第八节函数的模型及其综合应用
考点一函数的实际应用
1．(2015·北京，8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升
汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油
量最多
C．甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更
省油解析
汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”，由此理解A 显然不对；B 应是甲
车耗油最少；C 甲车以80千米/小时的速度行驶10km，消耗1升汽油．故D 正确．答案
D
2．(2014·湖南，8)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(
)
A.
p ＋q 2
B.
（p ＋1）（q ＋1）－12C.pq D.（p ＋1）（q ＋1）－1
解析
设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x ＝
（1＋p ）（1＋q ）－1，故选D.答案
D
3.(2013·陕西，9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积
不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是()
A．[15，20]B．[12，25]C．[10，30]D．[20，30]
解析
设矩形另一边长为y ，
x 40＝40－y
40
，则x ＝40－y ，y ＝40－x .由xy ≥300，即x (40－
x )≥300，解得10≤x ≤30，故选C.
答案
C
4．(2011·湖北，10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－
t
30
，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M (60)＝()
A．5太贝克
B．75ln 2太贝克
C．150ln 2太贝克D．150太贝克
解析
由题意M ′(t )＝M 02
－
t 2，M ′(30)＝M 02－12＝－10ln 2，∴
M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150，故选D.
答案
D
5．(2015·四川，13)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小
时．
解析
b
＝192，22k ＋b
＝48，
∴e 22k
＝
48192＝14，∴e 11k ＝12
，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b
＝
·e b ＝1
8×192＝24.
答案
24
6.(2012·江苏，17)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在
地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx
－1
20
(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解
(1)令y ＝0，得kx －1
20
(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，
故x ＝20k 1＋k 2
＝20k ＋1k ≤20
2
＝10，当且仅当k ＝1时取等号．∴炮的最大射程为10千米．(2)∵a >0，
∴炮弹可击中目标?存在k >0，使3.2＝ka －1
20
(1＋k 2)a 2成立?关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋
a 2＋64＝0有正根?判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0?a ≤6.
∴当a 不超过6千米时，可击中目标．
7．(2015·江苏，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别
为20千米和2.5千米，R 以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，
假设曲线C 符合函数y ＝a x 2＋b
(其中a ，b 为常数)模型．
(1)求a ，b 的值；
(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．解
(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．
将其分别代入
y ＝a
x 2＋b ，得
＝1000，＝0.
(2)①由(1)知，y ＝
1000
x 2
(5≤x ≤20)，则点P
设在点
P
处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，
y ′＝－
2000
x
3
，则l 的方程为y －
1000t 2＝－2000
t 3
(x －t )，
由此得
②设g (t )＝t 2
＋4×106t 4
，
则g ′(t )＝2t －16×106
t 5.
令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.
当t ∈(5，102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数；当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数．从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.
答：当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．考点二
函数的综合应用
1．(2014·辽宁，12)已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足：①f (0)＝f (1)＝0；
②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<1
2|x －y |.
若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )| A.12 B.14 C.12π D.18解析不妨令0≤y 2 |f (x )－f (y )|＝|[f (x )－f (1)]－[f (y )－f (0)]|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<1 2|x － 1|＋ 12|y －0|＝12(1－x )＋12y ＝12＋12(y －x )<14.综上，|f (x )－f (y )|<14，所以k ≥14.答案 B 2．(2013·天津，8)已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a ) 为A.若－ 1 2 ， 1 2?A，则实数a的取值范围是() 解析a＝0时，A＝?，不满足条件．a>0时，易知f(0)＝0，x>0时，f(x)＝x(1＋a|x|)>0，于是f(0＋a)>0＝f(0)，而由已知 － 1 2 ， 1 2?A可得0∈A，即f(0＋a) <0. 易知f(x （x≥0）， （x<0）， 在坐标系中画出y＝f(x)与y＝f(x＋a)的图象如图所示， 由图可知满足不等式f(x＋a) A ，x B )． 由x(1－ax)＝(x＋a)[1－a(x＋a)]可得x A ＝ 1－a2 2a ；由x(1＋ax)＝(x＋a)[1＋a(x＋a)]， 可得x B ＝－ 1＋a2 2a . ∴A a<0)． 由 － 1 2 ， 1 2A <－ 1 2 ， > 1 2 ， 解得 1－5 2 答案A 3．(2012·新课标全国，12)设点P在曲线y＝ 1 2 e x上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为() A．1－ln2 B.2(1－ln2) C．1＋ln2 D.2(1＋ln2) 解析由题意知函数y ＝1 2 e x 与y ＝ln(2x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，两曲 线上点之间的最小距离就是y ＝x 与y ＝12e x 最小距离的2倍，设y ＝1 2 e x 上点(x 0，y 0)处的 切线与y ＝x 平行，有1 2e x 0＝1，x 0＝ln 2，y 0＝1，∴切点到直线y ＝x 的距离d ＝1－ln 22， 所以|PQ |的最小值为2 2(1－ln 2)×2＝2(1－ln 2)． 答案 B 4．(2014·湖北，14)设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函 数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )．例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b 2 ， 即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数． (1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数．(2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2ab a ＋b .(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)解析 过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线的方程为 y －f (a )＝f （a ）＋f （b ） a －b (x －a )， 令y ＝0得c ＝af （b ）＋bf （a ） f （a ）＋f （b ） . (1)令几何平均数ab ＝af （b ）＋bf （a ） f （a ）＋f （b ）?abf (a )＋abf (b )＝bf (a )＋af (b )，可取 f (x )＝x (x >0)； (2)令调和平均数 2ab a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）?ab ＋ba a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ） f （a ）＋f （b ） ，可取f (x )＝x (x >0)． 答案 (1)x (2)x 5．(2014·山东，15)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2 关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．解析函数g (x )的定义域是[－2，2]，根据已知得 h （x ）＋g （x ） 2 ＝f (x )，所以h (x )＝ 2f (x )－g (x )＝6x ＋2b －4－x 2 .h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2 >4－x 2 恒成立， 即3x ＋b >4－x 2恒成立，令y ＝3x ＋b ，y ＝4－x 2 ，则只要直线y ＝3x ＋b 在半圆x 2＋y 2＝4(y ≥0)上方即可，由|b |10 >2，解得b >210(舍去负值)，故实数b 的取值范围是(210， ＋∞)．答案 (210，＋∞) 6．(2013·新课标全国Ⅰ，21)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.(1)求a ，b ，c ，d 的值； (2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．解 (1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2， f ′(0)＝4， g ′(0)＝4. 而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4.从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2. (2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)． 设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)． 由题设可得F (0)≥0，即k ≥1. 令F ′(x )＝0，得x 1＝－ln k ，x 2＝－2. (ⅰ)若1≤k ＋∞)时，F ′(x )>0.即F (x )在(－2，x 1)上单调递减，在(x 1，＋∞)上单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)上的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－x 2 1－4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．(ⅱ)若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x >－2时，F ′(x )>0，即F (x )在(－2，＋∞)上单调递增．而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． (ⅲ)若k >e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)<0.从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立． 综上，k的取值范围是[1，e2].
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