2010年数学高考试题评分细则
一、填空题（13~16题）
文科：(13)不等式22032x x x -++f 的解集是 . (14)已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= . (15)某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)
(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ， 且BF 2FD =uu r uu r ，则C 的离心率为 .
理科：(13)不等式2211x x +-≤的解集是 .
(14)已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4
πα+= . (15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .
(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF 2FD =uu r uu r ，则C 的离心率为 .
理科：13．{}|02x x ≤≤或[0,2] ；14．17-；15．5(1,)4或514a <<；16．3313文科：13． {|21,x x -<<- 或 2};x > 或 (2,1)(2,)--?+∞； 14．
247-；或 337- ；
15． 30； 16． 3
， 或 3 二、解答题
文17．（本小题满分10分）
记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，设312S =，且1232,,1a a a +成等比数列，求n S . 解法1：设数列
{}n a 的公差为d . 依题意有
12312a a a ++= ① 21322(1)a a a += ② …………2分 即 14a d += ③ 22111220a a d d a +-+= ④
解得111,3;8,4a d a d ====-. ⑤ ……………………………………6分 因此 1(31)2n S n n =- ⑥ 或 2(5)n S n n =- .⑦………………………..10分
解法2：设数列
{}n a 的公差为d . 依题意有 12312a a a ++= ① 即14a d += ③ …………………………………2分
又 21322(1)a a a += ② 即22111220
a a d d a +-+= ④ ……………………4分 解得 111,3;8,4a d a d ====-. ⑤ ……………………………………6分 因此 1(31)2n S n n =- ⑥ 或 2(5)n S n n =- .⑦………………………..10分
解法3：设数列
{}n a 的公差为d 。依题意有 12312a a a ++= ① 解得24a = ③ ………………………………… 2分 又 21322(1)a a a += ② 即
2120d d +-= ④………………………… 4分 解得3d = 或 4d =-. ⑤ ………………………………… …6分
因此 1(31)2n S n n =- ⑥ 或 2(5)n S n n =- .⑦…………… …………..10分
解法4：设数列
{}n a 的公差为d 。依题意有 12312a a a ++= ① 解得2134,8a a a =+= ③ ……………… ………… 2分
又 21322(1)a a a += ② 即132(1)16
a a += ④ …………………… 4分 解得11a = 或 8，37a = 或0 ⑤ ………………………………… …..6分 因此 1(31)2n S n n =- ⑥ 或 2(5)n S n n =- .⑦…………… …………..10分
说明：（1）①式可写为13(31)3122a d -+=或133()122a a +=；
（2）方法一中的④式可写为2111241620a a d a +-+=或1(5)8a d +=；
（3）①式或③式正确，各给1分，全正确给2分；
（4）⑤式正确，①②式或③④式正确，则到此处给6分；
（5）⑤式不正确（指⑤式中的值没有完全对或一个都不对），则看前面的①—④式：如果有③式，不管①式是否有，给③式相应的2分；如果有④式，不管②式是否有，给④式相应的2分；
（6）⑤式中的值有求对的，但有不完全对，给⑤式相应的1分；
（7）⑥式或⑦式正确，各给2分；
（8）⑥式或⑦式只要是只含变量n 的多项式，且能化为答案所给形式的，视为正确。 理17、文18．(本小题满分理10分、文12分)
已知△ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．
解法1：由已知a+b= a cotA +b cotB 及正弦定理
R B
b A a 2sin sin == 解法1：由已知a+b= a cotA +b cotB 及正弦定理R B b A a 2sin sin == ……2分
得sinA + sinB = cosA + cosB ，移得项sinA －cosA = cosB －sinB ………4分
由辅助角公式（两角和与差公式）得
4cos sin 4sin cos 4sin cos 4cos sin π
π
π
π
B B A A -=- ……………6分 所以)4
sin()4sin(B A -=-ππ ………………8分 又因为π<+
,43(4πππ-∈-B 所以B A -=-44π
π
所以2π
=+B A 所以2π
=C ………………10分
另：或)4
sin()4sin(ππ--=-B A ………………8分 又因为π<+
3,4(4πππ-∈-B 所以)4(4π
π
--=-B A 所以2π
=+B A 所以2π
=C ………………10分
另：或)4
3sin()4sin(ππ+=-B A ………………8分 又因为π<+
7,43(43πππ∈+B 所以πππ=++-434B A 所以2π=+B A 所以2
π=C ………………（10分） 解法2：由已知a+b= a cotA +b cotB 及正弦定理R B
b A a 2sin sin == …………2分
得sinA + sinB = cosA + cosB ，移得项sinA －cosA = cosB －sinB … ……………4分
两边平方得1+2sinAcosA=1+2sinBcosB ……………6分 由此可知A 、B 均为锐角，且sin2A = sin2B ………………8分 又因为π<
所以 A=B 代入原式得A=B=4π从而C=2π 或 A+B=2π即C=2
π …………… …10分 解法3：由已知可得a+b= a A A sin cos +b B
B sin cos ………………2分 由正弦定理 R
C c B b A a 2sin sin sin === 可得a+b = c C A sin cos + c C
B sin cos …… ……4分 由余弦定理可得a+b = C
c sin （bc a c b 2222-++ac b c a 2222-+） …………6分 化简可得sinC=ab
ab a b c 22222+--即sinC+cosC=1 ……………8分 平方可得sinC cosC=0 又因 π< π ……………10分 解法4：由已知a+b= a cotA +b cotB 及正弦定理R B b A a 2sin sin == ………2分 得 sinA + sinB = cosA + cos B ……………4分 所以 B cos （sinA + sinB ） = B cos （cosA + cos B ） B sin （sinA + sinB ） = B sin （cosA + cos B ） A cos （sinA + sin B ） = A cos （cosA + cos B ） A sin （sinA + sin B ） = A sin （cosA + cos B ） ……………6分 由前两个式子可得 )cos(12sin )sin(B A B B A ++=++，由后两个式子可得 )cos(12sin )sin(B A A B A ++=++，进而得 sin2A = sin2B ……………8分 又因为π< 所以 A=B 代入原式得A=B=4π从而C=2π 或 A+B=2π即C=2 π . … ……10分 说明：（1）文科在第1、2个得分点处分值分别为3、6分，其余依次累加。 （2）用和差化积公式求解也给分； （3）若直接令A=B=4 π，然后代入解得结果给2分； 理18．(本小题满分12分) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审． (I) 求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率； (II) 记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望． （1）解法1：记A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D 表示事件：稿件被录用. 则D A B C =+?， ()0.50.50.25P A =?= ………………2分 ()20.50.50.5,()0.3P B P C =??==， P (D )=P (A +BC )=P (A )+P (BC )=P (A )+P (B )P (C )0.250.50.3=+? ………………4分 0.4= ……………………6分 解法2：稿件未通过两位初审专家评审的概率为：(10.5)(10.5)0.25-?-= …2分 稿件恰能通过一位初审专家的评审且未通过复审专家的评审的概率为： 20.50.5(10.3)0.35???-= …………… …4分 稿件被录用的概率为：10.250.350.4--= …………6分 （2）(4,0.4)X B :，其分布列为： 413422243344(0)(10.4)0.1296 (1)0.4(10.4)0.3456 (2)0.4(10.4)0.3456(3)0.4(10.4)0.1536 (4)0.40.0256 P X P X C P X C P X C P X ==-===??-===??-===??-==== ……………………10分 期望 40.4EX =? 或 00.129610.345620.345630.153640.0256?+?+?+?+? 1.6=………………12分 说明：（1）第（1）问中，没有叙述不扣分； （2）6～10分段中5个概率，式子对但得数错不扣分，甚至可以只用组合数来表示而 无需算出结果； （3）6～10分段中5个概率，式子全对得4分，不全对得2分，全不对得0分； （4）第（1）问中结果错误，6～10分段中5个概率按错误结果带入全对者得2分，否则不得分； （5）期望式子全对，结果计算错误扣1分。 文19．(本小题满分12分) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审． (I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率； (II)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率． （1）解法1：记A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D 表示事件：稿件被录用. 则 D A B C =+?， ()0.50.50.25P A =?= ………………2分 ()20.50.50.5,()0.3P B P C =??==， P (D )=P (A +BC )=P (A )+P (BC )=P (A )+P (B )P (C )0.250.50.3=+?………………4分 0.4= ……………………6分 解法2： 稿件未通过两位初审专家评审的概率为：(10.5)(10.5)0.25-?-= …2分 稿件恰能通过一位初审专家的评审且未通过复审专家的评审的概率为： 20.50.5(10.3)0.35???-= ………………4分 稿件被录用的概率为：10.250.350.4--= …………6分 （2）解法1：记0A 表示事件：4篇稿件中没有1篇被录用；1A 表示事件：4篇稿件中恰有1篇被录用；2A 表示事件：4篇稿件中至少有2篇被录用；则 20140131420122. ()(10.4)0.12968()0.4(10.4)0.345610()()0.4752 ()1()110.524812A A A P A P A C P A P A A P A P A =+=-==??-==+==-=L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 分 分分 分 解法2：记2A 表示事件：4篇稿件中恰有2篇被录用；3A 表示事件：4篇稿件中恰有3篇被录用；4A 表示事件：4篇稿件中恰有4篇被录用；D 表示事件：4篇稿件中至少有2篇被录用； 22224333444234()0.4(10.4)0.34568()0.4(10.4)0.153610()0.40.0256()()()()110.524812P A C P A C P A P D P A P A P A =??-==??-====++=L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 分 分 分 分 说明：（1）两问中没有叙述不扣分； （2）解法2中8～10分段中3个概率，对2个以上给10分； （3）第（1）问中结果错误，8～10分段中按错误结果带入全对者得2分，否则不得分。 理19、文20．（本小题满分12分） 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ， AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥ 平面SBC . （Ⅰ）证明：SE=2EB ； （Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . 解法1:（1）连结BD , 取DC 的中点G , 连结BG , 由此知DG=GC=BG=1, 即DBC V 为直角三角形, 故BC BD ⊥. …2分 又SD ⊥底面ABCD , 故BC SD ⊥, 所以BC ⊥平面BDS , BC ⊥DE . 作BK ⊥EC , K 为垂足, 因平面EDC ⊥平面SBC , 故BK ⊥平面EDC , BK ⊥DE . DE 与平面SBC 内的两条相交直线BK 、BC 都垂直. DE ⊥平面SBC , DE ⊥EC , DE ⊥SB . ………………4分 SB =6, DE =3, EB =63， 所以,SE =2EB . ……6分 （2）由SA =5, AB =1, SE =2EB ,AB ⊥SA 知AE =1,又AD =1，故ADE V 为腰三角形. 取ED 中点F ,连结AF ,则AF ⊥DE ,连结FG , 则FG //EC , FG ⊥DE. 所以, ∠AFG 是二面角A-DE-C 的平面角. ……………9分 连结AG , AG =2, FG =63, AF =63 ,1cos 2AFG ∠=-, …………11分 所以二面角A-DE-C 的大小为120o . ……………12分 解法2：（1）以D 为坐标原点,射线DA 为x 轴的正半轴,建立 直角坐标系D-xyz .设A (1,0,0),则B (1,1,0), C (0,2,0), S (0,0,2) …2分 (0,2,2)SC =-u u u r ,(1,1,0)BC =-u u u r . 设平面SBC 的法向量为(,,)n a b c =r , 由n SC ⊥uu u r r ,n BC ⊥u u u r r 得 0n SC ?=u u u r r ,0n BC ?=u u u r r . 故220b c -=,0a b -+=. 令1a =, 则1b =，1c =，(1,1,1)n =r . 又设SE EB λ=u u r u u u r （0λ>），则(0,2,0)DC =u u u r , 2(,,)111E λλ λλλ+++. 2(,,)111DE λλλλλ =+++u u u r . ……………4分 设平面CDE 的法向量为(,,)m x y z =r ，则0m DE ?=u u u r r ，0m DC ?=u u u r r . 故20111x y z λλλλλ ++=+++，20y =. 令2x =，则(2,0,)m λ=-r . 由平面EDC ⊥平面SBC 得0m n ?=r r , 20λ-=，2λ=，故SE =2EB . ………6分 （2）由（1）知222(,,)333E ,取DE 中点F ,则111(,,)333F , 211(,,)333 FA =--u u u r , 故0FA DE ?=u u u r u u u r ,由此得FA DE ⊥. 又242(,,)333 EC =--u u u r , 故0EC DE ?=u u u r u u u r ，由此得 EC DE ⊥，向量FA uu u r 与EC uuu r 的夹角等于二面角A-DE-C 的平面角. ……………9分 1cos ,2 FA EC =-u u u r u u u r , ………11分 所以二面角A-DE-C 的大小为120o . ……………12分 解法3：（2）平面ADE 的法向量1(0,1,1)n =-r , ……………8分 平面CDE 的法向量2(1,0,1)n =-r ，向量1n r 与2n r 的夹角等于二面角A-DE-C 的平面角. ……………10分 121cos ,2 n n =-r r ， …………11分 所以二面角A-DE-C 的大小为120o . ……………12分 说明：（1）在求二面角时，找到角得2分，简单证明得3分； （2）第一问用传统方法证明并已得分，则第二问中建立坐标系这一步就不给分，若第一问用传统方法证明但没有得分，则第二问中建立坐标系这一步就给分； （3）本题中，没有向量标记的均不扣分。 理20．(本小题满分12分) 已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+. (I) 若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； (II)证明：(1)()0x f x -≥ . （1）解法1：1()ln 1x f x x x +'= +- ……………………2分 1ln x x =+ 得 ()ln 1xf x x x '=+. 由题设2()1xf x x ax '≤++ 整理得，ln x x a -≤ …………3分 令，1()ln ,()1g x x x g x x '=-=- 当0 ()(1)1g x g ≤=-，所以 1a ≥- ……………6分 解法2：1()ln 1x f x x x +'=+-1ln x x =+ …………2分 得，()ln 1xf x x x '=+. 由题设2()1xf x x ax '≤++ 整理得，ln x x a ≤+…………3分 令 12ln ,y x y x a ==+，两者图像相切、相离时，ln x x a ≤+成立. 令切点为00(,)x y ， 则120 11k k x === 得01x =. 000ln 10y x x a a ∴==+=+= 得，1a =- ……………5分 当1a =-时，1ln y x =与 2y x a =+相切，当a >-1时两者图像相离，且2y x a =+的图像在1ln y x =的图像上方. 所以，1a ≥- ……………6分 （2）解法1：由（1）知，()1g x ≤-得ln 10x x -+≤， ∴当01x <<时，()(1)ln 1f x x x x =+-+ln (ln 1)x x x x =+-+ ……………8分 0≤ ……………9分 当1x ≥时，()ln (ln 1)f x x x x x =+-+ 11ln (ln 1)x x x x =--+ ………11分 0≥ (1)()0x f x ∴-≥ …………12分 解法2： 1()ln f x x x '=+Q 211()f x x x ''∴=- …………8分 当01x <<时，()0f x ''<，()f x '递减 ()(1)10f x f ''∴>=>，()f x ∴递增，()f x ∴(1)0f <= ……10分 同理 当1x ≥时，()0f x ''≥，()f x '递增 ()(1)10f x f ''∴≥=>()f x ∴递增，()f x ∴(1)0f ≥=，(1)()0x f x ∴-≥ …………12分 解法3：1()ln f x x x '=+Q ，当1x ≥时， ()10f x '≥> ………8分 ()f x ∴递增，()f x ∴(1)0f ≥=，(1)()0x f x ∴-≥ …9分 当01x <<时，令1()()ln x f x x x ?'==+211()x x x ?'∴=-，()0x ?'∴<，()x ?∴递减 ()x ?∴(1)10?>=>，()0f x '∴> …………11分 ()f x ∴递增，()f x ∴(1)0f <=，(1)()0x f x ∴-≥ …………12分 解法4：令()(1)()F x x f x =-， 1()2ln 2F x x x x x '∴=--+，21()2ln 1F x x x ''∴=++322()F x x x '''∴=- ………8分 当01x <<时，()0F x '''∴<，()F x ''∴递减，()(1)20F x F ''''∴>=>，()F x '∴递增 ()(1)0F x F ''∴<=，()F x ∴递减()(1)0F x F ∴>= ………10分 同理，当1x ≥时，()0F x ∴≥ ………12分 说明：8分段中，三个导数只要有一个求对就给2分. 解法5：令()(1)()F x x f x =-，2211()2ln 2[2ln (1)]F x x x x x x x x x '∴=--+=-- …8分 当01x <<时，()0F x '∴<，()F x ∴递减，()(1)0F x F ∴>= ………9分 当1x ≥时，令()()G x F x '=，21()2ln 1G x x x '∴=++，3 22()0G x x x ''∴=-≥ ()G x '∴递增，()(1)20G x G ''∴>=> ………11分 ()G x ∴递增，()(1)0G x G ∴≥=，()0F x '∴≥()F x ∴递增，()(1)0F x F ∴≥= …12分 文21．(本小题满分12分) 已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++ （I ）当16 a =时，求()f x 的极值; （II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围. 解：（1）3 'f (x)=12ax 4(31)4a x -++24x-1)3ax 3ax-1)=+（（ -----------------2分 当16 a =时，2'()2(2)(1)f x x x =+-，()f x 在(,2)-∞-内单调减，在(2,)-+∞内单调增， 在2x =-时，()f x 有极小值. -------------------4分 所以(2)12f -=-是()f x 的极小值. -------------------5分 （2） 在(1,1)-上，()f x 单调增加当且仅当'2()4x-1)3ax 3ax-1)0,f x =+≥（ （ 即 23ax 3ax-10, (1)+≤ -------------------7分 解法1：（i ） 当0a =时，（1）恒成立； （ii ）当0a >时（1）成立， 当且仅当 23a 13a 1-10, ?+?≤ 解得16. a ≤ -----9分 （iii ）当0a <时（1）成立， 当且仅当 2133a() a -10, 24 x +-≤ 当且仅当3a -10, 4-≤解得43 a ≥-. -------------------11分 综上，a 的取值范围是41[,].36 - -------------------12分 解法2：（i ） 当0x =时（1）对任意的a 恒成立； （ii ）当01x <<时（1）成立， 当且仅当 1a , 3x(x+1)≤ 令 1(), 3x(x+1)g x = ()g x 单调递减，所以 1(1),6 a g ≤= -------------------9分 （iii ）当10x -<<时（1）成立， 当且仅当 1a , 3x(x+1)≥ 令()3x(x+1), g x = 则1x -,()2g x ≤单调递减， 1x -,()2g x ≥单调递增，1x -2 =为()g x 最小值点，13()24g -=-，所以 4,3 a ≥- -------------------11分 综上，a 的取值范围是41[,].36 - -------------------12分 说明：（1）(I) 中求导数'f (x)，对了给2分，错了扣1分；（只要求导就给分） （2）(I) 中2-4分段中由'f (x)=0 得到1,2x x ==-给1分； （3）(I) 中结果多了3(1)2 f =扣1分； （4）(II) 对f (x)单调增给出了'f (x)0≥，给2分；若是'f (x)0>扣1分；（无论几个式子中，只要有一个无等号，就扣1分，这是根据中学教师要求设置的） （5）(II) 中给出43a ≥-，16 a ≤各给2分； （6）其它方法相应给分. 理21、文22．(本小题满分12分) 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . (I) 证明：点F 在直线BD 上； (II) 设89 FA FB =u u u r u u u r g ，求BDK ?的内切圆M 的方程. (I)解法1：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，l 的方程为x =my －1（m ≠0）. ….1分 将x =my －1代入y 2=4x 并整理得y 2－4my +4=0，从而y 1+y 2=4m ，y 1y 2=4.① ………….2分 直线BD 的方程为y －y 2=21221 y y x x x x +?--（）， ……………….4分 即 y －y 2=22214·4y x y y ??- ?-?? . 令y =0，得x =124y y =1. 所以点F （1，0）在直线BD 上. ………………5分 解法2-1：若证明直线DF 与DB 斜率相等同样给分 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 1，－y 1），又F （1，0） 111DF y k x =- ，（221FB y k x =-），2121 DB y y k x x +=- ……….2分 只须证明DF DB k k = ，即 111y x -2121y y x x +=-, 122112y x y x y y +=+ 设l 的方程为x =my －1（m ≠0），代入y 2=4x 并整理得y 2－4my +4=0， 从而 y 1+y 2=4m ，y 1y 2=4. ① … …………….4分 利用①式可验证 122112y x y x y y +=+，所以点F （1，0）在直线BD 上. …………5分 解法2-2：可证DF FB k k =，即111y x --221 y x =-， ……….2分 即122112y x y x y y +=+，y 1（my 2－1）+y 2（my 1－1）= y 1+y 2，可验证成立. 所以点F （1，0）在直线BD 上. ………………5分 说明：1=FB DF k k 也可 解法3-1：(用=λBF u u u r 或DF =DB λu u u r 同样给分) 略证：DF =（11x -,1y -），BF u u u r =（21x -,2y ），若DF =λBF u u u r ， 则须证 1122 11x y x y --=-， ………2分 得122112y x y x y y +=+，可验证成立. 所以点F （1，0）在直线BD 上. …………5分 说明： )1()1(2112-+-x y x y =0 也可. 解法3-2：DF =（11x -,1y -），DB u u u r =（21x x -,21y y +），若DF =DB λu u u r ， 则须证112121 1 x y x x y y -=+--， ………2分 得122112y x y x y y +=+，可验证成立. 所以点F （1，0）在直线BD 上.……………5分 说明： 0)())(1(121121=-++-x x y y y x 也可. 解法4：证明DF FB DB += 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 1，－y 1），又F （1，0）11DF x =+，21FB x =+，因为12122()DF FB x x m y y +=++=+=24m …… 2分 DB = 24m ，故DF FB DB +=. 所以点F （1，0）在直线BD 上. ………………5分 解法5：设法不同 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 1，－y 1），l 的方程为y =k (x+1)（k ≠0） ……1分 将y =k (x+1) 代入y 2=4x 并整理得k y 2－4y +4 k =0，从而y 1+y 2= 4k ，y 1y 2=4.（下同）2分 解法6：设法不同（用x 表示y ） 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 1，－y 1），l 的方程为y =k (x+1)（k ≠0） ……1分 将y =k (x+1) 代入y 2=4x 并整理得k 2x 2+(2 k 2－4) x + k 2 =0， 从而 x 1+x 2=22 24k k -，x 1x 2=1. ……2分 直线BD 的方程为y －y 2=21221 y y x x x x +?--（）， ……………….4分 即y －y 2=)(221 2x x x x --. 令y =0，得x =21x x =1. 所以点F （1，0）在直线BD 上. ………………5分 （Ⅱ）解法1：由①知，x 1+x 2=( m y 1－1)＋(my 2－1)=4m 2－2，x 1x 2=( m y 1－1)( m y 2－1)=1. 因为FA u u u r = (x 1－1，y 1)，FB u u u r = (x 2－1，y 2)，· FA FB u u u r u u u r ＝(x 1－1)(x 2－1) + y 1y 2 = x 1x 2－(x 1+x 2) +1+ 4 = 8－4m 2， ..... 7分 故8－4m 2=89，解得m =±43 . 所以l 的方程为3x +4y +3=0，3x －4y +3=0. …......................8分 又由①知 y 2－y 1 =±4 3，故直线BD 的斜率214y y =-直线BD 的方程为3x y －3=0，3x y －3=0. ………….…10分 因为KF 为∠BKD 的平分线， 故可设圆心Ｍ(t ，0)(－1 t t +- 由3|1|3|1|54t t +-=得19()9 t t ==，或舍去. .........11分 故圆Ｍ的半径r =3|1|253t +=. 所以圆Ｍ的方程为2 21499x y ??-+= ??? …..…………12分 解法2：设法不同（用x 表示y ） 由①知, y 1y 2=２x x 4·41=4，因为FA u u u r ＝(x 1-1,y 1), FB u u u r =(x 2-1, y 2)， 所以FA u u u r ·FB u u u r ＝(x 1-1)( x 2-1)+y 1y 2=x 1x 2－(x 1+x 2)+1+y 1y 2=1-22 24k k -+1+4 =6-2224k k -=9 8， …....................... 7分 解得k 2=6436，所以k =±4 3.所以l 的方程为3x +4y +3=0,3x -4y +3=0， .................8分 又由①知，,3 72224222212112±=--±=-+±=-k k x x x x x x 所以直线BD 的斜率为7 3212±=-x x . 因而直线BD 的方程为3x y －3=0，3x －3=0. ………….…10分 因为KF 为∠BKD 的平分线， 故可设圆心Ｍ(t ，0)(－1 t t ==，或舍去. .........11分 故圆Ｍ的半径r =3|1|253t +=.所以圆Ｍ的方程为221499x y ??-+= ?? ?. ..…………12分 说明：不舍，两个圆Ｍ的方程扣1分. 理22．(本小题满分12分) 已知数列{}n a 中，1111,n n a a c a +==- . （I ）设51,22 n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式； （II ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围. 解法1：（I ）1222n n n a a a +--=，112142,4 2.222n n n n n n a b b a a a ++==+=+--- 3分 111224(),1,1,33n n b b a b ++=+==-所以23n b ??+??? ?是首项为13-，公比为4的等比数列，…5分 142.33 n n b -=-- ……………6分 （II ） 由21a a >得 2.c > ……………8分 用数学归纳法证明：当2c >时，1n n a a +<. （i ）当1n =时，21a a >，命题成立； （ii ）假设当n k =时，1k k a a +<，则当1n k =+时，21111k k k k a c c a a a +++=->-=. 故由(i)、(ii)可知当2c >时，1n n a a +<. ……………9分 当2c > 时，令2c α+=，当1023 c <≤时，3n a α<≤. ……………11分 当103c > 时，3α>，且1n a α≤<，于是当31log 3n αα->-时，13n a +>. 因此103 c >不符合要求. 所以c 的取值范围是10(2, ]3 . ……………12分 解法2：（I ） 1222n n n a a a +--=，112()122n n n a a a +--=，1122111422n n n n a a a a ++?? ?--= ? ?--?? ， 因此212n n a a ????-????-??是首项为2-，公比为14的等比数列. ……………5分 由此可得113422,.2433 n n n n a b --=-=--+ ……………6分 （II ）由21a a >得 2.c > ……………8分 用数学归纳法证明：当2c >时，1n n a a +<. （i ）当1n =时，21a a >，命题成立； （ii ）设当n k =时，1k k a a +<，则当1n k =+时，21111k k k k a c c a a a +++=->-=. 故由(i)、(ii)可知当2c >时，1n n a a +<. ……………9分 令111n n n n n d a a c a a +=+<+=，故1,n n a a 是方程210n x d x -+=的两个根， 所以3n a =<，由此可得103n d <. 于是当1023 c <≤时，3n a <.…11分 另一方面，当103c >时，不妨设10,03c εε=+>. 考虑到11,n n a a +是方程210n n a x cx a +-+=的两个根. 因此1n a +=若10,03c εε=+>时，所有3n a <，则由 3< 可得1(13),1,2,n n a a n ε+>+=L L ,1(13)13n n a n εε+>+≥+, 于是，当23n ε ≥时，13n a +>，矛盾. 综合以上讨论可得c 的取值范围是10(2,]3. ……………12分
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