中档题7
一、填空题
1．设集合{}2120A x x x =+-=，集合{}
10B x kx =+=，如果A B A ?=，则由实数k 组成的集合中所有元素的积等于 . 2．若复数
()3,12a i
a R i i
-∈+为虚数单位是纯虚数，则实数a 的值为 . 3．已知向量()2,1,10,5
2=+==
a b a b a g ，则=b .
4．若命题“,x R ?∈使2
(1)10x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为 . 5.在数列{}n a 中，若对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值()
*
n N ∈，且
79982,3,4a a a ===，则此数列{}n a 的前100项的和100S = .
6．已知函数()()[]432,0,1f x a x b a x =-+-∈，若()2f x ≤恒成立，则a b +的最大值为 .
7．过点()3,4C 且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为12,r r ，则12r r = . 8．如图，已知三棱锥A BCD -的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1，且30BAC ∠=o
，,M N 分别在棱AC AD 和上，则
BM MN NB ++的最小值为 .
二、解答题
9．在ABC ?中，已知,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，不等式
2cos 4sin 60x C x C ++≥对一切实数x 恒成立.
（1）求角C 的最大值
（2）若角C 取得最大值，且2a b =，求角B 的大小.
10．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，
PA PD =,且PD 与底面ABCD 所成的角为45o .
（1）求证：PA ⊥平面PCD
（2）已知E 为棱AB 的中点，问在棱PD 上是否存在一点
Q ，使//EQ 平面PBC ？若存在，证明你的结论；若不存
在，试，说明理由.
11．某医药公司经销某种品牌药品，每件药品的成本为6元，预计当每件药品的售价为x 元
()911x ≤≤时，一年的销售量为
48
5
x -万件，并且全年该药品需支付2x 万元的宣传及管理费.
（1）求该医药公司一年的利润L （万元）与每件药品的售价x 的函数关系式；
（2）当每件药品的售价为多少元时，该公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值.
12．已知曲线2
21:14
y C x +=与曲线22:1C y x =-，设点()()000,0P x y y >是曲线1C 上任意一点，直线
0014y y
x x +=与曲线2C 交于,A B 两点. （1）判断直线0014
y y
x x +=与曲线1C 的位置关系；
（2）以,A B 两点为切点分别作曲线2C 的切线，设两切线的交点为M ，求证：点M 到直线1:220l x y --=与2:220l x y ++=距离的乘积为定值.
13．设函数)(x f 的定义域为M ，具有性质P ：对任意M x ∈，都有
)1(2)2()(+≤++x f x f x f .
（1）若M 为实数集R ，是否存在函数),1,0()(R x a a a x f x
∈≠>= 具有性质P ，并说明理由；
（2）若M 为自然数集N ，并满足对任意M x ∈，都有N x f ∈)(. 记
)()1()(x f x f x d -+=.求证：对任意M x ∈，都有)()1(x d x d ≤+.
14．设非常数数列{a n }满足β
αβα++=++n n n a a a 12，*
∈N n ，其中常数βα,均为非零实数，
且 0≠+βα.
（1）证明：数列{}n a 为等差数列的充要条件是02=+βα；
（2）已知2
5
,141121====a a ，，βα，求证：数列
{}11
-+-n n a a
()2,≥∈*n N n 与数列
()
*
∈????
??+N n n 21中没有相同数值的项.
中档题7答案
1、0
2、6
3、5
4、13a -≤≤
5、299
6、17
4
7、25 8、2 9、（1）由条件知，当cos 0C =时，不合题意.当cos 0C ≠时，2
cos 0
16sin 24cos 0
C C C >??
?=-≤?，
即2
cos 02cos 3cos 20C C C >??+-≥?
，1
cos 2C ∴≥. C ABC ?Q 为的内角， 03
C π
∴<≤
，∴角C 的最大值为
3
π
. (2)有（1）知3C π=， 23A B π
∴+=，由2a b =，得sin 2sin A B =.
2sin 2sin 3B B π??
∴-= ???
,即
3133
cos sin 2sin ,cos 2sin 2222
B B B B B +==，即32tan .0,,336B B B ππ??
=
∈∴= ?
??
Q . 10、证明（1）过点P PH AD ⊥作交于H .
Q 侧面PAD ABCD ⊥底面，PH ABCD ∴⊥平面.PD ∴与平面ABCD 所成的角为
45PDH ∠=o .,45.PA PD PAD =∴∠=o Q 则90APD ∠=o
..,PA PD CD AD ∴⊥⊥Q 平
面PAD ABCD ⊥底面，.,CD PAD PA PAD ∴⊥?Q 平面平面.CD PA ∴⊥
,PD CD D ?=Q PA PDC ∴⊥平面.
（2）存在.当Q 为PD 的中点时，//EQ 平面PBC . 证明如下：取PC 的中点F ，连,FQ FB .则1
//,.//,2
FQ CD FQ CD BE CD =
Q 1
2
BE CD =，∴四边形BEQF 为平行四边形.//.BF EQ BF ∴?Q 平面,PBC EQ ?平面
PBC ，//EQ ∴平面PBC .
11、（1）该公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：()48
625
L x x x =-?
--， []9,11x ∈.
（2）()48
625
L x x x =-?
--Q ，令[]()4815,4,6,210t x t t L t t --=∈∴=--=
484838238223886t t t t ??
-+≤-?=- ???
.当且仅当482t t =，即526x =+时，L 取得最大值3886-.则当每件售价为526+元时，该公司一年的利润L 最大，最大值为
3886-（万元）.
12、（1）直线直线0014y y x x +=与曲线1C 相切002214
44y y
x x y x ?+=???+=?
，22
004840x x x y ?-+-= ()()222
220000816416440x y x y ??=--=+-=.
（2）设()()1122,,,A x y B x y
002
441y y x x y x =-??=-?，()2
000012120044440,1x y x x x y x x x x y y ???+-+=?+=-=-+ ???
22:12C y x y x '=-?=，切线()()2111:12AM y x x x x --=-,即：()
21121y x x x =-+①
同理切线()
2
22:21BM y x x x =-+②
联立①②得012002242x x x x y y y +?
==-????=--
??
，即0
0024,2x M y y ??--- ???， 设点M 到直线12,l l 距离分别为12,d d ，00
000
1241
222455
x x y y y d ????+-+--- ? ?????==
， 00
0002241222455x x y y y d ????-----+ ? ?????==，20
2
01222
00
1161644555y x d d y y --===.
13、证明：（1）因f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，所以a x ≠a x +2，即f (x )≠f (x ＋2).
由题设以及算术平均与几何平均不等式，得
f (x )＋f (x ＋2)＝a x ＋a x +2＞2a x a x +2＝2 a x +1＝2 f (x ＋1)， 这与f (x )＋f (x ＋2)≤2f (x ＋1)矛盾.
故不存在函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)满足性质P . （2）(ⅰ)由题设对任意x ∈N ，f (x )＋f (x ＋2)≤2f (x ＋1)，所以
f (x ＋2)－f (x ＋1)≤f (x ＋1)－f (x ).
于是对任意x ∈N ，d (x ＋1)≤d (x ).
14、（1）解：已知数列}{n a ，12n n
n a a a αβαβ
+++=
+.
①充分性：若βα2-=，则有12122n n
n n n a a a a a βββ
+++-+=
=--，得
n n n n a a a a -=-+++112，所以}{n a 为等差数列.
②必要性：若}{n a 为非常数等差数列，可令b kn a n +=(k ≠0). 代入
12n n n a a a αβαβ+++=
+，得[(1)]()
(2)k n b kn b k n b αβαβ
++++++=+.
化简得2k k ααβ
=
+，即02=+βα.
因此，数列{a n }为等差数列的充要条件是α＋2β＝0. （2）由已知得2111[]5
n n n n a a a a +++--=-.
又因为213
02
a a -=
≠，可知数列}{1n n a a -+(n ∈N *)为等比数列，所以1
1
12113
1()(
)
(
)
5
5
2
n n n n a a a a --+---=-=
? (n ∈N *).
从而有n ≥2时， 1
13
1(
)
5
2
n n n a a -+--=
?，2
13
1(
)
5
2
n n n a a ----=
?.
于是由上述两式，得 2111
(
5
5
6
|)|n n n a a -+-?-=
（2n ≥）.
由指数函数的单调性可知，对于任意n ≥2，| a n ＋1－a n －1|＝65·2)51(-n ≤65·22)51(-＝65
. 所以，数列11{||}(*,2)n n a a n n +--∈≥N 中项均小于等于6
5
.
而对于任意的n ≥1时，n ＋12≥1＋12＞65，所以数列{n ＋12}(n ∈N*)中项均大于6
5.
因此，数列11{||}(*,2)n n a a n n +--∈≥N 与数列{n ＋1
2
}(n ∈N*)中没有相同数值的项.