§2.9 函数的图象
2014高考会这样考 1.考查基本初等函数的图象；2.考查图象的性质及变换；3.考查图象的应用．
复习备考要这样做 1.会画一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数的图象； 2.掌握常见的平移、伸缩、对称三种图象变换；3.利用图象解决一些方程解的个数，不等式解集等问题，巩固数形结合思想．
1． 描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2． 图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y ＝f (x )――→关于x 轴对称
y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；
④y ＝a x (a >0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)翻折变换
①y ＝f (x )――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． (4)伸缩变换
①y ＝f (x )
y ＝f (ax )．
②y ＝f (x )――――――――――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变
0 1．数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点．作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置． 2．图象的每次变换都针对自变量而言，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个 单位．其中的x 变成x －1 2 . 3．要理解一个函数的图象自身的对称性和两个不同函数图象对称关系的不同． 1． 为了得到y ＝1 2 ×2x 的图象，可以把函数y ＝2x 的图象向________平移________个单位长 度． 答案 右 1 2. 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所 示，则不等式f (x )<0的解集是______________． 答案 (－2,0)∪(2,5] 3． 把函数y ＝f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象 对应的函数的解析式是______________． 答案 y ＝(x －1)2＋3 解析 把函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，即把其中x 换成x ＋1，于是得到y ＝ [(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3. 4. 如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为 (0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ??? ?1 f (3)的值为________． 答案 2 解析 由图象知f (3)＝1，∴1 f (3) ＝1， ∴f ?? ?? 1f (3)＝f (1)＝2. 5． 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是______________． 答案 []1－22，3 解析 由y ＝3－ 4x －x 2， 得(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)． ∴曲线y ＝3－ 4x －x 2是半圆，如图中实线所示． 当直线y ＝x ＋b 与圆相切时， |2－3＋b | 2 ＝2.∴b ＝1±2 2. 由图可知b ＝1－2 2.∴b 的取值范围是[] 1－22，3. 题型一 作函数图象 例1 分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋ 2； (3)y ＝x 2－2|x |－1; (4)y ＝x ＋2 x －1 . 思维启迪：根据一些常见函数的图象，通过平移、对称等变换可以作出函数图象． 解 (1)y ＝? ???? lg x (x ≥1)， －lg x (0 (2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图②. (3)y ＝? ???? x 2－2x －1 (x ≥0) x 2＋2x －1 (x <0).图象如图③. (4)因y ＝1＋3x －1 ，先作出y ＝3 x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单 位，即得y ＝x ＋2 x －1 的图象，如图④. 探究提高 (1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1 x 的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折 变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程． 作出下列函数的图象： (1)y ＝|x －2|(x ＋1)；(2)y ＝10|lg x |. 解 (1)当x ≥2，即x －2≥0时， y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝????x －122－94； 当x <2，即x －2<0时， y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－????x －122＋9 4 . ∴y ＝ ??? ????x －122－94 ，x ≥2， －????x －122 ＋9 4，x <2. 这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)． (2)当x ≥1时，lg x ≥0，y ＝10|lg x |＝10lg x ＝x ； 当0 x . ∴y ＝????? x ，x ≥1，1x ，0 这是分段函数，每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出(如图)． 题型二 识图、辨图 例2 函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21 －x 在同一直角坐标系下的图象大致是下列图形中的 ________(填序号)． 思维启迪：在同一坐标系中判断两个函数的图象，可利用两个函数的单调性、对称性或特征点来判断． 答案 ③ 解析 f (x )＝1＋log 2x 的图象由函数f (x )＝log 2x 的图象向上平移一个单位而得到，所以函数图象经过(1,1)点，且为单调增函数，显然，①中单调递增的函数经过点(1,0)，而不是(1,1)，故不满足； 函数g (x )＝21－x ＝2×????12x ，其图象经过(0,2)点，且为单调减函数，②中单调递减的函数与y 轴的交点坐标为(0,1)，故不满足；④中两个函数都是单调递增的，故也不满足．综上③为所求． 探究提高 函数图象的识辨可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象． 函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log|b a |x (a b ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是 ________．(填序号) 答案 ④ 解析 函数y ＝ax 2＋bx 的两个零点是0，－b a . 对于①，②，由抛物线的图象可知，－b a ∈(0,1)， ∴????b a ∈(0,1)，相应的函数y ＝log|b a |x 应为减函数，从而可知①，②均不符合； 对于③，由抛物线的图象可知，a <0，－b a <－1，∴b <0且b a >1，∴???? b a >1，∴函数y ＝ log|b a |x 应为增函数，因此③不正确； 对于④，由抛物线的图象可知，a >0，－b a ∈(－1,0)， ∴????b a ∈(0,1)，满足y ＝log|b a |x 为减函数，因此④正确． 题型三 函数图象的应用 例3 已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性； (2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}． 思维启迪：利用函数的图象可直观得到函数的单调性，方程解的问题可转化为函数图象交点的问题． 解 f (x )＝? ???? (x －2)2－1， x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)－(x －2)2 ＋1， x ∈(1，3) 作出函数图象如图． (1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)； 函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]． (2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)． 由图知0 探究提高 (1)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质． (2)利用函数图象可以解决一些形如f (x )＝g (x )的方程解的个数问题． (1)(2011·课标全国)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有________个． (2)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________． 答案 (1)10 (2)1 4 解析 (1)观察图象可知，共有10个交点． (2)y ＝????? x 2－x ＋a ，x ≥0， x 2＋x ＋a ，x <0， 作出图象，如图所示． 此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14<1 ∴1 4 . 高考中的函数图象及应用问题 高考中和函数图象有关的题目主要有三种形式： 一、已知函数解析式确定函数图象 典例：(5分)(2012·山东)函数y ＝cos 6x 2x －2－x 的图象大致为________．(填序号) 考点分析 本题考查识图能力，考查对函数性质的灵活应用． 求解策略 利用函数的奇偶性和函数值的变化规律求解． ∵y ＝f (x )＝cos 6x 2x －2－x ，∴f (－x )＝cos (－6x )2－x －2x ＝－f (x )， ∴f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除①； 当x从正方向趋近0时，y＝f(x)＝cos 6x 趋近＋∞，排除②； 2x－2－x 趋近0，排除③. 当x趋近＋∞时，y＝f(x)＝cos 6x 2x－2－x 答案④ 解后反思(1)确定函数的图象，要从函数的性质出发，利用数形结合的思想． (2)对于给出图象的选择题，可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除． 二、函数图象的变换问题 典例：(5分)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象 大致为________．(填序号) 考点分析本题考查图象的变换问题，函数图象的变换有平移变换、伸缩变换、对称变换，要理解函数图象变换的实质，每一次变换都针对自变量“x”而言． 求解策略要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x 轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知③图象正确． 答案③ 解后反思对图象的变换问题，从f(x)到f(ax＋b)，可以先进行平移变换，也可以先进行伸缩变换，要注意变换过程中两者的区别． 三、图象应用 典例：(10分)讨论方程|1－x|＝kx的实数根的个数． 考点分析本题考查绝对值的意义，考查分类讨论思想和数形结合思想． 求解策略可以利用函数图象确定方程实数根的个数． 规范解答 解设y＝|1－x|，y＝kx，则方程的实根的个数就是函数y＝|1－x| 的图象与y＝kx的图象交点的个数．由右边图象可知：当－1≤k<0 时，方程没有实数根；当k＝0或k<－1或k≥1时，方程只有一个 实数根； 当0 解后反思利用函数图象确定方程或不等式的解，形象直观，体现了数形结合思想；解题中要注意对方程适当变形，选择适当的函数作图. 方法与技巧 1．列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状： (1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等；(2)可通过函 数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；(3)可通过方程的同解变形，如作函数y＝1－x2的图象． 2．合理处理识图题与用图题 (1)识图 对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系． (2)用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况． 失误与防范 1．作图要准确、要抓住关键点． 2．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合的数学思想方法的运 用． A组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分) 一、填空题(每小题5分，共35分) 1．观察相关的函数图象，对下列命题的真假情况进行判断： ①10x＝x有实数解；②10x＝x2有实数解；③10x>x2在x∈(0，＋∞)上恒成立；④10x＝ －x有两个相异实数解．其中的真命题为________．(写出所有真命题的序号) 答案②③ 解析将①，④两个问题转化为指数函数y＝10x的图象与直线y＝x(或y＝－x)的交点问题来处理；将②，③两个问题转化为指数函数y＝10x的图象与二次函数y＝x2的图象的交点问题来处理． 2．若函数f(x)＝log a(x＋b)的大致图象如图所示，其中a，b (a>0且a≠1)为常数，则函数g(x)＝a x＋b的大致图象是________．(填序号) 答案② 解析由f(x)＝log a(x＋b)的图象知0 则g(x)＝a x＋b为减函数且g(x)的图象是在y＝a x图象的基础上上移b个单位，只有②适合． 3． (2011·陕西改编)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图象可能 是________．(填序号) 答案 ② 解析 由于f (－x )＝f (x )，所以函数y ＝f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，所以图象①、③错误；由于f (x ＋2)＝f (x )，所以T ＝2是函数y ＝f (x )的一个周期，④图象错误．故可能是②. 4． (2012·北京改编)函数f (x )＝x 21－????12x 的零点的个数为________． 答案 1 解析 在同一平面直角坐标系内作出y 1＝x 1 2与y 2＝????12x 的图 象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点． 因此函数f (x )＝x 21－????12x 只有1个零点． 5． 已知下列曲线： 以及编号为①②③④的四个方程： ①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0；③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0. 请按曲线A 、B 、C 、D 的顺序，依次写出与之对应的方程的编号________． 答案 ④②①③ 解析 按图象逐个分析，注意x 、y 的取值范围． 6． (文)使log 2(－x ) 答案 (－1,0) 解析 作出函数y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log 2(－x ) 与y ＝log 2x 的图象关于y 轴对称，观察图象知(如图所示)，－1 2x ， x ≥2， (x －1)3， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实 根，则实数k 的取值范围是________． 答案 (0,1) 解析 画出分段函数f (x )的图象如图所示，结合图象可以看出， 若f (x )＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1)． 二、解答题(共27分) 8． (13分)已知函数f (x )＝x 1＋x . (1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间． 解 (1)f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1 x 的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示． (2)由图象可以看出，函数f (x )有两个单调递增区间： (－∞，－1)，(－1，＋∞)． 9． (14分)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1 x ＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求f (x )的解析式； (2)若g (x )＝f (x )＋a x ，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上， 即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1 x (x ≠0)． (2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x 2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数， ∴1－a ＋1 x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，故 a 的取值范围是[3，＋∞)． B 组 专项能力提升 (时间：35分钟，满分：58分) 一、填空题(每小题5分，共30分) 1． 已知函数y ＝1 x ，将其图象向左平移a (a >0)个单位，再向下平移b (b >0)个单位后图象过 坐标原点，则ab 的值为________． 答案 1 解析 图象平移后的函数解析式为y ＝1 x ＋a －b ， 由题意知1 a － b ＝0，∴ab ＝1. 2． 函数f (x )＝???? ? log 2(－x )，x <0，0， x ＝0， f (x －1)， x >0 的图象与直线y ＝x 交点的个数 是________． 答案 2 解析 函数f (x )和函数y ＝x 的图象如图所示． 3． (2011·课标全国改编)函数y ＝1 1－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点 的横坐标之和等于________． 答案 8 解析 令1－x ＝t ，则x ＝1－t . 由－2≤x ≤4，知－2≤1－t ≤4，所以－3≤t ≤3. 又y ＝2sin πx ＝2sin π(1－t )＝2sin πt . 在同一坐标系下作出y ＝1 t 和y ＝2sin πt 的图象． 由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称． 因此这8个交点的横坐标的和为0，即t 1＋t 2＋…＋t 8＝0. 也就是1－x 1＋1－x 2＋…＋1－x 8＝0， 因此x 1＋x 2＋…＋x 8＝8. 4． (2012·课标全国改编)当0 2 时，4x 答案 ??? ?2 2，1 解析 易知0 2>2，解得 a > 22，∴2 2 则f (x )的最大值为________． 答案 6 解析 f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4. 当x ＝4时，f (x )取最大值，f (4)＝6. 6． 设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为________． 答案 －1 解析 先根据条件对图象进行判断是解题的关键．因为b >0，所以对称轴不与y 轴重合，排除图象①②；对第三个图象，开口向下，则a <0，对称轴x ＝－b 2a >0，符合条件；图 象④显然不符合．根据图象可知，函数过原点，故f (0)＝0，即a 2－1＝0，又a <0，故a ＝－1. 二、解答题(共28分) 7． (14分)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，并对一切实数x ，都满足f (2＋x )＝f (2－x )． (1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称； (2)若f (x )是偶函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1， 求x ∈[－4,0]时f (x )的表达式． (1)证明 设P (x 0，y 0)是函数y ＝f (x )图象上任一点， 则y 0＝f (x 0)，点P 关于直线x ＝2的对称点为P ′(4－x 0，y 0)． 因为f (4－x 0)＝f [2＋(2－x 0)] ＝f [2－(2－x 0)]＝f (x 0)＝y 0， 所以P ′也在y ＝f (x )的图象上， 所以函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称． (2)解 当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]， 所以f (－x )＝－2x －1.又因为f (x )为偶函数， 所以f (x )＝f (－x )＝－2x －1，x ∈[－2,0]． 当x ∈[－4，－2]时，4＋x ∈[0,2]， 所以f (4＋x )＝2(4＋x )－1＝2x ＋7， 而f (4＋x )＝f (－x )＝f (x )， 所以f (x )＝2x ＋7，x ∈[－4，－2]． 所以f (x )＝? ???? 2x ＋7，x ∈[－4，－2]， －2x －1，x ∈[－2，0]. 8． (14分)讨论关于x 的方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x ) (a ∈R )的实数根的个数． 解 由原方程可得 ????? x －1>0 ① 3－x >0 ② a －x >0 ③(x －1)(3－x )＝a －x ④ 由①②得1 ∴原方程等价于(x －1)(3－x )＝a －x (1 作出函数y ＝－x 2＋5x －3 (1 由图知①a >13 4或a ≤1时，抛物线段与直线y ＝a 无公共点，此时方程无实数解； ②当a ＝13