．已知等比数列}{n x 的各项为不等于1的正数，数列}{n y 满足
)1,0(2l o g ≠>=a a a y n x n ，设12,18
63==y y 。 （1）求数列}{n y 的前多少项和最大，最大值为多少？
（2）试判断是否存在自然数M ，使当M n >时，1>n x 恒成立？若存在，求出相应的M ，若不存在，请说明理由；
（3）令),13(log 1N n n x a n x n n ∈>=+，试判断数列}{n a 的增减性？
解：（1）由已知得：n a n x y log 2=
设等比数列{x n }的公比为q (q ≠1) 由q x x a
x x y y a n
n n a n a n n log 2log 2)log (log 2111==-=-+++得}{n y 为等差数列，设公差为d
∵12,1863==y y ，∴d =－2； ∴n d n y y n 224)3(3-=-+= 设前k 项为最大，则1211001≤≤????≥≤+k y y k
k 012=y ∴前11项和前12项和为最大，其和为132
(2)x n =a 12-n ,n ∈N * ； 若x n ＞1，则a 12-n ＞1
当1>a 时，n ＜12，显然不成立 ；
当1210><
(3)a n =12
11log log )1(1212
1--==+--+n n a x n n a n x n ∵0)
12)(11(1121111101<---=-----=-+n n n n n n a a n n ∴n n a a <+1∴13>n 时数列{a n }为递减数列
点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律。
题型6：等差数列的前n 项和公式
例11．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
A.13项
B.12项
C.11项
D.10项
（2）设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）
A.1
B.2
C.4
D.6
（3））设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若
36S S ＝13，则612
S S ＝（ ） A ．310 B ．13 C ．18 D ．19 解析：（1）答案：A
设这个数列有n 项 ∵????
?????-+=-+=-='?+=-d n n n a S d nd a S S S d a S n n n 2)1(6332233113313 ∴???????=-+=-+=+3902)1(146)2(3334)(3111d n n n a n d a d a ∴n ＝13
（2）答案：B
前三项和为12，∴a 1＋a 2＋a 3＝12，∴a 2＝3
3S ＝4 a 1·a 2·a 3＝48，∵a 2＝4，∴a 1·a 3＝12，a 1＋a 3＝8，
把a 1，a 3作为方程的两根且a 1＜a 3，
∴x 2－8x ＋12＝0，x 1＝6，x 2＝2，∴a 1＝2，a 3＝6，∴选B.
（3）答案为A ；
点评：本题考查了数列等差数列的前n 项和公式的运用和考生分析问题、解决问题的能力。
例12．（1）设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列｛n
S n ｝的前n 项和，求T n 。 （2）已知数列｛b n ｝是等差数列，b 1=1，b 1+b 2+…+b 10=100.
（Ⅰ）求数列｛b n ｝的通项b n ；
（Ⅱ）设数列｛a n ｝的通项a n =l g （1+n
b 1），记S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，试比较S n 与2
1l gb n +1的大小，并证明你的结论。 解析：（1）设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则 S n =na 1＋
21n （n －1）d ．∴S 7＝7，S 15＝75， ∴???=+=+,7510515,721711d a d a 即???=+=+,
57,1311d a d a 解得a 1＝－2，d ＝1．∴n
S n ＝a 1＋21（n －1）d ＝－2＋21（n －1）。 ∵2
111=-++n S n S n n ， ∴数列｛n
S n ｝是等差数列，其首项为－2，公差为21， ∴T n ＝41n 2－4
9n ．
（2）（Ⅰ）设数列｛b n ｝的公差为d ，由题意得?????=-+=.1002
)110(1010,111d b b 解得???==.
2,11d b ∴b n =2n －1. （Ⅱ）由b n =2n －1，知
S n =l g （1+1）+l g （1+31）+…+l g （1+1
21-n ） =l g ［（1+1）（1+31）…（1+1
21-n ）］， 2
1l gb n +1=l g 12+n . 因此要比较S n 与
21l gb n +1的大小，可先比较（1+1）（1+31）…（1+121-n ）与12+n 的大小.
取n =1，有（1+1）＞
112+?， 取n =2，有（1+1）（1+3
1）＞122+?，…… 由此推测（1+1）（1+31）…（1+1
21-n ）＞12+n . ① 若①式成立，则由对数函数性质可断定：S n ＞2
1l gb n +1。 下面用数学归纳法证明①式。
（i ）当n =1时已验证①式成立。
（ii ）假设当n =k （k ≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+31）…（1+1
21-k ）＞12+k .
那么，当n =k +1时，（1+1）（1+31）…（1+1
21-k ）［1+1)1(21-+k ］＞12+k ·（1+121+k ）=1
212++k k （2k +2）。 ∵［1
212++k k （2k +2）］2－（32+k ）2 ＝01
2112)384(48422>+=+++-++k k k k k k ， ∴.1)1(232)22(1
212++=+>+=+k k k k k . 因而
.1)1(21211)(1211()311)(11(++>++-+++k k k 这就是说①式当n =k +1时也成立.
由（i ），（ii ）知①式对任何正整数n 都成立.
由此证得：S n ＞2
1l gb n +1。 评述：本题主要考查等差数列的求和公式的求解和应用，对一些综合性的问题要先理清思路再行求解。
题型7：等差数列的性质及变形公式
例13．（1）设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．
的是（ ） A.d ＜0 B.a 7＝0
C.S 9＞S 5
D.S 6与S 7均为S n 的最大值 （2）等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）
A.130
B.170
C.210
D.260
解析：（1）答案：C ；
由S 50，
又S 6=S 7，∴a 1+a 2+…+a 6=a 1+a 2+…+a 6+a 7，∴a 7=0，
由S 7>S 8，得a 8<0，而C 选项S 9>S 5，即a 6+a 7+a 8+a 9>0?2（a 7+a 8）>0，
由题设a 7=0，a 8<0，显然C 选项是错误的。
（2）答案：C 解法一：由题意得方程组???????=-+=-+1002
)12(22302)1(11d m m ma d m m ma ，
视m 为已知数，解得2
12)2(10,40m m a m d +==， ∴210402)13(3)2(1032)13(3322113=-++=-+=m
m m m m m d m ma ma S m 。 解法二：设前m 项的和为b 1，第m +1到2m 项之和为b 2，第2m +1到3m 项之和为b 3，则b 1，b 2，b 3也成等差数列。
于是b 1=30，b 2=100－30=70，公差d =70－30=40。
∴b 3=b 2+d =70+40=110
∴前3m 项之和S 3m =b 1+b 2+b 3=210.
解法三：取m =1，则a 1=S 1=30，a 2=S 2－S 1=70，从而d =a 2－a 1=40。
于是a 3=a 2+d =70+40=110.∴S 3=a 1+a 2+a 3=210。
点评：本题考查等差数列的基本知识，及灵活运用等差数列解决问题的能力，解法二中是利用构造新数列研究问题，等比数列也有类似性质.解法三中，从题给选择支获得的信息可知，对任意变化的自然数m ，题给数列前3m 项的和是与m 无关的不变量，在含有某种变化过程的数学问题，利用不变量的思想求解，立竿见影。
例14．在XOY 平面上有一点列P 1（a 1，b 1），P 2（a 2，b 2），…，P n （a n ，b n ），…，对每个自然数n ，点P n 位于函数y =2000（10
a ）x （0＜a ＜10＝的图象上，且点P n 、点（n ，0）与点（n +1，0）构成一个以P n 为顶点的等腰三角形。
（Ⅰ）求点P n 的纵坐标b n 的表达式；
（Ⅱ）若对每个自然数n ，以b n ，b n ＋1，b n ＋2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围；
（Ⅲ）（理）设B n ＝b 1，b 2…b n （n ∈N ）.若a 取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，求数列｛B n ｝的最大项的项数。
（文）设c n ＝l g （b n ）（n ∈N ）.若a 取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，问数列｛c n ｝前多少项的和最大?试说明理由。
解析：.解：（Ⅰ）由题意，a n ＝n ＋21，∴b n ＝2000（10
a ）21+n 。 （Ⅱ）∵函数y =2000（10
a ）x （0＜a ＜10）递减， ∴对每个自然数n ，有
b n ＞b n ＋1＞b n ＋2
则以b n ，b n ＋1，b n ＋2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n ＋2＋b n ＋1＞b n ， 即（10a ）2＋（10
a －1）＞0， 解得a ＜－5（1＋
5）或a ＞5（5－1）， ∴5（5－1）＜a ＜10．
（Ⅲ）（理）∵5（
5－1）＜a ＜10， ∴a =7，b n ＝2000（10
7）21
+n 。 数列｛b n ｝是一个递减的正数数列.对每个自然数n ≥2，B n ＝b n B n －1。
于是当bn ≥1时，B n ≥B n －1，当b n ＜1时，B n ＜B n －1，
因此，数列｛B n ｝的最大项的项数n 满足不等式b n ≥1且b n ＋1＜1。
由b n ＝2000（10
7）21
+n ≥1，得n ≤20.8，∴n =20。 （文）∵5（5－1）＜a ＜10，∴a =7，b n ＝2000（10
7）21
+n 。 于是c n ＝l g ［2000（10
7）21+n ］＝3＋l g 2（n ＋21）l g 0.7 数列｛c n ｝是一个递减的等差数列.
因此，当且仅当c n ≥0，且c n ＋1＜0时，数列｛c n ｝的前n 项的和最大。
由c n ＝3＋l g 2＋（n ＋2
1）l g 0．7≥0，
得n ≤20.8，∴n =20。
点评：本题主要考查函数的解析式，函数的性质，解不等式，等差、等比数列的有关知识，及等价转化，数形结合等数学思想方法.
五．思维总结
1．数列的知识要点：
（1）数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集N （或它的有限子集｛1，2，3，…，n ，…｝）上的函数f （n ），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值：f （1），f （2），f （3），…，f （n ），…。数列的图象是由一群孤立的点构成的。
（2）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式；③一个数列还可以用递推公式来表示；④在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。即a n ＝???≥-=-)2()1(11n S S n S n n 。特别要注意的是，若a 1 适合由a n ＝S n －S n －1（n ≥2）可得到的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子。
2．等差数列的知识要点：
（1）等差数列定义a n ＋1－a n ＝d （常数）（n ∈N ），这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如a 3－a 2＝a 2－a 1＝d （常数）就说｛a n ｝是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列。还可由a n ＋a n ＋2＝2 a n ＋1 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n 来判断。
（2）等差数列的通项为a n ＝a 1＋（n －1）d ．可整理成a n ＝a n ＋（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式，它的图象是一条直线上，那么n 为自然数的点的集合。
（3）对于A 是a 、b 的等差中项，可以表示成2 A ＝a ＋b 。
（4）等差数列的前n 项和公式S n ＝
21n a a +·n －na 1＋2)1(-n n d ，可以整理成S n ＝2
d n 2＋n d a )2(1-。当d ≠0时是n 的一个常数项为0的二次式。 （5）等差数列的判定方法：
①定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列； ②等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。
3．等差数列的性质：
（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是AP ， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；
（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m a a d n m
-=-()m n ≠； （4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；
5．说明：设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 奇-S 偶nd =； ② 1
n n S a S a +=奇偶；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 偶-S 奇n a a ==中；②
1
S n S n =-奇偶。 6．（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥??≤?或1
00n n a a +≤??≥?。
普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版] 高三新数学第一轮复习教案（讲座28）—数列概念及等差数列 一．课标要求： 1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数； 2．通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式； 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等差数列与一次函数的关系。 二．命题走向 数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高。 预测07年高考： 1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题； 2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题。 三．要点精讲 1．数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当
等差数列的概念教案 【教学目标】 知识与技能：1、理解等差数列的定义，能根据定义判断一个数列是否为等差数列； 2、了解公差的概念，会求一个给定等差数列的首项与公差； 3、理解等差中项的 概念，会利用等差中项解决相应的简单的等差数列问题。 过程与方法：1、通过对情景问题的分析理解和归纳概括，了解等差数列的简单产生过程； 2、通过解决基本等差数列问题的过程，加深对等差数列概念、公差、等差中项的理解； 情感态度与价值观：1、通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察能力、分析探索能力激发学生积极思考，追求新知的创新意识； 2、通过解决等差数列概念的基本问题，培养学生分析问题解决问题的能力，提高学生的运算能力。 【教学重点】1、理解等差数列的定义，理解等差中项的概念；2、了解公差的概念，根据给定的等差数列求公差。 【教学难点】探索等差数列定义的形成过程。 【教学方法】情境教学法、自主探究法、讲练结合法 【教学用具】黑板电子白板 【教学课型】新授课 【教学设想】本课教学，重点是等差数列的概念，在讲概念时，通过创设情境引导学生分析出等差数列的特点，从而引出等差数列的定义，进一步引导学生通过定义来判断一个数列是否是等差数列。整个过程以学生自主思考、合作探究、教师适时点拨为主，真正体现课堂教学中学生的主体作用。 【教学准备】1、教师认真备课、制作课件、布置预习内容； 2、学生认真阅读课本内容，标出关键词以及不理解的地方，完成预习内容，做好上课准备。【教学过程】
教学环节学习内容 学生 活动 教师 活动 设计意 图 课前预 习 阅读书本P7-9内容，在等差数列定义中的关 键词下面用彩笔画线 自主 完成 抽查 反馈 了解预 习效果 活动一 创设 情境 、 导入 新课 （5分钟） 在 现实生活中，我们会遇到下面的特殊数列。 情境1:我们经常这样数数，从0开始，每隔5 数一 次，可以得到数列：0,5,,,,，…。 情境2: 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会 上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置 了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列 （单位：kg）: 48，53, 63。 情境3:水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的 生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂 鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水 位降低2.5m，最低降至5.5m。那么从开始放水算 起，至V可以进行清理工作的那天，水库每天的水 位组成数列（单位：m）： 18，15.5，，，，5.5。 独立 思考 并完 成这 三个 数列 引导 学生 分析 比较 每个 数列 的特 占 通过 具体 问题 引出 等比 数列 的定 义 活动二 数学建构、引入概念（5分钟）观察：上面三个数列有什么共同特点？ 思考：1、等差数列的定义是怎样的？ 2、定义中有哪些关键词？ 3、公差用什么子母表示？ 4、等差数列的定乂如何用符号语言表示？ 结合 课本 定义 独立 思考 后回 答 板书 定义 及注 意点 用彩 色粉 笔画 出关 键词 引导 学生 理解 概念， 让学 生经 历观 察、猜 测、抽 象、概 括、的 思维 过程 活动三 例题精讲 、 探究 知新（10分钟） 例1:下列数列是否为等差数列？若是，写出其首项 及公差。 (1)2, 5, 8, 11，14; (2)1, 1, 1, 1, 1; (3)1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0,……； (4)-3, -2, -1, 1, 2, 3。 例2:求下列等差数列中的未知项。 (1)3, a , 5; (2)3, b , c, -9; 独立 思考 后完 成 巡视 并记 录存 在的 问题 个别 指导 集体 反馈 通过 具体 的例 子， 加深 学生 对等 差数 列概 念的 认识
等差数列的定义及性质 ?等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a n+1-a n=d。 ?等差数列的性质： （1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则a m＝a n+(m-n)d； （4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a s+a t=a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a s+a t=2a p； （5）若数列｛a n｝，｛b n｝均是等差数列，则数列｛ma n+kb n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。 （6） （7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）仍为等差数列，公差为
?对等差数列定义的理解： ①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同 一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． ②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数 列；当d<0时，数列为递减数列； ④是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据； ⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a n+1-a n是一个与n无关的常数即可。 等差数列求解与证明的基本方法： (1)学会运用函数与方程思想解题； (2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键； (3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，a n，S n，知道其中任意三 个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
等差数列的概念及通项公式 【学习目标】 1. 准确理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解 决等差数列的相关问题 2. 通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生 对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力 3?激情参与、惜时高效，禾U 用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值 【重点】：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用 【难点】：对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用 【学法指导】 1.阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法 ； 2.完成教材助读设置的问题，然后结 合课本的基础知识和例题，完成预习自测； 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑” 一、知识温故 1?数列有几种表示方法？ 2?数列的项与项数有什么关系？ 3函数与数列之间有什么关系？ 教材助读 1?一般地，如果一个数列从第 ________ 项起，每一项与它的前一项的差等于 ____________ 常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ___________ ，公差通常用字母 ___________________________ 表示。 2.由三个数a 、A 、b 组成的 ___________ 数列可以看成最简单的等差数列。这时 A 叫做a 与b 的等差数列即 3. 如果数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则a 2 a 1 a 5 a 1 4.通项公式为a n =an+b （a,b 为常数）的数列都是等差数列吗？反之，成立吗? ,a 3 a 1 a 4 a 1 1. 等差数列a 2d , a ,a 2d ?' A . a n a (n 1)d B. C . a n a 2(n 2)d D. 2.已知数列｛, a n } 的通项公式为 a n A . 2 B. 3 C. 2 3. 已知a 1 b - 1 ?的通项公式是（ a (n 3)d a 2nd 2n ，则它的公差为（ D. 3 ，则a 与b 的等差中项为 【预习自测】 a n a n
等比数列与等差数列概念及性质对比 1．数列的定义 顾名思义，数列就是数的序列，严格地说，按一定次序排列的一列数叫做数列． 数列的基本特征是：构成数列的这些数是有序的． 数列和数集虽然是两个不同的概念，但它们既有区别，又有联系．数列又是一类特殊的函数．2．等差数列的定义 顾名思义，等差数列就是“差相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列． 这个定义的要点有两个：一是“从第2项起”，二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”．这两个要点，刻画了等差数列的本质． 3．等差数列的通项公式 等差数列的通项公式是：a n= a1＋（n－1）d ．① 这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程，又可将a n看作关于变量n的函数，这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具． 从发展的角度看，将通项公式①进行推广，可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质，并由此揭示等差数列公差的几何意义，同时也可揭示在等差数列中，当某两项的项数和等于另两项的项数和时，这四项之间的关系． 4．等差中项 A称作a与b的等差中项是指三数a，A，b成等差数列．其数学表示是： 2b a A + =，或2 A=a＋b． 显然A是a和b的算术平均值． 2 A=a＋b（或 2b a A + =）是判断三数a，A，b成等差数列 的一个依据，并且，2 A=a＋b（或 2b a A + =）是a，A，b成等差数列的充要条件．由此得，等差数列中从第2项起，每一项（有穷等差数列末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项． 值得指出的是，虽然用2A=a＋b（或 2b a A + =）可同时判定A是a与b的等差中项及A是b 与a的等差中项，但两者的意义是不一样的，因为等差数列a，A，b与等差数列b，A，a不是同一个数列． 5．等差数列前n项的和
课题§6.2.1 等差数列的概念说课稿 尊敬的各位领导各位老师 大家上午好！ 今天我说课内容是选自人教版数学（基础模块）下册第六章第二节《等差数列的概念》，本节是第一课时。下面我将从说教材、说学生、说教法与学法、说教学过程设计等方面来对本节课进行说明。 一、教材分析 1.教材的地位与作用 等差数列是数列这一章的重要内容之一，它在实际生活中有广泛的应用。本节内容是学生在学习了数列的有关概念的基础上，对数列的知识进一步深入学习和拓展。同时等差数列的学习也为今后继续学习等比数列提供了学习对比的依据。所以，本节课在知识结构上起着承上启下的作用。 2、教学目标 根据教学大纲与学生的实际情况我制定如下教学目标： 【知识目标】 a.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式。 b. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题。 【能力目标】 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力；提高学生分析问题解决问题的能力。 【情感目标】 a．让学生体验从特殊到一般的认知规律，培养学生勇于创新的
科学精神。 b. 让学生养成细心观察、认真分析问题的良好的思维习惯。 3.教学重难点 【教学重点】 等差数列的概念和通项公式。 【教学难点】 等差数列的通项公式推导过程及灵活应用。 二、学情分析 中职学生数学基础比较薄弱，但作为高中生他们本身具备一定的观察，思考，分析能力。前面已对数列的知识有了初步的接触与认识，对数学公式运用已具备一定的技能，针对学生的这些情况我在教学中从学生的生活经验和已有的知识背景出发，充分调动学生的积极性，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位。 三、教法与学法 【教法分析】 本节课我采用启发式、小组探究法以及讲练结合的教学方法。通过问题激发学生求知欲，在教师的启发引导下，使学生主动参与数学实践活动，让学生去分析、探索，得到结论。从而使学生既获得知识又发展智能。通过讲练结合法可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 【学法分析】 在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去观察分析，探索新知。同时鼓励学生大胆质疑，学会探究，把思路方法和需要解决的问题弄清。 四、教学过程设计
2.2 等差数列概念、通项公式、性质 第1课时 等差数列的概念及通项公式 题型一 等差数列的概念 例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a ，a ，a ，a ，a ，…. 跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5(n ∈N ＋)，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列 题型二 等差中项 例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列． 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项． 题型三 等差数列通项公式的求法及应用 例3 在等差数列{a n }中， (1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10. 跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项； (2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 等差数列的判定与证明 典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n ，且a 1＝1. (1)证明：数列???? ??a n 3n 是等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式． 典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)． (1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由； (2)求{a n }的通项公式． 【课堂练习】 1．下列数列不是等差数列的是( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2 2．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n (n ∈N ＋)，则它的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 3．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13 的等差数列 C ．公差为－13 的等差数列 D ．不是等差数列 5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( ) A ．92 B ．47 C ．46 D ．45 1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)?{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)?{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)?{a n }是等差数列． 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可． 2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量. 【巩固提升】 一、选择题 1．设数列{a n }(n ∈N ＋)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A ．52 B ．62 C ．－62 D ．－52 3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( )
§2.2第1 课时 等差数列的概念 教学目标 （1）能准确叙述等差数列的定义； （2）能用定义判断数列是否为等差数列； （3）会求等差数列的公差及通项公式。 教学重点，难点 等差数列的定义及等差数列的通项公式。 教学过程 一．问题情境 1．情境：观察下列数列：： 4，5，6，7，8，9，10，……； ① 3，0，3-，6-，……， ② 第23届到第28届奥运会举行的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004 ③ 某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费0.2元，以后每分钟收话费0.1元，那么通话费按从小到大的次序依次为： 0.2,0.20.1,0.20.12,0.20.13,++?+? ④ 如果1年期储蓄的月利率为1.65%，那么将10000元分别存1个月， 2个月 ， 3个月 ， …… 12个月，所得的本利和依次为 100001000016.5,1000016.52,1000016.512++?+? ， ⑤ 2．问题：上面这些数列有何共同特征？ 二．学生活动 对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于1； 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于3-； 对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于4； 对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于0.1； 对于数列⑤，从第2项起，每一项与前一项的差都等于16.5； 规律：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。 三．建构数学 1．等差数列定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥． 思考：
2.2等差数列的概念及通项公式 【基础练习】 1.写出数列的一个通项公式，使它的前四项分别是下列各数 (1).1，3，5，7 (2).2，4，6，8 (3).4，7，10，13 (4).101，51，103，5 2 2.如果12+=n a n ，则____12=-a a ，____23=-a a ，____1=-+n n a a .根据其特点，你得出的结论是_____________. 3.某货运公司的一种计费标准是：1公里以内收费5元，以后每1公里收2.5元，如果运输某批货物80公里，那么需支付_______元运费. 4.已知数列{}n a 满足11=a ，11+=+n n a a ，求=n a _______. 5. .已知数列{}n a 满足11=a ， 1111=-+n n a a ，求n a . 【巩固练习】 1.已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是 ( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2.{}n a 使首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （ ） A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 3.如果数列}{n a 是等差数列，则 （ ） A.5481a a a a +<+ B.5481a a a a +=+ C.5481a a a a +>+ D.5481a a a a = 4.在首项为81，公差为－7的等差数列{a n }中，最接近零的是第 （ ） A ．11项 B ．12项 C ．13项 D ．14项 5.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113 a a - 的值为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 6.等差数列{}n a 中，p a q =，q a p =（p q ≠），那么p q a +=
台州市高三期未统考参考答案（文） 一、1—5 CAADD 6—10 CBBBC 二、11．21 12．3 π 13．3 14．20 三、15．(1)由题意得x x f 2sin 3)(=，则T π=；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分 (2)由222,22k x k k Z π π ππ-+≤≤+∈，解得,44k x k k Z π π ππ-+≤≤+∈， 则()f x 的单调递增区间是,44k k k Z ππππ??-++∈???? ┅┅┅┅┅┅┅┅┅14分 16． (1)由题意得2214a a a =,则()()21113a d a a d +=+, 解得21a d d = , ∵0d ≠ ∴1a d =；┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分 (2)∵101109101102 s a d ?=+=, ∵1a d = , ∴12a d == , ∴2n a n = ┅┅14分 17．（1）∵⊥1BB 面A 1B 1C 1D 1，⊥1DD 面A 1B 1C 1D 1，∴BP 在面A 1B 1C 1D 1的射影是B 1D 1，又∵1111C A D B ⊥ ∴PB ⊥A 1C 1；… 7分 （2）连结BC 1，PC 1，BC 1//AD 1，则1PBC ∠或其补角为PB 与AD 1所成的角，又2 22cos 1212121=?-+=∠BC BP PC BC BP BPC ，所以41π =∠PBC ；…14分 18．(1) P(x)=R(x)-C(x)=-10x 3+45x 2+3240x-5000 ([]1,20x N x ∈∈且)┅6分 (2) P ’(x)=-30x 2+90x+3240=-30(x+9)(x-12) ([]1,20x N x ∈∈且)┅9分 当1 等差数列的概念、等差数列的通项公式 从容说课 本节课先在具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动观察——分析概括——师生互动，形成概念——启发引导，演绎结论——拓展开放，巩固提高.在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究. 在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位.创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认知能力.使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的.学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化. 教学重点理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题. 教学难点(1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用; (2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式. 教具准备多媒体课件，投影仪 三维目标 一、知识与技能 1.了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 2.正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项. 二、过程与方法 1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力； 2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性. 三、情感态度与价值观 通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识. 教学过程 导入新课 师上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表示数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点.下面我们看这样一些数列的例子：(课本P41页的4个例子) (1)0，5，10，15，20，25，…; (2)48，53，58，63，…; (3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…; (4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，…. 请你们来写出上述四个数列的第7项. 生第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四个数列的第7项为10 510. 师我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说. 生这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7 等差数列的概念、性质 教学目标 教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系； 教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。 知识梳理 1. 等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 来表示。用递推关系系表示为()1n n a a d n N ++-=∈或()12,n n a a d n n N -+-=≥∈ 2. 等差数列的通项公式 若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则()11n a a n d =+- 3. 等差中项 如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项 4. 通项公式的变形 对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有： ()11p a a p d =+- ()11q a a q d =+- 两式相减，得()p q a a p q d =+- 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>= 5. 等差数列与函数的关系 由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。 6. 等差数列的性质及应用 （1）12132...n n n a a a a a a --+=+=+= （2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数） （3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数） （4）()n m a a n m d =+-（,m n 都是正整数） （5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈ （6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列 （7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列 典例讲练 类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解 例1.（2015河北唐山月考）数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n = A.672 B.673 C.662 D.663 解析：由题意得()()1111334,n a a n d n n =+-=-+-?=-令2015n a =，解得673n = 答案：B 练习1. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n = A.669 B.673 C.662 D.663 答案：A 练习2. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n = A.669 B.668 C.662 D.663 答案：B 例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-6 解析：由题意知670,0a a ≥< 所以有 1152350 62360a d d a d d +=+≥+=+<解得 2323,456 d d Z d -≤<-∈∴=- 答案：C 练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 答案：D 练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2013年普通高考数学科一轮复习精品学案 数列概念及等差数列 一．课标要求： 1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数； 2．通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式； 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等差数列与一次函数的关系。 二．命题走向 数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高。 预测2013年高考： 1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题； 2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题。 三．要点精讲 1．数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为的项叫第项（也叫通项）记作； 数列的一般形式：，，，……，，……，简记作。 （2）通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 例如，数列①的通项公式是= （7，），数列②的通项公式是=（）。 说明：①表示数列，表示数列中的第项，= 表示数列的通项公式； ②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，= =；③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 《等差数列》的教学设计 一．设计思想 数学是思维的体操，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体，新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能在让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。基于以上认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情境，让学生自己去发现、证明。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题解决问题的能力，培养了他们的创造力。这正是新课程所倡导的数学理念。 本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。 二．教材分析 高中数学必修五第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时。研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。 本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。 三．学情分析 学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。同时思维的严密性还有待加强。 等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为an+1-an=d。 等差数列的性质： （1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则am＝an+(m-n)d； （4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有as+at=2ap； （5）若数列｛an｝，｛bn｝均是等差数列，则数列｛man+kbn｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。 （6） （7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）仍为等差数列，公差为 对等差数列定义的理解： ①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． ②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列； ④是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据； ⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a n+1-a n是一个与n无关的常数即可。 等差数列求解与证明的基本方法： (1)学会运用函数与方程思想解题； (2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键； (3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，a n，S n，知道其中任意三个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)． 课 题： 3.1 等差数列（一） 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 教学过程： 一、复习引入： 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n 项和公式..这些方法从不同的角度反映数列的特点下面 我们看这样一些例子 1．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5个今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，… （问：多少天后他的单词量达到3000？） 2．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达她打算从今天起不再背单词 了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，… （问：多少天后她那3000个单词全部忘光？） 从上面两例中，我们分别得到两个数列 ① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2980，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ ·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列 是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差 是d ，则据其定义可得： d a a =-12即：d a a +=12 d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+= 《等差数列的概念》教学设计 一、教材分析 本节内容是北师大版高中数学必修五第一章第二节——等差数列，两课时内容，本节是第一课时。研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式,并且会用公式解决一些简单问题。 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分，同时也为培养学生观察问题、启发学生思考问题做好了素材。等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。 二、设计思想 数学是培养学生分析问题、解决问题的能力，数学教学强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。基于此认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情境，让学生自己去发现、证明。让学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，从而激发学生的学习兴趣，提高他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养他们的创造力。 三、教学策略 在实例的基础上，采用从特殊到一般，再从一般到特殊的思想，结合学生的实际情况，及本节内容的特点，我采用的是“问题教学法”，其主导思想是以探究式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论。 教学手段：多媒体计算机和传统黑板相结合。通过计算机演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中。而保留使用黑板则能让学生更好的经历整个教学过程。 四、学情分析 我所教学的学生是我校高二（3）、（4）班的学生，经过一年的学习，学生已储备一定的基础知识，也已适应高中的学习生活，智力也有所发展，并且具备了一定的思维能力、运算能力、推理能力。但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 五、教学目标 1．知识与能力：理解等差数列概念，掌握等差数列的通项公式。 2．过程与方法：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力。 3．情感、态度、价值观：体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，提高数学猜想、归纳的能力。加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣。 六、教学重点、难点 重点：等差数列的概念及通项公式的推导。 难点：对等差数列概念的理解及概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法及通项公式的应用。 七、教学准备 搜集资料、教师精心制作课件、学生提前预习。 八．教学过程 （一）、导入 提问：数列的概念和通项公式是什么？ 3.2等差数列的性质 教学目标： 1、掌握等差中项的概念和应用。 2、理解等差数列的简单性质。 3、理解和掌握等差数列通项公式的一般形式()n m a a n m d =+-以及其推导过程。 教学重难点： 1、 等差中项的应用。 2、 等差数列通项公式的一般形式()n m a a n m d =+-的推导及应用。 3、 等差数列其他性质的推究。 内容分析：本节是在学习了等差数列的概念及其通项公式的基础上进一步探究，学习等差数列的性质。 教学过程： 1、 复习回顾： 等差数列的概念：从第二项起，每一项于它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列称为等 差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d 表示。 等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，（n=1、2、3……） {}n a 是等差数列，取下标为奇（偶）数的项，按原来的顺序组成的新数列{}{}()212n n a a -还是等差 数列，公差是2d 。 新课讲授： ⅰ思考题目：在x 、y 之间插入一个数A ，使得x 、A 、y 成等差数列，问A 与x 、y 之间有何关 系。（让学生思考，上黑板写出自己的答案，老师分析推导过程） 评讲及过程分析： A —x=y —A ………………（根据等差数列的定义） 2A=x+y A=x 2 y + 归纳：若x 、A 、y 成等差数列，则A= x 2y +。 提问 反过来若A=x 2 y +，是否能推倒出若x 、A 、y 成等差数列？ （先让学生思考）显然，将上述的过程逆向推导便可知A —x=y —A ，则x 、A 、y 成等差数列。 总结：x 、A 、y 成等差数列? A= x 2y +（充要条件） 定义：若x 、A 、y 成等差数列，则A 叫做x 、y 的等差中项。 拓展提问： ①等差数列中的任意连续3项，中间项与两端项有何关系？ （中间项×2=两端项之和） ②等差数列中，任一项是它两端项的等差中项？合理吗? （对于有穷数列，除首、尾两项外的项都是它两端项的等差中项 对于无穷数列，除首项外的项都是它两端项的等差中项） 例：在，9、17之间插入3个数，使这5个数成等差数列，这三个数分别是多少？ 分析讲解：设这3个数分别是x 、y 、z ，由9、x 、y 、z 、17成等差数列，等差数列中下标为 奇数的项也成等差数列，则等差数列的概念、等差数列的通项公式 说课稿 教案
人教版高数必修五第4讲：等差数列的概念、性质（教师版）
数列概念及等差数列
《等差数列》的教学设计
等差数列的定义及性质
高中数学等差数列教案
高二数学《等差数列的概念》教学设计
等差数列的性质
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