限时规范训练十九 概率、随机变量及其分布列
限时45分钟,实际用时
分值81分,实际得分
一、选择题(本题共6小题,每小题5分,共30分)
1.(2016·高考全国卷Ⅰ)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A.13
B.12
C.23
D.34
解析:选B.如图,7:50至8:30之间的时间长度为40分钟,
而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7:50至8:00之间或8:20至8:30之间到达发车站,此两种情况下的时间长度之和为20分钟,由几何概型概率公式知所求概率为P =2040=12
.
2.(2017·山东济南模拟)4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格,每次任取一个,不放回地取两次.若第一次取到合格的高尔夫球,则第二次取到合格高尔夫球的概率为( )
A.12
B.23
C.34
D.45
解析:选B.记事件A ={第一次取到的是合格高尔夫球},事件B ={第二次取到的是合格高尔夫球}.
由题意可得事件B 发生所包含的基本事件数n (A ∩B )=3×2=6,事件A 发生所包含的基本事件数n (A )=3×3=9,所以P (B |A )=
n A ∩B n A =69=2
3
.
3.(2017·江西七校联考)在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为a ,b ,则使得函数f (x )=x 2
+2ax -b 2
+π有零点的概率为( )
A.7
8
B.34
C.12
D.14
解析:选B.∵函数f (x )有零点.
∴Δ=4a 2-4(π-b 2)≥0,即a 2+b 2
≥π,
设事件A 表示“函数f (x )=x 2
+2ax -b 2
+π有零点”.
如图所示,试验的全部结果构成的区域是矩形ABCD 及其内部,事件A 发生的区域是图中阴影部分,且S 阴影=4π2
-π2
=3π2,
∴P (A )=3π2
4π2=3
4
.
4.(2017·河南洛阳模拟)箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球.从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4的倍数,则获奖.现有4人参与摸奖(每人一次),则恰好有3人获奖的概率是( )
A.
16625 B.96625 C.624625
D.
4625
解析:选B.由题意得任取两球有C 2
6种情况,取出两球号码之积是4的倍数的情况为(1,4),(2,4),(3,4),(2,6),(4,6),(4,5)共6种情况,故每人摸球一次中奖的概率为6C 26=2
5,故4人
中有3人中奖的概率为C 34? ????253
×35=96625
.故选B. 5.某班举行了一次“心有灵犀”的活动,教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学,这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜不对得0分,则这两个同学各猜1次,得分之和X (单位:分)的数学期望为( )
A .0.9
B .0.8
C .1.2
D .1.1
解析:选A.由题意得X =0,1,2,
则P (X =0)=0.6×0.5=0.3,P (X =1)=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5,P (X =2)=0.4×0.5=0.2,
所以E (X )=1×0.5+2×0.2=0.9.
6.小明准备参加电工资格考试,先后进行理论考试和操作考试两个环节,每个环节各有两次考试机会,在理论考试环节,若第一次考试通过,则直接进入操作考试;若第一次未通过,则进行第2次考试,第2次考试通过后进入操作考试环节,第2次未通过则直接被淘汰.在操作考试环节,若第1次考试通过,则直接获得证书;若第1次未通过,则进行第2次考试,第2次考试通过后获得证书,第2次未通过则被淘汰.若小明每次理论考试通过的概率为3
4,每次操作考
试通过的概率为2
3,并且每次考试相互独立,则小明本次电工考试中共参加3次考试的概率是
( )
A.13
B.38
C.23
D.34
解析:选B.设“小明本次电工考试中共参加3次考试”为事件A ,“小明本次电工考试中第一次理论考试没通过,第二次理论考试通过,第一次操作考试通过”为事件B ,“小明本次电工考试中第一次理论考试通过,第一次操作考试没通过,第二次操作考试通过”为事件C ,“小明本次电工考试中第一次理论考试通过,第一次操作考试没通过,第二次操作考试没通过”为事件
D ,则P (A )=P (B ∪C ∪D )=P (B )+P (C )+P (D ),而P (B )=?
??
??
1-34×34×23=18
,P (C )=34×? ????1-23
×
23
=16,P (D )=34×? ????1-23×? ????1-23=112,所以P (A )=18+16+112=3
8
,故选B. 二、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
7.在区间[0,1]上随机取两个数x 、y ,则事件“y ≤x 4
”发生的概率为________. 解析:在区间[0,1]上随机取两个数x 、y ,则(x ,y )组成的平面区域的面积为1.事件“y ≤x 4
”
发生,则(x ,y )组成的平面区域的面积为?
?0
1x 4d x =15x 5???1
0=15,所以所求概率为1
5.
答案:1
5
8.在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中,随机取出五个不同的数,则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为________.
解析:分析题意可知,抽取的除5以外的四个数字中,有两个比5小,有两个比5大,故所求概率P =C 2
4·C 2
3C 58=9
28
.
答案:9
28
9.(2017·湖北武汉模拟)公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.022 8来设计的,设男子身高X 服从正态分布N (170,72
)(单位:cm),参考以下概率P (μ-σ<X ≤μ+σ)=0.682 7,P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.954 5,P (μ-3σ<X ≤μ+3σ)=0.997 5,则车门的高度(单位:cm) 至少应设计为________.
解析:因为公共汽车车门高度是按男子与车门碰头机会不高于0.022 8来设计的,所以利用
P (μ-2σ<X ≤μ+2σ)=0.954 5,男子身高X 服从正态分布N (单位:cm),可得车门的高度(单
位:cm)至少应设计为170+2×7=184 cm.
答案:184 cm
三、解答题(本题共3小题,每小题12分,共36分)
10.(2017·北京丰台区二模)张先生家住H 小区,他工作在C 科技园区,从家到公司上班的路上有L 1,L 2两条路线(如图所示),L 1路线上有A 1,A 2,A 3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为12;L 2路线上有B 1,B 2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为34,35
.
(1)若走L 1路线,求最多遇到1次红灯的概率; (2)若走L 2路线,求遇到红灯的次数X 的数学期望;
(3)按照“遇到红灯的平均次数最少”的要求,请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由.
解:(1)设“走L 1路线最多遇到1次红灯”为事件A ,则P (A )=C 03×? ????123
+C 1
3×12×? ????122
=12.
所以走L 1路线,最多遇到1次红灯的概率为1
2.
(2)依题意,X 的可能取值为0,1,2.
P (X =0)=?
????1-34×? ??
??1-35=110
,
P (X =1)=34×?
????
1-35+?
????1-34
×35=920
,
P (X =2)=34×3
5
=920
.
故随机变量X 的分布列为
E (X )=110
×0+920
×1+920
×2=20
.
(3)设选择L 1路线遇到红灯的次数为Y ,随机变量Y 服从二项分布,即Y ~B ? ??
??3,12,
所以E (Y )
=3×12=3
2
.因为E (X )<E (Y ),所以选择L 2路线上班最好.
11.甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A ,B ,C ,D ,E 五所高校中,任选2所高校参加自主招生考试(并且只能选2所高校),但同学甲特别喜欢A 高校,他除选A 校外,在B ,C ,D ,E 中再随机选1所;同学乙和丙对5所高校没有偏爱,都在5所高校中随机选2所即可.
(1)求甲同学未选中E 高校且乙、丙都选中E 高校的概率.
(2)记X 为甲、乙、丙三名同学中未参加E 校自主招生考试的人数,求X 的分布列及数学期望.