九年级数学第一次诊断考试试卷
数学命题人：康永奎
一．选择题(本题共10个小题，每小题3分，共计30分。在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．将此项的代号填入题后的括号内)
1．计算2
2
3)
3
(a
a÷
-的结果是( )
Ａ．4
9a
-B．4
6aＣ．3
9aＤ．4
9a
2、方程1
1
1
1
1
=
+
-
-x
x
的解是( )
A、 1
B、-1
C、±3
D、±√3
3、图（1）中几何体的主视图是（）
4．下列各图中，不是中心对称图形的是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
5．下列说法正确的是（）．
A、一个游戏的中奖率是1％，则做100次这样的游戏一定会中奖
B、为了解某品牌灯管的使用寿命，可以采用普查的方式
C、一组数据6、8、7、8、9、10的众数和平均数都是8
D、若甲组数据的方差2S甲＝0.05，乙组数据的方差2S乙＝0.1，则乙组数据比甲组数据稳定
6、如图（2），PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos ∠APO的值为（）
正面
图1
A B
C
D
P
O
B
A ．
34 B ．3
5 C ．45 D ．43
7、直径为6和10的两个圆相内切，则其圆心距 d 为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 8.已知,如图（3）,A,B 两村之间有三条道路,甲,乙两人分别从A,B 两村同时出发,
他们途中相遇的概率为 （ ） A 、
91 B 、61 C 、 31 D 、3
2 图3
9、如图（4），天平右盘中的每个砝码的质量都是1g ，则物体A 的质量m(g)的取值范围，在数轴上可表示为（ ）
10．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的函数表达式为()2
1301090
y x =--+，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（ ）
A ．10m
B ．20m
C ．30m
D ．60m 二．填空题(本题共8个小题，每小题4分，共32分，请把答案填在题中的横线上．) 11、已知点P （－2，3），则点P 关于x 轴的对称点坐标是 12、在函数2
1
-=
x y 中，自变量x 的取值范围是 13、在△ABC 中，∠C ＝90°，5
3
cos =
A ，那么tan A= 14、顺次连结等腰梯形四边中点所得到的四边形是
15、某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完
全混合于黄羊群后，第二次捕捉60只黄羊，发现其中2只有标志。从而估计该地区有黄羊
16、如图（5），⊙P 的半径为2，圆心P 在函数6
(0)y x x =>的图象上运动，当⊙P 与x 轴相切时，点P 的
坐标为 ．
0 0 1 2
B
0 A
A
图4
0 1 2 2
1 C
1 D
2
图5 图6
17、如图（6），圆心角都是90°的扇形AOB与扇形COD如图叠放在一起，连结AC、BD，若OA = 3cm，OC = 1cm，则阴影部分的面积为
18、如下图1，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如下图2），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是
三．作图题(本题满分4分，不写作法和证明，但保留作图痕迹．)
19、我们在探索平面图形的性质时，往往通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路．
例如，在证明三角形中位线定理时，就采用了如图的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决．
（1）请你将图（7）的平行四边形剪拼为矩形；
（2）请你将图（8）的梯形剪拼为三角形．
四．解答题(本大题共9道题，共计84分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
20、（8分）先化简，再求值：
2
1
,
2
2
1
2
12
2
2
=
÷
-
-
+
+
-
-
x
x
x
x
x
x
x
x
其中
O
x
y
P
F
B
A
C
D E
图7图8
21、(8分)将背面相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌子上．
(1)从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率；
(2)先从中随机抽取一张卡片(不放回
．．．)，将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．
22、(8分)阅读材料：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1看作一个整体，然后设x2－1＝y，那么原方程可化为y2－5y＋4＝0，……①解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x＝±2；当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±5，故原方程的解为x1＝2，x2＝2
-，x3＝5，x4＝5
-．
解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_________法达到了解方程的目的，体现了的数学思想；
(2)请利用以上知识解方程x4－x2－6＝0．
23、（8分）瞭望台AB高20m，从瞭望台底部B测得对面塔顶C的仰角为60°，从瞭望台顶部A测得塔顶C的仰角为45°，已知瞭望台与塔CD地势高低相同．求塔高CD．
24（10分）某超市销售一种商品，每件商品的成本是20元．经统计销售情况发现，当这种商品的单价定为40元时，每天售出200件．在此基础上，这种商品的单价每降低1元，每天就会多售出20件．设这种商品的单价定为x元时，超市每天销售这种商品所获得的利润为y元．
（1）用代数式表示，单价为x元时销售1件该商品的利润和每天销售该商品的数量；
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）当商品单价定为多少时，该超市每天销售这种商品获得的利润最大？最大利润为多少？
25、（10分）已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD 平行于OC．
求证：DC是⊙O的切线．
26、（10分）某中学图书馆将图书分为自然科学、文学艺术、社会百科、数学四类.在“师生读书月”活动期间，为了解图书的借阅情况，图书管理员对本月各类图书的借阅量进行了统计，图9-1和图9-2是图书管理员通过采集数据后,绘制的两幅不完整的频率分布表与频数分布直方图．请你根据图表中提供的信息,解答以下问题:
借阅量/册
（1）填充图9-1频率分布表中的空格．
（2）在图9-2中，将表示“自然科学”的部分补充完整．
（3）若该学校打算采购一万册图书,请你估算“数学”类图书应采购多少册较合适？
（4）根据图表提供的信息，请你提出一条合理化的建议．
27、（10分）（1）已知：如下图1，△ABC 为正三角形，点M 为 BC 边上任意一点，点N 为 CA 边上任意一点，且BM = CN ，BN 与AM 相交于Q 点，试求∠BQM 的度数．
（2）如果将（1）中的正三角形改为正方形ABCD （如下图2），点M 为BC 边上任意一点，点N 为CD 边上任意一点，且BM = CN ，BN 与AM 相交于Q 点，那么∠BQM 等于多少度呢？说明理由．
（3）如果将（1）中的“正三角形”改为正五边形……正 n 边形，其余条件都不变，请你根据（1）、（2）的求解思路，将你推断的结论填入下表：（注：正多边
形的各个内角都相等）
图书种类 频数 频率 自然科学
400 0.20
文学艺术 1000 0.50 社会百科 500 0.25
数学
806100
图9-2
自然科学 文学艺术 社会百科 数学 图书
图9-1
28、（12分）已知二次函数1)12(22-+-+=m x m x y （m 为常数），它的图象（抛物线）经过坐标原点
O ，且顶点M 在第四象限，
（1）求m 的值，并写出二次函数解析式；
（2）设点A 是抛物线上位于O 、M 之间的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，
作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C ． ① 当BC =1时，求矩形ABCD 的周长；
② 试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐
标；如果不存在，请说明理由．
O
x
y
附加题：（10分）如果你的全卷得分不足150分，则本题的得分计入总分，但计入总分后全卷不得超过150分。
阅读下面内容：“如下图1，以三角形ABC 三个顶点为圆心，以1为半径的三个圆（两两不相交）与三角形相交，则图中阴影部分的面积之和是多少？”
我们可以用如下方法解决这个问题： 设以 A 、B 、C 为圆心的三个扇形的圆心角的度数分别是 n 1、n 2、
n 3
，面积分别是S 1
、S 2
、S 3
，由扇形面积公式360
2r n s π= 可知 ：
S 阴影部分 = S 1 + S 2 + S 3 ,
∵在△ABC 中，∠A +∠B +∠C = 180° 即：n 1 + n 2 + n 3 = 180
∴S 阴影部分 = S 1 + S 2 + S 3 根据以上推理过程，回答下列问题：
（1）以五边形 ABCDE 的顶点为圆心，以1为半径的五个圆（两两不相交，如上图2）与五边形相交，则图中阴影部分的面积之和是多少？请说明理由．
（2）试猜想，以n 边形的n 个顶点为圆心，以 1 为半径的n 个圆（两两不相交）与n 边形相交，则其公共部分的面积（即阴影部分的面积之和）S = ________________．