高二数学（理科）选修2-2《导数》测试卷
一、选择题 ：本大题共12小题，每小题3分，共36.分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 选项
B
B
B
C
A
B
D
A
D
B
C
D
1.曲线1
()f x x
=
在点x=1处的切线的斜率为（ ） （A ） 1 （B ） -1 （C ）4 （D ） -4
2.如果质点按照规律23s t =运动，则质点在t=3时的瞬时速度为（ ） （A ） 6 （B ） 18 （C ） 54 （D ） 81
3.已知曲线3y x =在点x=2处的切线方程为12x-ay-16=0，则实数a 的值为（ ） （A ） -1 （B ） 1 （C ） 2 （D ） -2
4.已知曲线34y x x =-上一点P （1，-3），则在点P 处的切线的倾斜角为（ ） （A ）30 （B ）45 （C ） 135 （D ） 165
5.函数lg y x =在x=1处的切线方程为（ ）
（A ）(lg )(1)y e x =- （B ） (ln10)(1)y x =- （C ） y=x （D ） y=0 6.函数()2cos f x x x =+在区间[0,]2
π
上取最大值时，x 的值（ ）
（A ）0 （B ）
6π （C ） 3π （D ）2
π
7.函数3
y ax x =-在R 上是减函数，则（ ） （A ） 1
3
a ≥
（B ） a=1 （C ） a=2 （D ） 0a ≤ 8.函数()(1)x
f x x e =-的单调减区间为（ ）
（A ）(,0)-∞ （B ） (0,1) （C ） (1,4) （D ）(0,)+∞ 9.函数2
sin y x =的图像在点A 1
(
,)64
π处的切线的斜率为（ ）
（A ）
3 （B ）
33 （C ） 12 （D ） 3
2
10. （2009陕西卷文）设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ???的值为（ ）
(A)
1n (B) 11n + (C) 1
n
n + (D) 1 11.已知函数2|32|y x x =-+，则（ ）
（A ） y 有极小值，但无极大值 （B ） y 无极小值，也无极大值
（C ） y 有极小值0，极大值
14 （D ）y 有极大值1
4
，但无极小值 12.（2010年辽宁高考）已知点P 在曲线4
1
x y e =+上，α为曲线在P 处的切线
的倾斜角，则α的取值范围是（ ） （A ）[0,
)4π
（B ） [,)42ππ （C ） 3(,]24ππ （D ）3[,)4
π
π 第Ⅱ卷（非选择题 共64分）
二.填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.把答案填在题中横线上. 13.曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为y=3x+1 14.直线1
2
y x b =
+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b=ln 21- 15.若函数2()1
x a
f x x +=+在1x =处取极值，则a =3
16.（2009福建卷理）若曲线2
()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数
a 取值范围是{a|a<0}
三、解答题：本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17（本小题满分10分）已知曲线25y ax bx =+-在点（2,1）处的切线方程为37y x =-+，求a 、b 的值。 解：求导，得：'2y ax b =+
根据题意得'2|43x y a b ==+=- ① 又点（2,1）在曲线上
∴4251a b +-= ② ∴由①②联立方程组得a=-3，b=9
18.（本小题满分10分）已知函数32()32f x x ax bx =-+在x=1处有极小值-1，试确定a 、b 的值，并求()y f x =的单调区间。 解：求导，得：'2()362f x x ax b =-+
根据题意，得'(1)1321(1)3620f a b f a b =-+=-??=-+=?
解得：11
,32
a b =
=- ∴'2()321f x x x =-- 令'2()3210f x x x =--<，得1
13
x -<<
令'2()3210f x x x =-->，得1
3
x <-，或x>1
∴函数的减区间为1(,1)3-，增区间为1
(,)3
-∞-、(1,)+∞
19.(本小题满分10分) 已知函数32()39f x x x x a =-+++ （1）求函数()y f x =的单调减区间；
（2）若函数()y f x =在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。 解：（1）减区间为(,1)-∞-、(3,)+∞
（2）∵(2)2,(2)22f a f a -=+=+，∴(2)(2)f f >-
∵函数在（-2，-1）上减，在（-1,2）上增 ∴函数的最小值为(1)f - ∴22+a=20解得a=-2 ∴最小值(1)7f -=-
20. （本小题满分10分）某厂生产某种产品x 件的总成本3
2()120075
c x x =+
（万元）。已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元。问产量定为多少件时总利润最大，最大利润是多少？ 解：设产量为x 件，总利润为y 万元，产品的单价为p 万元。
∵产品单价的平方与产品件数x 成反比∴设2
k p x
=
又∵生产100件这样的产品单价为50万元∴2
50100
k
=
得k=250000 ∴产品的单价为500
p x
=
∴总利润3350022
()(1200)50012007575y px c x x x x x x
=-=
-+=--
∴令'
2
2502025
y x x =
-=，得x=25 当0
所以，x=25时，函数有极大值
2650
3
，也是最大值。 答：产量定为25件时总利润最大，最大利润是2650
3
21. （2011年江西卷）（本小题满分12分）设32
11()232
f x x x ax =-
++ （1）若()f x 在区间2
(,)3
+∞上存在单调增区间，求a 的取值范围； （2）当02a <<时，()f x 在[1， 4]上的最小值为16
3-，求()f x 在该区间上的最大值。
解：（1）求导，得：'22
11
()2()22
4
f x x x a x a =-++=--+
+ 令'
22()203
9f a =
+>，得19a >- ∴当19a >-时，()f x 在区间2
(,)3
+∞上存在单调增区间。
（2）∵'22
11
()2()224
f x x x a x a =-++=--+
+ ∴判别式180a =+>
令'2()20f x x x a =-++=，得11182a x -+=
，21182
a
x ++= ∵ 0 0,142 x x +<<< < ∵当21x x <<时，'()0f x >；2x x >时，'()0f x < ∴当2x x =时，函数有极大值2()f x ，也是最大值。 ∵140(1)2,(4)863f a f a =+=-+ ∴27(1)(4)62f f a -=- ∵0 (1)(4)602 f f a -=-> ∴(1)(4)f f > ∴()f x 在[1 ,4]上的最小值为4016 (4)833 f a =- +=-，得a=1 ∴22x =，∴()f x 在[1 ,4]上的最大值为210 ()(2)3 f x f ==
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