1.4极限的性质与四
则运算法则
第四节极限的性质与四则运算法则
教学目的:使学生掌握极限的四则运算法则,并会利用它们求极限;
教学重点:有理函数极限的计算;
教学过程:
一、复习无穷大和无穷小的概念及性质
二、讲解新课:
一、函数极限的性质
定理1:(保号性)设?Skip Record If...?,
(i)若?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?,当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...??Skip Record If...?。
(ii)若?Skip Record If...?,必有?Skip Record If...?。
证明:(i)先证?Skip Record If...?的情形。取?Skip Record If...?,由定
义,对此?Skip Record If...?,当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?,即?Skip Record If...?。
当?Skip Record If...?时,取?Skip Record If...?,同理得证。
(ii)(反证法)若?Skip Record If...?,由(i)?Skip Record If...?矛盾,所以?Skip Record If...?。
当?Skip Record If...?时,类似可证。
注:(i)中的“?Skip Record If...?”,“?Skip Record If...?”不能改为“?Skip Record If...?”,“?Skip Record If...?”。
在(ii)中,若?Skip Record If...?,未必有?Skip Record If...?。
二、极限四则运算法则
由极限定义来求极限是不可取的,也是不行的,因此需寻求一些方法来求极限。定理1:若?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?存在,且?Skip Record If...?。
证明:只证?Skip Record If...?,过程为?Skip Record If...?,对?Skip Record If...?,当?Skip Record If...?时,有?Skip Record
If...?,对此?Skip Record If...?,?Skip Record If...?,当?Skip
Record If...?时,有?Skip Record If...?,取?Skip Record
If...?,当?Skip Record If...?时,有
?Skip Record If...?
所以?Skip Record If...?。
其它情况类似可证。
注:本定理可推广到有限个函数的情形。
定理2:若?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?存在,且
?Skip Record If...?。
证明:因为?Skip Record If...?,?Skip Record If...??Skip Record If...?
(?Skip Record If...?均为无穷小)?Skip Record If...?,记
?Skip Record If...?,?Skip Record If...?为无穷小,?Skip Record If...?。推论1:?Skip Record If...?(?Skip Record If...?为常数)。
推论2:?Skip Record If...?(?Skip Record If...?为正整数)。
定理3:设?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?。
证明:设?Skip Record If...?(?Skip Record If...?为无穷小),考虑差:?Skip Record If...?
其分子?Skip Record If...?为无穷小,分母?Skip Record If...?,我们不
难证明?Skip Record If...?有界(详细过程见书上)?Skip Record If...?
为无穷小,记为?Skip Record If...?,所以?Skip Record If...?,?Skip
Record If...?。
注:以上定理对数列亦成立。
定理4:如果?Skip Record If...?,且?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?。
【例1】?Skip Record If...?。
【例2】?Skip Record If...?。
推论1:设?Skip Record If...?为一多项式,当
?Skip Record If...?。
推论2:设?Skip Record If...?均为多项式,且?Skip Record If...?,则?Ski p Record If...?。
【例3】?Skip Record If...?。
【例4】?Skip Record If...?(因为?Skip Record If...?)。
注:若?Skip Record If...?,则不能用推论2来求极限,需采用其它手段。
【例5】求?Skip Record If...?。
解:当?Skip Record If...?时,分子、分母均趋于0,因为?Skip Record
If...?,约去公因子?Skip Record If...?,
所以?Skip Record If...?。
【例6】求?Skip Record If...?。
解:当?Skip Record If...?全没有极限,故不能直接用定理3,但当?Skip Record If...?时,
?Skip Record If...?,所以
?Skip Record If...?。
【例7】求?Skip Record If...?。
解:当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?,故不能直接用定理5,又?Skip Record If...?,考虑:?Skip Record If...?,
?Skip Record If...?。
【例8】若?Skip Record If...?,求a,b的值。
当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?,且?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
【例9】设?Skip Record If...?为自然数,则
?Skip Record If...?。
证明:当?Skip Record If...?时,分子、分母极限均不存在,故不能用§1.6定理5,先变形:
?Skip Record If...?
?Skip Record If...?
【例10】求?Skip Record If...?。
解:当?Skip Record If...?时,这是无穷多项相加,故不能用定理1,先变形:原式?Skip Record If...?。
【例11】证明?Skip Record If...?为?Skip Record If...?的整数部分。
证明:先考虑?Skip Record If...?,因为?Skip Record If...?是有界函数,且当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?,所以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小,得
?Skip Record If...?。
三、课堂练习:
四、布置作业:
极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的,也是不行的,因此需寻求一些方法来求极限。 定理1:若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ,则)]()(lim[x g x f ±存在,且 )(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。 证明: 只证B A x g x f +=+)]()(lim[,过程为0x x →,对0,01>?>?δε,当 100δ<- 2.4 极限的四则运算(一) 古浪五中---姚祺鹏 【教学目标】 (一)知识与技能 1.掌握函数极限四则运算法则; 2.会用极限四则运算法则求较复杂函数的极限; 3.提高问题的转化能力,体会事物之间的联系与转化的关系; (二)过程与方法 1.掌握极限的四则运算法则,并能使用它求一些复杂数列的极限. 2.从函数极限联想到数列极限,从“一般”到“特殊”. (三)情态与价值观 1.培养学习进行类比的数学思想 2.培养学习总结、归纳的能力,学会从“一般”到“特殊”,从“特殊”到“一般”转化的思想.同时培养学生的创新精神,加强学生的的实践能力。 (四)高考阐释: 高考对极限的考察以选择题和填空题为主,考察基本运算,此类题目的特点在于需要进行巧妙的恒等变形,立足课本基础知识和基本方法 【教学重点与难点】 重点:掌握函数极限的四则运算法则; 难点:难点是运算法则的应用(会分析已知函数由哪些基本函数经过怎样的运算结合而成的). 【教学过程】 1.提问复习,引入新课 对简单函数,我们可以根据它的图象或通过分析函数值的变化趋势直接写出它们的极 限.如 1lim ,2121lim 1 1==→→x x x x . 让学生求下列极限: (1)x x 1lim →; (2)x x 21lim 1→; (3))12(lim 21+→x x ; (4)x x 2lim 1→ 对于复杂一点的函数,如何求极限呢?例如计算??? ? ?+→x x x 21lim 1即x x x 212lim 21+→,显然通过画图或分析函数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的.因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则,通过法则,把求复杂函数的极限问题转化为求简单函数的极限. 板书课题:极限的四则运算. 2.特殊探路,发现规律 考察x x x 212lim 21+→完成下表: 根据计算(用计算器)和极限概念,得出2 3212lim 21=+→x x x ,与1lim 2121lim 11==→→x x x x 、 对比发现:2321121lim lim 21lim 212lim 11121=+=+=??? ? ?+=+→→→→x x x x x x x x x x . 由此得出一般结论:函数极限的四则运算法则: 如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0 0,那么 []b a x g x f x x ±=±→)()(lim 0 []b a x g x f x x ?=?→)()(lim 0 )0()()(lim 0≠=??????→b b a x g x f x x 特别地:(1)[])(lim )(lim 0 0x f C x f C x x x x →→?=?(C 为常数) (2)[])N ()(lim )(lim *00∈??????=→→n x f x f n x x n x x 极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的,也是不行的,因此需寻求一些方法来求极限。 定理1:若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ,则)]()(lim[x g x f ±存在,且 )(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。 证明: 只证B A x g x f +=+)]()(lim[,过程为0x x →,对0,01>?>?δε,当 100δ<- 数列极限四则运算法则的证明 设limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(A n+B n)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An ? Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n T+R的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义: 如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于?£> 0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| v &都成立, 则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A. 根据这个定义,首先容易证明:引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明: ?/ limAn=A,二对任意正数 &存在正整数N?,使n > N?时恒有|An-A| v&①(极限定义)同理对同一正数&存在正整数N?,使n>N?时恒有|Bn-B| v 设N=max{N ?,N?},由上可知当n > N时①②两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)| < |An-A|+|Bn-B| v & + & =2 &. 由于&是任意正数,所以2&也是任意正数. 即:对任意正数2 &存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 &. 由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B. 即:对任意正数C&存在正整数N,使n > N时恒有|C ? An-CA|v C&. 由极限定义可知,lim(C ? An)=C?A若C=0的话更好证) 法则2的证明: lim(A n-B n) =limA n+lim(-B n)(法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理. 引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An ? Bn)=0. 证明:?/ limAn=0,二对任意正数 &存在正整数N?,使n>N?时恒有|An-0| v &③(极限定义)同理对同一 7.7 (2)极限的运算法则 一、教学内容分析 本小节的教学内容是在理解无穷数列极限的概念的基础上学习数列极限的运算性质及四个重要的极限,鉴于高二学生现有的数学基础,教材采取从实际的例子引入,给出数列极限的运算性质及四个重要极限的结论,然后通过例题加以说明的方式. 教学重点是数列极限的运算性质,教学中要强调运算性质成立的条件是两个数列的极限都存在. 教学难点是数列极限的运算性质及四个重要极限结论的灵活运用,会进行恒等变形,运算性质可从两个数列推广到有限个数列,注意有限与无限的本质区别. 二、教学目标设计 掌握数列极限的运算性质,会利用这些性质计算数列的极限. 知道数列极限的四个重要结论,并会用它们来求有关数列的极限; 会运用式的恒等变形,把分子、分母极限不存在的分式转化为若干个极限存在的数列的代数和,从而求出极限,提高观 察,分析以及等加转换的能力. 三、教学重点及难点 重点:数列极限的运算性质. 难点:数列极限的运算性质及重要极限的灵活运用. 四、教学流程设计 五、教学过程设计 一、复习回顾 1、数列极限的定义. 2、已知1 23-=n n a n 试判断数列{}n a 是否有极限,如果有,写 出它的极限. 二、讲授新课 1、实例引入 计算由抛物线x y =2,x 轴以及直线x=1所围成的区域 面积S :2 6)12)(1(lim lim n n n S S n n n --==∞→∞→ 2、数列极限的运算性质 (1)数列极限的运算性质 如果B b A a n n n n ==∞ →∞→lim ,lim ,那么 (1)B A b a b a n n n n n n n ±=±=±∞ →∞→∞→lim lim )(lim ; (2)B A b a b a n n n n n n n ?=?=?∞ →∞→∞→lim lim )(lim ; (3)B A b a b a n n n n n n n ==∞ →∞→∞→lim lim lim ; (2)的推论:若C 是常数,则A C a C b C n n n n n ?=?=?∞ →∞→∞→lim lim )(lim 说明:1、运算性质成立的条件 2、在数列商的极限中,作为分母的数列的项及其极 限都不为零. (2)常用的数列极限的几个结论 (1)对于数列{}n q ,当1 数列的极限及其运算法则 学习要求: 1.理解数列极限的概念。正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限,从近似中认识精确,从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想 2.理解和掌握三个常用极限及其使用条件.能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力. 3.掌握数列极限的运算法则,并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料: 一、基本知识 1.数列极限的定义: 一般地,如果当项数n 无限增大时,无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于.....某个常数a (即n a a -无限趋近于0),那么就说数列}{n a 以a 为极限,或者说a 是数列}{n a 的极限.记作lim n n a a →∞ =,读作“当n 趋向 于无穷大时,n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”,即n 无限增大的意思n a a →∞ =有时也记作:当n →∞时,n a →a . 理解:数列的极限的直观描述方式的定义,只是对数列变化趋势的定性说明,而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大,数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面:一方面,数列的项 n a 趋近于a 是在无限过程中进行的,即随着n 的增大n a 越来越接近于a ;另一方面,n a 不是一般地趋近 于a ,而是“无限”地趋近于a ,即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限: (1)01 lim =∞→n n (2)C C n =∞ →lim (C 是常数) (3)lim 0n n a →∞ = (a 为常数1a <),当1a =时,lim 1n n a →∞ =;当1a =-或1a >时,lim n n a →∞ 不存在。 3. 数列极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 特别:若C 为常数,则lim()lim n n n n C a c a CA →∞ →∞ ==g g 推广:上面法则可以推广到有限..多个数列的情,若{}n a ,{}n b ,{}n c 有极限,则 n n n n n n n n n c b a c b a ∞ →∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim 第四节 极限的性质与四则运算法则 教学目的:使学生掌握极限的四则运算法则,并会利用它们求极限; 教学重点:有理函数极限的计算; 教学过程: 一、复习无穷大和无穷小的概念及性质 二、讲解新课: 一、函数极限的性质 定理1:(保号性)设A x f x x =→)(lim 0 , (i ) 若)0(0<>A A ,则0>?δ,当),(0δ∧ ∈x U x 时,0)(>x f )0)(( 分类讨论求极限 例 已知数列{}n a 、{}n b 都是由正数组成的等比数列,公比分别为q p ,,其中q p >,且1≠p ,1≠q ,设n n n b a c +=,n S 为数列{}n C 的前n 项和,求1lim -∞→n n n S S . (1997年全国高考试题,理科难度0.33) 解: ()() 1 1 1111--+--=q q b p p a S n n n ()( )()() ()( )()( ) 1 1111 1111111111--+----+--= ---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S . 分两种情况讨论; (1)当1>p 时,∵ 0>>q p ,故10<< p q , ∴1 lim -∞→n n n S S ()()()()????? ? ?????????????????? ??--+???? ??--?????????? ??--+???? ??-------1111111111111111111lim n n n n n n n n n n p p q p b p q a p p p q p b p q a p ()()()()()()010110 10111111?-+--?-+--? =p b q a p b q a p ()() p q a q a p =--? =1111 (2)当1 1.4极限的性质与四 则运算法则 第四节极限的性质与四则运算法则 教学目的:使学生掌握极限的四则运算法则,并会利用它们求极限; 教学重点:有理函数极限的计算; 教学过程: 一、复习无穷大和无穷小的概念及性质 二、讲解新课: 一、函数极限的性质 定理1:(保号性)设?Skip Record If...?, (i)若?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?,当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...??Skip Record If...?。 (ii)若?Skip Record If...?,必有?Skip Record If...?。 证明:(i)先证?Skip Record If...?的情形。取?Skip Record If...?,由定 义,对此?Skip Record If...?,当?Skip Record If...?时,?Skip Record If...?,即?Skip Record If...?。 当?Skip Record If...?时,取?Skip Record If...?,同理得证。 (ii)(反证法)若?Skip Record If...?,由(i)?Skip Record If...?矛盾,所以?Skip Record If...?。 当?Skip Record If...?时,类似可证。 注:(i)中的“?Skip Record If...?”,“?Skip Record If...?”不能改为“?Skip Record If...?”,“?Skip Record If...?”。 在(ii)中,若?Skip Record If...?,未必有?Skip Record If...?。 二、极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的,也是不行的,因此需寻求一些方法来求极限。定理1:若?Skip Record If...?,则?Skip Record If...?存在,且?Skip Record If...?。极限的四则运算教案(1)
极限四则运算法则
数列极限四则运算法则的证明
极限的运算法则
数列的极限及运算法则
极限的性质与四则运算法则
第二章极限习题及答案:极限的四则运算
最新1.4极限的性质与四则运算法则
极限的性质和运算法则