河北省沧州市2021届新高考第二次大联考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．计算254
3
log sin cos
π
π??
??
?
等于( ) A ．32
-
B ．
32
C ．23
-
D ．
23
【答案】A 【解析】 【分析】
利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值. 【详解】
原式2221log cos 2log cos log 232322πππ???????=-==??? ? ???????????
3223
log 22-==-. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题. 2．5(12)(1)x x ++的展开式中2x 的系数为（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．30
【答案】C 【解析】 【分析】
由5(12)(1)x x ++=5(1)x +5
2(1)x x ++知，展开式中2x 项有两项，一项是5
(1)x +中的2x 项，另一项是2x
与5
(1)x +中含x 的项乘积构成. 【详解】
由已知，5(12)(1)x x ++=5(1)x +52(1)x x ++，因为5
(1)x +展开式的通项为5r r
C x ，所以
展开式中2x 的系数为21
55220C C +=. 故选：C. 【点睛】
本题考查求二项式定理展开式中的特定项，解决这类问题要注意通项公式应写准确，本题是一道基础题. 3．已知集合{}|124A x x =<≤
，|B x y ??
==
??，则A B =e（ ）
A ．{}5|x x ≥
B ．{}|524x x <≤
C ．{|1x x ≤或}5x ≥
D ．{}|524x x ≤≤
【答案】D 【解析】 【分析】
首先求出集合B ，再根据补集的定义计算可得； 【详解】
解：∵2650x x -+->，解得15x << ∴{}|15B x x =<<，∴{}|524A B x x =≤≤e. 故选：D 【点睛】
本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.
4．函数()3
sin 3x f x x π
=+的图象的大致形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数奇偶性，可排除D ；求得()f x '及()f x ''，由导函数符号可判断()f x 在R 上单调递增，即可排除AC 选项. 【详解】
函数()3
sin 3x f x x π
=+
易知()f x 为奇函数，故排除D.
又()2
cos x f x x π
'=+，易知当0,2x π??∈????时，()0f x '>； 又当,2x π??
∈+∞
???时，()2sin 1sin 0x f x x x π''=->-≥， 故()f x '在,2π??+∞
???上单调递增，所以()24
f x f ππ
??''>= ???， 综上，[)0,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 单调递增. 又()f x 为奇函数，所以()f x 在R 上单调递增，故排除A ，C. 故选：B 【点睛】
本题考查了根据函数解析式判断函数图象，导函数性质与函数图象关系，属于中档题.
5．已知抛物线22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点且MN 为过焦点的弦，若||1OF =，||8MN =，则
OMN V 的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据||1OF =可知2
4y x =,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【详解】
由题意可知抛物线方程为2
4y x =,设点()11,M x y 点()22,N x y ,则由抛物线定义
知,12|||||2MN MF NF x x =+=++,||8MN =则126x x +=.
由2
4y x =得2114y x =,2224y x =则221224y y +=.
又MN 为过焦点的弦,所以124y y =-,则21y y -==所以
211
||2
OMN S OF y y =
?-=V . 故选：A
【点睛】
本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.
6．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两
点，若290ABF ∠=?，且2ABF V 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）
A ．
1
2
B ．
C ．
2
D 【答案】C 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质设出2BF ，AB ，2AF ，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得
21BF a BF ==.再利用勾股定理建立,a c 的关系式，化简后求得离心率.
【详解】
由已知2BF ，AB ，2AF 成等差数列，设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+.
由于290ABF ∠=?，据勾股定理有2
2
2
22BF AB AF +=，即()()2
2
22x x d x d ++=+，化简得3x d =； 由椭圆定义知2ABF V 的周长为233124x x d x d x d d a ++++=+==，有3a d =，所以x a =，所以
21BF a BF ==；
在直角21BF F V 中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率e =. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.
7．设双曲线22221y x a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线与抛物线2
13y x =+有且只有一个公共点，且椭
圆22
221x y a b
+=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22
143x y -
= B ．22
143y x -=
C ．22
123x y -=
D ．22
132
y x -=
【答案】B 【解析】 【分析】
设双曲线的渐近线方程为y kx =，与抛物线方程联立，利用0?=，求出k 的值，得到
a
b
的值，求出,a b 关系，进而判断,a b 大小，结合椭圆22
221x y a b
+=的焦距为2，即可求出结论.
【详解】
设双曲线的渐近线方程为y kx =， 代入抛物线方程得2
1
03
x kx -+
=， 依题意2
40,
3k k ?=-
==，
a a
b b ∴==>，
∴椭圆22
221x y a b +=的焦距2=，
222
22411,3,433
b b b b a -====， 双曲线的标准方程为22143
y x -=.
故选:B. 【点睛】
本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题. 8．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种
【答案】C 【解析】 【分析】
先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项. 【详解】
把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1
个人，共有24C 种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有3
3A 种方法，由分步计数原理，共有23
4336
C A ?=种方案。 故选：C.
【点睛】
本题主要考查排列与组合,常常运用捆绑法，插空法，先分组后分配等一些基本思想和方法解决问题，属于中档题.
9．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A ．0,6? ??
B ．5?
???? C ．0,5? ??
D ．5??
?????
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围. 【详解】
当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.
=6，
所以椭圆离心率e ==，
所以0,5e ?∈ ??
.
故选：C 【点睛】
本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.
10．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ）
A ．3π
B ．
2
C ．12π
D ．24π
【答案】C 【解析】 【分析】
首先根据垂直关系可确定OP OA OB OC ===，由此可知O 为三棱锥外接球的球心，在PAB ?中，可以算出AP 的一个表达式，在OAG ?中，可以计算出AO 的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半
径，进而求出球的表面积． 【详解】
取AP 中点O ，由AB BP ⊥，AC PC ⊥可知：OP OA OB OC ===，
O ∴为三棱锥P ABC -外接球球心，
过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接AH 交BC 于G ，连接OG ，HB ，HC ，
PB PC =Q ，HB HC ∴=，AB AC ∴=，G ∴为BC 的中点
由球的性质可知：OG ⊥平面ABC ，OG//PH ∴，且1
12
OG PH ==． 设AB x =，
22PB =Q 211822
AO PA x ∴=
=+ 12
22
AG BC x =
=Q ，∴在OAG ?中，222AG OG OA +=， 即2
2
2211822x x ??+=+ ? ???
，解得：2x =， ∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为：()
()
2
2
2
11
2242232
2
x AO +=
+==
，
∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2412S R ππ==．
故选：C . 【点睛】
本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.
11．已知x ，y 满足2y x
x y x a ≥??
+≤??≥?
，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）
A ．4
B ．
34
C ．
211
D ．
14
【答案】D 【解析】
试题分析：先画出可行域如图：由{
2
y x x y =+=，得(1,1)B ，由{
x a y x
==，得(,)C a a ，当直线2z x y =+过点
(1,1)B 时，目标函数2z x y =+取得最大值，最大值为3；当直线2z x y =+过点(,)C a a 时，目标函数
2z x y =+取得最小值，最小值为3a ；由条件得343a =?，所以1
4
a =
，故选D.
考点：线性规划.
12．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23
C π
=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．1(,2)2
D ．(1,3)
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 因为23
C π=
，1c =，所以根据正弦定理可得sin sin sin 3a b c A B C ===，所以3a A =，3b B =，所以sin()])sin 323333
z b a B A B B B λλλπ=+=
=
+-=-+
22
323](1)())223
B B λλλφ=-++，其中3tan λφ=
，03B π<<， 因为z b a λ=+存在最大值，所以由2,2B k k φπ+=+π∈Z ，可得22,62
k k k φππ
π+<<π+∈Z ， 所以3tan φ>
33
λ>，解得122λ<<，所以正数λ的取值范围为1(,2)2
，故选C ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在ABC V 中，3AB =1BC =，23
C π
∠=
，则AC =__________． 【答案】1 【解析】 【分析】
由已知利用余弦定理可得220AC AC +-=，即可解得AC 的值．
【详解】
解：AB =Q ，1BC =，23
C π∠=
， ∴由余弦定理2222cos AB AC BC AC BC C =+-g g ，
可得2
13121()2
AC AC =+-???-，整理可得：220AC AC +-=，
∴解得1AC =或2-（舍去）．
故答案为：1． 【点睛】
本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
14．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且90PAB ∠=?.若四棱锥P-ABCD 的五个顶点在以4为半径的同一球面上，当PA 最长时，则PDA ∠=______________；四棱锥P-ABCD 的体积为______________.
【答案】90° 3
【解析】 【分析】
易得AB ⊥平面PAD ，P 点在与BA 垂直的圆面1O 内运动，显然，PA 是圆1O 的直径时，PA 最长；将四棱锥P ABCD -补形为长方体111A B C P ABCD -，易得PB 为球的直径即可得到PD ，从而求得四棱锥的体积. 【详解】
如图，由90PAB ∠=o 及AB AD ⊥，得AB ⊥平面PAD ， 即P 点在与BA 垂直的圆面1O 内运动，
易知，当P 、1O 、A 三点共线时，PA 达到最长， 此时，PA 是圆1O 的直径，则90PDA ∠=o ； 又AB PD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ，
此时可将四棱锥P ABCD -补形为长方体111A B C P ABCD -， 其体对角线为28PB R ==，底面边长为2的正方形，
易求出，高PD =，
故四棱锥体积143V =
??=
故答案为： (1) 90° ； (2) 814
3
. 【点睛】
本题四棱锥外接球有关的问题，考查学生空间想象与逻辑推理能力，是一道有难度的压轴填空题.
15．过抛物线C ：2
2y px =（0p >）的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB
的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若
3
3
MN =
，则l 的斜率为______. 3 【解析】 【分析】
分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A '，B '，N '，根据抛物线定义和33
MN =
求得MNN '∠，从而求得直线l 的倾斜角. 【详解】
分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A '，B '，N '，由抛物线的定义知AF AA '=，
BF BB ='，()1122NN AA BB AB '''=
+=，因为33MN =，所以32
NN '=，所以30MNN '∠=?，即直线MN 的倾斜角为150?，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以
直线l 的倾斜角为60?，3AB k =3