第一章 随机事件及其概率
1. 写出下列随机试验的样本空间：
（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；
（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；
（4）测量一汽车通过给定点的速度. 解 所求的样本空间如下
（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x 2+y 2<1}
（3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0}
2. 设A 、B 、C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 和C 不发生； （2）A 与B 都发生，而C 不发生； （3）A 、B 、C 都发生； （4）A 、B 、C 都不发生； （5）A 、B 、C 不都发生； （6）A 、B 、C 至少有一个发生； （7）A 、B 、C 不多于一个发生； （8）A 、B 、C 至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下
U U U U U U (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)ABC
ABC ABC ABC ABC
A B C
AB BC AC AB BC CA
3．在某小学的学生中任选一名，若事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示该生是三年
级学生，事件C 表示该学生是运动员，则 （1）事件AB 表示什么？
（2）在什么条件下ABC =C 成立？
（3）在什么条件下关系式C B ?是正确的？ （4）在什么条件下A B =成立？ 解 所求的事件表示如下
（1）事件AB 表示该生是三年级男生，但不是运动员.
（2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC =C 成立.
（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B ?是正确的.
（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝0.7，P (A －B )＝0.3，试求()P AB 解 由于 A -B = A – AB , P (A )=0.7 所以
P (A -B ) = P (A -AB ) = P (A ) -P (AB ) = 0.3,
所以 P (AB )=0.4, 故
()P AB
= 1-0.4 = 0.6.
5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝14
，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 18
求A 、
B 、
C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,
?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0
则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC)
1111500044488
=++---+=
6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}.
解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为22a b A A +，有利于B 的事件数为1111112a b b a a b A A A A A A +=, 则
2
2
11
2
22()()a b a b a b
a b
A A A A
P A P B A A +++==
7. 若10件产品中有件正品，3件次品,
（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率； （2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解 （1）设A={取得三件次品} 则 333333101016
()()120720
或者====
C A P A P A C A .
（2）设B={取到三个次品}, 则
33327
()101000
==
P A .
8. 某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人
会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求： （1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率； （2）此人只会讲法语的概率.
解 设 A={此人会讲英语}, B={此人会讲日语}, C={此人会讲法语} 根据题意, 可得
(1) 32923()()()100100
100
=-=-=P ABC P AB P ABC
(2)
()()()P ABC P AB P ABC =-
()01()P A B P A B =+-=-+
1()()()P A P B P AB =--+
43353254
1100100100100
=--+=
9. 罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，若从中任取3颗，求：
（1） 取到的都是白子的概率；
（2） 取到两颗白子，一颗黑子的概率； （3） 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （4） 取到三颗棋子颜色相同的概率. 解
(1) 设A={取到的都是白子} 则 3831214
()0.25555
===C P A C .
(2) 设B={取到两颗白子, 一颗黑子}
21
84
312
()0.509==C C P B C .
(3) 设C={取三颗子中至少的一颗黑子} ()1()0.745=-=P C P A .
(4) 设D={取到三颗子颜色相同}
3384
3
12
()0.273+==C C P D C .
10. （1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？
（2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解
(1) 设A = {至少有一个人生日在7月1日}, 则 500
500
364()1()10.746365
=-=-=P A P A (2)设所求的概率为P(B)
41
2
6126
11()0.007312
??==C C P B
11. 将C ，C ，E ，E ，I ，N ，S 7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE 的概率p. 解 由于两个C ，两个E 共有2222A A 种排法，而基本事件总数为77A ，因此有 22
2277
0.000794A A
p A ==
12. 从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率. 解 要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有?4452C 中取法.
设
A={4只手套都不配对}，则有
?==445410
280()210C P A C
13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i 只零件是不合格的概率为
=
+11i p i
，i=1，2，3，若以x 表示零件中合格品的个数，则P(x =2)为多少？
解 设A i = {第i 个零件不合格}，i=1,2,3, 则1()1i i P A p i
==
+ 所以
()11i i i P A p i
=-=
+
123123123(2)()()()P x P A A A P A A A P A A A ==++
由于零件制造相互独立，有：
123123()()()()P A A A P A P A P A =，123123()()()()P A A A P A P A P A = 123123()()()()P A A A P A P A P A =
11112111311
,(2)23423423424
P x ==??+??+??=
所以
14. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独
立射击至少有一次命中目标的概率p.
解 设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，B i ={第i 次击中目标}, i=1,2.
则 P(A)=0.7, P(B i|A)=0.6 另外 B=B 1+B 2，由全概率公式
12()()()
()()(|)()(()|)
P B P AB P AB P AB P A P B A P A P B B A =+===+ 另外, 由于两次射击是独立的, 故
P(B 1B 2|A)= P(B 1|A) P(B 2|A) = 0.36 由加法公式
P((B 1+B 2)|A)= P(B 1|A)+ P(B 2|A)－P(B 1B 2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84
因此
P(B)= P(A)P((B 1+B 2)|A)=0.7×0.84 = 0.588
15. 设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为0.35，有1，2，3，4件
次品的概率分别为0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率.
解 设A i ={一批产品中有i 件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取10件检查出一件次品}, C={产品中次品不超两件}, 由题意
019149110
5019248210
5019347310
5019446110
50(|)0
1
(|)516
(|)4939
(|)98988
(|)2303
=========P B A C C P B A C C C P B A C C C P B A C C C P B A C
由于 A 0, A 1, A 2, A 3, A 4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式
4
0()()(|)0.196
===∑i i i P B P A P B A
由Bayes 公式
000111222()(|)
(|)0
()
()(|)
(|)0.255
()
()(|)
(|)0.333
()=
=====P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B
故
2
0()(|)0.588
===∑i i P C P A B
16. 由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为0.8，
0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.
解 设B={三件都是好的}，A 1={损坏2%}, A 2={损坏10%}, A 1={损坏90%}，则A 1, A 2, A 3是两两互斥, 且A 1+ A 2 +A 3=Ω, P(A 1)=0.8, P(A 2)=0.15, P(A 2)=0.05. 因此有 P(B| A 1) = 0.983, P(B| A 2) = 0.903, P(B| A 3) = 0.13, 由全概率公式
3
1333()()(|)
0.80.980.150.900.050.100.8624
===?+?+?=∑i i i P B P A P B A
由Bayes 公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为
3
13
23
3()(|)0.80.98(|)0.8731
()0.8624()(|)0.150.90(|)0.1268
()0.8624
()(|)0.050.10(|)0.0001
()0.8624
?===?=
==?===i i i i i i P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B
由于P( A 1|B) 远大于P( A 3|B), P( A 2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.
17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且
含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求： （1）一次通过验收的概率α；
（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β. 解 设H i ={箱中实际有的次品数},
0,1,2
=i , A={通过验收}
则 P(H 0)=0.8, P(H 1)=0.15, P(H 2)=0.05, 那么有：
04
2314244222424(|)1,
5
(|),
695
(|)138
P A H C P A H C C P A H C =====
(1)由全概率公式
20
()()(|)0.96α====∑i i i P A P H P A H
(2)由Bayes 公式 得
00()(|)0.81
(|)0.83
()0.96
β?==
==i P H P A H P H A P A
18. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被 使用的
概率为0.1，问在同一时刻
（1）恰有两台设备被使用的概率是多少？ （2）至少有三台设备被使用的概率是多少？
解 设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是5重伯努利试验. 由题意，有p=0.1, q=1-p=0.9, 故
(1) 223
155(2)(0.1)(0.9)0.0729
===P P C
(2) 2555(3)(4)(5)
P P P P =++
332441550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856C C C =++=
第二章 随机变量及其分布
1. 有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X 的分律. 解 X 的分布率如下表所示：
2. 进行某种试验，设试验成功的概率为34
，失败的概率为14
，
以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 解 X 的分布律为：
1
13(),1,2,3,44k P X k k -??
??
=== ?
???
??
L
X 取偶数的概率：
21
13{}(2)4411116331165116
k k P X P X k -∞
∞
∞
????
=== ? ?
??
????
==?=
?-??∑∑∑k=1k=1k=1为偶数 3. 从5个数1，2，3，4，5中任取三个为数123,,x x x .求：
X ＝max (123,,x x x )的分布律及P(X ≤4)； Y ＝min (123,,x x x )的分布律及P(Y>3). 解 基本事件总数为：3510C =，
X 3
4
5
(1)X 的分布律为：
P(X ≤4)=P(3)+P(4)=0.4 (2)Y 的分布律为
P(X>3) =0
4. C 应取何值，函数f(k) =!
k
C k λ，k ＝1，2，…，λ>0成为
分布律？
解 由题意, 1()1k f x ∞
==∑, 即
01
1
0(1)1!!!0!k
k
k k k k C C C C e k k k λλλλλ∞
∞
∞===??==-=-= ???
∑∑
∑ 解得：1(1)
C e λ
=-
5. 已知X
的分布律 X －1
1
2
P
16
26
36
求：（1）X 的分布函数；（2）12P X ??< ??
?
；（3）312P X ??
<≤ ??
?
.
解 (1) X 的分布函数为()()k k x x
F x P X x p ≤=≤=∑
0,
11/6,11()1/2,121,
2
x x F x x x <-??-≤
≤
(2) 11(1)26P X P X ?
?<==-= ??
?
(3)
31()02P X P ?
?<≤=?= ??
?
6. 设某运动员投篮投中的概率为P ＝0.6，求一次投篮时投
中次数X
解 X 的分布函数
0()0.6
0111
x F x x x ≤??=<≤??>?
7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为p ，求：
（1）三次射击中恰好命中两次的概率；
（2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少？ 解 设A={三次射击中恰好命中两次}，B=目标被击毁，则
(1) P(A) =2232233(2)(1)3(1)P C p p p p -=-=-
(2) P(B) =22323333233333(2)(3)(1)(1)32P P C p p C p p p p --+=-+-=-
8. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：
（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；
（2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率. 解
(1) P(X=6) =6
4
40.104
!6!
k e e k λλ--==或者
P(X=6) =
!k
e
k λ
λ-44
6744!!
k k k k e e k k ∞
∞--===-∑∑= 0.21487 – 0.11067 =
0.1042.
(2) P(X ≤10)10
44
01144110.00284
!!
k
k
k k e e k k ∞
--====-=-∑∑ =
0.99716
9. 设随机变量X 服从泊松分布，且P(X ＝1)＝P(X ＝2)，求P(X ＝4) 解 由已知可得，
12,1!2!
e e λλ
λλ--=
解得λ=2， (λ=0不合题意)
42
2,(4)4!
P X e -==因此= 0.09
10. 商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为0.003，求商店收到的玻璃瓶，（1）恰有两只；（2）小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率. 解 设X={1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数}，则X 服从参数为n=1000, p=0.003的二项分布，即X~B(1000, 0.003), 由于n 比较大，p 比较小，np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即X~π(3). 因此