§1.3 实数基本定理与函数的连续性
一、主要知识点和方法
1、实数基本定理
闭区间套定理：设{[,]}n n a b 是一列闭区间，满足11[,][,]n n n n a b a b ++?及
0n n b a -→，则存在唯一的[,]n n a b ξ∈(1,2,)n = 。
确界定理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。 聚点定理：有界无限点集必有聚点。 致密性定理：有界点列必有收敛子列。
有限覆盖定理：设H 是由一族开区间所成的集合，若H 覆盖了闭区间[a ,b ]，则存在H 的有限子集H 0，使得H 0也能够覆盖[a ,b ]。 单调有界定理：单调递增（减）有上（下）界的数列一定收敛。 柯西收敛准则：{}0,,n n m x N n m N x x εε??>?>>-<收敛当时。（当{}n x 满足柯西准则条件时，也称{}n x 为柯西列）
以上七个定理称为实数基本定理，它们是相互等价的。
2、连续函数概念 （1）连续与间断
设)(x f 在点a 的一个邻域内有定义，若lim ()()x a
f x f a →=，则称)(x f 在
点a 连续。
“εδ-”定义：若0,0εδ?>?>，当x a δ-<时()()f x f a ε-<。则称)(x f 在点a 连续。
若(0)lim ()()x a
f a f x f a -
→-==，则称)(x f 在点a 左连续。 若(0)lim ()()x a
f a f x f a +
→+==，则称)(x f 在点a 右连续。 )(x f 在点a 连续意味着下面三个条件同时成立：
ⅰ）(0),(0)f a f a +-都存在；
ⅱ）(0)(0)f a f a +=-； ⅲ）(0)()(0)f a f a f a +==-。
若（ⅰ）（ⅱ）成立，而（ⅲ）不成立，则称a 为)(x f 的可去间断点；若（ⅰ）成立，而（ⅱ）不成立，则称a 为)(x f 的的第一类间断点；若（ⅰ）不成立，则称a 为)(x f 的第二类间断点。
当)(x f 在区间I 上处处连续时，称)(x f 在I 上连续，记作()f C I ∈。 （2）一致连续性 设)(x f 在区间
I 上有定义，若0,0εδ?>?>，使当,x x I '''∈并且
x x δ'''-<时成立()()f x f x ε'''-<。则称)(x f 在区间I 上一致连续。
显然，若)(x f 在区间I 上一致连续，则)(x f 在区间I 上连续。
3、连续函数性质 （1）局部性质
局部有界：若)(x f 在点a 连续，则)(x f 在点a 的一个邻域内有界。 局部保号：若)(x f 在点a 连续，且()0f a ≠。则：0()r f a ?<<，0δ?>，当(,)x a δ∈ 时)(x f 与()f a 同号且()f x r ≥。 （2）整体性质
有界性定理：若)(x f 在闭区间[,]a b 上连续，则)(x f [,]a b 上有界。 最值定理：若)(x f 在闭区间[,]a b 上连续，则)(x f [,]a b 上取到最大值和最小值。
介值定理：若)(x f 在闭区间[,]a b 上
连续，则对介于()f a 与()f b 之间的任意实数μ，都存在相应的[,]c a b ∈使得()f c μ=。
零点定理：若)(x f 在闭区间[,]a b 上连续且()()0f a f b <
，则存在[,]c a b ∈使得()0f c =。
由介值定理立即得到：若)(x f 在区间I 上连续，则其值域()f I 是一个区间。特别，若I 是闭区间，则()f I 也是闭区间。
一致连续性定理：若)(x f 在闭区间[,]a b 上连续，则)(x f 在闭区间[,]a b 上一致连续。
二、范例分析
1、若数列{}n x 无界但不是无穷大量，则存在{}n x 的两个子列，其中一个子列发散到无穷，而另一个收敛。
证：因为{}n x 无界，所以对任意自然数k ，存在k n 使得k n x k >，显然
{}k
n x 发散到无穷。又由于{}n
x 不是无穷大量，所以存在M >0，对任意
自然数k ，存在k n '使得k n x M '
≤，即{}
k
n x '为{}n x 的有界子列，因此其中
必有收敛子列。
注：在以上证明中已经假定数列{k n }和{k n '}是严格递增的，根据无界或非无穷大量的定义，这个假定是可以实现的。 2、证明：若存在M >0，使对任意n 有1
1
n
k k k x
x M +=-<∑，则{}n x 收敛。
证：由条件可知正项级数1
1
k k k x
x +∞
+=-∑收敛，因此对任意0ε>，存在N ，
当n N >时对任意p 有
1
n p
k k k n
x
x ε++=-<∑，而1n p n p n k k k n
x x x x +++=-≤-∑，所以{}
n x 是柯西列，从而收敛。
3、设()
[,],(),()max ()a t x f C a b a x b g x f t ???≤≤∈≤≤=、，证明[,]g C a b ∈。
证：设()max ()a t x
h x f t ≤≤=，则()(())g x h x ?=，
故只需证明()h x 连续。又因()h x 递增，故只需证明(0)()(0)h x h x h x -≥≥+。
取定0(,]x a b ∈，0(,)x a x ?∈有000()()()()()[,]f h x h x h x h x h x x x ω=+-≤+，令0x x ↑得00()(0)h x h x ≤-。同理可证当0[,)x a b ∈时有00()(0)h x h x ≥+。 注：本题利用了复合函数的连续性，相对于直接运用连续性定义的证法，此处的做法要简单地多。由此得到启示，运用连续函数运算性质进行讨论应该是首选的方法。 此处的
12[,]f x x ω为f 在12[,]x x 的振幅。
4、若)(x f 在[a ,b ]上无界，则存在0[,]x a b ∈，使)(x f 在0x 的任意邻域内都无界。
证明：对任意n ，存在[,]n x a b ∈，使得()n f x n >。由致密性定理，存在{}n x 的收敛子列{}
k n x ，其极限0x 即为所求。事实上，任取0δ>，对任意的M >0，存在M k ，当M k k >时k n >M 且00(,)k n x x x δδ∈--(因为k n →+∞
，0k n x x →)，而()k n k f x n M >>，即知)(x f 在00(,)x x δδ--内无界。又由δ的任意性即证。
注：先构造一个有界数列，再利用致密性定理得到收敛子列及其极限点。这是致密性定理的主要用法。 本题也可用有限覆盖定理来证明。
5、)(x f 在区间I 上一致连续的充分必要条件是：?n
n x x '''、I ∈，只要0n n x x '''-→就有()()0n n f x f x '''-→。
证：（必要性）已知)(x f 在I 上一致连续并且n
n x x '''、I ∈，0n n x x '''-→。由)(x f 在I 上一致连续性，0,0εδ?>?>，当x x I '''∈、并且x x δ'''-<时
()()f x f x ε'''-<。又由于0n
n x x '''-→，所以对0δ>，N ?，当n N >时n
n x x δ'''-<，因此有()()n n f x f x ε'''-<。 （充分性）假定)(x f 在I 上不一致连续。则00ε?>，对任意n ，存在
n
n x x '''、I ∈，使得1
n n x x n
'''-<，但0()()n n f x f x ε'''-≥。与已知条件矛盾。
注：此命题经常用于证明)(x f 在I 上不一致连续。
6、设)(x f 在 一致连续，则存在常数a b 、使()f x a x b ≤+。 证：取0δ>，使当x x δ'''-<时()()1f x f x '''-<。对任意x ，可取自然
数n ，使得(1)n x n δδ-≤<。在注意到
x n
δ<及1x
n δ≤+，可得：
1
1
()()()(0)(0)1(0)n
k x k k f x f x f x f n f f n n δ=-≤-+<+≤++∑
取1
,1(0)a b f δ
=
=+即证。
7、设)(x f 在[,]a b 上单调增加，(),()f a a f b b ><。求证：存在[,]c a b ∈使得()f c c =。
证：将[,]a b 不断二等分，得区间套{[,]}n n a b ，它们满足条件：
(),(),lim lim n n n n n n n n f a a f b b a b c →∞
→∞
><==
于是(0)l i m
()l i m l i m
l i m ()n n n
n n n n n
f c f a a c b f b f c →∞
→∞
→∞
→∞
-=≥==
≥=+，又由递增性
(0)()(0)f c f c f c -≤≤+，所以(0)(0)(f c f c c f c -=+==。
注：此处没有函数连续的条件，因此不能应用介值定理。函数的单调性保证了单侧极限的存在性。
8、设)(x f 在[a ,b ]满足条件()0()0f a f b ><、。求证：若有[a ,b ]上的连续函数()g x 使()x ?=()()f x g x +在[a ,b ]上单调增加，则存在0[,]x a b ∈使0()0f x =。
证：由对分法可得闭区间套{[,]}n n a b ，满足()0()0n n f a f b ><、。设
0l i m l i m n n n n a b x →∞
→∞
=
=，则0n n a x b ≤≤。由于()x ?单调增加，所以在0x 点的左
右极限存在且00(0)lim
()())lim(()())(0)n n n n n n x f a g a f b g b x ??→∞
→∞
-=+≤+=+（，由于0lim ()()lim ()n n n n g a g x g b →∞
→∞
==。因此极限l i m ()l i m n n n n f a f b →∞
→∞
、存在并且
lim ()lim ()n n n n f a f b →∞
→∞
≤，又由()0()0n n f a f b ><、得
0lim ()lim ()0n n n n f a f b →∞
→∞
≤≤≤，所以l i m ()l i m ()n n n n f a f b →∞
→∞
=
=。综上得到
00000()lim ()())(0)()()()n n n g x f a g a x x f x g x ??→∞
=+=-≤=+（
00(0)lim(()())()n n n x f b g b g x ?→∞
≤+=+=
因此有0()0f x =。
注：以上已假定在各个分点处)(x f 的值不等于0，若在某个分点处
)(x f 的值为0，则命题自动成立。
通过构造一个闭区间套得到一个点，再进一步讨论这个点的性质，把讨论的范围收缩到一个小局部甚至一个点，这是区间套定理的主要用途。
9、设)(x f 处处连续，a a f x f x f x <=+∞=∞
→)()(min ,)(lim 。求证：))
((x f f 至少在两个不同点处取到最小值。
证：显然,
R x ∈?))((x f f ≥)(a f 。又依条件可知存在A a <使
()()f A a f a >>, 存在B a >使()()f B a f a >>。由介值定理),(1a A b ∈?，
),(2B a b ∈使212121,)())(())((,)()(b b a f b f f b f f a b f b f ≠====且于是。 注：由以上证明可知，()f a 也是))((x f f 的最小值。
10、设)(x f 处处连续且))((x f f ＝x ，求证：)(x f 有不动点。
证：作F （x )＝)(x f －x ，则F （)(x f ）＝x －)(x f 。故F （x ）在点x ，
)(x f 异号，再由介值定理即证。
注：从几何上看，点（x ，)(x f ），（)(x f ，x ）都在连续曲线C ： y ＝)(x f 上，而点（x ，)(x f ），（)(x f ，x ）关于对角线对称，因此曲线C 必与对角线相交。
11、设)(x f 在[0，1]连续，且(0)(1)f f =，则,
[0,1]
n ξ?∈?∈ 使)()1
(ξξf n
f =+。
证：设11
()()(),01x f x f x x n n
?=+-≤≤-，则
1
()(
1)(0)n k k
f f
n
?-==-∑＝０，
所以)(n
k
?中必有异号的两项（或全为零），由介值定理即证。 注：本题通过考察()x ?在n 个点的和来确定其异号点的存在性，其中又运用了连锁消去的方法。
12、设n 是自然数，)(x f 在[0，n ]上连续，f （0）＝f （n ），求证：[0，n ]上至少有n 对不同的{u ，v }使f （u ）＝f （v ），且v -u 是正整数。 证：（归纳法）设n ＝ｋ时已成立，考察n ＝ｋ+1。已知f （x ）在区间[0，ｋ+1]连续，f （0）＝f （ｋ+1）。 ①仿上题方法可证：)1()(],0[+=∈?ξξξf f k 使。
②化为n ＝k 情形：作??
?≤<+≤≤=k
x x f x x f x h ξξ)1(0)
()( ,则h (x )在[0，k ]连续，
且h (0)＝h (k )。故存在互异的,),,(11 y x ),(k k y x 使)()(i i y h x h =，并且
i i x y -是正整数。
③表成)(x f 的等式：
若,ξ≤i y 则)(i x f ＝)(i y f ，且),(i i y x ≠)1,(+ξξ；
若,ξ>i x 则=+)1(i x f )1(+i y f ，且)1,1(++i i y x ≠)1,(+ξξ； 若ξξ>≤i i y x ,，则)(i x f ＝)1(+i y f ，且≠+)1,(i i y x )1,(+ξξ。 故由),(i i y x 得到（i x '，i y '），使得f (i x ')＝f (i y '),i y '-i x '是正整数，并且（i x '，i y '）≠)1,(+ξξ。于是｛（i x '，i y '），)1,(+ξξ｝即为所求。
注：由于()(1)f f ξξ=+，所以去掉曲线段{(,())1}x f x x ξξ<<+并把点(1,(1)f ξξ++
沿
水平方向平移至点(,())f ξξ后，既保持了曲线上各点的纵坐标，又保持了曲线的连续性。此即辅助函数h (x )的几何意义。 13、设)(x f 在[a ,b ]非负可积。求证：对任意1n >，存在[a ,b ]的一
个分割011n n a x x x x b -=<<<<= 使得
1
1
()()(1,2,,)
k
k x b
x a
f t dt f t dt k n n -==
?
? 。 证：设()()x
a
F x f t dt =
?，则()F x 连续、非负递增、0()()()F a F x F b =≤≤。
因此对
()k F b n ，存在(,)k x a b ∈使()()k k
F x F b n
=(11)k n ≤≤-，且{k x }严格递增。于是
1
111
()()()()()(1,2,,)k
k x b
k k x a
f t dt F x F x F b f t dt k n n n --=-===?
? 。
14、设)(x f 在[a ,b ]连续，1
[,],[,]()
()2
x a b y a b f y f x ?∈
?∈≤使，求证：
存在
0)(],[=∈ξξf b a 使。
证：取定0x ∈[a ,b ]，可证存在n x ∈[a ,b ]，使)(21
)(0x f x f n
n ≤
，则()0
n f x →。由致密性定理，存在子列{}
[,]k n x a b ξ→∈，再由f (x )的连续性()()0k n f x f ξ→=。
15、设)(x f 在(,)-∞+∞连续，且l i m (())x f
f x →∞
=∞。求证：lim ()x f x →∞
=∞。
证：（反证）若不然，则存在0A >，,()n n x n f x A >≤。
)(x f 在[,]A A -连续，由有界性定理，0,[,],()M u A A f u M ?>?∈-≤。
因此有(())
n f f x M
≤，这与已知条件lim (())x f f x →∞
=∞矛盾。 注：在上述证明中用到了lim ()x f x →∞
≠∞的概念与lim (())x f f x →∞
=∞的归结
原则。
若去掉连续条件，则命题不真（如()1
x
f x x =-）。事实上，连续性保证了)(x f 在任何有限区间上有界。
16、设()f x 在[a ,b ]连续，且只在一点*
x 取到f 的最大值。又设
*[,],lim ()()n n n x a b f x f x →+∞
∈=。求证：*lim n n x x →+∞
=
证：（反证）若不然，可得子列{}k n x 使*
00k n x x ε-≥>，由致密性定
理，{}k n x 中存在一收敛子列{}k
i
n x ，其极限[,]a b ξ∈。由连续性和收敛数
列的子列性质得*
()lim ()lim ()()k i
n n i n f f x f x f x ξ→+∞
→+∞
===。由{}k n x 的选取可知
ξ≠*x ，得出与*x 的唯一性矛盾。
注：此处用到了*
lim n n x x →∞
≠的概念。并且由上述证法可以证明：若有
界数列{n x }的任何收敛子列都收敛于同一极限，则{n x }收敛。 17、设)(x f 在[a ,b ]连续，开区间（a ,b ）内任何一点都不是)(x f 的极值点，则)(x f 在[a ,b ]上单调。
证：按题设知()()f a f b ≠，不妨设()()f a f b <。于是(,)x a b ∈必有()()
()f a f x f b <<（否则)(x f 会在（a ,b ）内取到最值）。
任取1212(,),x x a b x
x ∈<、。若12()()f x f x >，则由于2()()f x f b <
，)(x f 在
1(,)x b 内取到其在1[,]x b 上的最小值，此最小值显然是)(x f 在（a ,b ）内
的极小值，与已知条件矛盾。因此12()()f x f x ≤，由12x x 、的任意性知)
(x f 在[a ,b ]单调增加。
类似可证当()()f a f b >时，)(x f 在[a ,b ]单调减少。
18、设)(x f 在(,)-∞+∞连续，且lim (),lim ()x x f x f x →+∞
→-∞
都存在，求证)
(x f 在(,)-∞+∞一致连续。
证：由lim ()x f x →±∞
的柯西准则，0,,,x x εαβα'?>?
()()f x f x ε'-<。)(x f 在[1,1]αβ-+一致连续，对上述的ε，0(1)δδ?><，
当,[1,1],x x x x αβδ''∈-+-<时()()f x f x ε'-<。 上述的
ε和δ，当,(,),x x
x x δ''∈-∞+∞-<时，只可能有下列三种情形：,x x α'≤或,x x β'≥或,[1,1]x x αβ'∈-+（注意1δ<），无论何种情形都有()()f x f x ε'-<。
注：把区间[,]αβ的两个端点各向左右延伸一个单位并限制1δ<，是为了针对[1,1]αβ-+找出的δ能够适用于(,)-∞+∞。类似的方法同样可以证明：若)(x f 在有限开区间(,)a b 连续且(0),(0)f a f b +-存在，则)(x f 在(,)a b 一致连续（此时，也可以通过补充定义端点的函数值，化为闭区间情形）。
另外，若把端点处极限存在改成在区间上有界，则命题不真。 19、设()f x 在[0，+∞）一致连续，且对任何0,{()}h f nh >收敛，求
证：l i m ()x f x →+∞
存
在。 证：对
02
ε
>存在正数δ，,(0,),x x x x δ''∈+∞-<时()()2
f x f x ε
'-<
。
设lim ()n f n A δ→+∞
=，于是存在N ，当n N >时()2
f n A ε
δ-<
。取(1
)M N δ=+，则当x M >时[],[]x x
N x δδδδ
>-<，从而()f x A ε-<。
注：本题的思路是先由一致连续性，得到一个正数δ，当自变量间隔小于δ时，函数值相差很小。然后以δ为步长得到一列分点{}n δ，沿这些分点函数值趋于一个极限A 。对任意(0,)x ∈+∞，总可以找到一点
n δ，使它们的间隔小于δ，于是由三角不等式得出()f x 与A 相差很小。
20、设()f x 在[0，+∞）一致连续，且对任何正数h ，lim ()n f n h A
→+∞
+=
（A 与h 无关）。求证：lim ()x f x A →+∞
=。
证：对
02
ε
>找出一致连续中的正数δ，取正整数m 1
()m δ
>
，将区间
[0，1] m 等分，分点依次为121,,m z z z - 。于是存在N ，当n N >时成立
()(1,2,1)2
k f n z A k m ε
+-<
=- 。设[]()1x x x N =+>+，则[]1x x N ≥->且
存在k z 使1
[]()k k x x z x z m
δ--=-≤
<，所以有 ()()([])([])k k f x A f x f x z f x z A ε-≤-+++-< 。
注：把每个单位区间分成有限个长度小于δ的小区间，沿这些分点
函数值趋于A ，对任意(0,)x ∈+∞，
总可以找到这些分点中的一个，使之与x 的间隔小于δ。
21、设()f x 是Ｒ上连续的周期函数，且()f x 不为常数，则()f x 有最小正周期。
证：设Ｅ＝｛()f x 的正周期｝，0inf l E = 。要证0l E ∈。由()f x 的连续性可知对任意x 有0()()f x l f x +=。下面只需证0l ＞0 。
假定0l ＝0。任取0x ∈Ｒ，δ＞0。存在l ∈Ｅ，0＜l ＜δ及k ∈Z ，使k l ≤0x ＜(k +1)l ,即00,
(,)k l x l k l N x δδ-<<∈，由周期性得到：f (k l )
＝f (0)，又由δ的任意性及()f x 的连续性得f (0x )＝f (0)。因此()f x 是常数，这与题设矛盾。
注：去掉“不为常数”或“连续”的条件，命题不真。
以上三题解法有一共同特点：先找出一列点（点列中相邻之间的距离小于事先指定的距离），函数沿这列点有极限或取定值，然后由（一致）连续性得到函数的一般极限。
22、若)(x ?是周期函数，且∞
→x lim )(x ?＝0，则)(x ?≡0。
证：设T 是()x ?的一个正周期，假定
0()x ?≠0，0x ＞0，于是
0()nx ?＝0()x ?≠０，且lim n →∞0()nx ?＝0()x ?≠０，由归结原则得到矛盾。
23、设()f x ,()g x 都是周期函数，并且lim x →∞
（()f x -()g x ）=0，则：
()f x ≡()g x 。
证：本题关键是要证明()f x -()g x 也是周期函数。设l 是()f x 的一个周期，要证l 也是()g x 的周期。事实上：g (x +l )- ()g x 是周期函数，又因 g (x +l )－()g x ＝g (x +l )－f (x ＋l )＋f (x ＋l )－()g x ＝（g (x +l )－f (x ＋l )）＋（()f x －()g x ）0∞
→→x 。
由上题可知g (x +l )≡()g x 。
24、设()f x 在),0[∞连续且Ａ≤()f x ≤Ｂ，又设?l ∈Ｒ方程()f x ＝l 在
),0[∞至多只有有限个解，求证：∞
→x lim ()f x 存在。
证：令l ＝
2
B
A +，则存在1M ＞0，当x ＞1M 时恒有()f x ＞l ，或恒有()f x ＜l 。若是前者，继续考察［
2
B
A +，Ｂ］＝],[11
B A ，若是后者，考察[Ａ，
2
B
A +]＝],[11
B A 。依次可得闭区间套［n A ,n B ］及｛n M ｝↑，使当x ,y ＞n M 时≤-)()(y f x f n B －n A ＝n
A
B 2-，由柯西准则知∞→x lim ()
f x 存在。
注：l i m ()x f x →+∞
存
在的柯西准则等价于存在0,n n M ε+∞ ，使当
,n x y M ≥时()()n f x f y ε-<。
25、设()f x 在],[0+∞x 连续且有界，证明：?T ∈ ，存在n x ∈ ，n x →+∞，使∞
→n l i m
[()()n n f x T f x +-]＝0。 证：记)(x ?＝()()f x T f x +-。若?n ，?n x ≥n ，使)(n x ?＝0，则命题
已真。否则，由介值定理，不妨设x ≥0x 时，)(x ?＞0。?A ＞0x ，记
)(i n f x A
x A ?α≥=。由插项法可知，T ＞０时()(
)A f A k T k f A α+≥+；T ＜０时，()()A f A kT f A k α-≤-。因此若A α＞０，则()f x 无界，与题设矛盾。因
此，对任意n 都有
n α＝０。
从而存在n x ≥n 使０＜)(n x ?＜n
1，即n x →+∞且lim [()()]lim ()0n n n n n f x T f x x ?→+∞
→+∞
+-==。
注：仅对某个A 使A α＝０，还不能推出本题结论。但只要有一个
A α＞０，就可以使得数列{()}f A kT +的增长率恒大于一个正数（0T >时），或{()}f A kT -的减少率恒大于一个正数（0T <时），从而x →+∞时
()f x 无界。
26、设()f x ，()g x 在[a ,b ]连续,n x ∈ [a ,b ]，满足g (n x )=f (1+n x ), n ＝1,2,… 。求证：存在0x ∈[a ,b ]，使f (0x )＝g (0x )。 证：设)(x ?＝f (x )－g (x )。下面分两种情况来讨论： ① 若{)(n x ?}有异号的项或零项，0x 的存在性是显然的。 ② 若{)(n x ?}各项严格保号，不妨设? n 都有)(n x ? ＞0，于是
f (n x )－f (1+n x )＝f (n x )－
g (n x )＝
)(n x ?＞０，n ＝1,2,… 。因此，
数列｛f (n x )｝单调减少且有界，从而收敛。又由g (n x )=f (1+n x )知｛g (n x )｝也收敛,而且与｛f (n x )｝收敛于同一极限。注意到{n x }有界，所以有收敛子列{
k n x }，其极限为0x ∈[a ,b ]。由连续性得
∞
→k lim f (
k n x )
＝f （0x )，g (0x )＝∞
→k lim g (k n x )＝
∞
→n lim g (n x )＝∞
→n lim f (n x )＝∞
→k lim f (
k n x )＝
f (0x )。
注：本题的关键是证明｛f (n x )｝和｛g (n x )｝收敛(当)(n x ?保号时)。
另外还利用了收敛数列与其子列的关系。 27、设
()f x 在(,)-∞+∞连续且严格递增，又lim ()0x f x →-∞
=，
lim ()x f x →+∞
=+∞ 。求证：方程32()6()9()30f x f x f x -+-=有且仅有三个根。
证：设32
()693g y y y y =-+-，则(0)0,
(1)0,(3)0,(g g g g <
><+∞=+∞
，并且存在01,3a b <<>使()0,()0g a g b <>。于是()g y 的三个实根分别在
区间（a ，1）、（1，3）、（3，b ）内，而在其它区间内无根。由于)(x f 的值域是（0，+∞）且严格递增，故存在1
234
x x x x -∞<<<<<+∞
，使12(),()1,f x a f x == 34()3,()f x f x b ==。又()g y 在这（a ，1）
、（1，3）、（3，b ）内分别严格单调，故(())g f x 在
122334(,),(,),(,)x x x x x x 内分别单调。由介值定理(())g f x 在122334(,),(,),(,)x x x x x x 内各恰有一个根。又1x x <时()f x a <，4x x >时()f x b >，所以1x x <或4x x >时(())g f x 无根，
从而(())g f x 在
(,)-∞+∞有且只有三个根。 注：三次多项式最多只有三个实根。单调函数的复合函数仍是单调函数。严格单调的函数在其单调的区间内至多只有一个零点。 28、用有限覆盖定理证明零点存在性定理。
证：（反证）已知()f x 在[a ,b ]连续，()()0f a f b <。假定对任意
[,],()0x a b f x ∈≠，由局部保号性，存在0x δ>，使得当x '∈(,)[x x x x a b δδ-+ 时()f x '与()f x 同号。因[,]
[,]
(,)
x x x a b a b x x δδ∈?-+ ，由有限覆盖定理，其中存在有限个开区间1{(,)}k k n k x x k x x δδ=-+，它们也
能覆盖闭区间[a ,b ]，不妨设11
11k k
k k k
k
k k x x x
x δ
δ
δ
δ++++-<-<+<+（因为
只有有限个开区间并且它们覆盖了[a ,b ]）。由于相邻两区间有非空交，因此它们的函数值必须同号，由此得出()f a 与()f b 同号，与已知条件矛盾。
注：对有限个元素我们可以按一定规则进行排序（此事对无限个元素未必能做到）。有限覆盖定理经常用来化无限为有限。
29、设()f x 是[a ,b ]上非常值连续函数。求证：存在闭子区间
[,][,]a b αβ?，使()f x 在点,αβ取[a ,b ]上的最值，而在(,)αβ内都取不
到[a ,b ]上的最值。
证明：设,m M 分别为()f x 在闭区间[a ,b ]上的最小值和最大值，
{[,],()},{[,],()}E x x a b f x M G x x a b f x m =∈==∈=，sup e E =。由于()f x 非
常值，故m M <。下面分两种情形讨论：
（1）[,]G a e ≠? 。此时取sup [,],inf [,]G a e E e αβα== 。则αβ<（否则m M =），并且[,]αβ满足要求。
（2）[,]G a e =? 。此时必有e b <（否则()f x 在[a ,b ]上无最小值），取,inf [,]e G e b αβ== 。则αβ<（否则m M =），并且[,]αβ满足要求。 注：以A 表示上述证明中被取确界的集合，γ表示所取的确界，则存在n x A ∈使n x γ→，并由连续性得到()()n f x f γ→。
30、设)(x f 在[a ,b ]连续，()()0,max 0a x b
f a f b M f ≤≤===>。求证：存在
二次多项式()p x ，使得()()()p x f x a x b ≥≤≤，且存在0(,)x a b ∈使
00()()p x f x =。
证：作2
2
()2()()()g x M b a x a b x x x αβγ-=---=++记
，则()g x 满足条件
()()0,max ()(
)22
a x b
a b M g a g b g x g ≤≤+====。令2
()m i n
[()]a x b y x x f x y
?αβ≤≤=+-+ 由于()m i n [()()]02
a x b
M
g
x f x M ?γ≤≤=-≤-
<，当y 充分大时()0y ?>，故
?0y γ>使得0()0
y ?=。令20()p x x x y αβ=++，则对任意[,]x a b ∈有 2
0()()min[()]0a x b
p x f x x x f x y αβ≤≤-≥+-+=。
取0[,]x a b ∈，使2
000()m i n [()]a x b
x x f x x x f x αβα
β≤≤+-=+-，
则00()()p x f x =。又由0y γ>得()()0(),()()0()p a g a f a p b g b f b >==>==，因此0(,)x a b ∈。 注：从几何上看，先作一条开口向下的抛物线，在x a b =、处与曲线()y f x =相交，其顶点的纵坐标低于曲线()y f x =的最高点；然后再把抛物线适当的往上平移得到所需的二次曲线。
三、问题与思考
1、若有界数列{}n x 不收敛，则存在{}n x 的两个收敛子列{}{}k k n n x x '
''
、，
它们的极限互不相同。
2、设0n x >，{}n x 收敛于0。证明：{}n x 存在一个严格递减且收敛于0的子列。
3、证明：单调数列收敛的充分必要条件是其存在一个收敛子列。
4、设数列{}n a 有界，{}n b 满足l i m ()0n n n a b →∞
-=
。求证存在子列{}{}k k n n a b 、使得l i m
l i m k k n n k k a b →∞
→∞
=。
5、满足下列条件的数列{}n x 是否柯西列？ （1）对任意自然数p 都有l i m ()0n p n
n x x
+→∞
-=；
（2）存在正数1r <使得11(1,2,)n n n n x x r x x n +--<-= 。
6、设)(x f 在[a ,b ]有定义，且对任意[,]t a b ∈极限l i m ()x t
f x →存
在。求证：)(x f 在[a ,b ]有界。
7、设()f x ()C ∈ 无零点，l i m ()x f x →∞
=∞，则
1
()
f x 连续且有界。 8、设12[,],()max (),a t x
f C a b h x f t a x x b ≤≤∈=≤<≤，则
12122112[,]
[,]
0()()max ()min ()[,]f x x x x h x h x f t f t x x ω≤-≤-=。
提示：分121211[,]
[,]
max ()(),max ()()x x x x f t h x f t h x ≤>两种情形讨论，同时注意
121[,]
()min ()x x h x f t ≥。其中12[,]f x x ω也称为f 在12[,]x x 的振幅。
9、证明：区间内单调函数的间断点一定是第一类间断点。 10、证明：若)(x f 分别在区间12I I 、一致连续且12I I ≠? ，则)(x f 在区间12I I 一致连续。
12、设0α>，()f x x α
=。求证：01α<≤时)(x f 在[0,)+∞一致连续；1
α>时)(x f 在[0,)+∞不一致连续。
提示：运用微分中值定理。1α>时取1
1n
n x n x n n -'''==+、。
13、分别讨论2
2sin sin x x 、在(,)-∞+∞的一致连续性。
14、讨论1
s i n x
在(0,1)的一致连续性。
15、设[,)a b 是有限区间，)(x f 在[,)a b 连续。求证：)(x f 在[,)a b 一
致连续的充分必要条件是lim ()x b
f x -
→存在。 若将[,)a b 换成[,)a +∞，则结论如何？
16、设)(x f 在[a ,b ]连续，[,]n x a b ∈，lim ()n n f x A →∞
=。求证：[,]a b ξ?∈使
()f A ξ=。
17、设)(x f 在[a ,b ]连续，()()f a f b =
。
求证：存在12[,]x x a b ∈、，212
b a
x x --=
，使得12()()f x f x =。 提示：考察辅助函数()()()()22b a b a
x f x f x a x ?-+=+-≤≤。 18、设)(x f 在[0,1]连续，(0)0,(1)f f ==。证明：对任意自然数2n ≥，
存在(0,1)n x ∈使得1
1()()n n f x f x n n
+=+
。
提示：作辅助函数11
()()()x f x f x n n
?=+--，考察
1
()n k k
n
?-=∑。
19、求证：若()f x 在[1)+∞一致连续，则
()
f x x
在[1)+∞有界。 20、()f x 在(,)-∞+∞连续，且lim ()x f x A →∞
=，则()f x 在(,)-∞+∞有最大
值或最小值。
21、设10,02a b α<<<<。求证：存在0p >，使1
1()2
p p p
a b a b αα-+=。
提示：只要说明1a b αα
-落在1
()()2
p p p a b f p +=（0p >）的值域，可以先
考察(00)f +和()f +∞。
22、证明：若()f x 在有限开区间(,)a b 一致连续，则()f x 在开区间(,)
a b 有界。
提示：先利用柯西收敛准则证明单侧极限(0)(0)f a f b +-、
存在。 23、证明：若()f x 、()g x 都在有限开区间(,)a b 一致连续，则()()
f x
g x ?也在(,)a b 一
致连续。 24、证明：()f x 在区间I 上一致连续的充分条件是：对I 内的柯西列{}n x ，{()}n f x 也是柯西列。 25、设
()f x [0,1]C ∈，00
()1,1,2,n x x k k k
x k n n n n ?=??
=-?<≤=??
，则(())()n f x f x ?→→。
提示：()f x 在[0,1]一致连续,1()n x x n
?-<。 26、)(x f 在[a ,b ]连续，()0()()f a f x a x b =<<≤，)(x f 在(,)a b 内可微，
则
()
()
f x f x '在(,)a b 无界。 提示：利用在有限区间上一致连续性与有界性的关系。先考察
()l n (x f x ?=在(,)a b 的一致连续性。
27、证明：若()f x 在区间I 上连续，则值域()f I 是一个区间。
第七章 实数的完备性 §1 关于实数完备性的基本定理 1. 验证数集? ?? ? ??+-n n 1) 1(有且只有两个聚点11 -=ξ 和12 =ξ. 分析:根据聚点定义2'',分别找各项互异的收敛数列 {}n x ,{}n y ?? ?? ? ??+-n n 1) 1(,使其极限分别为-1和1.再由聚点定义2,用反证法，对1,±≠∈?a R a ,关键在找存在ε,使U(ε,a )内含有? ????? + -n n 1)1(中有限多个点. 解：记()()() 2,11 211,2111 22=-= -=+ -=-n n y n x n n n n 则 {}n x ,{} n y ? ? ?? ? ??+-n n 1)1(,且1lim ,1lim -==∞ →∞→n n n n y x .由定义2''知， 1,121=-=ξξ为???? ?? +-n n 1)1(的两个聚点. 对1,±≠∈?a R a ，则取{}1 ,1min 2 1 0+-=a a ε， ? ?? ??? + -n n 1)1(落在U(0,εa )内部至多只有有限点, 则α不是其聚点. 2．证明 任何有限数集都没有聚点. 分析：由聚点定义2即可证明.
证明：由定义2知，聚点的任何邻域内都含有数集的无穷多个点，而对于有限数集，不可能满足此定义，因此，任何有限数集都没有聚点。 3．设{}),(n n b a 是一个严格开区间套，即满足 ,1221b b b a a a n n <<<<<<< 且0)(lim =-∞ →n n n a b .证明：存在唯一的一点 ξ，使),2,1( =< 第七章实数的完备性 教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。 教学时数：12学时 § 1 关于实数集完备性的基本定理（3学时）教学目的： 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义； 2.明确基本定理是数学分析的理论基础。 教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。 一．确界存在定理：回顾确界概念． Th 1 非空有上界数集必有上确界；非空有下界数集必有下确界 . 二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . 三.Cantor闭区间套定理 : 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 1. ⅰ> 对 , 有 , 即 , 亦即后一个闭区间 包含在前一个闭区间中 ; ⅱ> . 即当 时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增, 递减. 例如 和 都是区间套. 但 、 和 都不是. 2. Cantor 区间套定理: Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 : 1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为Cauchy 列 : ⑴ . ⑵ . 第七章实数的完备性 § 1 关于实数集完备性的基本定理 一区间套定理与柯西收敛准则 定义1 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ）对, 有, 即, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中; ⅱ）. 即当时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 . 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和, 其中递增,递减. 例如和都是区间套. 但、和都不是. 区间套定理 定理7.1(区间套定理) 设是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点, 使对有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 二聚点定理与有限覆盖定理 定义设是无穷点集. 若在点(未必属于)的任何邻域内有的无穷多个点, 则称点为的 一个聚点. 数集=有唯一聚点, 但; 开区间的全体聚点之集是闭区间; 设是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间. 定理 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 聚点原理 :Weierstrass 聚点原理. 定理7.3 每一个有界无穷点集必有聚点. 列紧性: 亦称为Weierstrass收敛子列定理. 四． Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 : 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为Cauchy列 : ⑴. ⑵. 解⑴ ; 对，为使，易见只要. 于是取. ⑵ . 当为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 , 又 . 当为奇数时, . 综上 , 对任何自然数, 有 . …… Cauchy 列的否定: 例2 . 验证数列不是Cauchy列. 证对, 取, 有 . 因此, 取,…… 三 Cauchy收敛原理: 定理数列收敛是Cauchy列. ( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原 则给出证明 ) 第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明 六个基本定理： 1实数戴德德公理 确界原理 2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理 5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理 定理(确界原理) 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界． 定理 单调有界数列必收敛. 证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界，记{}n a a sup =．下面证明a 就是{}n a 的极限． 事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得N a a ε-<．又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a <<-ε． 另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n ．所以当N n ≥时有 εε+<<-a a a n ， 即a a n n =∞ →lim ．同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界． （区间套定理） 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[]n n b a ,， ,2,1=n ，即 ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 由（1）式，{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有 .,2,1, =≤n a n ξ （3） 同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（??）有 ξ==∞ →∞ →n n n n a b lim lim ， （4） 且 .,2,1, =≥n b n ξ （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。 最后证明满足（2）的ξ是唯一的。设数ξ'也满足 ,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ 关于实数连续性的基本定理 这七个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相 互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。它们在证明过程中相互联系。对同一个定理的证明，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，有的用的是类似的证明方法，有的出发点与站的角度不同，但最后却都能殊途同归。而有时使用同一个定理，也可能有不同的方法。即使方法相同，还可以有不同的细节。作为工具，它们又各具特点。而这些都是值得我们去注意与发现。 (一)实数基本定理的出现 关于实数的这些基本定理，总结起来就是一句话，实数系在分析上是完备的，直观来看 就是没有“洞”的。有人也许会说，中学时我就知道实数就是直线，直线当然是没有“洞”的，还用得着这么啰嗦吗？实际上，这里有一个逻辑循环，只有先肯定实数没有“洞”，才能够把它等同于直线，初等数学就这样默认了直观的前提，但是在分析学中就得往前研究，讨论一下这里的没有“洞”到底是怎么回事。 以上的定理表述如下： 实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都?唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。（论证实数系的完备性和局部紧致性） 确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。 单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。 区间套定理:设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的 区间里,即 ∞ =∈1 ],[n n n b a r 。 有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。 紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。 柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是： εε<->>?>?||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。 这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。 上确界的数学定义：有界集合S ，如果β满足以下条件 （1）对一切x ∈S ，有x≤β，即β是S 的上界； （2）对任意a ＜β，存在x ∈S ，使得x ＞a ，即β又是S 的最小上界， 则称β为集合S 的上确界，记作β=supS （同理可知下确界的定义） 关于实数连续性的基本定理 关键词：实数基本定理 确界定理 单调有界原理 区间套定理 有限覆盖定理 紧致性定理 柯西收敛定理 等价证明 以上的定理表述如下： 实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都?唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。 确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。 单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。 区间套定理:设｛ ,[n a ] n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含 在所有的区间里,即 ∞ =∈1 ] ,[n n n b a r 。 有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。 紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。 柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是： ε ε<->>?>?||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。 这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。 （二）实数基本定理的等价证明 一．用实数基本定理证明其它定理 1．实数基本定理→单调有界定理 证明：设数列}{n x 单调上升有上界。令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ?≤,}, 而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0 n ，使 a < 0n x ≤ b ，即A 、B 不乱。故A|B 是实数的一个分划。根据实数基本定理， A ，a R r ∈?∈?使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。 数学分析之实数的完备性 《数学分析》教案 第七章实数的完备性 教学目的: 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义; 2.明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。 教学重点难点:本章的重点是实数完备性的基本定理的证明;难点是基本定理的应用。 教学时数:14学时 ? 1 关于实数集完备性的基本定理(4学时) 教学目的: 1.使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义; 2.明确基本定理是数学分析的理论基础。 教学重点难点:实数完备性的基本定理的证明。 一(确界存在定理:回顾确界概念( Th 1 非空有上界数集必有上确界 ;非空有下界数集必有下确界 . 二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . - 1 - 《数学分析》教案 三. Cantor闭区间套定理 : 1. 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件 ?> 对, 有 , 即 , 亦即后 一个闭区间包含在前一个闭区间中 ; ?> . 即当时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套,简称为区间套 . 简而言之, 所谓区间套是指一个“闭、缩、套” 区间列. 区间套还可表达为: . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增, 递减. 例如和都是区间套. 但、 和都不是. 2. Cantor区间套定理: Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点,使对有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点. 四( Cauchy收敛准则——数列收敛的充要条件 : - 2 - 《数学分析》教案 实数的连续性公理证明确界存在定理 定理一实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系R按戴德金连续性准这是连续的，即对R的任意分划A|B，都存在唯一的实数r，它大于或等于下类A的每一实数。小于或等于上类B中的每一个实数。 定理二单调有界有极限单调上升（下降）有上（下）界的数列必有极限存在。 定理三确界定理在实数系R内，非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界存在。 定理四区间套定理设是一个区间套，则必有唯一的实数r，使得r包含在所有的区间套里，即。 定理五Borel有限覆盖定理实数闭区间的任一个覆盖E，必存在有限的子覆盖。 定理六Bolzano-Weierstrass紧致性定理有界数列必有收敛子数列。 定理七Cauchy收敛原理在实数系中，数列有极限存在的充分必要条件是： 任给>0，存在N，当n>N，m>N时，有。 定理一—三是对实数连续性的描述，定理四—定理六是对实数闭区间的紧致性的描述，定理七是对实数完备性的描述。上述七个定理都描述了实数的连续性（或称完备性），它们都是等价的。下面给出其等价性的证明： 定理一定理二： 设数列单调上升有上界。令B是全体上界组成的集合，即 B=，而A=R\B,则A|B是实数的一个分划。事实上，由有上界知B不 空。又单调上升，故，即A不空。由A=R\B知 A、B不漏。又， 则，使，即 A、B不乱。故A|B是实数的一个分划。根据实数基本定理， 存在唯一的使得对任意，任意，有。下证。事实上， 对，由于，知，使得。又单调上升。故当n>N时， 有。注意到，便有。故当n>N时有 ，于是。这就证明了。若单调下降有下界， 则令，则就单调上升有上界，从而有极限。设极限为r，则 。定理二证完。 定理二定理三： 只需证明在实数系R内，非空的有上界的数集必有上确界存在。设数集X 非空，且有上界。则，使得对，有。又R是全序集，对， 与有且只有一个成立。故,有与有且只有一个成 立。故r是X的上界与r不是X的上界有且只有一个成立。X有上界，实数是X的上界。若不存在实数不是X的上界，则由上知，实数都是X的上界，这显然与X非空矛盾。故，使得不是X的上界，是X的上界。则使得。 用的中点二等分，如果是X的上界，则取 ；如果不是X的上界，则取。继续用 二等分，如果是X的上界，则取；如果 不是X的上界，则取。如此继续下去，便得到两串序列 。其中都不是X的上界且单调上升有上界（例如），都是X的上界且 单调下降有下界（例如）。并且（当时）。由单调上升 有上界知有存在，使得。下证。①事实上，对 对实数基本定理的认识 数学与应用数学 白海蛟 最初,在引入实数时,传统的方法一个是戴德金（Dedekind ）用分划定义实数,另一个是康托（Cantor ）用有理数的基本序列之等价类来定义. 分划 定义:若把一个有序的数系S 分成A,B 两类,满足 Ⅰ.A,B 均非空;Ⅱ.S 中的任意数或在A 中,或在B 中;Ⅲ.A 中任一数均小于B 中任一数; 则A,B 为数系S 的一个分划,记为A ｜B. ① 戴德金实数连续性定理 实数系R 按戴氏连续性准则是连续的,即对R 的任一分划A ｜ B,都存在唯一实数r ,它大于或等于下类A 的每一个实数,小于或等于上类B 的每一个实数. 基本序列 定义 数系S 中,如果有数列{}n x 满足下列性质:0ε?>,N ?,使得只要 ,n N m N >>,有 n m x x ε-<,则称{}n x 为S 的基本序列,或柯西列. 在数系S 中,两个基本序列是等价的,如果lim()0n n n x x →∞ '-=,将相互等价的基本序列作为一类,称为等价类.显然,每一个有理数,对应了一个等价类,可以说这个等价类唯一的刻画了这一有理数.类似地,可以认为每一个有理数的基本序列的等价类对应了一个实数. 当对应的不再是有理数时,它就对应了一个新数,即为无理数.实质就是让每一个有理数的基本序列有极限,当极限值不为有理数,就定义了一个无理数. 显然,戴德金分划法较之康托的方法,更为直观. 关于实数系R ,我们得到了7 个等价命题: ① 戴德金实数连续性定理; ② （确性定理）非空的有上（下）界的数集必有上（下）确界; ③ （单调收敛定理）任何单调有界的数集必有极限; ④ （区间套定理）设{[,]}n n a b 是一个区间套,则必存在唯一的实数r ,使得包含r 在所有的 区间里,即1 ,n n n r a b ∞ =??∈ ?? ; ⑤ （有限覆盖定理）实数闭区间[a,b ]的任一个覆盖E,必存在有限的子覆盖; ⑥ （紧致性定理）有界数列必有收敛子数列; ⑦ （柯西收敛原理）实数系R 中,数列{}n x 有极限存在的充分必要条件是:0ε?>,N ?,当 ,n N m N >>时,有 n m x x ε-<. 其中,①②③刻画了实数系的连续性,④⑤⑥刻画了实数闭区间的紧性,⑦刻画了实数系的完备性.以上七个命题在实数系R 是等价的. 需要说明的是,实数系R 的得到,是以有理数系Q 为材料,构造出的一个新数的有序域.它满足阿基米德性,同时使确性定理成立,并以有理数系作为其一个子集,实数系R 仍构成阿基米德有序域.但上述7个命题,在复数域C ,有理数域Q 并不是全部成立的. 以下证明7个命题的等价性. ⑦→③: 实数系基本定理的等价性证明 摘 要 说明了确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理这六个定理是等价的.也就是说，以这六个定理中的任意一个作为公理都可以推出另外五个.本文把闭区间套定理作为公理，证明了这六个定理之间是相互等价的. 关键词 上、下确界、闭区间套、有限覆盖、收敛、等价性 在数学分析课程中我们学习了实数系的六个基本定理，即确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理和有限覆盖定理.实数系这六个基本定理是相互等价的，即以其中任何一个定理作为公理都可推出另外五个定理. 在《数学分析》教材中，一般都是以确界原理作为公理，然后去证明其余 的五个定理.我们现以“闭区间套定理”作为公理，然后去推证其余的五个定理，并证明这六个定理是等价的. 六个定理的顺序： ① 确界原理 ② 单调有界定理 ③ 闭区间套定理 ④ 致密性定理 ⑤ 柯西收敛原理 ⑥ 有限覆盖定理 按以下顺序给予证明： ③?⑥?④?⑤?①?②?③ 1 闭区间套定理?有限覆盖定理[]1 闭区间套定理 若闭区间列][{}n n b a ,满足： ①[]n n b a ,?[]11,++n n b a ，n =1,2,3,…； ②∞ →n lim ()n n a b -=0 ； 则存在唯一ξ，使得∞ →n lim n a =∞ →n lim n b =ξ，ξ是所有区间的唯一公共点. 有限覆盖定理 若开区间所成的区间集E 覆盖一个闭区间[]b a ,，则总可从E 中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[]b a ,. 证明 用反证法 设[]b a ,不能被E 中有限个区间所覆盖.等分区间[]b a ,为两个区间，则至少有一个部分区间不能被E 中有限个区间所覆盖，把这一区间记为 []11,b a .再等分[]11,b a ，记不能被E 中有限个区间所覆盖的那个部分区间为 []22,b a .照这样分割下去，得到一个区间列][{}n n b a ,，这区间列显然适合下面两 个条件： （i ） 每一[]n n b a ,皆不能被E 中有限个区间所覆盖； （ii ） []b a ,?[]11,b a ?[]22,b a ?…； （iii ）n b -n a = n a b 2-→0； 有条件（ii ）及（iii ），于是由闭区间套定理，必有唯一点ξ∈[]b a ,使n a →ξ， n b →ξ.按覆盖概念及定理所设条件，在E 中至少存在一个开区间，设为)(βα,，使 ξ∈)(βα, 即 α＜ξ＜β 有数列极限的性质知道，?正整数N ，当n ＞N 时，有 α＜n a ＜n b ＜β 即当n ＞N 时，有 []n n b a ,?)(βα, 也就是用E 中一个区间)(βα,就可覆盖所有形如[]n n b a ,﹙n ＞N ﹚的区间，与（i ）矛盾. 定理证毕 2 有限覆盖定理?致密性定理[]2 致密性定理 有界数列必有收敛的子列. 证明 设{}n x 为有界数列，a 是它的一个下界，b 是它的一个上界，于是下列两种情形之一成立： （i ） α∈[]b a ,，使在α的任何邻域中都有{}n x 的无穷多项； §1.3 实数基本定理与函数的连续性 一、主要知识点和方法 1、实数基本定理 闭区间套定理：设{[,]}n n a b 是一列闭区间，满足11[,][,]n n n n a b a b ++?及 0n n b a -→，则存在唯一的[,]n n a b ξ∈(1,2,)n = 。 确界定理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。 聚点定理：有界无限点集必有聚点。 致密性定理：有界点列必有收敛子列。 有限覆盖定理：设H 是由一族开区间所成的集合，若H 覆盖了闭区间[a ,b ]，则存在H 的有限子集H 0，使得H 0也能够覆盖[a ,b ]。 单调有界定理：单调递增（减）有上（下）界的数列一定收敛。 柯西收敛准则：{}0,,n n m x N n m N x x εε??>?>>-<收敛当时。（当{}n x 满足柯西准则条件时，也称{}n x 为柯西列） 以上七个定理称为实数基本定理，它们是相互等价的。 2、连续函数概念 （1）连续与间断 设)(x f 在点a 的一个邻域内有定义，若lim ()()x a f x f a →=，则称)(x f 在 点a 连续。 “εδ-”定义：若0,0εδ?>?>，当x a δ-<时()()f x f a ε-<。则称)(x f 在点a 连续。 若(0)lim ()()x a f a f x f a - →-==，则称)(x f 在点a 左连续。 若(0)lim ()()x a f a f x f a + →+==，则称)(x f 在点a 右连续。 )(x f 在点a 连续意味着下面三个条件同时成立： ⅰ）(0),(0)f a f a +-都存在； 关于实数的完备性 §1. 关于实数的基本定理 1. 设()f x 在D 上定义，求证： (1) sup{()}inf ();x D x D f x f x ∈∈-=- (2) inf{()}sup ().x D x D f x f x ∈∈-=- 2. 试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于+∞的数列必有下确界，趋于-∞的数列必有上确界． 3. 试分别举出满足下列条件的数列： (1)有上确界无下确界的数列； (2)含有上确界但不含有下确界的数列； (3)既含有上确界又含有下确界的数列； (4)既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限． 4. 求数列的上、下确界： (1) 11;n x n =- (2) [2(2)];n n x n =+- (3) 2211 ,1(1,2,3,);k k x k x k k += =+ = (4) 1[1(1)];n n n x n +=+- (5) ;n x = (6) 12cos .13 n n n x n π-=+ 5. 设sup E β=，且E β?，试证自E 中可选取数列{}n x 且n x 互不相同，使lim n x x β→∞ =；又若E β∈，则情形如何? 6. 利用有限覆盖定理9．2证明紧致性定理9．4． 7. 试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件 1122[,][,]a b a b ??去掉或将条件0n n b a -→去掉，结果怎样?试举例说明． 8. 若{}n x 无界，且非无穷大量，则必存在两个子列,k k n m x x a →∞→ (a 为有限数)． 9. 设()f x 在[,]a b 无界，求证：存在[,]c a b ∈，对任给0δ>，函数()f x 在 (,)[,]c c a b δδ-+?上无界． 10. 设()f x 在[,]a b 上只有第一类间断点，定义 ()|(0)(0)|.x f x f x ω=+-- 求证：任意0,()x εωε> ≥的点x 只有有限多个． 11. 设()f x 是(,)a b 上的凸函数，且有上界，求证：lim (),lim ()x a x b f x f x +-→→ 存在． 12. 利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限． 13. 用区间套定理证明单调有界数列必有极限． 14. 设()f x 在[0,)+∞上连续且有界，对任意(,)a ∈-∞+∞，()f x a =在[0,)+∞上只 有有限个根或无根，求证：lim ()x f x →+∞ 存在． 15. 设()f x 在[,]a b 上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：()f x 在[,]a b 上 有界． 16. 求证：数列{}n a 有界的充要条件是，{}n a 的任何子数列{}k n a 都有收敛的子数列． §2. 闭区间上连续函数性质的证明 1. 设()f x 在[,]a b 上连续，可微，又设 (1) min ()max ();a x b a x b f x p f x ≤≤≤≤<< (2) 如果()f x p =，则有'()0f x ≠， 求证：()f x p =的根只有有限多个． 2. 设()f x 是[,]a b 上的连续函数，其最大值和最小值分别为M 和()m m M <，求证： 必存在区间[,]αβ，满足条件： (1)(),()f M f m αβ= =或(),()f m f M αβ= =； 2011届本科毕业论文 题目：实数连续性基本定理的等价性 所在学院：数学科学学院 专业班级：数学07-4班 学生姓名：努尔阿米乃姆.阿提汗 指导教师：塔实甫拉提老师 答辩日期：2011年5月10日 新疆师范大学教务处 新疆师范大学2011届本科毕业论文 目录 1 引言 (1) 2 实数连续性的基本概念 (1) 2.1 有关实数连续性的定义 (1) 2.2 有关实数连续性的基本定理 (2) 3 六大基本定理等价性的证明 (3) 3.1 单调有界定理的证明 (3) 3.2 区间套定理的证明 (4) 3.3有限覆盖定理的证明 (4) 3.4 聚点定理的证明 (5) 3.5 柯西收敛准则的证明 (6) 3.6 确界原理的证明 (7) 4 实数连续性基本定理的应用 (8) 5 总结 (9) 参考文献 (10) 致谢 (11) 实数连续性基本定理的等价性 摘要实数集的连续性(又称完备性)是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础.可以从不同的角度来描述和刻画实数集的连续性，因此有多个实数集的连续性基本定理.本文给出了实数集连续性的六个基本定理且证明了这六个基本定理的等价性，是对实数集连续性基本定理等价性的系统的论述，从而我们获得了对实数集连续性的基本特征的进一步的认识和理解.本文还应用这些基本定理证明了关于闭区间上连续函数的一些性质.本文先承认确界原理为真，即作为公理，然后由它出发，依次证明单调有界定理，闭区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理，柯西收敛准则，最后再利用柯西收敛准则证明确界原理. 关键词实数连续性基本定理，等价性，循环证明 1 引言 实数集是连续的,这是实数集有别于有理数集的重要特征.数学分析是用极限的方法来研究微积分, 而极限论作为微积分的理论基础又恰恰是建立在实数连续性定理之上的.由有理数系扩充到实数系有不同的方法, 从而连续定理叙述的形式就不同, 但它们之间却是等价的.而一个数列是否存在极限，不仅与数列本身有关，而且也与数列所在的数集有关.因为实数集关于极限运算是封闭的，这个性质就是实数集的连续性.实数的连续性主要是由确界原理，单调有界定理，闭区间套定理，有限覆盖定理，聚点定理以及柯西收敛准则所描述的.虽然它们的数学形式不同，但是它们都描述了实数的连续性. 2 实数连续性的基本概念 2.1 有关实数连续性的定义 本文首先给予有关实数连续性的基本定义作以介绍： 定义2.1.1 设闭区间列[]{}n n b a ,具有如下性质： （i ）[][]11,,++?n n n n b a b a , ,2,1=n ; （ii ）()n n n a b -∞ →lim =0, 则称[]{}n n b a ,为闭区间套，或简称区间套. 类此地，在空间上区间套定义是如下叙述的： n R 中所有和定点0P 之距离小于定数0>δ的点的全体，即集合 {}δ<),(|0P P d P 称为点0P 的δ领域，并记为()δ,0P .在321,,R R R 中的()δ,0P 就是以0P 为中心 δ为半径的开区间，开圆和开球. 定义2.1.2 设S 为数轴上的点集，ξ为定点（它可以属于S ，也可以不属于S).若ξ的任何领域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点. 聚点定义的另两个等价定义如下： 定义 2.1.2'对于点集S ，若点ξ的任何ε领域内都含有S 中异于ξ的点，即 ()φεξ≠?S ; ,则称ξ为S 的一个聚点. 定义2.1.2'' 若存在各项互异的收敛数列｛n x ｝S ?,则其极限∞ →n lim n x =ξ成为S 教案 实数系的连续性——实数系的基本定理 复 旦 大 学 陈纪修 於崇华 金路 1． 教学内容 利用实数的无限小数表示，证明非空有界的实数集合必有上确界与下确界，即最小上界与最大下界。 2． 指导思想 （1） Newton , Leibniz 建立微积分以来，它在解决实际问题上的正确性与在逻辑上的不严格性的矛盾困惑了一代又一代的数学家，不少人对微积分理论产生过怀疑，直到Cauchy , Weierstrass 建立了极限论的严格基础，人类科学史上最辉煌的成就之一——微积分理论的大厦才得以牢固建立。作为极限论的出发点，实数系的基本定理——实数系的连续性，在数学分析课程中占有重要的地位。 （2） 实数系的基本定理有多种表达方式：Dedkind 切割定理，确界存在定理，单调有界数列收敛定理，闭区间套定理，Bolzano-Weierstrass 定理，Cauchy 收敛原理和Cantor 定理。这些定理是等价的，其中每一个都可以作为极限论的出发点，建立起整个极限理论。 （3） 传统的教材常采用Dedkind 切割定理作为实数系连续性定理，并由此出发导出极限论的全部理论。但由于Dedkind 切割定理过分抽象，对大学一年级学生来说难以接受，而将实数连续性作为一个公理加以承认又使人感到极限理论不够完备。我们则采用对学生来说非常熟悉的实数的无限小数表示方法，直观而简明地证明了确界存在定理，既使得学生容易掌握，又使得本书的极限理论得以完备化。 （4） 通过本节的教学， 要求使学生了解人类对数的认识的发展历史；对实数系的连续性不仅能从几何上理解，还能从分析上掌握如何加以证明；并认识正是由于实数系的连续性，才使它成为整个数学分析课程的“活动舞台”。 3． 教学安排 （1） 讲述人类对数的认识的发展历史： 自然数?整数?有理数?实数。 讲解促使这一发展历史的原因和例子。指出整数系具有离散性, 有理数系具有稠密性, 对于实数系，让学生先从几何上理解它的连续性：实数布满整个数轴而无“空隙”。 （2） 先给出数集的最大数与最小数的定义： 设S 是一个数集，如果， 使得， 有，则称是数集?∈ξS ?∈x S x ≤ξξS 的最大数，记为ξ=max S ；如果，使得,有?∈ηS ?∈x S x ≥η，则称是数集ηS 的最小数，记为η=min S 。 当数集S 是非空有限集，即S 只含有有限个数时，max S 与min S 显然存在，实数的完备性
第七章 实数的完备性
实数的基本定理
实数系基本定理
实数完备性基本定理相互证明
数学分析之实数的完备性
实数的连续性公理证明确界存在定理
对实数基本定理的认识
实数系基本定理的等价性证明
实数基本定理与函数的连续性
第三章关于实数的基本定理
实数连续性基本定理的等价性
实数系的连续性——实数系的基本定理
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