中考数学“最值问题”集锦
平面几何中的最值问题 (01)
●几何的定值与最值 (07)
●最短路线问题 (14)
●对称问题 (18)
●巧作“对称点”妙解最值题 (22)
●数学最值题的常用解法 (26)
●求最值问题 (29)
●有理数的一题多解 (34)
●4道经典题 (37)
●平面几何中的最值问题
在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例．
在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。
最值问题的解决方法通常有两种：
（1）应用几何性质：
①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
②两点间线段最短；
③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
④定圆中的所有弦中，直径最长。
⑵运用代数证法：
①运用配方法求二次三项式的最值；
②运用一元二次方程根的判别式。
例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。
分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’，
在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB与直线L无交点，所以这种思路错误。
取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝AP，
在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时
A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+P B最小。
1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？
分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．
解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2R y，
所以
所以求u的最大值，只须求-x2+2R x+2R2最大值即可．
-x2+2R x+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，
上式只有当x=R时取等号，这时有
所以2y=R=x．
所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，
这时，梯形的底角恰为60°和120°．
2 .如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样
才能得出最大面积，使得窗户透光最好？
分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有 2x+2y+πx=8，
若窗户的最大面积为S，则
把①代入②有
即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大．3. 已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图3－93)？
分析与解因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限
状况(P与A重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值．设P为半圆弧中点，连PB，PA，延长AP到C，使PC=PA，连CB，则CB 是切线．
为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P′，连P′A，P′B，延长AP′到C′，使P′C′=BP′，连C′B，CC′，则∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°，
所以A，B，C′，C四点共圆，所以∠CC′A=∠CBA=90°，
所以在△ACC′中，AC＞AC′，即PA+PB＞P′A+P′B．
4 如图3－94，在直角△ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是△ABD，△ACD
的内心，直线MN交AB，AC于K，L．求证：S△ABC≥2S△AKL．
证连结AM，BM，DM，AN，DN，CN．
因为在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，
所以∠ABD=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°．
因为M，N分别是△ABD和△ACD的内心，所以
∠1=∠2=45°，∠3=∠4，
所以△ADN∽△BDM，
又因为∠MDN=90°=∠ADB，所以△MDN∽△BDA，
所以∠BAD=∠MND．
由于∠BAD=∠LCD，所以∠MND=∠LCD，
所以D，C，L，N四点共圆，所以∠ALK=∠NDC=45°．
同理，∠AKL=∠1=45°，所以AK=AL．因为△AKM≌△ADM，
所以AK=AD=AL．而
而
从而
所以S△ABC≥S△AKL．
5. 如图3－95．已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P，Q．求证：PQ≤AB．
证设过P，Q的直线与AB，AC分别交于P1，Q1，连结P1C，显然，PQ≤P1Q1．因为∠AQ1P1+∠P1Q1C=180°，
所以∠AQ1P1和∠P1Q1C中至少有一个直角或钝角．
若∠AQ1P1≥90°，则PQ≤P1Q1≤AP1≤AB；
若∠P1Q1C≥90°，则PQ≤P1Q1≤P1C．
同理，∠AP1C和∠BP1C中也至少有一个直角或钝角，不妨设∠
BP1C≥90°，
则P1C≤BC=AB．
对于P，Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQ≤AB．
6. 设△ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B，C到l的距离设为d1，d2，求d1+d2的最大值(1992年上海初中赛题)．
解如图3－96，延长BA到B′，使AB′=AB，连B′C，则过顶点A的直线l 或者与BC相交，或者与B′C相交．以下分两种情况讨论．
(1)若l与BC相交于D，则
所以
只有当l⊥BC时，取等号．
(2)若l′与B′C相交于D′，则
所以
上式只有l′⊥B′C时，等号成立．
7. 如图3－97．已知直角△AOB中，直角顶点O在单位圆心上，斜边与单位圆
相切，延长AO，BO分别与单位圆交于C，D．试求四边形ABCD面积的最小值．
解设⊙O与AB相切于E，有OE=1，从而
即AB≥2．
当AO=BO时，AB有最小值2．从而
所以，当AO=OB时，四边形ABCD面积的最小值为
●几何的定值与最值
几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．
几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：
1．特殊位置与极端位置法；
2．几何定理(公理)法；
3．数形结合法等．
注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、
逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．
【例题就解】
【例1】 如图，已知AB=10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作等边△APC 和等边△BPD ，则CD 长度的最小值为 ．
思路点拨 如图，作CC′⊥AB 于C ，DD′⊥AB 于D′，
DQ ⊥CC′，CD 2=DQ 2+CQ 2，DQ=2
1AB 一常数，当CQ 越小，CD 越小， 本例也可设AP=x ，则PB=x -10，从代数角度探求CD 的最小值．
注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：
(1)中点处、垂直位置关系等；
(2)端点处、临界位置等．
【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（ ）
A ．从30°到60°变动
B ．从60°到90°变动
C ．保持30°不变
D ．保持60°不变
思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时，
其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．
注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，
动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变
化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，
研究的量取得定值与最值．
【例3】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b (a >b )，P 为AB 边上的一动点，
直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值．
思路点拨 设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式
ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值．
【例4】 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关．
思路点拨 即要证AK·BN 是一个定值，在图形中△ABC
的边长是一个定值，说明AK·BN 与AB 有关，从图知AB 为
△ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK·BN=AB 2，
从而我们的证明目标更加明确．
注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．
【例5】 已知△XY Z 是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三 ⌒ ⌒
个顶点分别在等腰Rt △ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC 直角边长的最大可能值． 思路点拨 顶点Z 在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z 在斜边AB 上时，取xy 的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z 在(AC 或CB)上时，设C X =x ，CZ=y ，建立x ，y 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．
注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：
(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；
(2)构造二次函数求几何最值．
学力训练
1．如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C 点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为 ，最小值为 ．
2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P ，PO=10，在角的两边上有两点Q ，R(均不同于点O)，则△PQR 的周长的最小值为 ．
3．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等
于 ．
4．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( )
A ．1
B ．2
2 C ．2 D ．13- 5．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )
A ．212π+
B ．2412π+
C ．214π+
D ．242π+
6．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( )
A ．线段EF 的长逐渐增大
B ．线段EF 的长逐渐减小
C ．线段EF 的长不改变
D ．线段EF 的长不能确定
7．如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A、B点重合)，分别以
AC、BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．
(1)求证：MN∥AB；
(2)若AB的长为l0cm，当点C在线段AB上移动时，是否存在这样的一点C，使线段MN的长度最长?若存在，请确定C点的位置并求出MN的长；若不存在，请说明理由．
(2002年云南省中考题)
8．如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角．9．已知△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为直
线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F．
(1)当点P在线段AB上时(如图)，求证：PA·PB=PE·PF；
(2)当点P为线段BA延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．
10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是( )
25D．14
A．8 B．12 C．
2
11．如图，AB是半圆的直径，线段CA上AB于点A，线段DB上AB于点B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是( )
A．2
3+
1+C．2
2+B．2
3+D．2
12．如图，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB、AC上分别取点D、E，使线段DE将△ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．
13．如图，ABCD是一个边长为1的正方形，U、V分别是AB、CD上的点，A V与DU相交于点P，BV与CU相交于点Q．求四边形PUQV面积的最大值．
14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?
15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米．
(1)设矩形的边AB=x(米)，AM=y(米)，用含x的代数式表示y为．
(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．
①设该工程的总造价为S(元)，求S关于工的函数关系式．
②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．
③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．(镇江市中考题)
16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到1m2)．
参考答案
●最短路线问题
通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的．人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题．
在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段．
这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的．例如，在地球（近似看成圆球）上A、B二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B两点及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短程线．关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲．
在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问
题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法．
例1 如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报．在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来．
解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线．
作点A关于河岸的对称点A′，即作AA′垂直于河岸，与河岸交于点C，且使AC=A′C，连接A′B交河岸于一点P，这时P点就是饮马的最好位置，连接PA，此时PA＋PB就是侦察员应选择的最短路线．
证明：设河岸上还有异于P点的另一点P′，连接P′A，P′B，P′A′．∵P′A+P′B＝P′A′+P′B＞A′B=PA′+PB=PA+PB，
而这里不等式P′A′＋P′B＞A′B成立的理由是连接两点的折线段大于直
线段，
所以PA+PB是最短路线．
此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段A′B，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等．看下面例题．
例2 如图一只壁虎要从一面墙壁α上A点，爬到邻近的另一面墙壁β上的B点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？
解：我们假想把含B点的墙β顺时针旋转90°（如下页右图），使它和含A 点的墙α处在同一平面上，此时β转过来的位置记为β′，B点的位置记为B′，则A、B′之间最短路线应该是线段AB′，设这条线段与墙棱线交于一点P，那么，折线4PB就是从A点沿着两扇墙面走到B点的最短路线．
证明：在墙棱上任取异于P点的P′点，若沿折线AP′B走，也就是沿在墙转90°后的路线AP′B′走都比直线段APB′长，所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路线．由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路
线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线．
例3 长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，有一只小虫从顶点D′出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1））
解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D′、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上D′B间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D′点出发，到B点共有六条路线供选择．
①从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图（2）），这时在这个平面上D′、B间的最短路线距离就是连接D′、B两点的直线段，它是直角三角形ABD′的斜边，根据勾股定理，D′B2=D′A2+AB2=（1+2）2＋42=25，∴D′B=5．
②容易知道，从D′出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5．
③从D′点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点．将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（上页图（3）），有：
D′B2＝22+（1+4）2=29．
④容易知道，从D′出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29．
⑤从D′点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（见图），
D′B2=（2+4）2+12=37．
⑥容易知道，从D′出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37．
比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点（上页图（2）），或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5个单位长度．
利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接A、B成线段AP1P2B，P1、P2是线段AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B就是AB间的最短路线．
圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线．因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用．如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题．
例4 景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？
解：将上左图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，A′、B′分别与A、B重合），连接AB′，再将上页右图还原成上页左图的形状，则AB′在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路．
圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线．请看下面例题．
例5 有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为AO的中点，试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线．
解：将圆锥面沿母线AO剪开，展开如上右图（把右图中的扇形卷成上图中
的圆锥面时，A′、B′分别与A、B重合），在扇形中连AB′，则将扇形还原成圆锥之后，AB′所成的曲线为所求．
例6 如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B 点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米，B点沿母线到桶口D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？
分析我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不便于作图，设想将BD延长到F，使DF＝BD，即以直线CD为对称轴，作出点B的对称点F，用F代替B，即可找出最短路线了．
解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到F，使DF=BD，即作点B 关于直线CD的对称点F，连结AF，交桶口沿线CD于O．
因为桶口沿线CD是B、F的对称轴，所以OB＝OF，而A、F之间的最短线路是直线段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B之间的最短距离就是AO＋OB，故蚂蚁应该在桶外爬到O点后，转向桶内B点爬去．
延长AC到E，使CE=DF，易知△AEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD，根据勾股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2 ＝（12＋8）2＋152＝625=252，解得AF=25．
即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米．
例7 A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸．请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程最短．
分析因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线．由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值．因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取AC等于河宽，