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认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出 哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式 自变量 函数
y=6x2
d=
1 2 3 nn 2 2
x
n x
y
d y
这些函数有什 么共同点？ 这些函数自变 量的最高次项 都是二次的！
y=20x2+40x+20
二次函数的定义：
一般地，形如 y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a 0） 的函数，叫做二次函数。
2
2
(4) y＝3x(2－x)＋ 3x2
2
1 (5)y＝ 2 3x 2 x 1
(6) y＝ x 2 5 x 6 (8)y＝ax2＋bx＋c
(7)y＝ x4＋2x2－1
例1: 关于x的函数 y = (m 1) x 数, 求m的值.
解: 由题意可得
m2 m
是二次函
m2 m = 2
先化简后判断
２、下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y = 3x 2 2
1 (2) y = x x
2
(是 )
(
否) 是) 否
)
(3) y = ( x 2)( x 3)
(4) y = x 2 2 x 3
(
(
(5) y = ( x 2)( x 2) ( x 1) 2
4. 已知二次函数y=x² +px+q,当x=1时,函数 值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次 函数的解析式.
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入 函数y = x px q, 得：
2
｛4 2 p q = 5
解得，p = 12, q = 15.
1 p q = 4
10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这 个二次函数的解析试.
解：设所求的二次函数为y = ax2 bx c,由题意得：
｛
a b c = 10 abc = 4 4a 2b c = 7
待定系数法
解得，a = 2, b = 3, c = 5
所求的二次函数是y = 2 x 2 3x 5
x y - 5 60375
6
60420
7
60455
8
60480
9
60495
10 11 12 13 14 15 60500 60480 60420 60455 60375 60495
-
你能根据表格中的数据作出猜测吗？
你发现了吗？
60500 60495 60495 60480 60480 60455 60455 60420 60420 60375 60375
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变量的取值范围.
试一试:
要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一 个矩形的花圃，设连墙的一边为x,巨形的 面积为y,试(1)写出y关与x的函数关系式. (2)当x=3时,距形的面积为多少?
解：) y = x(20 2 x) (1
= 2 x 2 20 x
一般地，形如 y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a 0） 的函数，叫做二次函数。
注意：
1、其中，x是自变量，ax2是二次项，a是二次项系数 bx是一次项，b是一次项系数 c是常数项。 2、函数的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项, 但不能没有二次项.
回顾
二次函数的图象是什么样子的 ？ 一次函数的图象 一条直线
1 (1) y=3(x-1)² （是） (2) y = x + （否） +1 x
(3) s=3-2t²
（是） (4) y =
抓住机遇 展示自我
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y = x
2
是 不是 是
不是
1 ( 2) y = 2 x (3) y = x(1 x ) (4) y = ( x 1) 2 x 2
解得，m = 2 当m = 2时，函数为二次函数。
m 1 0
注意:二次函数的二次项系数不能为零
知识运用
m 2m 1 练习１、m取何值时，函数是y= (m+1)x
2
+(m-3)x关于x的 二次函数的例子 （1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。 （2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
双曲线
反比例函数的图象
探究
画二次函数
2 y = x的图象。
描点法
解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表：
x y
… -3 -2 -1 0 …
9 4 1 0
1
1
2
4
3
9
… …
（2）在平面直角坐标系中描点：
y
10 8 6 4 2 1 -4 -3 -2 -1
解: （1）由题意得 S = 6a (a 0) 其中S是a的二次函数；
2
x2 ( x 0) 其中y是x的二次函数； （2）由题意得 y = 4
（3）由题意得 S =
1 1 x(26 x) = x 2 13 x(0 x 26) 其中S是x的 2 2
二次函数
例3:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm） 之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函 数关系； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（ cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
k 2 - 3k+ 2 k 2 - 3k+ 2
+kx+1是二次函
知识的升华
已知函数 y = ( k k ) x kx 2 k (1) k为何值时，y是x的一次函数？ (2) k为何值时，y是x的二次函数？
2 2
k k = 0 解（1）根据题意得 k 0
2
∴k=1时,y是x的一次函数。
小结
拓展
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数. y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式: (1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax² +c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax² +bx(a≠0,b≠0,c=0). 2.定义的实质是：ax² +bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
小结
拓展
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数. y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式: (1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax² +c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax² +bx(a≠0,b≠0,c=0). 2.定义的实质是：ax² +bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
y=6x2 2、多边形的对角线数d与边数n有什么关系？
1 d= n(n-3) 2 1 2 3 d= nn 2 2
x
即
3、某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ y=20(1+x)2 即 y=20x2+40x+20
(o<x<10)
(2) y = 2 32 20 3 = 42 m
小试牛刀
圆的半径是1cm,假设半径增加 xcm时,圆的面积增加ycm² . （1）写出y与x之间的函数关系表 达式；
（2）当圆的半径分别增加 1cm, 2cm ,2cm时,圆的面积增加多 少？
问题再探究
在种树问题中,种 多少棵橙子树,可 以使果园橙子的 y=-5x² +100x+60000, 总产量最多？
m=2
小试牛刀
圆的半径是1cm,假设半径增加 xcm时,圆的面积增加ycm² . （1）写出y与x之间的函数关系表 达式；
（2）当圆的半径分别增加 1cm, 2cm ,2cm时,圆的面积增加多 少？
问题再探究
在种树问题中,种 多少棵橙子树,可 以使果园橙子的 y=-5x² +100x+60000, 总产量最多？
1、二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
① ③
y=x
2
2
y = xx
1 ② y=x x
2
④ y=x
2
x 1
1 2 ⑤ y = x 2x 4 3
26.1.2 二次函数y=ax2 的图象和性质
二次函数的定义：
展示才智
3、若函数 y = (m 1)x m的值。
2
m 2 m
为二次函数，求
解：因为该函数为二次函数， 则
m 2 m = 2 (1) 2 m 1 0( 2)
解（1）得：m=2或-1 解（2）得： m 1且 m 所以m=2
1
超级链接
函数y = ax 2 bx c(其中a, b, c是常数)， 当a, b, c满足什么条件时
