东校区2009学年度第一学期09级《高等数学一》期末考试A 题
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《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位。”
一. 完成下列各题（每小题7分，共70分）
1. 求 ()1
lim .n n
n n a b →∞+ 其中: 0.a b <<
2. 求 ()()(),0,2ln 1,sin 3lim x y xy xy →+
3. 设()y y x =由方程0x y xy e e -+=确定，求y '.
4. 设三个正数的和为12，求23xy z 的最大值.
5. 计算函数22z x y y =+的全微分
6. 求4sin cos 1sin x x
dx x +?
7. 求 2
0x I xe dx =?
8. 求曲线 2y x = 与 22y x =- 所围成的图形的面积.
9. 求()32693f x x x x =-++的极值,
10 求曲线23
,
:x t L y t z t =??=??=?在0(1,1,1)P 处的切线方程和法平面方程。
二. 计算题（每小题6分，共18分）
1. 求函数11x
y x -=+在点00x =处的n 阶泰勒公式.
2. 求函数u xyz =在点()5,1,2A 沿到点()9,4,14B 的方向AB 上的方向导数.
3. 求过直线210,:230x y z L x y z +-+=??-+=?和点
()01,2,3P 的平面方程.
三. 完成下列各题（每小题4分，共12分）
1.设(),,u f x xy xyz =,其中f 有连续的二阶偏导数, 求u x ??和2u x z
???
2. 证明()2222222,0,00x y x y f x y x y x y ?+≠?=+??+=?
在点()00，连续且偏导数存在, 但在此点不可微
3. 设()f x 为非负函数, 它在[],a b 的任一子区间内不恒等于0, 在[],a b 上二阶可导,且()0,f x ''≥ 证明方程()0f x =在(),a b 内若有实根, 则只能有一个.