运用完全平方公式分解因式（1）
教学目标
1．使学生理解用完全平方公式分解因式的原理。
2．使学生初步掌握适合用完全平方公式分解因式的条件，会用完全平方公式分解因式。
重点难点
重点：让学生会用完全平方公式分解因式。
难点：让学生识别并掌握用完全平方公式分解因式的条件。
教学过程
一、引入新课
我们知道，因式分解是整式乘法的反过程。倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法；运用平方差公式法。现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？在前面我们共学过三个乘法公式：
平方差公式：(a+b)(a–b)=a2–b2。
完全平方公式：(a±b) 2= a2±2ab+ b2.
这节课，我们就要讲用完全平方公式分解因式。
二、新课讲解
1．将完全平方公式倒写：
a2+2ab+ b2=(a+b) 2，
a2–2ab+ b2=(a–b) 2。
便得到用完全平方公式分解因式的公式。
2．分析上面两个等式的左边，它们都有三项，其中两项符号
为“+”是一个整式的平方，还有一项呢，符号可“+”可“–”，它是那两项幂的底的乘积两倍。凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方。将它写成平方形式，便实现了因式分解。
例如 x2 + 6x + 9
↓↓↘
=(x) 2+2(3)(x)+(3) 2
=(x+3) 2.
4 x2 – 20x + 25
↓↓↘
=(2x) 2 – 2(2x)(5) + (5) 2
=(2x+5) 2.
3．范例讲解
例4 把25x4+10x2+1分解因式。
[教学要点]按前面的分析，让学生先找两个平方项，写出这两个二次幂：25x4=(5x2)2,1=12.再将另一项写成前述两个幂的底的积的二倍：10x2=2?（5x2）?1，原式便可以写成(5x2+1) 2.
可以问学生，如果题中第二项前面带“–”好呢？是否可用完全平方公式：仍可用完全平方公式，得出的是(5x2–1)的平方。
例5 把–x2–4y2+4xy分解因式。
[教学要点]让学生观察发现，题中三项式，两个平方项前面带
有“–”号，因此不能直接应用完全平方公式。但当提出“–”号后，括号内却是一个完全平方。因此，本题解答可分两步进行：
–x2–4y2+4xy
=–（x2–4xy+4y2）（提公因式–1）
=–（x–2y）2 （应用完全平方公式）
三、课堂练习（补充）
1．把下列各式分解因式：
（1）x2+4x+4; （2）16a2–8a+1;
（3）1+t+；（4）9m2–6m+1。
2．把下列各式分解因式：
（1）4a2–4ab+b2;
（2）a2b2+8abc+16c2;
（3）(x+y) 2+6(x+y)+9;
（4）–+n2;
（5）2(2a+b) 2–12(2a+b)+9;
（6）x2y–x4–.
四、小结
这节课我们初步学习了用完全平方公式分解因式。它与用平方差
公式不同之处是：要求多项式有三项。其中两项是带正号的一个单项式（或多项式）的平方，而另一项则是两个幂的底数乘积的两倍。它的符号可“+”可“–”。
五、作业设计
1．把下列各式分解因式：
（1）1–4x2y2;
（2）1+4x2y2+4xy;
（3）16(m+n) 2–25(m–n) 2;
（4）16m2+25n2+40mn.
2．下列等式成立不成立？如果不成立，应如何改正：
（1）–x2=（–x）2;
（2）9a2=(9a) 2;
（3）–4y2=(–2y) 2;
（4）–x2+2xy–y2=(–x–y) 2.
3．把下列各式分解因式：
（1）14a–1–49a2;
（2）–8xy–16x2–y2;
（3）4m2–3(4m–3);
（4）–x2–5y(5y–2x).
4．在括号内填入适当的数或单项式：
（1）9a2–( )+b2=( –b) 2;
（2）x4+4x2+( )=(x+ ) 2;
（3）p2–3p+( )=(p– ) 2;
*（4）25a2+24a+( )=(5a+ ) 2。
设计思路： 教师是学习活动的引导者和组织者，学生是课堂的主人。教师在教学中要充分体现教师的导向作用，尊重学生的个体差异，选择适合自己的学习方式，鼓励学生自主探索与合作交流，让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生的直觉并且运用基本方法进行相关的验证，指导学生注重数学知识之间的联系，不断提高解决问题的能力。 教学过程： 师生问好，组织上课。 师：我们在初一第二学期就已经学习了乘法完全平方公式,请一位同学用文字语言来描述一下这个公式的内容？ 生1：（答略） 师：你能用符号语言来表示这个公式吗？ 生1：（a＋b）2=a2＋2ab＋b2（a－b）2=a2－2ab＋b2 师：不错，请坐。由此我们可以看出完全平方公式其实包含几个公式？ 生齐答：两个。 师：接下来有两道填空题，我们该怎么进行填空？ a2＋＋1=(a＋1)24a2－4ab＋=(2a－b)2 生2：（答略） 师：你能否告诉大家，你是根据什么来进行填空的吗？ 生2：根据完全平方公式，将等号右边的展开。 师：很好。（将四个式子分别标上○1○2○3○4） 问题：○1、○2两个式子由左往右是什么变形？ ○3、○4两个式子由左往右是什么变形？ 生3：（答略） 师：刚才的○1和○2是我们以前学过的完全平方公式，那么将这两个公式反过来就有：
a2＋2ab＋b2=（a＋b）2a2－2ab＋b2=（a－b）2（板书） 问题：这两个式子由左到右的变形又是什么呢？ 生齐答：因式分解。 师：可以看出，我们已将左边多项式写成完全平方的形式，即将左边的多项式分解因式了。 这两个公式我们也将它们称之为完全平方公式，也是我们今天来共同学习的知识（板书课题） 师：既然这两个是公式，那么我们以后遇到形如这种类型的多项式可以直接运用这个公式进行分解。这个公式到底有哪些特征呢？请同学们仔细观察思考一下，同座的或前后的同学可以讨论一下。 （经过讨论之后） 生4：左边是三项，右边是完全平方的形式。 生5：左边有两项能够写成平方和的形式。 师：说得很好，其他同学有没有补充的？ 生6：还有一项是两个数的乘积的2倍。 师：这“两个数的乘积”中“两个数”是不是任意的？ 生6：不是，而是刚才两项的底数。 师：刚才三位同学都回答得不错，每人都找出了一些特征。再请一位同学来综合一下。 生7：左边的多项式要有三项，有两项是平方和的形式，还有一项是这两个数的积的2倍。右边是两个数的和或差的平方。 教师在学生回答的基础上总结： 1)多项式是三项式 2)有两项都为正且能够写成平方的形式 3)另一项是刚才写成平方项两底数乘积的2倍，但这一项可以是正，也可以是负 4)等号右边为两平方项底数和或差的平方。
完全平方公式 一、内容简介 本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平 方公式的两种形式。 关键信息： 1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究 过程。首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关 系。通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过 多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动， 获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。 2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法。 二、学习者分析： 1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能： ①同类项的定义。 ②合并同类项法则 ③多项式乘以多项式法则。 2、学习者对即将学习的内容已经具备的水平： 在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。这节课的目 的就是让学生从等号的左边形式和右边形式之间的关系，总结出公式的应用方 法。 三、教学/学习目标及其对应的课程标准： （一）教学目标： 1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推力能力。 2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。 （二）知识与技能：经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识有理
数、实数、代数式、防城、不等式、函数；掌握必要的运算，（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，并能运用代数式、防城、不等式、函数等进行描述。 （四）解决问题：能结合具体情景发现并提出数学问题；尝试从不同 角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异；通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。 （五）情感与态度：敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难 和运用知识解决问题的成功体验，有学好数学的自信心；并尊重与理解他人的见解；能从交流中获益。 四、教育理念和教学方式： 1、教师是学生学习的组织者、促进者、合作者：学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的身体去亲自经历，用自己的心灵去亲自感悟。 教学是师生交往、积极互动、共同发展的过程。当学生迷路的时 候，教师不轻易告诉方向，而是引导他怎样去辨明方向；当学生登山畏惧了的时候，教师不是拖着他走，而是唤起他内在的精神动力，鼓励他不断向上攀登。 2、采用“问题情景—探究交流—得出结论—强化训练”的模式 展开教学。 3、教学评价方式： （1）通过课堂观察，关注学生在观察、总结、训练等活动中的主 动参与程度与合作交流意识，及时给与鼓励、强化、指导和矫正。 （2）通过判断和举例，给学生更多机会，在自然放松的状态下， 揭示思维过程和反馈知识与技能的掌握情况，使老师可以及时诊断学情，调查教学。 （3）通过课后访谈和作业分析，及时查漏补缺，确保达到预期的 教学效果。 五、教学媒体：多媒体
初中数学完全平方公式教案范文参考 完全平方公式则是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结.同时，完全平方公式的推导是初中数学中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端。以下是小编整理的初中数学完全平方公式教案，希望可以提供给大家进行参考和借鉴。 初中数学完全平方公式教案范文一 课题名称：完全平方公式(1) 一、内容简介 本节课的主题：通过一系列的探究活动，引导学生从计算结果中总结出完全平方公式的两种形式。 关键信息： 1、以教材作为出发点，依据《数学课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先提出等号左边的两个相乘的多项式和等号右边得出的三项有什么关系。通过学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。 2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法。 二、学习者分析： 1、在学习本课之前应具备的基本知识和技能： ①同类项的定义。 ②合并同类项法则 ③多项式乘以多项式法则。 2、学习者对即将学习的内容已经具备的水平： 在学习完全平方公式之前，学生已经能够整理出公式的右边形式。这节课的目的就是让学生从等号的左边形式和右边形式之间的关系，总结出公式的应用方法。 三、教学/学习目标及其对应的课程标准： (一)教学目标： 1、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推力能力。 2、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。 (二)知识与技能：经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识有理
14.3.2公式法（完全平方公式） 一、内容及内容解析 1.内容：本节课的主要内容是利用完全平方公式进行因式分解。 2.内容解析：本节是人教版八年级上册第十四章14. 3.2公式法的内容。主要是利用完全 平方公式进行因式分解。因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式的乘法，尤其 是多项式的乘法关系十分密切。因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。完全平方公式是一种重要的因式分解的方法，学好用完全平方公式因 式分解，是学生进一步学习数学不可或缺的工具。 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：能准确判断全平方公式，会用完全平方公式进行因式分解。 二、目标及目标解析 1.目标： （1）知道完全平方式的特征，会用完全平方公式分解因式； （2）能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。 2.目标解析： 达成目标（1）的具体标志是：学生通过自学，小组合作的方式，能准确说出完全平方式 的特征、并会判断一个式子是否是完全平方式，是哪两个数的完全平方和（或差），从而将这个式子进行因式分解。 达成目标（2）的具体标志是：学生能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式，并 且会判断一个式子是否已经分解到最简，还能否继续分解。从而培养学生的观察和联想能力。 再以课堂习题加以巩固，提高学生灵活运用知识的能力，使新知识得到巩固和升华。 三、教学问题诊断分析 在知识上：学生在学习用完全平方公式因式分解之前，已经学习了用平方差公式因 式分解。这两种方法都是整式乘法的逆运用，所以应先复习整式乘法中的完全平方公式， 再学习用公式法分解因式，可以加强学生对公式的熟练使用。 在思想上：学生个体有所差异，所以应准备不同梯度的题目，让不同层次的学生 尝试完成不同难度的题目，从而达到让“差生吃好，优生吃饱”的教学效果。另外，平 方差公式与完全平方公式都有平方项，容易混淆，讲解时应加以区分。 基于以上分析，确定本节课的教学难点是：能准确判断完全平方式，并能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。 四、教学过程设计： ●教学基本流程：课前回顾——揭示（学习）目标——指导自学——巡视自学——检查（自学）效果——讨论（学生），点拨（教师）——当堂训练——课后小结 ●教学情景： （一）课前回顾： 1.因式分解的定义: 把一个（）化成几个（）的积的形式。 练一练: 2a-2= ；a2-1= ；2a2-2= ； 因式分解要注意：有公因式先提公因式;分解因式要彻底
数学教案的运用完全平方公式法 1。使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法； 2。理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力。 3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力． 4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。 1。问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解。我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法。 2。把下列各式分解因式： (1)ax4－ax2 (2)16m4－n4。 解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1) (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m－n)。 问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?
答：有完全平方公式。 请写出完全平方公式。 完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2， (a－b)2=a2－2ab+b2。 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解。 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2。 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。式子 a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式。运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式。 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式。 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1。
一、课前阅读。 自已阅读课本P169－170，尝试完成下列问题： 1.判断下列式子是否为完全平方式。 （1） a2－4a＋4（2） 4a2＋1 （3）a2－2ab-b2 （4） 4b2＋4b-1（5）4x2－12x+9（6）a2－3a+9 2.尝试把下列多项式进行因式分解。 （1）x2－6x+9（2）9x2+12x+4 （3）4x2－20x+25 二、新课学习。 （一）引入。 1、口答：① （x+2）2 ②（2x–1）2 ③ （x+3y）2 ④ （x–2y）2 2、你能将下列式子分解因式吗？试一试。你是怎么得到的？比较以上两组算式，谈谈它们的联系。①x2+4x+4 ②4x2–4x+1 ③x2+6xy+9y2 ④4x2–4xy+4y2 （二）阅读效果交流。 1、完全平方式的结构特征是什么？（从项数、符号、形式分析） 【教师点拨】1、二次三项式2、有两项都为正且能够写成平方的形式3、另一项是写成平方项两底数乘积的2倍，但这一项可以是正，也可以是负。 完全平方式的结构特征可概述为：a2±2ab+b2 2、怎样的多项式可以用完全平方公式进行因式分解？ A、（从项数、符号、形式分析） B、其它 3、交流订正课前阅读练习。 【教师点拨】 1、两个数的平方和加上或减去这两个数的乘积的2倍，等于这两个数的和或差的平方。 2、用完全平方公式分解因式的关键是：判断一个多项式是不是完全平方式。 练一练： 请补上一项，使下列多项式成为完全平方式 ①x2－+9 ②x2－ + y2 ③4a2+9b2+ ④x2－6xy+ ①阅读后分析：以上式子中已知完全平方式结构中的哪些项，还缺结构中的哪项？ ②阅读后讲解：前三题已知a2和b2，找2ab；最后一题是已知a2和2ab，找b2 ③阅读后反思：解题关键是掌握完全平方式的结构特征，找准公式中a,b所对应的式子。 （三）阅读中学习。 1、例1、分解因式 （1）16x?+24x+9 （2）（a+b） ? －12 （a+b）＋36 ①阅读后分析：公式中（a±b）2=a2±2ab+b2的a,b分别对应（1）（2）题中的哪一个整式？ ②阅读后讲解： （1）解：原式=（4x）？+2?4x ?3+ 3? =（4x+3）？ a?+2? a?b+ b? = （a+b）？ （2）用换元法或者用整体的思想求解。 ③阅读后反思：因式分解要先观察多项式的特征，主要看它的项数、次数，判断是否符合什么公式，然后再尝试选择因式分解的方法。对于二次三项式，一般先找平方项，判断是否同号，再找中间项，判断是否为平方项两底数乘积的2倍。公式中a,b可以是一个数，一个字母，一个单项式，也可以是一个多项式，要注意整体思想的应用。 【教师点拨】用公式法分解因式步骤是一判二用三代入。 对应练习：（1）x2+12x+36 （2） a2+2a+1 （3） 4x2-4x+1 （4）4-12（x-y）+9（x-y）2 2、例2、把下列各式分解因式： （1）-x?＋4xy-4y? （2）2y3-20y?＋50y ①阅读后分析：能否直接利用完全平方公式进行分解？若不行，该怎样处理。 ②阅读后讲解：学生先独立思考完成，展示学生的作业，由请学生讲解。 ③阅读后反思： A、和例题1有什么联系？都是三项
15.5.２利用完全平方公式因式分解 一、回顾 与 思考 、因式分解的方法有 种，分别是 2、提取公因式法 ma+mb+mc= 3、平方差公式法 a 2-b 2 = 4、能用平方差公式进行因式分解的多项式有什么特点？ 5、分解因式一直到不能分解为止.所以分解后一定检查括号内是否能继续分解. 分解因式 2222 41(1)49 (2)(3)94(4)1625 a x x y x -- --+ 6、 二、新知: (1) a 2＋2ab ＋b 2 (2) a 2－2ab ＋b 2 三、探究： 完全平方公式：()2 22 2a ab b a b ++=+ 公式应用的特征:左边 ： 结果： 四、练一练 1:下列各多项式哪些能用完全平方式因式分解?若是,请找出相应的a 和b. 22222(4)44 (5)14(6)441(7)a a a b b a ab b -+++-++ 五、例1:把下列各式因式分解 例2：分解因式22(1)363ax axy ay ++ （2）2()12()36a b a b +-++ 六、练一练 1、分解因式 七、灵活运用 1、已知51 =+x x ，那么221x x +=_______。 2、12142++mx x 是一个完全平方式，则m =_______。 3、分解因式()()49142 ++-+y x y x =____________________。 八、随堂检测 () 2 __________________ a b +=() 2 __________________ a b -=() 2 222a ab b a b -+=-()211236x x ++()2222y x xy ++-()2 223y x xy +--()211236x x ++2(2)16249 x x ++()22 344x xy y -+-()()22221123622(3)21 y y xy x y a a ++---++()()2223 22 444152(6)363x x ax a x a x xy y -+++-+-()()()2 22 2211236 22(3)21 4441 a a a b a b x x y y ++---++-+
运用公式法 教学设计示例――完全平方公式(1) 教学目标1.使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；2.理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力.3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．4．通过分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。教学重点和难点重点：运用完全平方式分解因式. 难点：灵活运用完全平方公式公解因式.教学过程设计一、复习1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法. 2.把下列各式分解因式：(1)ax4－ax2 (2)16m4－n4. 解(1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2=(4m2+n2)(4m2－n2)=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式? 答：有完全平方公式.请写出完全平方公式. 完全平方公式是：(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2. 这节1 ————来源网络整理，仅供供参考
课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解. 二、新课和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2；a2－2ab+b2=(a－b)2. 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式. 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式. 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；(3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1. 答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3) . (2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy. (3)是完全平方式.25x =(5x ) ，1=1 ，10x =2·5x ·1，所以25x －10x +1=(5x－1) . (4)不是完全平方式.因为缺第三部分. 请同学们用箭头表示完全平方公式中的a，b与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=? 答：完全平方公式为：其中a=3x，b=y，2ab=2·(3x)·y. ————来源网络整理，仅供供参考 2
4.3.2利用完全平方公式因式分解 授课时间：2019.4.11下午第二节指导老师：陈平老 师 授课班级：八年（1）班授课教师：邱振荣老师 授课地点：M1春晖楼阶梯教室级别：区级 一、教学目标： (一)知识与技能： 1.了解运用公式法分解因式的意义. 2.理解并掌握完全平方式的概念、特征，会用完全平方公式分解因式. 3.清楚地知道通常情况下提公因式法是因式分解首先考虑的方法,然后再考虑用公式法进行因式分解. (二)过程与方法： 经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用完全平方公式分解因式的方法的过程,发展逆向思维和推理能力. (三)情感态度与价值观： 通过对公因式是多项式时的因式分解的教学,培养“换元”的意识，体验数学的化归转化思想. 二、教学重点： 掌握用完全平方公式分解因式. 三、教学难点： 学会观察多项式的特点,恰当地安排步骤,恰当地选用不同方法分解因式. 四、教学方法： 问答法、讲授法、练习法、演示法 五、教学用具： PPT 六、教学过程： 第一环节练习引入 1.把下列各式因式分解： （1）x2–2x；（2）x2–1 ；（3）x2–2x+1 . 2.回顾（乘法公式）完全平方公式： (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 第二环节探究新知 1、引导学生把上述完全平方公式反过来： a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2 2、“公式法” 根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式（如平方差、完全平方公式）把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法. 3、探究：完全平方式 (1)形如a2±2ab＋b2的多项式称为完全平方式. a2 ± 2·a·b ＋ b2 ? ? ? ? ?
因式分解基础习题 （公式法） 专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.24x - 2.2 9y - 3.21a - 4.224x y - 5.2125b - 6.222 x y z - 7.2240.019m b - 8.2219 a x - 9.2236m n - 10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q - 13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681 a b m - 题型(二)：把下列各式分解因式 1.22()()x p x q +-+ 2. 22 (32)()m n m n +-- 3.2216()9()a b a b --+ 4.22 9()4()x y x y --+ 5.22()()a b c a b c ++-+- 6.22 4()a b c -+ 题型(三)：把下列各式分解因式 1.53x x - 2.22 4ax ay - 3.322ab ab -
4.316x x - 5.2433ax ay - 6.2 (25)4(52)x x x -+- 7.324x xy - 8.343 322x y x - 9.4416ma mb - 10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+ 12.2216()9()mx a b mx a b --+ 题型(四)：利用因式分解解答下列各题 1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。 2.计算 ⑴22758258- ⑵22429171- ⑶223.59 2.54?-? ⑷222221 1111(1)(1)(1)(1)(1) 234910---???-- 专题训练二：利用完全平方公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式 1.221x x ++ 2.2441a a ++ 3. 2169y y -+ 4.2 14m m ++ 5. 221x x -+ 6.2816a a -+
一、简单型 1、计算472﹣94×27+272． 2、1.23452+0.76552+2.469×0.7655=_________。 3、已知x2-2(m-3)x+9是一个多项式的平方，则m=_______。 二、x+y= xy= （x2+y2=）型（等式两边平方型） 1、已知x+y=3，xy=2，求x2+y2的值． 2、已知a+b=3，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值． 3、已知x2+y2=25，x+y=7，且x＞y，则x-y=________。 4、设a﹣b=﹣2，求的值．
三、观察特点，找出隐含条件。 1、已知a-b=b-c=53，a 2+b 2+c 2=1，则ab+bc+ca=___________。 2、已知x= b a b a -+，y=b a b a +- （b a ±≠），且19x 2+143xy+19y 2=2005，则x+y=_____。 3、若n 满足（n-2004）2+（2005-n ）2=1，则（2005-n ）×（n-2004）= （ ） 4、已知a= 201x+20，b=201x+19，c=201x+21，则代数式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值是（ ） 四、先变形再代入型 1、若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x 2+xy+y 2的值 2、已知ax+by=3，a y －bx=5，则(a 2+b 2)(x 2+y 2)=________。 3、已知实数a 、b 满足（a+b ）2=1，（a ﹣b ）2=25，求a 2+b 2+ab 的值． 4、已知a 2+a -1=0，求a 3+2a 2+2016的值
用完全平方公式因式分解 专题复习练习题1．下列各式是完全平方式的是( ) A．x2＋2x－1 B．9＋x2－3x C．x2＋xy＋y2 D．x2－x＋1 4 2．已知x2＋4mx＋16是完全平方式，则m的值为( ) A．2 B．±2 C．6 D．±6 3. 因式分解4－4a＋a2，正确的结果是( ) A．4(1－a)＋a2 B．(2－a)2 C．(2－a)(2＋a) D．(2＋a)2 4. 把2xy－x2－y2因式分解，结果正确的是( ) A．(x－y)2 B．(－x－y)2 C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2 5. 分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是( ) A．(x－1)(x－2) B．x2 C．(x＋1)2 D．(x－2)2 6. 若a＋b＝3，则2a2＋4ab＋2b2－6的值为( ) A．12 B．6 C．3 D．0 7. 计算1002－2×100×99＋992的结果为( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 8. 已知a＝2 014x＋2 015，b＝2 014x＋2 016，c＝2 014x＋2 017，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 9. 不论x，y为任何实数，x2＋y2－4x－2y＋8的值总是( ) A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 10. 在多项式4x2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单
项式是__________________．(写出一个即可) 11．若x 2－14x ＋m 2是完全平方式，则m ＝__________． 12. 在括号内填上适当的因式： 25x 2＋10x ＋1＝( )2 13. 如图，利用1个a×a 的正方形，1个b×b 的正方形和2个a×b 的长方形可拼成一个正方形，从而可得到因式分解 的公式为_______________________________ ． 14. 因式分解： －4a 2＋4a －1 15. 把下列各式分解因式： (1)(x ＋y)2－4xy ； (2)a 4－b 4. 16. 因式分解： a 2 b －4ab ＋4b 17. 若ab ＝，a ＋b ＝，求多项式a 3b ＋2a 2b 2＋ab 3的值．3854
12.5.3因式分解 （完全平方公式法） 教学目标： 1、能熟练运用公式将多项式进行因式分解. 2、能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 3、提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力. 重点： 掌握公式法进行因式分解. 难点： 找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 学习过程: 一、课前导入： 1、分解因式学了哪些方法? ⑴提取公因式法：ma +mb +mc =m (a +b +c ) ⑵运用公式法： ①a 2－b 2=(a +b )(a －b ) 练习 把下列各式分解因式 ① ② x 4－16 2．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？ 完全平方式: 用公式法正确分解因式关键是什么？ 仔细观察，试着发现以上式子所具有的特征： 从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数 (或整式)的乘积的2倍. 从符号看：平方项符号相同（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项） 二、讨论探究： 填一填 四、巩固提高 练习填空： （1）a 2+ +b 2=(a +b )2 （2）a 2－2ab + =(a －b ) 2 （3）m 2+2m + =( ) 2 （4）n 2－2n + =( ) 2 （5）x 2－x +0.25=( ) 2 （6）4x 2+4xy +( ) 2=( ) 2 例题（先观察再因式分解） ① x 2＋14x ＋49 ② ③ 3ax 2＋6axy ＋3ay 2 ④ －x 2－4y 2＋4xy ⑤ ⑥ 16x 4－8x 2＋1 判断因式分解正误，并写出正确过程 (1） －x 2－2xy －y 2= －(x －y )2 （2）a 2+2ab －b 2 2 4ax ax -9)(6)(2 ++-+n m n m 229124b ab a ++2)(b a -=
完全平方公式（基础） ： ： 【学习目标】 1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解. 2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】 要点一、公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2 222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或 减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以 是单项式或多项式. 【400108 因式分解之公式法 知识要点】 要点二、因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项 （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】 类型一、公式法——完全平方公式 1、 下列各式是完全平方式的是（ ）． A ．412+-x x B ．21x + C ．1++xy x D ．122-+x x 【思路点拨】完全平方式是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 【答案】A ； 【解析】2 21142x x x ??-+=- ??? . 【总结升华】形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式. 举一反三：
14.3.2公式法教案（第2课时） 教学目标：1．理解并掌握完全平方公式法分解因式的意义，灵活用完全平方公式进行因式分解。 2．了解运用完全平方公式因式分解的一般步骤。 3．在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力,通过综合运用提公因式法、完全平方公式法分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力。 教学重点：运用完全平方公式法分解因式。 教学难点：完全平方式的特点、识别及运用完全平方公式法分解因式。 教学方法：采用“情境——探究”教学方法，让学生掌握完全平方公式法因式分解。 教学过程： 一、创设情境导入新课 上节课我们利用整式的乘法与因式分解互逆的关系得到了因式分解的平方差公式， 即 x2–y 2 =(x+y)(x-y)。 利用平方差公式分解因式要注意多项式是否符合平方差公式的特点（即：多项式一定是两项，并且是 两个数的平方的差的形式）。 1、【做一做】把下列各式分解因式： （1）x2－9 （2）x3－x （3）9a－ab2（4）(a+b)3－4(a+b) 请同学们独立完成上面两题，完成后互相校对你们的结果。在上面的因式分解中，你都用了哪些 因式分解的方法？并且你认为还要注意什么？ 从上面的第（4）题我们知道公式中的a,b可以是单项式也可以是多项式。 2、请大家思考：你会分解多项式a2+2a+1吗？这就是我们这节课所要研究的内容 二、探索新知： 你能否类似上面的平方差公式写出因式分解中的完全平方公式呢？ a2+2ab+b2=（a+b）2； a2－2ab+b2=（a－b）2. 一般地形如a2+2ab+b2和a2－2ab+b2的式子称为完全平方公式因式分解，完全平方式具备什么特点呢？ 学生小组内合作交流：（代表发言） （1）这个多项式都有三项；（2）三项中都有两数的平方和，加或减这两个数的乘积的2倍。 多项式x2–4xy+4y2是完全平方式吗？ x2 - 2 x (2y) + (2y)2 a2 - 2 a b + b2 是一个完全平方式。 1、【做一做】1.下列哪些式子是完全平方式？ （1）x 2 +4xy–4y 2（2）4m2–6mn+9n 2（3）m2 +6mn+9n 2 2、在下面的空线上填上一项，使之构成一个完全平方式。 (1)4x 2–_____+9y 2 (2) x 2 +_____+4 3、（1）例5、利用完全平方公式分解因式： （1）16x2 +24x+9 （2）- x2 +4xy -4y2 分析：在（1）中，16x2=（4x）2 9=32 24x=2·4x·3所以16x2 +24x+9是一个完全平方公式，即：
初中数学《完全平方公式》知识点归纳 初中数学《完全平方公式》知识点归纳 完全平方公式是初中学习当中一个比较重要的知识点，今天极客数学帮就为大家总结了完全平方公式的知识点以及练习题。帮助同学们学习、掌握完全平方公式的知识内容。 完全平方公式： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。 （a b）2=a 2ab b ， （a-b）2=a -2ab b 。 （1）公式中的a、b可以是单项式，也就可以是多项式。 （2）不能直接应用公式的，要善于转化变形，运用公式。 该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。 结构特征： 1左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍； 2左边两项符号相同时，右边各项全用“ ”号连接； 左边两项符号相反时，右边平方项用“ ”号连接后再“-”两项乘积的2
倍（注：这里说项时未包括其符号在内）; 3公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等数学式． 记忆口诀:首平方，尾平方，2倍首尾。 使用误解： ①漏下了一次项； ②混淆公式； ③运算结果中符号错误； ④变式应用难于掌握。 注意事项： 1、左边是一个二项式的完全平方。 2、右边是二项平方和，加上（或减去）这两项乘积的二倍，a和b 可以是数，单项式，多项式。 3、不论是还是，最后一项都是加号，不要因为前面的符号而理所当然的以为下一个符号。 完全平方公式例题解析： （一）、变符号 例：运用完全平方公式计算： （1）(-4x 3) （2）(-a-b) 分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原公式中的a，将(-b)看成
因式分解练习题（完全平方公式）一、选择题 1．已知y2+my+16是完全平方式，则m的值是（）A．8 B．4 C．±8 D．±4 2．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2-6x-9 B．a2-16a+32 C．x2-2xy+4y2D．4a2-4a+1 3．下列各式属于正确分解因式的是（） A．1+4x2=（1+2x）2B．6a-9-a2=-（a-3）2 C．1+4m-4m2=（1-2m）2D．x2+xy+y2=（x+y）2 4．把x4-2x2y2+y4分解因式，结果是（） A．（x-y）4B．（x2-y2）4 C．[（x+y）（x-y）]2D．（x+y）2（x-y）2 二、填空题 5．已知9x2-6xy+k是完全平方式，则k的值是________．6．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）2 7．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）． 8．已知a2+14a+49=25，则a的值是_________． 三、解答题 9．把下列各式分解因式： (1)a2+10a+25 (2)m2-12mn+36n2
(3)xy3-2x2y2+x3y (4)（x2+4y2）2-16x2y2 （5）a4-6a2+9 （6）4a2+12ab+9b2 10．已知x=-19，y=12，求代数式4x2+12xy+9y2的值．11．已知│x-y+1│与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．
四、探究题 12．你知道数学中的整体思想吗解题中，?若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，?从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解． 你能用整体的思想方法把下列式子分解因式吗 ①（x+2y）2-2（x+2y）+1 ②（a+b）2-4（a+b-1） 13、已知a2+10ab+25b2与｜b-2｜互为相反数，求a+b的值
用完全平方公式因式分解练习 例1（1）把229124b ab a +-分解因式． （2）把2 2816y x xy +-分解因式． （3）把2 411x x ++分解因式． （4）把xy y x 4422-+分解因式． - 练习：把下列各式分解因式： （5）．1692+-t t （6）．4 12 r r +- （7）．236121a a +- （8）．42242b b a a +- ~ 例2．把下列各式分解因式： （9）．122++n n m m （ 10）．222n m mn -- ! （11）．ax y ax y ax ++2232 （12）．22224)1(4)1(a a a a ++-+
练习：把下列各式分解因式： （13）．n n m m y y x x 42242510+- (14)．222y xy x -+- % (15)21 222+-x x (16)161)(21)(2+---y x y x (17)n n m m y y x x 2245105-+- 例3．把下列各式分解因式： (18)．222)1(4+-a a (19) ．2)(4y x y x -- ] 练习：把下列各式分解因式： (20)．222)41 (+-m m (21) ．222224)(b a b a -+ — (22)．)(42s t s s -+- (23) ．1)3)(2)(1(++++x x x x
例4(24)．已知05422 2=+++-b b a a 求b a ,的值． # 【课堂操练】 一．填空： （25）．-2x （ ）+29y =（x - 2) （26）．+-244x x =-2(x 2) （27）．++x x 32 =+x ( 2) （28）．++22520r r =（ +52 )r 二．填空，将下列各式填上适当的项，使它成为完全平方式（222b ab a ++）的形式： （29）．+-x x 2 （30）．++22 4 1y x （31）．242x xy -+ （32）．++24414b a ( （33）．++469n m （34）．+-x x 52 三．把下列各式分解因式： （36）．244x x +- （37）．49142 ++x x （38）．9)(6)(2++-+n m n m （39）．n n n x x x 7224212+-++ ￥
6完全平方公式 第1课时完全平方公式的认识 【知识与技能】 理解公式的本质，从不同的层次上理解完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算，了解完全平方公式的几何背景. 【过程与方法】 经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识. 【情感态度】 在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美. 【教学重点】 1.弄清完全平方公式的来源及其结构特点，用自己的语言说明公式及其特点； 2.会用完全平方公式进行运算. 【教学难点】 会用完全平方公式进行运算. 一、情景导入，初步认知 同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗? (x+3)2=_________________， (x-3)2=_________________， 这些式子的左边和右边有什么规律?再做几个试一试: (2m+3n)2=_________________， (2m-3n)2=_________________.
【教学说明】 让学生运用多项式乘以多项式的法则进行计算，为本节课学习完全平方公式做准备. 二、思考探究，获取新知 1.观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？ （m+3）2 =(m+3)(m+3) =m2+3m+3m+9 =m2+6m+9 （2+3x）2=(2+3x)(2+3x) =4+2×3x+2×3x+9x2 =4+12x+9x2 2.观察上面的计算结果，回答下列问题： （1）原式的特点？两数和的平方. （2）结果的项数特点？等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍. （3）三项系数的特点？（特别是符号的特点）. （4）三项与原多项式中两个单项式的关系.3.再举两例验证你的发现.4.你能用自己的语言叙述这一公式吗？ 【归纳结论】 两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍.即： (a+b)2=a2+2ab+b2 5.用不同的形式表示图形的总面积，并进行比较，你发现了什么？ 6.议一议：(a-b)2=？你是怎样做的？ 7.你能自己设计一个图形解释这一公式吗？并用自己的语言叙述这一公式. 【归纳结论】 两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍.即：(a-b)2=a2-2ab+b2上面的两个公式称为完全平方公式. 8.分析完全平方公式的结构特点，并用语言来描述完全平方公式. 结构特点：左边是二项式（两数和（差））的平方；右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.