小学奥数36个口诀

小学奥数 第1讲 多位数的运算

多位数的运算，涉及利用9

999

9k 个＝10k -1，提出公因数，递推等方法求解问题．

一、9

999

9k 个＝10k -1的运用

在多位数运算中，我们往往运用9

999

9k 个＝10k -1来转化问题；

如：20043

3333个×59049 我们把20043333

3个转化为2004999

9个9

÷3，

于是原式为200433333个×59049=（20049999个9÷3）×59049=2004999

9个9

×59049=（20041000

0个0

-1）×

19683=19683×20041000

0个0

-19683

而对于多位数的减法，我们可以列个竖式来求解；

20049

1968299999999个+1

如：

2004

9

19999

19999

1968299

9999991

19683

196829998031611968299

980317

+-+个个个，于是为19999

1968299

980317个．

简便计算多位数的减法，我们改写这个多位数． 原式=20043

333

3个×2×3×3×20083333个3

=20043333

3个×2×3×20089999个9

=2003199998个9

×（20081000

0个0

-1） =20031999

98个9×20081000

0个0-20031999

98个9

=

20039

20089

2003920039

20030

20039

20030

1999979999999991

199998

19999799980000111999

979998000

02

+-+个个个个个个个,于是为20039

20030

1999

979998000

02个个.

2．计算11112004个1

－222

21002个2

=A ×A ，求A ．

【分析与解】 此题的显著特征是式子都含有1111n 个1

，从而找出突破口.

11112004个1

－222

21002个2

=11111002个1

000

01002个0

－11111002个1

=11111002个1

×（1000

01002个0

-1） =11111002个1

×（999

91002个9

）

=11111002个1

×（11111002个1

×3×3）=A 2

所以，A ＝333

31002个3

.

3．计算666

62004个6

×666

62003个6

×25的乘积数字和是多少

【分析与解】我们还是利用999

9k 个9

=1000

01-k 个0

来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成

999

9k 个9

，于是我们就创造条件使用： 666

62004个6

×666

672003个6×25=[23×（20049999个9）]×[2

3×（20049999个9

）+1]×25

=[

23×（100001-2004个0）]×[2

3×（100002004个0

）+1]×25 =

13×1

3×[2×100002004个0-2]×[2×（100002004个0

）+1]×25

=

25

9×[4×100004008个0-2×100002004个0-2] =

1009×99994008个9-509×20049999个9

=100×40081111个1

-50×20041111个1

=40081

20045

111100555

50-个个(求差过程详见评注)

=1

20045

11110555

502004个个

所以原式的乘积为1

20045

11110555

502004个个

那么原式乘积的数字和为1×2004+5×2004=12024． 评注：对于40081

20045

111100555

50-个个的计算，我们再详细的说一说．

40081

20045

111100555

50-个个

=2005120031

2005020045

11110000111100555

50+-个个个个

=20041

20031

20059

20045

11110999

91111100555

50++-个个个个

=20041

20031

20044

11110444

49111101+个个个

=20041

20045

11110555

5个个

4．计算19982

19982

222

2222

2?个个的积

【分析与解】 我们先还是同上例来凑成k 9

999

9个；

19982

19982

222

2222

2?个个

＝

19982

199892999922229?

??? ? ???个个

＝19982

19980210000122229?

??-? ? ???个个

＝19984

19980110000144449?

?

?-? ?

?

??个个

＝19984

1998419980

14444000044449?

??- ? ???个个个

＝19974

19975

1

444

43555

569

?个个(求差过程详见评注)

我们知道94

444

4个能被9整除，商为：0．

又知1997个4，9个数一组，共221组，还剩下8个4，则这样数字和为8×4=32,加上后面的3，则数字和为35，于是再加上2个5，数字和为45，可以被9整除． 8444

4355个4

能被9整除，商为095；

我们知道555

59个5

能被9整除，商为：0；

这样9个数一组，共221组，剩下的1995个5还剩下6个5，而6个5和1个、6，数字和36，可以被9整除． 555

566个5

能被9整除，商为0617284．

于是，最终的商为： 220049382716221061728395

49382716049382716

049382716049382715950617283950617283950617284个个

评注：对于19984

19980

444

4000

0个个-19984

444

4个计算，我们再详细的说一说．

19984

19980

444

4000

0个个-19984

444

4个 ＝19974

199844443999

9个个9

+1-19984

444

4个

＝19974

199844443555

5个个5

+1 ＝19974199744443555

56个个5

.

二、提出公因式

有时涉及乘除的多位数运算时，我们往往需提出公因式再进行运算，并且往往公因式也是和式或者差式等．

5.计算：（1998+++ (19981998)

个19981998

1998）÷（1999++ (19981999)

个199919991999）×1999

【分析与解】19981998

个19981998

1998＝1998×19981001

个100110011001

原式＝1998（1+10001+1+ (19981001)

个10011001

1001）÷［1999×（1+10001+1+ (19981001)

个100110011001）

］×1999＝1998÷1999×1999＝1998.

6．试求1993×123×999999乘积的数字和为多少

【分析与解】 我们可以先求出1993×123的乘积，再计算与(1000000—1)的乘积，但是1993×123还是有点繁琐．

设1993×123=M，则(1000×123＝)123000

令M ＝abcdef

则M ×999999＝M ×（1000000-1）＝1000000M-M ＝000000abcdef -abcdef ＝()1999999abcdef f -+1－abcdef

＝()()()()()()()1999999abcdef f a b c d e f -------+1 ＝()()()()()()()19999991abcdef

f a b c d e f -------+

那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f －1)+(9－a)+(9－b)+(9－c)+(9－d)+(9－e)+(9－f +1)=9×6=54．

所以原式的计算结果的数字和为54．

评注：M ×k 9

999

9个的数字和为9×k ．(其中M 的位数为x ，且x ≤k)．

7．试求9×99×9999××…×9

999

9256个×9

999

9512个×9

999

91024个乘积的数字和为多少

【分析与解】 通过上题的计算，由上题评注：

设9×99×9999××…×9

999

9256个×9

999

9512个×9

999

91024个＝M ，

于是M×9

999

91024个类似

的情况，于是，确定好M 的位数即可；

注意到9×99×9999××…×9

999

9256个×9

999

9512个＝M ，

则M<10×100×100013×0×…×2560

1000

0个×0

1000

0512个＝0

1000

0k 个

其中k=1+2+4+8+16+…+512=1024－l=1023； 即M<0

1000

01023个，即M 最多为1023位数，所以满足的使用条件，那么M 与9

999

91024个乘积的

数字和为1024×9=10240—1024=9216．

原式的乘积数字和为9216．

三、递推法的运用

有时候，对于多位数运算，我们甚至可以使用递推的方法来求解，也就是通常的找规律的方法．

8．我们定义完全平方数A 2

=A×A，即一个数乘以自身得到的数为完全平方数；已知：×49是一个完全平方数，求它是谁的平方

【分析与解】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：

121＝112

；12321＝1112

；1234321＝11112

…… 于是，我们归纳为1234…n…4321=（111

1n 个1

）2

所以，：；则，×49=×72

=．所以，题中原式乘积为7777777的平方．

评注：以上归纳的公式1234…n…4321＝（111

1n 个1

）2，只有在n<10时成立．

9.①2004420038

444

488889个个=A 2，求A 为多少

②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005

【分析与解】 方法一：问题①直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解： ①注意到有2004420038

444

488889个个可以看成4

8

444

4888

89n 个n-1个，其中n ＝2004；

寻找规律：当n=1时，有49=72

；

当n=2时，有4489=672

；

当n=3时，有444889=6672

； …… …… 于是，类推有2004420038

444

488889个个=220036

666

67个

方法二：下面给出严格计算： 2004420038444488889个个=4

444

4000

02004个2004个0

+20048888个8

+1；

则4

444

4000

02004个2004个0

+20048888个8

+1＝11112004个1

×（4×0

1000

02004个+8）+1

＝11112004个1

×［4×（9

999

92004个+1）+8］+1 ＝11112004个1

×［4×（9

999

92004个）+12］+1

＝（11112004个1

）2×36+12×11112004个1

+1

＝（111

12004个1

）2×62+2×（6×11112004个1

）+1

＝（666672003个6

）2

②由①知4

444

4888

89 n 个n-1个8

＝266667n-1个6

，于是数字和为(4n+8n 一8+9)=12n+1=2005；

于是，n=167，所以4

444

4888

89 167个166个8

=266667166个6

，所以存在，并且为4

444

4888

89 167个166个8

.

10．计算666

62008个6

×9×333

32008个3

的乘积是多少

【分析与解】采用递推的方法6×9×3=162； 66×9×33=19602； 666×9×333=1996002； …… …… 于是，猜想666

6n 个6

×9×3333n 个3

=19

96n 个1999

000

0n-1个0

2 666

62008个6

×9×33332008个3

=9

962007个1999

000

02007个0

2

评注：我们与题l 对比，发现题1为666

62008个6

×9×3×33332004个3

使用递推的方法就有障

碍,999

9k 个9

=10k —l 这种方法适用面要广泛一点．

练习1．设N=6666

2000个6×9×7777

2007个7

，则N的各位数字之和为多少

练习2．乘积9999

1999个9×9999

1999个9

的积是多少各位数字之和又是多少

练习3．试求1111

2008个1×1111

2008个1

的各位数字之和是多少

第2讲计算综合（一）

繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题．

1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：

甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．

2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．

3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观．

4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．

5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级 [第1讲循环小数与分数]．

1

．计算：

711

47

18262

1358

133

3416

?+

?

-÷

【分析与解】原式

=

7123

72317 4612

24 14

88128 1312

33

+

?=?=

-

2．计算：

【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有

5

19

9

．于是，我们想到改变运算

顺序，如果分子与分母在

5

19

9

后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；

如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序．而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×．

具体过程如下：

原式=

59

19(3 5.22)19930.41.6 910() 52719950.51995 19(6 5.22)

950

+-?

÷+

?

-+

=

5

191.3219930.440.40.5 9() 519950.419950.5 191.32

9

-???

÷+

??

-

=

199320.4

1()

19950.5

+

÷?=

0.4

1

0.5

÷=

1

1

4

3．计算：

1

1

1

1

1

1

1987 -

+

-

【分析与解】原式=

1

1

1987

1

1986

-

+

=

1986

1

3973

-=

1987

3973

4．计算：已知=

18

111

1+

1

2+

1

x+

4

=，则x等于多少

【分析与解】方法一：

1118x68

114x112x711

1+11

148x6

2+2

14x1

x+

4

+

====

++

++

+

+

+

交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25．

方法二：有

1113

11

188

2

1

x

4

+==+

+

+

，所以

182

22

133

x

4

+==+

+

；所以

13

x

42

+=，那么x=．

5．求

94

4,43,443,...,44 (43)

个

这10个数的和．

【分析与解】方法一：

94

4+43+443...44 (43)

++

个

=

104

4(441)(4441)...(44...41)

+-+-++-

个

=

104

444444...44 (49)

++++-

个

=

109

4

(999999...999...9)9

9

?++++-

个

=

100

4

[(101)(1001)(10001)...(1000...01)]9

9

?-+-+-++--

个

=

91

4

111.1009=4938271591

9

?-

个

.

?；

方法二：先计算这10个数的个位数字和为39+4=31

+=；

再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为36339

+=；

再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为32335

+=；

再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为28331

+=；

再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为24327

+=；

再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为20222

+=；

再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为16218

+=；

再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为12113

+=；

再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为819

最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为4．

所以，这10个数的和为91．

6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少

【分析与解】因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为：

117

?+++=

3(0.60.875)1+0.75+1.8+2.625=6.175=6

3440

7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○=○=．符号“△”表示选择

两数中较小数的运算，例如：△=△=

．请计算：

23155 (0.625)(0.4)

33384 1235

(0.3)( 2.25) 3104

?

+

【分析与解】原式

155

0.6255155725

3842

18

38412256

2.25

3

?

=?÷=

+

8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果

111

(16)(17)(17)

-=?，那么方框内应填的数是多少

【分析与解】

111(17)

()1

(16)(17)(17)(16)

=-÷=-=

1617181

1

1516175

??

-=

??

.

9．从和式

111111

24681012

+++++中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1

【分析与解】因为

111

6124

+=，所以

1

2

,

1

4

,

1

6

,

1

12

的和为l，因此应去掉

1

8

与

1

10

.

10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如．那么在所有这种数中。最大的一个是多少

【分析与解】有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有92918……较大，于是最大的为9.291892915．

11．请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个 分数的分母谁也不是谁的约数”. 【分析与解】 有

11461015+=，11110156+=，111351410

+= 评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢 注意到

11c a a b c b a b c ++=????，当a c b +=时，有11c a 1

a b c b a b c a c

++==

?????． 当a 、b 、c 两两互质时，显然满足题意．

显然当a 、b 、c 为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2，不妨设a 为2，那么有2c b +=，显然b 、c 为一对孪生质数． 即可得出一般公式：111

2(c 2c (c 2)2c

+=?+?+?），c 与c+2均为质数即可.

12．计算：111(11...(1)22331010

-?-??-???）（） 【分析与解】 原式=

(21)(21)(31)(31)(101)(101)

(22331010)

-?+-?+-?+???

??? =13243546576879810911223344 (1010)

?????????????????????????

=12334455...991011223344...991010??????????????????????

=121011221010??????=1120

.

13．已知11661267136814691570

a=

10011651266136714681569

?+?+?+?+???+?+?+?+?.问a 的整数部分是多少

【分析与解】

11661267136814691570

a=

10011651266136714681569

?+?+?+?+???+?+?+?+?

=

11(651)12(661)13(671)14(681)1569110011651266136714681569?++?++?++?++?+??+?+?+?+?（）

=1112131415

110011651266136714681569

+++++??+?+?+?+?（）

=1112131415

1001001165+1266136714681569

+++++???+?+?+?.

因为11121314151001165+1266136714681569++++???+?+?+?＜1112131415100

10011121314+156565

++++?=

+++?（） 所以a ＜10035

100+1016565

=.

同时111213141510011651266136714681569++++??+?+?+?+?＞1112131415100

10011121314+156969

++++?=

+++?（） 所以a ＞10031

1001016969+＝.

综上有3110169＜a ＜35

10165

．所以a 的整数部分为101．

14．问

135799...2468100?????

与1

10

相比，哪个更大，为什么 【分析与解】方法一：令135799...2468100A ?????＝，2468100

(3579101)

B ?????＝，

有13579924681001

(24681003579101101)

A B ????????????＝＝

. 而B 中分数对应的都比A 中的分数大，则它们的乘积也是B ＞A ，

有A×A＜4×B 1101（＝

）＜1111001010

?＝，所以有A×A＜111010?，那么A ＜1

10． 即135799...2468100?????与110

相比，110更大．

方法二：设13579799

(246898100)

A ??????

＝， 则2

1133559999 (224466100100)

A ????????

＝ =1335577...9797999912244668...969898100100????????????????????????， 显然1322??、3544??、5766??、…、97999898??、99100都是小于1的，所以有A 2

＜1100，于是A ＜110

.

15．下面是两个1989位整数相乘：19891

19891

111...11111...11?个个．问：乘积的各位数字之和是多少

【分析与解】在算式中乘以9，再除以9，则结果不变．因为19891

111...11个能被9整除，所以将一个19891

111 (11)

个乘以9，另一个除以9，使原算式变成：

19899

1988999......99123456790......012345679?个共位数

=19890

19881000......001123456790......012345679-?个共位数

（）

=198819890

1988123456790......012345679000......00123456790......012345679-共位数

个共位数

=19881980123456790......012345679123456789876543209......987654320987654321共位数

共位数

得到的结果中有1980÷9=220个“0”和“0”及一个“”和一个“1”，所以各位数之和为：

1234567922098765432220+++++++?++++++++?（）（）

+1234567898765432117901++++++++++++++++=（）（） 评注：1÷9=；

M×k 9

999...9个的数字和为9×k ．(其中M ≤k 9

999...9个)．可以利用上面性质较快的获得结果．

第3讲 计算综合（二）

本讲主要是补充[计算综合(I)]未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算． 1．n×(n+1)=[n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n ×(n+1)]÷3； 2．从1开始连续n 个自然数的平方和的计算公a 式：

()()2222

1

1231216

n n n n +++

+=??+?+

3．平方差公式：a 2

-b 2

=(a+b)(a-b)．

1． 已知a=

11,,1122113311199

99100

b =

+++

+

++

+

试比较a 、b 的大小.

【分析与解】

11,,1122113311119898a b A

B

=

=

+++

+

+

+

+

+

其中A=99,B=99+

1.100因为A98+1B

， 1111

9797,9696,111198989797119898A B A B

+<++>+++++

++

1122,11331144111

19898A

B

+>+

+++

+

+

+

+

+

所以有a < b ．

2.试求

11

11 21

11 31

11 43

11

4

1

2005

2005

+

++

++

++

++

+

的和

【分析与解】记

1

,

1

3

1

4

1

2005

x=

+

+

+

则题目所要求的等式可写为：

11

,

1

21

1

x

x

+

++

+

而

1111

1.

1

222

1

1

x

x x x

x

+

+=+=

+++

+

+

所以原式的和为1．

评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想．

2．试求1+2+3+4+…4+100的值

【分析与解】方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)×项数÷2=(1+100)×100÷2=5050．方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+… 97+ 98+ 99+ 100

100+ 99+ 98+ 97+ 96+…4+ 3+ 2+ 1,

上下两个数相加都是101，并且有100组，所以两倍原式的和为101×100，那么原式的和为

10l×100 ÷2=5050．

方法三：整数裂项(重点)，

原式=(1×2+2×2+3×2+4×2+…+100×2)÷2

=[]

122(31)3(42)4(53)100(10199)2

?+?-+?-+?-++?-÷

=(12

?23

+?12

-?34

+?23

-?45

+?34

-?10010199100

++?-?)2

÷=1001012

?÷

=5050.

3． 试求l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+…+99×100．

【分析与解】方法一：整数裂项

原式=(1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+…+99×100×3)÷3

=[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-4)+…+99×100×(101-98)]÷3

(123??234+??

123-??345+??234-??456+??345-??567+??456-??991001019899100++??-??)3991001013331011003333100333300.

÷=??÷=??=?=方程二：利用平方差公式12

+22

+32

+42

+…+n 2

=2

(1)(21)

.6

n n n n ?+?+=

原式：12+l+22+2+32+3+42+4+52+5+…+992

+99 =12

+22

+32

+42

+52

+…+992

+1+2+3+4+5+…+99 =

9910019999100

62

???+

=328350+4950 =333300．

5．计算下列式子的值：

×+?…+×+? 【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算．即先计算1×3+2?4+3×5+4?6+…+97?99+98×100。再除以100． 方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2，于是我们容易想到裂项的方法． ×+?…+×+?…+97×99+98×100)÷100

=[(l×2+1)+(2×3+2)+(3×4+3)+(4×5+4)+…+(97×98+97)+(98×99+98)]÷100 =[(1×2+2×3+3×4+4×5+…+97×98+98×99)+(1+2+3+4+…+97+98)]÷100 =(

13×98×99×100+1

2

×98×99)÷100

=3234+ =

方法二：可以使用平方差公式进行计算． ×+×+×+×+…+×+×

=(1×3+2×4+3×5+4×6+…+97×99+98×l 00)÷100 =(12

-1+22

-1+32

-1+42

-1+52

-1+…+992

-1)÷100 =(11

+22

+32

+42

+52

+…+992

-99)÷100 =(

1

6

×99×100×199-99)÷100 =× =× =

评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的．下面简单介绍一下整数裂项．

1×2+2×3+3×4+…+(n -1)×n

=1

3×[1×2×3+2×3×3+3×4×3+…+(n -1)×n×3] =1

3

×{1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+…+(n -1)×n[n+1-(n-2)]} =1232312343423451(1)(2)(1)(1)3n n n n n n ??-??+??-??+??+??

??

?--??-+-??+??

=1

(1)(1)3

n n n ?-??+

6.计算下列式子的值：

222222

11111124(

)()234520*********

?+++-++???++++

【分析与解】 虽然很容易看出

111111

,23234545

=-=-????????可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不像分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式

12+22+32+…+n2=1

6

×n×(n+1)×(2n+1)，于是我们又有

2222

16

.

123(1)(21)

n n n n

=

++++?+-

减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢

222222

111111

24()()

234520*********

?++-+++

???++++

=

111

24()

23452021

?++-

???

111

6()

123235101112

?+++

??????

=

111

24()

23452021

?++-

???

111

24()

243465202221

?+++

??????

=

111111

24()()()

23243454652021202221

??

?-+-++-

??

?????????

??

=

111

24()

24462022

?++

???

=

111

6()

12231011

?++

???

=

1

6(1)

11

?-

=

60

11

7．计算下列式子的值：

222

222

11111111111111

(1)()()

23451980122345198012345198012

111111111111 ()()()(1) 45198012561980121980122345198012 +++++++++++++++++

+++++++++++++++++

【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.

显然12+1=2;

22

222

2222

111

(1)()(1)4;

222

1111111

(1)()()(1)6;

2323323

111111111111

(1)()()()(1)8;

234234344234

++++=

++++++++=

+++++++++++++=

所以原式=198012×2=396024．

习题

小学奥数知识点归纳和总结

小学奥数知识点归纳和总结 二年级奥数知识点分类： 一、运算符号类 二、规律填数类 三、规律画图类 四、年龄问题类 五、间隔问题类（含植树问题及智力计数） 六、周期问题类 七、有序思考类 八、时钟问题类 九、推理及思维训练类（包含算式类） 十、和差问题类 十一、和倍问题类 十二、差倍问题类 十三、一笔画类 十四、移动变换类 十五、智力趣味类（包含巧切西瓜） 十六、鸡兔同笼类 十七、盈亏问题类 十八、应用类（含数量关系、重叠问题、） 三年级奥数知识点分类： 一、计算类 计算是数学学习的基本知识，也是学好奥数的基础。能否又快又准的算出答案，是历年数学竞赛考察的一个基本点。三年级的计算包括：速算与巧算、数列规律、数列求和、等差数列的和等。 二、应用题类 从三年级起，大量的奥数专题知识都是所有年级所有竞赛考试中必考的重点知识。学生们一定要在各个应用题专题学习的初期打下良好的基础。 (1)和倍、差倍问题： 用线段标识等方法揭示这两类问题中各种数量关系，和倍问题：小数=和÷(倍数+1)。三、差倍问题： 小数=差÷(倍数-1) (2)年龄问题： 教授解决年龄问题的主要方法：和倍、差倍方法;画图线段标示法。 (3)盈亏问题： 介绍盈亏问题的主要形式 (双盈、双亏、一盈一亏) 分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。 (4)植树问题： 总长、株距、棵树三要素之间的数量关系：总长=株距×段数，封闭图形：棵数=段数不封闭图形：

两头都栽：棵数=段数+1 两头都不栽：棵数=段数-1 一头栽一头不栽：棵数=段数 (5)鸡兔同笼问题： 介绍鸡兔同笼问题的由来和主要形式，揭示鸡兔同笼问题中的数量关系，假设法(6)行程问题： 相遇问题、追及问题等，相遇时间=总路程÷速度和，追及时间=距离÷速度差。 (7)周期问题 (8)还原问题 (9)归一问题 (10)体育比赛中的数学、趣题巧解几何类 三年级学校的学习中就会涉及到一些简单的图形求周长和面积了，那么在奥数中图形问题涉及到的是巧求周长、巧求矩形面积数论类 现在三年级也开始涉及到了数论了，是比较简单的能被2、3、5整除的性质、奇数和偶数、余数与周期问题。 四年级奥数知识点分类： 1.圆周率常取数据 3.14×1＝3.14 3.14×2＝6.28 3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.56 3.14×5＝15.7 3.15×6＝18.84 3.14×7＝21.98 3.14×8＝25.12 3.14×9＝28.26 2.常用特殊数的乘积 125×8＝1000 25×4＝100 125×3＝375 625×16＝10000 7×11×13＝1001 25×8＝200 125×4＝500 37×3=111 3.100内质数： 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 4.单位换算： 1米=3尺=3.2808英尺=1.0926码 1公里=1000米=2里 1码=3英尺=36英寸 1海里=1852米=3.704里=1.15英里 1平方公里=1000000平方米=100公顷 =4平方里=0.3861平方英里 1平方米=100平方分米=10000平方厘米

学而思小学奥数知识点梳理

学而思小学奥数知识点梳理 学而思教材编写组 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出 现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主 编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共 五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充 相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 ⑵ 一般而言： ① 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ② 乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2． 简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ① 运算定律的综合运用 ② 连减的性质 ③ 连除的性质 ④ 同级运算移项的性质 ⑤ 增减括号的性质 ⑥ 变式提取公因数 形如 ： 3． 估算 求某式的整数部分：扩缩法 4． 比较大小 ① 通分 a. 通分母 b. 通分子 ② 跟“中介”比 ③ 利用倒数性质 若， 则 c>b>a. 。形如： 5． 定义新运算 6． 特殊数列求和 运用相关公式： ，则 。 一、 计 算 四则混合运算繁分数 运算顺序 分数、小数混合运 算技巧 1． ⑴

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 1+2+3+4???( n-1 ) +n+ ( n-1 ) +-4+3+2+1=n 5． 一般地，如果a 是整数，b 是整数(b 工0),那么一定有另外两个整数 q 和r , Ow r < b,使得a=bx q+r 当 r=0 时，我们称 a 能被 b 整除。 当r 工0时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的不完全商(亦简称为商)。 用带余数除式又可以表示为 a * b=q ... r, 0 w r < b a=b x q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即 n= p1 x p2 x ... x pk 7. 约数个数与约数和定理 设自然数n 的质因子分解式如 n= p1 x p2 x ... x pk 那么： n 的约数个数： d(n)=(a1+1)(a2+1) . (ak+1) n 的所有约数和：(1+P1+P1 + …p1 )( 1+P2+P2 + …p2 )???( 1+Pk+Pk + …pk ) 8. 同余定理 ① 同余定义：若两个整数 a ，b 被自然数m 除有相同的余数，那么称 a ，b 对于模m 同余，用式子表 示为 a = b(mod m) ② 若两个数a ，b 除以同一个数c 得到的余数相同，则 a ， b 的差一定能被 c 整除。 ③ 两数的和除以 m 的余数等于这两个数分别除以 m 的余数和。 二、 数论 1． 奇偶性问题 奇 奇=偶 奇 偶=奇 奇x 偶=偶 偶 偶=偶 偶x 偶=偶 2． 位值原则 形如： =100a+10b+c 3． 数的整除特征： 整除数 特 征 2 末尾是 0、 2、4 、6、8 3 各数位上数字的和是 3的倍数 5 末尾是 0 或 5 9 各数位上数字的和是 9 的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和， 4 和 2 5 末两位数是 4(或 25)的倍数 8 和 125 末三位数是 8(或 125)的倍数 7、 11、13 末三位数与前几位数的差是 4． 整除性质 ① 如果 c|a 、 c|b ， 那么 c|(a b) 。 ② 如果 bc|a ，那么 b|a ， c|a 。 ③ 如果 b|a ， c|a 且( b,c ) =1, 那么 11 的倍数 a 整除。 如果 a 个连续自然数中必恰有一个数能被 带余 除法 两者之差是 7(或 11 或 13)的倍数 bc|a 。 c|b,b|a, 那么 c|a.

学而思小学奥数知识点梳理

学而思小学奥数知识点梳理 学而思教材编写组 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、计算 1．四则混合运算繁分数 ⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言： ①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ②乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2．简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质 ⑤增减括号的性质 ⑥变式提取公因数 形如： 3．估算 求某式的整数部分：扩缩法 4．比较大小 ①通分 a. 通分母 b. 通分子 ②跟“中介”比 ③利用倒数性质 若，则c>b>a.。形如：，则。 5．定义新运算

6．特殊数列求和 运用相关公式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 二、数论 1．奇偶性问题 奇奇=偶奇×奇=奇 奇偶=奇奇×偶=偶 偶偶=偶偶×偶=偶 2．位值原则 形如：=100a+10b+c 3．数的整除特征： 整除数特征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25 末两位数是4（或25）的倍数 8和125 末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 4．整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 ④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5．带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p1 × p2 ×...×pk 7. 约数个数与约数和定理

小学奥数30个经典知识点汇编大全知识分享

小学奥数知识点汇编大全（含30个经典知识模块） 1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式①(和－差)÷2=较小数 较小数＋差=较大数 和－较小数=较大数 ②(和＋差)÷2=较大数 较大数－差=较小数 和－较大数=较小数 和÷(倍数＋1)=小数 小数×倍数=大数 和－小数=大数 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 小数＋差=大数 关键问题求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树 基本公式棵数=段数＋1 棵距×段数=总长棵数=段数－1 棵距×段数=总长棵数=段数

棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5．鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 6．盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 7．牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量。 基本公式： 生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）；

【小学数学】小学奥数所有知识点大汇总(最全)

1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 一、和差倍问题 （一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差;求这两个数。 方法①：（和－差）÷2= 较小数;和-较小数=较大数 方法②：（和+ 差）÷2=较大数;和- 较大数=较小数 例如：两个数的和是15;差是5;求这两个数。 方法：（15-5）÷2=5 ;（15+5）÷2=10 . （二）和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系;求这两个数。 方法：和÷（倍数+1）=1倍数（较小数） 1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数） 或和-1 倍数（较小数）= 几倍数（较大数） 例如：两个数的和为50;大数是小数的4倍;求这两个数。 方法：50÷（4+1）=10 10×4=40 （三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系;求这两个数。 方法：差÷（倍数-1 ）=1倍数（较小数） 1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数） 或和-倍数（较小数）=几倍数（较大数） 例如：两个数的差为80;大数是小数的5倍;求这两个数。 方法：80÷（5-1）=20 20×5=100 和与差和与倍数差与倍数

2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的;两人年龄的倍数关系是变化的量; 解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄; 几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差． 题目一般用“照3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量;一般是那个“单一量”； 这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量; 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树;只有一端植树封闭曲线上植树 三、植树问题 （一）不封闭型（直线）植树问题 1、直线两端植树：棵数=段数+1=全长÷株距+1 ; 全长=株距×（棵数-1 ）; 株距=全长÷（棵数-1 ）; 2、直线一端植树：全长=株距×棵数; 棵数=全长÷株距; 株距=全长÷棵数; 3 、直线两端都不植树：棵数=段数-1= 全长÷株距-1 ;

小学奥数最主要的30个知识点

小学奥数最主要的30个知识点1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式①(和－差)÷2=较小数 较小数＋差=较大数小学奥数很简单，就这30个知识点 和－较小数=较大数 ②(和＋差)÷2=较大数 较大数－差=较小数 和－较大数=较小数 和÷(倍数＋1)=小数 小数×倍数=大数 和－小数=大数 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 小数＋差=大数 关键问题求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的；

②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树 基本公式棵数=段数＋1 棵距×段数=总长棵数=段数－1 棵距×段数=总长棵数=段数 棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5．鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；

学而思小学六年级奥数电子版教材

测试1·计算篇 1． 计算=?+++++++ 128)288122411681120180148124181( 2． =++?++++-+++?+++)11 19171()131111917151()1311119171()111917151 ( 3． 计算：2004×2003－2003×2002＋2002×2001－2001×2000＋…＋2×1= 4．有一列数：……第2008个数是________ . 5．看规律13 = 12，13 + 23 = 32，13 + 23 + 33 = 62 ……，试求63 + 73 + … + 143

第1讲 小升初专项训练·计算 四五年级经典难题回顾 例1 求下列算式计算结果的各位数字之和：2576666666 200562006??321Λ321Λ个个 例2 求数19 11211111011++++Λ的整数部分是几？ 小升初重点题型精讲 例1 =÷+÷+÷5 95491474371353251 . 例2 =+??÷+--+)1995 6.15.019954.01993(22.550 276951922.510939519 例3 =++÷++)251 18100412200811()25138100432200831 ( . 巩固 计算：=+?+?+ ?+?41602434014321 4016940146 .

例4 计算：=?++?+?+?101 99507535323112 222Λ . 拓展 计算：=??++??+??10 981943273215Λ . 例5 1?2+2?3+3?4+4?5+5?6+6?7+7?8+8?9+9?10= . 巩固：2?3+3?4+4?5+…+100?101= . 拓展 计算：1?2?3+2?3?4+3?4?5+…+9?10?11= . 例6 ［2007 –（8.5?8.5-1.5?1.5）÷10］÷160-0.3= . 巩固 计算：53×57 – 47×43 = . 例7 计算：11×19 + 12×18 + 13×17 + 14×16 = .

最新归纳总结小学奥数30个知识点

最新归纳总结小学奥数30个知识点 差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数，公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系，公式：① (和－差)2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大数② (和＋差)2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小数③和(倍数＋1)=小数小数倍数=大数和－小数=大数④差(倍数-1)=小数小数倍数=大数小数＋差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数2年龄问题的三个基本特征①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的；3归一问题的三个基本特点问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；4植树问题基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式棵数=段数＋1棵距段数=总长棵数=段数－1棵距段数=总长棵数=段数棵距段数=总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系5鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找

出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数总头数－总脚数）（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。6盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量、基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量、基本题型：①一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数＝（余数＋不足数）两次每份数的差②当两次都有余数；基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）两次每份数的差③当两次都不足；基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。7牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量=（较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数）（长时间-短时间）；总草量=较长时间长时间

小学奥数的30个知识点

小学奥数的30个知识点(三平米教育) 1.和差倍问题（https://www.doczj.com/doc/6f5566518.html,） 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式①(和-差)÷2=较小数 较小数+差=较大数 和-较小数=较大数 ②(和+差)÷2=较大数 较大数-差=较小数 和-较大数=较小数 和÷(倍数+1)=小数 小数×倍数=大数 和-小数=大数 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 小数+差=大数 关键问题求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数 2.年龄问题的三个基本特征：（https://www.doczj.com/doc/6f5566518.html,） ①两个人的年龄差是不变的; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的; 3.归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量; 4.植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式棵数=段数+1 棵距×段数=总长棵数=段数-1 棵距×段数=总长棵数=段数 棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5.鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来; 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样)： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少; ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因; ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式：

【数学】学而思网校内部奥数习题集.低年级(第1-4套)

内部习题集——第一套 一. 填空题 1.计算：8+9+10+11+12+13=（） 2.右图中有（）个正方形 3.请在括号里填上适当的数 （）÷3=7......1 （）÷5=3 (4) 51÷（）=8......3 43÷（）=8 (3) 4.两人共有钱300元．如果甲借给乙60元，那么甲、乙两人的钱数相等。那 么甲有（）元，乙有（）元。 5.育民小学三年级的部分学生排成一个实心方阵，最外面一层有学生48人 .那 么除了最外面一层的学生，这个方阵一共有（）名学生 . 6.把一根木料截成4段用12分钟。照这样的速度，要是把同样的木料截成8段， 要用（）分钟 7.将2到7这六个数，填入下图的圈中，使得每条线上的三个数的和相等.相等 的和是（） 8.用l6个边长为2分米的小正方形拼成一个大正方形．大正方形的周长是 （）分米 9.有A、B、C三个人，这三个人中，一位是经理，一位是会计，一位是司机。 已经知道C的年龄比会计大，A和司机的年龄不相同，司机的年龄比B小. 那么A是（）职位. 10.今年哥哥26岁，弟弟18岁，问（）年前，哥哥的年龄是弟弟的3倍 二. 解答题 11.有一批水果，第一天卖出一半，第二天卖出剩下的一半，这时还剩4箱水果 . 问：这批水果一共有几箱

12.1只河马的体重等于2只大象的体重，1只大象的体重等于10匹马的体重，1 匹马的体重是320千克，这只河马的体重是多少千克 13.一个数加上12，再用4除，然后减去15，再乘以10，恰好是100 .这个 数是多少 14.1只菠萝的重量等于2只梨的重量，也等于4只香蕉的重量，还等于2只 苹果、1只梨、1只香蕉的重量之和 .那么1只菠萝等于几只苹果的重量 15.生活中的数学问题 理发店同时近来三位顾客，甲理发、刮胡子不吹风，乙只刮胡子不理发，丙理发、吹风还刮胡子，店里只有一个理发师，请安排一个合理的先后顺序 . 答案部分 1.分析与解答：原式=(8+13)+(9+12)+(10+11)=21×3=63. 2.分析与解答：设法将正方形分类，将每一类的总数相加就得到所有的正方形 的个数，由两块小三角形构成的正方形有4个，由四块小三角形构成的正方形有4个，由八块小三角形构成的正方形有1个，由十六块小三角形构成的正方形为1个。由一、

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完整小学学而思合集高清无密 (2013-06-02 01:18:14) 转载▼ 分类：小学 标签： 教育 毛继东作文三步法： 二年级奥数和阅读写作： 【2801】2011一升二年级数学竞赛班-8讲 【3211】2011秋季二年级数学竞赛班-12讲 【4716】2012春季二年级数学竞赛班-14讲 【3746】2012寒假二年级数学竞赛班-8讲 【2802】2011暑期二升三数学竞赛班-12讲 【6031】糖果星球探秘：二升三年级“畅享语文”成长计划暑期班12讲【3747】精灵旅行团：2012年寒假二年级说话写话训练营10讲 6531：小柿子星球探秘：二年级“畅享语文”成长计划秋季班（6级）共11讲三年级奥数和阅读写作： 【3212】2011秋季三年级奥数竞赛班-16讲 【3779】2012寒假三年级奥数竞赛班-10讲 【4860】2012春季三年级奥数竞赛班-16讲 【4861】2012春季三年级奥数零基础班-10讲

【6039】三升四奥数暑期班14讲 4863人教春季三年级数学同步8讲 6055人教版三年级上册数学满分班16讲 7429北师版三年级下册数学满分班（教材精讲+奥数知识拓展）14讲4209+2012年寒假五年制小学三年级数学超常班12讲 【6032】杮子星球探秘，三升四年级畅想语文成长计划暑期班12讲【3230】精灵旅行团：2011秋季三年级阅读写作训练营12讲【3783】精灵旅行团：2012寒假三年级阅读写作训练营8讲【4865】精灵旅行团：2012春季三年级阅读写作训练营12讲 四年级奥数及阅读写作： 【2799】2011暑期三升四数学强化班共14讲 [6040]2012四升五年级奥数暑期班18讲 【3297】2011秋季四年级上册人教数学课内同步班8讲 【4772】人教四年级下册数学同步8讲 【3208】2011秋季四年级数学强化班，18讲 【3947】2012寒假奥数强化班10讲 【6057】人教版四年级上册数学满分班14讲 【4770/4771】2011春季四年级数学竞赛班18讲 7088第13届中环杯四年级初赛冲刺VIP班12讲

学而思三年级奥数第9讲.数阵图进阶

把8，9，10，11，12，14，16这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上4个数的和都等于46． 把1，2，4，5，6，8，10这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上4个数的和都等于20． 数阵图进阶 第九讲 第4级下·提高班·学生版

第4级下·提高班·学生版 把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入图中的圆圈中，使两个正方形中四个数之和都等于19． 将5，9，13，14，17，21，25这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都等于44．

第4级下·提高班·学生版 将5，6，9，11，14，15这6个数分别填入图中的圆圈里，使两个大圆上4个数的和都等于40． 把1，5，9，10，16，21这6个数分别填入图中的○里，使每一个大圆上的四个数之和都等于36．

第4级下·提高班·学生版 1． 把5，6，7，8，9这5个数分别填在下图的 内，使横行、竖列3个数的和都等于( )中的 数． 把1，3，4，5，6，8，11，15这8个数分别填入图中的圆圈里，使得每个大圆上5个数的和都等于33．

第4级下·提高班·学生版 2. 把3，5，7，9，11，13，15这7个数分别填入图中的圆圈内，使每条直线上的3个数的和都等于 27． 3. 把2，4，6，8，10，12，14，16，18这9个数分别填入下图的圆圈中，使得每条直线上的3个数 的和都等于24．

4.把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入图中的圆圈内，使两个正方形中四个数之和都等于21． 5.把1，2，4，5，6，11这6个数分别填入图中的○里，使每个圆圈上的四个数之和都等于22． 第4级下·提高班·学生版

学而思小学奥数36个专题总汇(下)

第13讲植树问题 内容概述 几何图形的设计与构造，本讲讲解一些有关的植树问题． 典型问题 1．今有10盆花要在平地上摆成5行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案， 画图时用点表示花，用直线表示行． 【分析与解】如下图所示： 2．今有9盆花要在平地上摆成10行，每行都通过3盆花．请你给出一 种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行． 【分析与解】如下图所示： 3．今有10盆花要在平地上摆成10行，每行都通过3盆花．请你给出一种设计方 案，画图时用点表示花，用直线表示行· 【分析与解】如下图所示： 4．今有20盆花要在平地上摆成18行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计 方案，画图时用点表示花，用直线表示行． 【分析与解】如下图所示： 5．今有20盆花要在平地上摆成20行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行． 【分析与解】如下图所示：

第14讲数字谜综合 内容概述 各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题． 典型问题 1．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少? 【分析与解】因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小． A显然只能为1，则BCD+EFG=993， 当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234，对应EFG为759，所以有1234×759是满足条件的最大乘积； 当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG最小为234，对应BCD为759，所以有1759×234是满足条件的最小乘积； 它们的差为1234×759—1759×234=(1000+234)×759一(1000+759)×234=1000×（759—234)=525000． 2.有9个分数的和为1，它们的分子都是1．其中的5个是1 3 , 1 7 , 1 9 , 1 11 , 1 33 另外4个数的分母个 位数字都是5．请写出这4个分数． 【分析与解】 l一(1 3 + 1 7 + 1 9 + 1 11 + 1 33 )= 2101 33711 ? ??? = 1010 335711 ? ???? 需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3×3×7×1l的约数．因此，它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693． 经试验得693+231+77+9=1010． 所以，其余的4个分数是：1 5 , 1 15 , 1 45 , 1 385 . 3. 请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式． 【分析与解】1988=2×2×7×7l=4×497， 1 12 + 1 4 ＝ 1 3 ，在等式两边同时乘上 1 497 ，就得 1 5964+ 1 1988 ＝ 1 1491 ．显然满足题意． 又 1 35 + 1 14 = 1 10 ，两边同乘以 1 142 ，就得 1 4970 + 1 1988 ＝ 1 1420 ．显然也满足．1 3053+ 1 1988 ＝ 1 1204 ， 1 8094 + 1 1988 ＝ 1 1596 均满足. 4．小明按照下列算式：乙组的数口甲组的数○1= 对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表14—1的表中．有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正．问改正后的两个数的和是多少?

小学奥数知识点及公式总汇

小学奥数知识点及公式总汇1．和差倍问题 2 2．年龄问题的三个基本特征： 3．归一问题的基本特点： 4．植树问题 5．鸡兔同笼问题 6．盈亏问题 3 7．牛吃草问题 8．周期循环与数表规律 9．平均数 10．抽屉原理 4 11．定义新运算 12．数列求和 13．二进制及其应用 5 14．加法乘法原理和几何计数 15．质数与合数 6 16．约数与倍数 17．数的整除7 18．余数及其应用 19．余数、同余与周期 20．分数与百分数的应用8 21．分数大小的比较9 22．分数拆分 23．完全平方数 24．比和比例10 25．综合行程 26．工程问题 27．逻辑推理11 28．几何面积 29．立体图形 30．时钟问题—快慢表问题12 31．时钟问题—钟面追及 32．浓度与配比 33．经济问题13 33．经济问题 34．简单方程 35．不定方程 36．循环小数14

2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题 5．鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。

小学奥数知识点梳理-全(大字)

学而思小学奥数知识点梳理 一、计算7 1、四则混合运算繁分数8 2、简便计算8 3、估算11 4、比较大小11 5、定义新运算12 6、特殊数列求和12 7、大数计算：13 9、重复数字：324324324324=324×100100100113 10、头同尾和十13 11、452=202513 12、7×11×13 = 100113 37×3 = 11113 13、7的秘密：13 14、位值原理：13 二、数论14 1、奇偶性问题14 2、位值原则14 3、数的整除特征：14 4、整除性质15 5、带余除法=15

6. 唯一分解定理16 7、约数个数与约数和定理16 8、两数的约数也是两数差的约数；16 9、同余定理16 10．弃九法17 11．完全平方数性质17 12．孙子定理（中国剩余定理）见下17 13．余数应用17 14．辗转相除法---根本在于辗转相减18 15. 质数18 16．求最大公因数，最小共倍数19 17．数论解题的常用方法19 三、几何图形24 1、平面图形25 2、立体图形：长方体、正方体29 3、周长30 4、图形计数：30 5、图形分割和拼接31 6、一些特殊图形31 7、勾股定理31 8．曲线形图形32 9、一些特殊的图形：32 四、典型应用题33

1．植树问题34 2．方阵问题34 3．列车过桥问题34 4．年龄问题35 5．鸡兔同笼35 6．牛吃草问题35 7．平均数问题35 8．盈亏问题35 9．和差问题36 10．和倍问题36 11．差倍问题36 12．逆推问题36 13．代换问题36 五、行程问题37 1．相遇问题37 2．追及问题37 3．流水行船37 4．多次相遇38 5．环形跑道38 6．行程问题中正反比例关系的应用38 7．钟面上的相遇与追及问题。38 8．结合分数、工程、和差问题的一些类型。39 9．行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。39

学而思小学奥数知识点梳理

学而思小学奥数知识点梳 理 The final edition was revised on December 14th, 2020.

学而思小学奥数知识点梳理 学而思教材编写组 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、计算 1．四则混合运算繁分数 ⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言： ①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ②乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2．简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质 ⑤增减括号的性质 ⑥变式提取公因数 形如： 3．估算 求某式的整数部分：扩缩法 4．比较大小 ①通分 a. 通分母 b. 通分子 ②跟“中介”比 ③利用倒数性质 若，则c>b>a.。形如：，则。 5．定义新运算 6．特殊数列求和

运用相关公式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 二、数论 1．奇偶性问题 奇奇=偶奇×奇=奇 奇偶=奇奇×偶=偶 偶偶=偶偶×偶=偶 2．位值原则 形如： =100a+10b+c 3．数的整除特征： 整除数特征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25 末两位数是4（或25）的倍数 8和125 末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 4．整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 ④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5．带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r ＜b,使得a=b×q+r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p1 × p2 ×...×pk 7. 约数个数与约数和定理 设自然数n的质因子分解式如n= p1 × p2 ×...×pk 那么： n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) n的所有约数和：（1+P1+P1 +…p1 ）（1+P2+P2 +…p2 ）…（1+Pk+Pk +…pk ） 8. 同余定理 ①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m 同余，用式子表示为a≡b(mod m)

小学奥数30个知识点大汇总

小学奥数30个知识点大汇总1．和差倍问题 2．年龄问题的三个基本特征： 3．归一问题 4．植树问题 5．鸡兔同笼问题 6．盈亏问题 7．牛吃草问题 8．周期循环与数表规律 9．平均数 10．抽屉原理 11．定义新运算 / 12．数列求和 13．二进制及其应用 14．加法乘法原理和几何计数 15．质数与合数 16．约数与倍数 17．数的整除 18．余数及其应用 19．余数、同余与周期 20．分数与百分数的应用 21．分数大小的比较

22．分数拆分 23．完全平方数 24．比和比例 25．综合行程 26．工程问题 27．逻辑推理 28．几何面积 29．立体图形 } 30．时钟问题—快慢表问题~

1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系 公式①(和－差)÷2=较小数 较小数＋差=较大数小学奥数很简单，就这30个知识点 和－较小数=较大数 ②(和＋差)÷2=较大数 较大数－差=较小数 和－较大数=较小数 和÷(倍数＋1)=小数 小数×倍数=大数 和－小数=大数 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 小数＋差=大数 关键问题求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题

三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题 基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树 基本公式棵数=段数＋1 棵距×段数=总长棵数=段数－1 棵距×段数=总长棵数=段数 棵距×段数=总长 关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5．鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：