新会华侨中学2020届高三理科数学测试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合(){}2
|{()|},1,A x y xy B x y y
x ====，，则A B =（ ）
A. {}0,1
B. (){}1,1
C.
()(){}0,0,1,1
D. ?
【答案】B 【解析】 【分析】
先分析出集合分别表示曲线1xy =、2y x =上的点组成的集合，直接求曲线1xy =和2y x
=的交点即可. 【详解】集合(){}|,1A x y xy =
=表示曲线1xy =上的点组成的集合.
集合2
{()|}B x y y x ==，表示曲线2y x =上的点组成的集合.
由21xy y x
=??=?解得：1,1x y ==. 所以A B =(){}1,1.
故选：B
【点睛】本题考查集合的描述法，集合的交集运算，属于基础题. 2.实数1a >是复数
()1
(1ai i i
+为虚数单位)在复平面内位于第四象限的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
先将复数
()1
1ai i +化简，得到a i -，再判断. 【详解】()1
1,ai i
a i +=-在复平面内表示的点的坐标为(),1a -.
当1a >时，点(),1a -在第四象限，反之当点(),1a -在第四象限时，0a >
所以实数1a >是复数()1
(1ai i i
+为虚数单位)在复平面内位于第四象限充分非必要条件. 故选：A
【点睛】本题考复数的几何性质和充分条件、必要条件的判断，属于基础题. 3.设等比数列{}n a 满足131533a a a a +=-=-,，则7a =（ ） A. 8 B. 8- C. 6 D. 6-
【答案】A 【解析】 【分析】
由条件131533a a a a +=-=-,，结合等比数列的通项公式可得2
12,1,q a ==由通项公式可求
答案.
【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ,
133a a +=，即()
2113
a q +=①
153a a -=-，即()
4113a q -=-②
由÷②①得: 2
11q -=-,即212,1q a ==. 则1n n
n a a q q ==
所以()
3
6278a q q ===
故选：A
【点睛】本题考查求等比数列的通项公式和求数列中的项，属于基础题.
4.古希腊帕特农神庙在建筑设计中多次运用宽与长的比为5151
0.61822??--≈ ? ???
的黄金矩形.如图，矩形AEFD 与矩形BEFC 都是黄金矩形.现随机从矩形AEFD 中取一点，则取自矩形ABCD 的概率为（ ）
B. 335
2
【答案】A 【解析】 【分析】
设1EF =,根据题意可求出,CF AE 的长，再矩形AEFD ,ABCD 的面积即可得到答案.
【详解】设1EF =
，则由条件有
1
2
CF EF =
.
则12CF =
，所以1
2
AE = 故1AB =.
所以矩形AEFD
的面积为1S AE EF =?=
=
矩形ABCD 的面积为11=1S AB BC =?=?
取自矩形ABCD
的概率为
122
P =
=
故选:A
【点睛】本题考查几何概率问题，属于基础题.
5.设向量()()()1,00,12,1a b c ===,
,，则()
λ-⊥a b c 的充要条件是实数λ=（ ） A. 3- B. 2
C. 2-
D. 3
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出()1,a b λλ-=-，由()
λ-⊥a b c 有()
0a b c λ-?=，根据向量的数量积的坐标公式可求得结果.
【详解】由向量()()()1,00,12,1a b c ===,
, 则()1,a b λλ-=-，由()
λ-⊥a b c .
则()
0a b c λ-?=，即()()1,2,10λ-?=. 所以()1210λ?+-?=，故2λ=， 故选：B
【点睛】本题考查根据向量的垂直关系求参数，属于基础题.
6.在下列四个图象中，函数()f x xsin x π=与()g x xcos x π=的大致图像依次对应为（ ）
A. ①②
B. ①④
C. ③②
D. ③④
【答案】D 【解析】 【分析】
由()f x 和()g x 的解析式得出奇偶性，再根据特殊点处的函数值，可得出答案. 【详解】函数()f x xsin x π=为偶函数，所以()f x 的图像只能在①、③中选择. 又3322f ??
=-
?
??
，排除①，应选③； 函数()g x xcos x π=为奇函数，所以()g x 的图像只能再,②、④中选择. 又()11,g =-排除,②应选④， 故选:D
【点睛】本题考查函数的奇偶性，以及函数在特殊点处的函数值分析函数的图像，属于基础题.
7.若,x y 满足约束条件20
20x y x y +-≤??-+≥?
，则（ ）
A. z x y =+有最小值
B. z x y =+无最大值
C. 2z x y =+有最小值
D. 2z x y =+无最大值
【解析】 【分析】
先根据条件作出可行域，在对选项进行验证，可得答案.
【详解】由20
20x y x y +-≤??-+≥?
知，可行域在两相交直线的下方.
z x y =+与边界线20x y +-=平行，显然有最大值，无最小值，A 、B 不正确.
由于可行域不封闭，如图，2z x y =+向左、右平移始终与可行域有交点. 所以2z x y =+无最大值，也无最小值. 故选:D
【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.
8.执行如图所示的程序框图，如果输入的10241n S ==，，则输出的n 的结果是（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】B
【分析】
由框图可知程序是求数列(){}log 1n n -求积的运算，根据运算可求出输出的n 值. 【详解】设输出的n 值为m .
由框图可知程序是对数列(){
}
log 1n n -求积.
所以()()
10241023111023102210.11024
m lg m S log log log m lg -=???????-=≤
化简得()1024log 10.1m -≤，即
()21
log 10.110
m -≤，所以()2log 11m -≤ 得3m ≤.所以当3n =时，程序退出循环，结束，输出3n = 故选:B
【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，属于中档题.
9.已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>，左右焦点分别为12F F 、，直线
2F A 与C 的一条渐近线垂直，垂足为,A 若三角形12AF F 的面积为2.则12AF AF ?=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
由双曲线的离心率为2可得a b =，从而有
2AF =
，渐近线为y x =± ，即245F OA ∠=?，在直角三角形
2OAF 中，2245OF c F OA =∠=?,，2
F A OA ==利用等面积的方法求出2c =，进一步求出1AF 与2AF 的长，得到答案.
【详解】由双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>
由22
2
2212c b e a a
==-=，可得a b =.
所以双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的渐近线为y x =± ，即245F OA ∠=?.
由条件设2AF 垂直于渐近线y x =，如图.则22
AF =. 过点A 作AH x ⊥轴，交x 轴于点H .
又在直角三角形2OAF 中，2245OF c F OA =∠=?,，22
F A OA == 所以
2211
22OA AF OF AH ??=??,22
2OA AF c AH OF ?=
= 故12AF F △面积为
11
2222
c c ??=， 所以2c =，则222
AF =
=1AH OH ==,211310AF =+=121022 5.AF AF ==?
故选:C
【点睛】本题考查双曲线的离心率和渐近线的性质，以及三角形的面积的应用，属于中档题. 10.我国古代认为构成宇宙万物的基本要素是金、木、土、水、火这五种物质，称为“五行”，得到图中外圈顺时针方向相邻的后一物生前一物，内圈五角星线路的后一物克前一物的相生相克理论.依此理论，每次随机任取两行，重复取10次，若取出的两行为“生"的次数记为X ，则()E X 与()D X 的值分别为（ ）
A. 91,
10
B. 213,
10
C. 55,
2
D. 217,
10
【答案】C 【解析】 【分析】
从五行中随机任取两行为“生”的概率为12
，则重复取10次，所以随机变量X 服从二项分布，然后用二项分布的期望和方差公式求解.
【详解】设从五行中随机任取两行为“生”的事件为,A 则()2
5512
P A C =
= 依题意，随机变量X 服从二项分布，有()~10,0.5X B ， 故()()5 2.5,E X D X ==, 故选:C
【点睛】本题考查古典概率和二项分布的期望和方差的计算，属于中档题.
11.如图，正方形网格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有的表面中面积最大的值为（ ）
A. 8
B. 12
C. 18
D. 22
【答案】C 【解析】 【分析】
由三视图，在正方体中将该几何体还原，然后再计算出面积最大的面. 【详解】由三视图可知该几何体为图中的三棱台111B FE A AD -，
根据三视图可知，正方体的棱长为4，,E F 分别为111,BB B C 的中点. 侧面11111,AA B E A D FB 为全等的两个直角梯形,即面积为：42
4122
S +=
?=. 设11,AD A D 相交于H ,1,EF B C 相交于G ，则,H G 分别为1,A D FE 的中点. 侧面1EFD A 是等腰梯形，如图在矩形11A B CD 中，11AD A D ⊥,1AD CD ⊥ 所以1AD ⊥平面11A B CD ，则1AD HG ⊥,所以梯形1EFD A 的高为HG 取1A H 的中点P ,则1//PB HG ,所以()
2
212
432GH B P ==+=
其面积为
1
22423(21)8.2
??= 该几何体所有的表面中最大的值为18.
故选:C
【点睛】本题考查三视图以及几何体中面积最大的面，属于中档题.
12.函数()()()f x g x h x 、、中，()f x 满足对,x R ?∈有()()2f x f x π+=，当
,22x ππ??
∈-????时，()f x cosx =；函数(),0,0x x g x log x x π
π?≤=?>?；函数
()()() ,(),h x f x g x x ππ=-∈-.现给出()f x ①是偶函数；()g x ②在R 上单调递增；()h x ③无最大值；()h x ④有5个零点这四个结论，则正确结论的编号是（ ）
A. ①③
B. ②③
C. ②④
D. ③④
【答案】D 【解析】 【分析】
由条件()f x 满足对,x R ?∈有()()2f x f x π+=,,22x ππ??
∈-???
?时，()f x cosx =, 可得函数()
f x 的
图像特点,再结合()g x 的表达式,对4个命题进行逐一判断,即可找出正确
的命题,得到答案.
【详解】()f x 满足对,x R ?∈有()()2f x f x π+=,,22x ππ??
∈-
???
?时，()f x cosx = 将()f x 在,22ππ??-????上的图像向右平移个π单位,再将纵坐标扩到为原来的2倍，得到
3,22ππ??
-????
上的图像. 将()f x 在3,22ππ??-????
上的图像向右平移个π单位,再将纵坐标扩到为原来的2倍，得到35,22ππ??
???
?上的图像. 将()f x 在,22ππ??-????
上的图像向左平移个π单位,再将纵坐标变为为原来的12 ，得到
3
,
22
ππ
??
--
??
??
上的图像，
依此类推可得()
f x的图像，如图.
所以()
f x不
是周期函数，所以①错误. 由(),0,0x x g x log x xππ?≤=?>?，作出其函数图像，如图. 由图显然()g x在R上不是单调递增函数，所以②错误. 当x大于0，且0x→时，log xπ→-∞. 所以当x大于0，且0x→时()()()h x f x g x=-→+∞. 所以()()(),(),h x f x g x xππ=-∈-无最大值,故③正确. 函数()()(),()
,
h x f x g x xππ
=-∈-的零点个数,即函数()
y f x
=与()
y g x
=图像的在(,)
ππ
-上交点的个数.
作出函数()
y f x
=与()
y g x
=的图像,如同
由图像可知, 函数()y f x =与()y g x =图像的在(,)ππ-上有5个交点,故④正确. 故选: D
【点睛】本题考查函数的图像变换,函数零点以及利用函数图像分析函数性质,属于难题. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.随机变量X 满足2
~202()0,X N σ，()20050.2P X <=，则
()20202035P X <<=_________.
【答案】0.3 【解析】 【分析】
随机变量X 满足2
~202()0,X N σ，则可知对于的正态分布曲线的对称轴为2020，
()20050.2P X <=，则()200520200.3P X <<=，根据正态曲线的对称性可得答案.
【详解】随机变量X 满足2
~202()0,X N σ，则可知对于的正态分布曲线的对称轴为2020， 又()20050.2P X <=，则()200520200.3P X <<=.
20052020X <<,与20202035X <<，在正态曲线中是关于对称轴对称的.
所以由正态曲线的对称性可得()()20052020202020350.3P X P X <<=<<= 所以()202020350.3P X <<=. 故答案为：0.3
【点睛】本题考查由正态分布曲线的对称性求概率问题，属于基础题.
14.若()24
111ax x +?? ???
+展开式中x 的系数为8，则展开式中的常数项是__________(用数字作
答)
【答案】13 【解析】 【分析】 由
4
11x ?? ???
+展
开式
的通
项公式为
14
1r
r r T C x +??
= ?
??
，又
()24
4
4
21111111+ax ax x x x ???++++???= ? ? ?
??????
，可得()24
111ax x +?? ???+展开式中含x 的项的系数，从而得到答案.
【详解】由()2
444
21111111+ax ax x x x ???++++???= ? ? ???????
又411x ?? ???+展开式的通项公式为14
1r
r r T C x +??= ???
由于411x ?? ???
+的展开式中不含x 的项，∴()24
111ax x +?? ???+展开式中含x 的项为1421ax C x ?
所以()24
111ax x +?? ???+展开式中含x 的项的系数为14a C ?
由x 的系数为1
48a C ?=，可得2a =.
故展开式中的常数项是2
41213C +=.
故答案为：13
【点睛】本题考查二项式展开式中根据特定项的系数求参数，属于中档题. 15.已知正项数列{}n a 满足()21n n n S a a =+，则100S =__________. 【答案】5050 【解析】 【分析】
根据n a 与n S 的递推关系1
111n n
n a n a S S n -=?=?->? ，消去n S 得到n a 的递推关系，从而求出n a ，
再求答案.
【详解】由己知得: 1a =，
又()
21n n n S a a =+①
得()()111212n n n S a a n ---=+≥②
-①②得:()()11211n n n n n a a a a a --=+-+， 整理得:()()1110n n n n a a a a --+--= 因为{}n a 是正项数列， 所以-11n n a a -=， 故()11n a n n =+-= 所以1001100
10050502
S +=
?=. 故答案为：5050
【点睛】本题考查由含n a 与n S 的递推关系求通项公式，属于中档题.
16.如图，半径为5的圆与边长为2x 的正方形中心重合，点E F G H 、、、都在圆周上，图中以虚线为腰、正方形的边为底的四个全等的等腰三角形分别沿各自的底折起后得到一个
EFGH 重合的正四棱锥.若当x 变化时得到一个体积最大的正四棱锥，则此时的四棱锥的外
接球半径为________.
【答案】
135
10
【解析】 【分析】
连接OF 交AB 于I ，则OI x =，5FI x =-，则正四棱锥的高为()
2
25h x x =
--出其体积，求出体积最大时正四棱锥的各个棱长，然后再求外接球的半径.
【详解】连接OF交AB于I，如图，则OI x
=，5
FI x
=-. 则正四棱锥的高为()22
5
h x x
=--
依题意，此时的四棱锥体积为:
()
()()
2
224
145
4552
33
E FGH ABCD
V x x x x x -
=??--=-
令()()
4
5
52,0,
2
g x x x x
??
=-∈ ?
??
.
则()()
343
'2010102,
g x x x x x
=-=-
可知当2
x=时，此时()
()
E FGH ABCD
max
V
-
这时，棱锥的高为()22
55
OE x x
=--=，
又22
OB=，故8513,
BE=+=
设此时的四棱锥的外接球半径为R，球心为O'.
则由Rt BOO'△中,5OO R'=, 22OB=BO R'=. 则222O B OB OO''=+,即)(222522R R=+,解得13510R=
故答案为：
10
【点睛】本题考查空间线线、线面以及面面的位置关系，考查锥体的体积和锥体的外接球问题，属于中档题.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知464,b asinB co A s π?+==?
??
?
. （1）求A ；
（2）若3,a AD DC AE EB =
==,求DE 的长. 【答案】（1）3
π；（2）2 【解析】 【分析】
(1)由464,b asinB co A s π?
+
==?
??
?
结合正弦定理可得6sinAsinB sinBcos A π?=?
+
??
?
，进一步
得到sin cos 6A A π??
=-
??
?，整理可得tanA =
.
(2) 由正弦定理得: 2
b sinB sinA a ==
,由条件可得3B π=,结合条件由余弦定理可得答案.
【详解】（1）依题意，6A asinB bcos π?
?
+
?
=??
由正弦定理得6sinAsinB sinBcos A π?=?
+
??
?
0B π<<. 0sinB ∴≠
故sin cos 6A A π??
=-
??
?
,即1
2
sinA sinA =
-
即33
,
2
sinA cosA
=即
3
tanA=
0Aπ<<,6Aπ∴=（2）由正弦定理a b sinA sinB=得: 32b sinB sinA a==ABC是锐角三角形，故3Bπ=，所以83903C AB==,
3
AE EB
=，故23,
AE=
AD DC
=,故2
AD=.
在ADE中，由余弦定理可得:
2
3 41222234
2
DE=+-??=，
故2
DE=
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.
18.如图，矩形ABCD所在的平面与正三角形CDE所在的平面互相垂直，F为CE的中点，连接AE BE
、.
（1）证明:平面AFD ⊥平面CBE ；
（2）若直线AF 与平面CDE 所成的角为045，求二面角E AC D --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）2
4
【解析】 【分析】
（1）连接，可得EC DF ⊥，由条件可证AD EC ⊥，可得EC ⊥平面ADF ，从而可证. （2）取DC 中点O ,AB 中点,G 以O 为空间直角坐标系的原点，以OE OC OG 、、所在的直线为x y 、、z 轴建立空间直角坐标系, 直线AF 与平面CDE 所成的角即为
45AFD ∠=?，故AD DF =，运用向量的方法求解.
【详解】（1）证明:连接.DF
三角形CDE 为正三角形，F 为CE 的中点，
EC DF ∴⊥
平面ABCD ⊥平面CDE ， 平面ABCD
平面,CDE CD =
,AD CD AD ⊥?平面CDE
AD ∴⊥平面CDE
EC ?平面CDE . AD EC ∴⊥
AD DF D ?=，AD ?平面,ADF FD ?平面ADF ，
EC ∴⊥平面ADF
EC
∴?平面CBE
∴平面AFD⊥平面CBE
（2）取DC中点O,AB中点,G以O为空间直角坐标系的原点，以OE OC OG
、、所在的直线为x y
、、z轴建立空间直角坐标系，如图.
直线AF与平面CDE所成的角即为45
AFD
∠=?，
故AD DF
=.
设2
CD=，
则5
AD DF
==，
)
3,0,0
E，()
0,1,0
C，(()
0,30,1,0
A D
--，
故()
3,1,0
CE=-，(0,3
CA=-
设平面ACE的法向量为()
,,
m x y z
=，
则
m CE
m CA
??=
?
?=
?
即
()()
()(
,,3,1,00
,,0,30
x y z
x y z
??-=
?
?
?-=
??
即
3
23
x y
y z
?=
?
?
=
??
令1
x=，则3,2
y z
==，
故1,3.
()
,2
m=.
平面ABCD 的法向量为()1,0,0n =， 设所求二面角E AC D --的大小为θ， 则,m n θ=
由()1,0,02
4
m n cos m n
θ??=
=
=
?
故二面角E AC D --的余弦值为:
4
【点睛】本题考查面面垂直的证明和求二面角的大小，属于中档题.
19.京广高速铁路(又称京广高铁)是中国运营中的高速客运专线之一，被誉为世界上运营里程最长的高速铁路，在出行人群中越来越受欢迎.现交通部门利用大数据工具随机抽取了沿线城市出行人群中的100名旅客进行调查统计，得知在这100名旅客中40岁(含)以下采用乘坐京广高铁出行的占
34
.
（1）请完成的22?列联表，并由列联表中所得数据判断有多大把握认为“乘坐京广高铁出行与年龄有关”?
（2）为优化服务质量，铁路部门从这100名旅客按年龄采用分层抽样的方法随机抽取5人免费到广州参加座谈会，会后再进行抽奖活动，奖品共三份.由于年龄差异，规定40岁(含)以下的旅客若中奖每人得800元，40岁以上的旅客若中奖每人得1000元，这两个年龄段的得奖人数分别记为M 与N .设旅客抽奖所得的总金额为X 元，求X 的分布列与数学期望()E X .