应用导数讨论函数的增减性
典型例题：
例1. （2012年浙江省理5分）设0a >，0b >【 】
A ．若2223a b a b +=+，则a b >
B ．若2223a b a b +=+，则a b <
C ．若2223a b a b -=-，则a b >
D ．若2223a b a b -=-，则a b <
【答案】A 。
【考点】函数的单调性，导数的应用。
【解析】对选项A ，若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+。
构造函数：()22x f x x =+，则()2l n 220x f x '=?+>恒成立，
故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立。
其余选项用同样方法排除。故选A 。
例2. （2012年湖南省文5分）设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是()f x 的导函数，当[]0,x π∈时，0＜()f x ＜1；当()0,x π∈ 且2x π
≠时 ，
()()02
x f x π'->，则函数()sin y f x x =-在[-2π，2π] 上的零点个数为【 】 A .2 B .4 C.5 D. 8
【答案】Ｂ。
【考点】函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题。
【解析】由当()0,x π∈ 且x ≠2
π时 ，()()02x f x π'->，知 0,()0,()2x f x f x π??'∈ ???
，时,为增函数。
又[]0,x π∈时，0＜f (x )＜1，在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出sin y x =和()y f x =草图像如下，由图知()sin y f x x =-在[-2π，2π] 上的零点个数为4个。
例3. （2012年辽宁省文5分）函数21ln 2
y x x =-的单调递减区间为【 】 （A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞）
【答案】B 。
【考点】用导数求函数的单调区间。 【解析】∵21ln 2y x x =-，∴1y x x
'=-。 ∴10000
x y x x x x x ?'≤≤=-≤????<≤??>??>?-111。故选B 。 例4. （2012年辽宁省理5分）若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是【 】
(A)21x e x x ++…
211124x x <-+ (C)21cos 12x x -…
(D)21ln(1)8
x x x +-… 【答案】C 。 【考点】导数公式，利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式。 【解析】设2211()cos (1)cos 122f x x x x x =--
=-+，则()()sin ,g x f x x x '==-+ 所以()c g x x '=-+≥，所
以当[0,)x ∈+∞时，()()g x g x f x
g '=≥=为增函数，所以 同理()(0)0f x f ≥=，∴21cos (1)02x x --≥，即21cos 12
x x ≥-。故选C 。 例5. （2012年山东省文4分）若函数x f (x)a (a 0,a 1)=>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，
且函数g(x)(1=-[0,)+∞上是增函数，则a ＝ ▲ .