数学 六年级（下） 知识点0606 一元一次不等式的解法 提高型
解一元一次不等式的典型例题
一．知识讲解
1．一元一次不等式的概念
类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1?的不等式叫做一元一次不等式。
2．不等式的解和解集
不等式的解：与方程类似，我们可以把那些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有的解的集合叫做这个不等式的解集。它可以用最简单的不等式表示，也可以用数轴来表示。
3．不等式的性质
性质1 不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a>b ，那么a ±c>b ±c 。
性质2 不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 性质3 不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
不等式的其他性质：①若a>b ，则bb ，b>c ，则a>c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，?则a=b ；④若a ≤0，则a=0。
4．一元一次不等式的解法
一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，?但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向。
二．典型例题
例1 解不等式)1(2)3(410-≤--x x ，并把它的解集在数轴上表示出来。
分析 不等式含有括号，可以先设法去掉括号，注意运用分配律时，不要漏乘括号中的每一项。
解 去括号得 2212410-≤+-x x 。
移项得 1210224---≤--x x 。
合并同类项得 246-≤-x 。
系数化1，得 4≥x 。
在数轴上表示不等式解集如下：
说明 1）在把系数化1时，一定要注意你除以的数是正数还负数，即注意解不
等式中最易犯错的变号这一关键问题。
2）通过本题注意一元一次不等式的解法同一元一次方程的解法进行比较。
例2 解不等式54
56110312-≥+-+x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来。 分析 一元一次不等式的解法的一般步骤与一元一次方程相同，不等式中含有分母，习惯上应先在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数去掉分母，在去分母时不要漏乘没有分母的项，再作其他变形。
解 去分母，得 4（2x-1）-2（10x+1）≥15x-60。
去括号，得 8x-4-20x-2≥15x-60。
移项合并同类项，得 -27x ≥-54。
系数化为1，得：x ≤2。
在数轴上表示解集，如图所示。
说明 1）分数线兼有括号的作用，分母去掉后应将分子添上括号．同时，用分母去乘不等式各项时，不要漏乘不含分母的项。
2）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。
3）在数轴上表示不等式的解集，当解集是x时，不包括数轴上a 这一点，则这一点用圆圈表示；当解集是x ≤a 或x ≥a 时，包括数轴上a 这一点，则这一点用黑圆点表示。
4）解不等式（组）是中考中易考查的知识点，必须熟练掌握。
例3 不等式33)43(2
1≤-+x 的正整数解。 解 去分母，得 66)43(≤-+x 。
去括号，得 6643≤-+x 。
移项，合并同类项，得 33≤x 。
系数化为1，得 3
8≤x 。 根据题意，得 其正整数解为1，2。
说明 本题是带附加条件的不等式，这时可先求不等式的解集，然后从中找出满足条件的解。
例4 当k 是什么自然数时，方程3
2x-3k=5(x-k)+6的解是负数。 分析 本题应首先由所给方程求出它的解，这个解是由含有k 的代数式来表示的。再利用这个解是负数的条件，则可得到关于k 的不等式，解之即可求出k
的范围。最后在k 范围内，找出满足题目条件的k 值。
解 解关于x 的方程：3
2x-3k=5(x-k)+6。 去分母，得 2x-9k=15x-15k+18。
移项，得 -13x=-6k+18。
所以，x=13
186-k 。 依题意，得 13
186-k ＜0。 解之，得 k ＜3。
所以，满足题目条件的k 值是0，1，2。
所以，当自然数k 取0、1或2时，方程3
2x-3k=5(x-k)+6的解是负数。 说明 1）同一字母k 在关于x 的方程：x-3k=5(x-k)+6中是已知数，而在不等式：13
186-k ＜0中都是未知数，要注意区分不同。 （2）在新教材中0是属于自然数范围，不要漏解。
练习
1) 10-3(x+6)≤1； 2) 1+2
253-+≥x x ； 3) 17)13(2283----x x x ； 4) 3
522121476++--≥+--x x x ； 5）某数的一半大于它的相反数的3
1加1，求这个数的范围。
答案 1）3≥x ； 2）18-≤x ； 3）x ＞6； 4）x ≤2
1； 5）当这个数大于56时，它的一半大于它的相反数的31加1。
初一不等式难题,经典题训练（附答案） 1． 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2． 已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3． 若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（ ） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4． 若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<，则2006()a b +=_________ 5． 已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7． 不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时，不等式ax+2<3x+b 的解集是，则b=______ 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是（ ） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共 有（ ）对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==，设345x y z ω=++，求的ω最大值与最小值
《一元一次方程》试题 【巩固练习】 一、选择题 1．下列方程中，是一元一次方程的是( )． A ．250x += B ．42x y +=- C ．162x = D ．x ＝0 2. 下列变形错误的是( ) A.由x + 7= 5得x+7－7 = 5－7 ; B.由3x －2 =2x + 1得x= 3 C.由4－3x = 4x －3得4+3 = 4x+3x D.由－2x= 3得x= － 32 3. 某书中一道方程题：213 x x ++=W ，□处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知这个方程的解是 2.5x =-，那么□处应该是数字( )． A ．-2.5 B ．2.5 C ．5 D ．7 4. 将(3x ＋2)－2(2x －1)去括号正确的是( ) A 3x ＋2－2x ＋1 B 3x ＋2－4x ＋1 C 3x ＋2－4x －2 D 3x ＋2－4x ＋2 5. 当x=2时，代数式ax －2x 的值为4，当x=－2时，这个代数式的值为（ ） A.－8 B.－4 C.－2 D.8 6．解方程121153 x x +-=-时，去分母正确的是( )． A ．3(x+1)＝1-5(2x -1) B ．3x+3＝15-10x -5 C ．3(x+1)＝15-5(2x -1) D ．3x+1＝15-10x+5 7．某球队参加比赛，开局11场保持不败，积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，则该队获胜的场数为( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．某超市选用每千克28元的甲种糖3千克，每千克20元的乙种糖2千克，每千克12元的丙种糖5千克混合成杂拌糖后出售，在总销售额不变的情况下，这种杂拌糖平均每千克售价应是( )． A ．18元 B ．18.4元 C ．19.6元 D ．20元 二、填空题 9．在0，－1，3中， 是方程3x －9=0的解. 10．如果3x 52a -＝－6是关于x 的一元一次方程，那么a ＝ ，方程的解=x . 11．若x ＝－2是关于x 的方程324=-a x 的解，则a ＝ . 12．由3x ＝2x ＋1变为3x －2x ＝1，是方程两边同时加上 . 13．“代数式9－x 的值比代数式x 3 2－1的值小6”用方程表示为 .
含绝对值的不等式解法·典型例题 能力素质 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 } ．．．≠．?8 3 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 8 3 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为 －≤＜－或＜≤． 3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538 3 538 3 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4???
解之得＜＜或＜＜．4x x 21121 2 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝123 2 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2 a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．?? ?123 2 答 选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论． 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11 2 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1 2 x ＜m ．
一元一次不等式典型例题 类型一：一元一次不等式的解集问题 1.若不等式﹣3x+n＞0的解集是x＜2，则不等式﹣3x+n＜0的解集是． 2.已知实数x、y满足2x﹣3y=4，并且x≥﹣1，y＜2，现有k=x﹣y，则k的取值范围是． 3.关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为________ 4.若关于x的一元一次方程x﹣m+2=0的解是负数，则m的取值范围是_______类型二：一元一次不等式组无解的情况 1.若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是． 2.已知不等式组无解，则a的取值范围是 3.已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 类型三：明确一元一次不等式组的解集求范围 1.若不等式的解集为x＞3，则a的取值范围是 2.若关于x的不等式的解集为x＜2，则a的取值范围是． 3.若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是________ 4.若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，那么（a+1）（b﹣1）的值等于 5.已知不等式组的解集为﹣1＜x＜2，则（m+n）2008= 类型四：一元一次不等式组有解求未知数的范围
1.若有解，则a的取值范围是 2.若关于x的不等式组有实数解，则a的取值范围是 3._______ 类型五：一元一次不等式组有整数解求范围 1.不等式组有3个整数解，则m的取值范围是． 2．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是． 3.已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是． 4.关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是． 5.关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是______ 6.已知关于x的不等式组恰好有两个整数解，求实数a的取值范围． 7.已知关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围．
高考不等式经典例题 【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋ 1a －2 (a ＞2)，n ＝x － 2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( ) A.m ＜n B.m ＞n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋ 1a －2＝a －2＋1a －2 ＋2≥2＋2＝4，而n ＝x － 2≤(12)－2＝4. 【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )， 所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋8 3(4a －c )∈[－1,20]. 题型三 开放性问题 【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞d b ；③b c ＞a d .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组 成多少个正确命题？ 【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ?bc －ad ab ＞0. (1)由ab ＞0，bc ＞ad ?bc －ad ab ＞0，即①③?②； (2)由ab ＞0， bc －ad ab ＞0?bc －ad ＞0?bc ＞ad ，即①②?③； (3)由bc －ad ＞0， bc －ad ab ＞0?ab ＞0，即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况： (1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2 m . 所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2 m }； (2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0，
第8章 一元一次不等式测试卷 （满分100分，时间45分钟） 班级 学号 姓名 成绩 一、填空题:（每题4分，共28分） 1．不等式2x ≥x +3的解集是 。 2．不等式组? ??≥++
1．（10分）解不等式3 12643-≤-x x ，并把它的解集在数抽上表示出来。 2．（10分）小芳准备用26元钱买圆珠笔和笔记本，已知一支圆珠笔2.5元，一本笔记本 1.8元，她买了8本笔记本，则她最多还可以买多少支圆珠笔？ 3．（14分）学校为家远的同学安排住宿，现每个房间住5人，则还有9人安排不下，若每间住6人，则有一间房至少还余4个床位，问学校可能有几间房可以安排同学住宿？住宿的同学可以安排多少人？ 4．（14分）某校计划在署假组织优秀学生参加夏令营，人数不少于30人，由校长一人带队，甲、乙旅行社的服务质量相同；且价格都是每人500元，学校联系时，甲旅行社还表示“如果校长买全票一张，学生则享受半价优惠”，乙旅行社表示“包括校长在内全部按6折优惠”，请你帮学校设计一种方案，使其支付的总费用最省。
解不等式典型例题答案 例1 解：（1）原不等式可化为 0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,2 5 ,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于 ???>-<-≠????>-+≠+?>-++2 450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<--
2 12 1 310 2730132027301320 )273)(132(222222><<+->+-?>+-+-?x x x x x x x x x x x x x x x 或或或 ∴原不等式解集为),2()1,2 1 ()31,(+∞??-∞。 解法二：原不等式等价于 0) 2)(13() 1)(12(>----x x x x 0)2()13)(1)(12(>-?---?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为),2()1,2 1()31,(+∞??-∞ 例3解法一：原不等式?? ???+<-<-?????+<-≥-?240 424042 222x x x x x x 或 即?? ?>-<<<-?? ?<<--≤≥1 22 2222x x x x x x x 或或或[来源学科网Z|X|X|K] ∴32<≤x 或21<
一．不等式的性质： 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 三．重要不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 (2 22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求 它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取等号）； 6. 1 n (a 1+a 2+……+a n )≥12n n a a a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号； 变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3 )3(a,b,c ∈ R +) a ≤ 2a b a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 2 2 ≤b.(0b>n>0,m>0; 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x
新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式） 典题精讲 例1（1）已知0＜x ＜3 1，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+ x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 3 1·3x(1-3x)≤3 1［ 2) 31(3x x -+］2= 12 1，当且仅当3x=1-3x ，即x= 6 1时，等号成 立.∴x= 6 1时，函数取得最大值 12 1 . 解法二：∵0＜x ＜3 1,∴ 3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(3 1-x)≤3［ 23 1x x -+ ］2= 12 1，当且仅当x= 3 1-x,即x= 6 1时，等号成立. ∴x= 6 1时，函数取得最大值12 1. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1? =2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+ x 1=-［(-x)+ ) (1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+ ) (1x -≥2,当且仅当-x= x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与1 1+x 的积为常数.
一元一次不等式 1、下列不等式中，是一元一次不等式的是 （ ） A 012>-x ； B 21<-； C 123-≤-y x ； D 532 >+y ； 2.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） A.5+4＞8 B.2x －1 C.2x ≤5 D. 1 x －3x ≥0 3. 下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） (1)2x
不等式的解法·典型例题 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【例2】?解下列不等式： 【例3】?解下列不等式 【例4】?解下列不等式： 【例5】?|x 2-4|＜x+2． 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 不等式·典型例题参考答案 【例1】?(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】?如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“区间法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝． 【说明】?用“穿针引线法”解不等式时应注意： ①各一次项中x 的系数必为正； ②但注意“奇穿偶不穿”．其法如图(5－2)． 【例2】?解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 用“穿针引线法” ∴原不等式解集为(-∞，-2)∪〔-1，2)∪〔6，+∞)． （2） 【例3】?解下列不等式 解：(1)原不等式等价于 ∴原不等式解集为｛x|x ≥5｝． (2)原不等式等价于 【说明】?解无理不等式需从两方面考虑：一是要使根式有意义，即偶次根号下被开数大于或等于零；二是要注意只有两边都是非负时，两边同时平方后不等号方向才不变． 【例4】?解下列不等式： 解：(1)原不等式等价于 令2x =t(t ＞0)，则原不等式可化为 (2)原不等式等价于 ∴原不等式解集为(-1，2〕∪〔3，6)． 【例5】?|x 2-4|＜x+2． 解：原不等式等价于-(x+2)＜x 2-4＜x+2． 故原不等式解集为(1，3)． 这是解含绝对值不等式常用方法． 【例6】?解不等式1)123(log 2122<-+-x x x ． 解：原不等式等价于 (1)当a ＞1时，①式等价于 ② (2)当0＜a ＜1时，②等价于 ③
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解不等式的方法归纳 一、知识导学 1. 一元一次不等式ax>b (1)当a>0时，解为a b x >； (2)当a ＜0时，解为a b x <； (3)当a ＝0，b ≥0时无解；当a ＝0，b ＜0时，解为R ． 2. 一元二次不等式：(如下表)其中a ＞0，x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0 的两实根，且x 1＜x 2(若a ＜0，则先把它化正，之后跟a ＞0的解法一样) 3.简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是： ①将f(x)的最高次项的系数化为正数； ②将f(x)分解为若干个一次因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； ④根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集. 4.分式不等式：先整理成 )()(x g x f ＞0或)()(x g x f ≥0的形式，转化为整式不等式求解，即： ) ()(x g x f ＞0?f(x)·g(x)＞0 ) ()(x g x f ≥0?0)x (g )x (f 0)x (g 0)x (f ＞或????≠= 然后用“根轴法”或化为不等式组求解. 类型 解集 ax 2+bx+c ＞0 ax 2+bx+c ≥0 ax 2+bx+c ＜0 ax 2+bx+c ≤0 Δ＞0 {x ｜x ＜x 1或x ＞ x 2} {x ｜x ≤x 1或x ≥x 2} {x ｜x 1＜x ＜x 2} ｛x ｜x 1≤x ≤x 2｝ Δ＝0 {x ｜x ≠-a b 2，x ∈R} R Ф ｛x ｜x=-a b 2｝ Δ＜0 R R Φ Φ
祖π数学新人教七年级下册之高分速成 1 【题型1】列不等式用不等式表示: (1)x的2 3 与5的差小于1: ;(2)y的9倍与b的 1 3 的和是负数: . (3)x的1 7 与9的倒数的和大于y的15%:____________________________. (4)a的30%与a的和大于a的2倍与10的差:_____________________________. 【变式训练】 1.数学表达式：①-5<7；②3y-6>0；③a=6；④x-2x；⑤a≠2；⑥7y-6>5y+2中，是不等式的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.下面给出5个式子：①3x＞5；②x+1；③1-2y≤0；④x-2≠0；⑤3x-2＝0.其中是不等式的个数有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.“数x不小于2”是指( ) A.x≤2 B.x≥2 C.x＜2 D.x＞2 4.用不等式表示 (1)x的2倍与5的差不大于1 ； (2)x的1 3 与x的 1 2 的和是非负数； (3)a与3的和不小于5 ； (4)a的20%与a的和大于a的3倍 . 5.用不等式表示 (1)a比6小__________; (2)x与1的和大于2___________; (3)a的2倍小于b__________; (4)m的相反数是正数___________; (5)x的4倍与7的差大于3___________; (6)a、b两数的平方和大于4__________; （7） m不大于－5 ; （8） x的4倍大于3 . 6.设“●”、“▲”表示两种不同的物体，现用天平称(如图),若用x、?y分别表示“●”、“▲”的重量,写出符合题意的不等式是_________.
不等式 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a bc d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-）， 但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 11,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则 若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______ （答：12,2??-- ??? ） 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如 （1）设0,10>≠>t a a 且，比较 2 1log log 21+t t a a 和的大小 （答：当1a >时，11log log 22a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11 log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，12 p a a =+-，2 422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 （答：p q >）； （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 （答：当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时，1+3 log x ＝2log 2x ） 三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如
课后练习 一元一次不等式 一、选择题 1. 下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）个. ①x>－3；②xy≥1；③32
不等式经典题型专题练习（含答案） 姓名：__________ 班级：___________ 一、解答题 1．解不等式组： ()13x 2x 11{ 2 5233x x -+≤-+≥-，并在数轴上表示不等式组的解集． 2．若不等式组21 { 23x a x b -<->的解集为-1 3．已知关于x ，y 的方程组?? ?=+=+3135y x m y x 的解为非负数，求整数m 的值． 4．由方程组212x y x y a +=?? -=?得到的x 、y 的值都不大于1，求a 的取值范围． 5．解不等式组： 并写出它的所有的整数解． 6．已知关于x、y的方程组 521118 23128 x y a x y a +=+ ? ? -=- ? 的解满足x＞0，y＞0，求实数a的取 值范围． 6．求不等式组 x20 x 1x3 2 -> ? ? ? +≥- ?? 的最小整数解． 7．求适合不等式﹣11＜﹣2a﹣5≤3的a的整数解． 8．已知关于x的不等式组3的整数解共有5个，求a的取值范围． 9．若二元一次方程组 2 { 24 x y k x y -= += 的解x y >，求k的取值范围. 10．解不等式组 5134 1 2 2 x x x x ->- ? ? ? -- ??≤ 并求它的整数解的和． 23 x y m +=- ?① 12．解不等式组?? ???<+-+≤+12312)2(352x x x x ，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数集. 14．若方程组2225x y m x y m +=+??-=-? 的解是一对正数，则： （1）求m 的取值范围 （2）化简：42 m m -++ 不等式解法15种典型例题 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)( 一元一次不等式典型例题 令狐采学 类型一：一元一次不等式的解集问题 1.若不等式﹣3x+n＞0的解集是x＜2，则不等式﹣3x+n＜0的解集是． 2.已知实数x、y满足2x﹣3y=4，并且x≥﹣1，y＜2，现有k=x﹣y，则k的取值范围是． 3.关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m 的值为________ 4.若关于x的一元一次方程x﹣m+2=0的解是负数，则m的取值范围是_______ 类型二：一元一次不等式组无解的情况 1.若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是． 2.已知不等式组无解，则a的取值范围是 3.已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是类型三：明确一元一次不等式组的解集求范围 1.若不等式的解集为x＞3，则a的取值范围是 2.若关于x的不等式的解集为x＜2，则a的取值范围是． 3.若关于x的一元一次不等式组的解集是x＜5，则m的取值范围是________ 4.若不等式组的解集为﹣1＜x＜1，那么（a+1）（b ﹣1）的值等于 5.已知不等式组的解集为﹣1＜x＜2，则（m+n）2008= 类型四：一元一次不等式组有解求未知数的范围 1.若有解，则a的取值范围是 2.若关于x的不等式组有实数解，则a的取值范围是 3.______ _ 类型五：一元一次不等式组有整数解求范围 1.不等式组有3个整数解，则m的取值范围是．2．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是． 3.已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a 的取值范围是． 4.关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣7，则m的取值范围是． 5.关于x的不等式组的解集中至少有5个整数解，则正数a的最小值是______ 6.已知关于x的不等式组恰好有两个整数解，求实数a的取值范围． 7.已知关于x的不等式组有四个整数解，求实数a的取值范围． 类型六：一元一次不等式（组）应用题 1.分配问题 （1）学校现有若干个房间分配给初三（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人，若每间住4人，则余15人无住处； 第八章一元一次不等式测试题 一、选择题： 1、如果，那么下列不等式不成立的是（） A、B、C、D、 2、不等式的解集是（） A、B、C、D、 3、下列各式中，是一元一次不等式的是（） Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、 4、已知不等式，此不等式的解集在数轴上表示为（） 5、在数轴上从左至右的三个数为a，1＋a，－a，则a的取值范围是（） A、a＜ B、a＜0 C、a＞0 D、a＜－ 6、（2007年湘潭市）不等式组的解集在数轴上表示为（） 7、不等式组的整数解的个数是（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 8、在平面直角坐标系内，P（2x－6,x－5）在第四象限，则x的取值范围为（） A、3＜x＜5 B、－3＜x＜5 C、－5＜x＜3 D、－5＜x＜－3 9、方程组的解x、y满足x＞y，则m的取值范围是（） A. B. C. D. 10、、（2013?荆门）若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为（） A.≤C．D．m≤ 11、（2013?孝感）使不等式x﹣1≥2与3x﹣7＜8同时成立的x的整数值是（） A．3，4 ，5 ，4，5 D．不存在 12、某种肥皂原零售价每块2元，凡购买2块以上（包括2块）,商场推出两种优惠销售办法. 第一种：一块肥皂按原价，其余按原价的七折销售；第二种：全部按原价的八折销售.你在 购买相同数量肥皂的情况下，要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多，最少需要买 （）块肥皂. 二、填空题 13、若不等式组无解，则m的取值范围是． 14、不等式组的解集为x＞2，则a的取值范围是_____________. 15、（2013?厦门）某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400米以外的安全 区域．甲工人在转移过程中，前40米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为 米/秒，步行的速度为1米/秒，骑车的速度为4米/秒．为了确保甲工人的安全，则导火 线的长要大于米 16、（2013?白银）不等式2x+9≥3（x+2）的正整数解是． 17、（2013?宁夏）若不等式组有解，则a的取值范围是． 18、（2013?南通）关于x的方程12 -=的解为正实数，则m的取值范围是 mx x 19、（2013?包头）不等式（x﹣m）＞3﹣m的解集为x＞1，则m的值为． 三、解答题： 20、解不等式（组） (1) (2) 2x＜1－x≤x＋5高中数学不等式解法15种典型例题
一元一次不等式典型例题
一元一次不等式单元测试题
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