一、初一数学有理数解答题压轴题精选(难)
1.点A、B在数轴上表示的数如图所示,动点P从点A出发,沿数轴向右以每秒1个单位长度的速度向点B运动到点B停止运动;同时,动点Q从点B出发,沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动,到点A停止运动设点P运动的时间为t秒,P、Q两点的距离为d(d≥0)个单位长度.
(1)当t=1时,d=________;
(2)当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段AB的中点时,求d的值;
(3)当点P运动到线段AB的3等分点时,直接写出d的值;
(4)当d=5时,直接写出t的值.
【答案】(1)3
(2)解:线段AB的中点表示的数是:=1.
①如果P点恰好运动到线段AB的中点,那么AP=AB=3,t==3,
BQ=2×3=6,即Q运动到A点,
此时d=PQ=PA=3;
②如果Q点恰好运动到线段AB的中点,那么BQ=AB=3,t=,
AP=1× =,
则d=PQ=AB﹣AP﹣BQ=6﹣﹣3=.
故d的值为3或
(3)解:当点P运动到线段AB的3等分点时,分两种情况:
①如果AP=AB=2,那么t==2,
此时BQ=2×2=4,P、Q重合于原点,
则d=PQ=0;
②如果AP=AB=4,那么t==4,
∵动点Q从点B出发,沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动,到点A停止运动,
∴此时BQ=6,即Q运动到A点,
∴d=PQ=AP=4.
故所求d的值为0或4
(4)解:当d=5时,分两种情况:
①P与Q相遇之前,
∵PQ=AB﹣AP﹣BQ,
∴6﹣t﹣2t=5,
解得t=;
②P与Q相遇之后,
∵P点运动到线段AB的中点时,t=3,此时Q运动到A点,停止运动,
∴d=AP=t=5.
故所求t的值为或5.
【解析】【分析】(1)当t=1时,求出AP=1,BQ=2,根据PQ=AB﹣AP﹣BQ即可求解;(2)分①P点恰好运动到线段AB的中点;②Q点恰好运动到线段AB的中点两种情
况进行讨论;(3)当点P运动到线段AB的3等分点时,分①AP=AB;②AP=AB两种情况进行讨论;(4)当d=5时,分①P与Q相遇之前;②P与Q相遇之后两种情况进行讨论.
2.已知 , , 三点在数轴上对应的位置如图如示,其中点对应的数为2,, .
(1)点对应的数是________,点对应的数是________;
(2)动点,分别同时从,两点出发,分别以每秒8个单位和3个单位的速度沿数
轴正方向运动.点为的中点,点在上,且,设运动时间为 .
①请直接用含的代数式表示点,对应的数;
②当时,求的值.
【答案】(1)-12;5
(2)解:① 对应的数是,对应的数是;
② ,,,
,
由,得,
由,得,
故当秒或秒时, .
【解析】【解答】解:(1)点对应的数为,,,
点对应的数是:;点对应的数是:;
故点对应的数为,点对应的数是 .
【分析】(1)根据点对应的数,由的长确定出点表示的数,再根据的长确定出点表示的数;(2)①根据题意表示出点、的数即可;②列出含t的、的代数式,得出方程,求出方程的解即可.
3.观察下列等式:
第1个等式: = = ×(1- );
第2个等式: = = ×( - );
第3个等式: = = ×( - );第4个等式: = = ×( - );…
请回答下列问题:
(1)按以上规律列出第5个等式: =________=________;
(2)用含n的代数式表示第n个等式: =________=________(n为正整数);
(3)求的值.
【答案】(1);
(2);
(3)解:a1+a2+a3+a4+…+a2018= ×(1- )+ ×( - )+ ×( - )+ ×( -) +…+ = .
【解析】【解答】解:(1)第5个等式:a5= ,
故答案为 .
( 2 )an= ,
故答案为 .
【分析】(1)根据前四个式子的规律,就可列出第5个等式,计算可求解。
(2)根据以上规律,就可用含n的代数式表示出第n个代数式。
(3)根据以上的规律,可得出a1+a2+a3+a4+…+a2018= ×(1- )+ ×( - )+ ×( - )+
×( -) +…+ ,计算即可求出结果。
4.[背景知识]数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美的结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律:数轴上A点、B点表示的数为a、b,则A,B两点之间的距离AB=|a﹣b|,若a>b,则可简化为AB=a﹣b;线段AB的中点M表示的数为
.
[问题情境]
已知数轴上有A、B两点,分别表示的数为﹣10,8,点A以每秒3个单位的速度沿数轴向右匀速运动,点B以每秒2个单位向左匀速运动.设运动时间为t秒(t>0).
[综合运用]
(1)运动开始前,A、B两点的距离为________;线段AB的中点M所表示的数________.
(2)点A运动t秒后所在位置的点表示的数为________;点B运动t秒后所在位置的点表示的数为________;(用含t的代数式表示)
(3)它们按上述方式运动,A、B两点经过多少秒会相遇,相遇点所表示的数是什么?(4)若A,B按上述方式继续运动下去,线段AB的中点M能否与原点重合?若能,求出运动时间,并直接写出中点M的运动方向和运动速度;若不能,请说明理由.(当A,B 两点重合,则中点M也与A,B两点重合)
【答案】(1)18;-1
(2)﹣10+3t;8﹣2t
(3)解:设它们按上述方式运动,A、B两点经过x秒会相遇,根据题意得﹣10+3x=8﹣2x,
解得x= ,
﹣10+3x= .
答:A、B两点经过秒会相遇,相遇点所表示的数是;
(4)解:由题意得, =0,
解得t=2,
答:经过2秒A,B两点的中点M会与原点重合.M点的运动方向向右,运动速度为每秒
个单位长度.
故答案为18,﹣1;﹣10+3t,8﹣2t.
【解析】【解答】解:(1)运动开始前,A、B两点的距离为8﹣(﹣10)=18;线段AB
的中点M所表示的数为 =﹣1;(2)点A运动t秒后所在位置的点表示的数为﹣10+3t;点B运动t秒后所在位置的点表示的数为8﹣2t;
【分析】(1)根据A,B两点之间的距离AB=|a﹣b|,若a>b,则可简化为AB=a﹣b及线
段AB的中点M表示的数为即可求解;(2)点A运动t秒后所在位置的点表示的数=运动开始前A点表示的数+点A运动的路程,点B运动t秒后所在位置的点表示的数=运动开始前B点表示的数﹣点B运动的路程;(3)设它们按上述方式运动,A、B两点经过x秒会相遇,等量关系为:点A运动的路程+点B运动的路程=18,依此列出方程,解方程即可;(4)设A,B按上述方式继续运动t秒线段AB的中点M能否与原点重合,根据线段AB的中点表示的数为0列出方程,解方程即可.
5.数轴上点A对应的数为a,点B对应的数为b,且多项式6x3y-2xy+5的二次项系数为a,常数项为b
(1)直接写出:a=________,b=________
(2)数轴上点P对应的数为x,若PA+PB=20,求x的值
(3)若点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动;同时点N从点B 出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左移动,到达A点后立即返回并向右继续移动,求经过多少秒后,M、N两点相距1个单位长度
【答案】(1)﹣2;5
(2)解:①当点P在点A左边,由PA+PB=20得: (﹣2 ﹣x )+(5﹣x)=20, ∴
②当点P在点A右边,在点B左边,由PA+PB=20得: x ﹣(﹣2 )+(5﹣x)=20,
∴,不成立
③当点P在点B右边,由PA+PB=20得:x ﹣(﹣2 )+(x﹣5), ∴ .
∴或11.5
(3)解:设经过t秒后,M、N两点相距1个单位长度,
由运动知,AM=t,BN=2t,
① 当点N到达点A之前时,
Ⅰ、当M,N相遇前,M、N两点相距1个单位长度,
t+1+2t=5+2,
所以,t=2秒,
Ⅱ、当M,N相遇后,M、N两点相距1个单位长度,
t+2t﹣1=5+2,
所以,t=秒,
② 当点N到达点A之后时,
Ⅰ、当N未追上M时,M、N两点相距1个单位长度,
t﹣[2t﹣(5+2)]=1,
所以,t=6秒;
Ⅱ、当N追上M后时,M、N两点相距1个单位长度,
[2t﹣(5+2)]﹣t=1,
所以,t=8秒;
即:经过2秒或秒或6秒或8秒后,M、N两点相距1个单位长度.
【解析】【解答】(1)∵多项式6x3y-2xy+5的二次项系数为a,常数项为b,
∴a=-2,b=5,
故答案为:-2,5;
【分析】(1)根据多项式的相关概念即可得出a,b的值;
(2)分①当点P在点A左边,②当点P在点A右边,③当点P在点B右边,三种情况,根据 PA+PB=20 列出方程,求解并检验即可;
(3)设经过t秒后,M、N两点相距1个单位长度,故AM=t,BN=2t,分① 当点N 到达点A之前时,Ⅰ、当M,N相遇前,M、N两点相距1个单位长度,Ⅱ、当M,N相遇后,M、N两点相距1个单位长度,② 当点N到达点A之后时,Ⅰ、当N未追上M 时,M、N两点相距1个单位长度,Ⅱ、当N追上M后时,M、N两点相距1个单位长度,几种情况,分别列出方程,求解即可.
6.如图1,在一条可以折叠的数轴上,点A,B分别表示数-9和4.
(1)A,B两点之间的距离为________.
(2)如图2,如果以点C为折点,将这条数轴向右对折,此时点A落在点B的右边1个单位长度处,则点C表示的数是________.
(3)如图1,若点A以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动,点B以每秒2个单位长度的速度也沿数轴向右运动,那么经过多少时间,A、B两点相距4个单位长度?
【答案】(1)13
(2)-2
(3)解:设运动t秒后,点A与点B相距4个单位,
由题意可知点A表示的数为-9+3t,点B表示的数为4+2t,
∴,
∴或
解得t=17或9.
答:运动9秒或17秒后,点A与点B 相距4个单位.
【解析】【解答】解:(1)AB=4-(-9)=13(2)设点C表示的数是x,
则AC=x-(-9)=x+9,BC=4-x,
∵A落在点B的右边1个单位,
∴AC-BC=1,
即AC-BC=x+9-(4-x)=2x+5=1,
解得:x=-2,
∴点C表示的数是-2.
故答案为:-2.
【分析】(1)根据数轴上两点的距离公式即可求解;(2)设点C表示的数是x,分别表示出AC、BC,再根据AC-BC=1列出方程解答即可;(3)运动t秒后,可知点A表示的数为-9+3t,点B表示的数为4+2t,再根据AB的距离为4,可得方程,解方程即可.
7.
阅读下面材料:
点A,B在数轴上分别表示实数a,b,A,B两点之间的距离表示为|AB|.
当A,B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图(1),|AB|=|OB|=|b|=|a﹣b|;当A,B两点都不在原点时,
①如图(2),点A,B都在原点的右边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=b﹣a=|a﹣b|;
②如图(3),点A,B都在原点的左边,|AB|=|OB|﹣|OA|=|b|﹣|a|=﹣b﹣(﹣a)=|a ﹣b|;
③如图(4),点A,B在原点的两边,|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(﹣b)=|a﹣b|;
综上,数轴上A,B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|.
回答下列问题:
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是;
②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是,如果|AB|=2,那么x为;
③当代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是.
④解方程|x+1|+|x﹣2|=5.
【答案】解:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是|2﹣5|=3;
数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是|﹣2﹣(﹣5)|=3;
数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是|1﹣(﹣3)|=4
②数轴上x与-1的两点间的距离为|x-(-1)|=|x+1|,如果|AB|=2,则x+1=±2,解得x=1或-3.
③根据题意得x+1≥0且x-2≤0,则-1≤x≤2;
④解方程|x+1|+|x﹣2|=5.
当x+1>0,x-2>0,则(x+1)+(x-2)=5,解得x=3
当x+1<0,x-2<0,则-(x+1)-(x-2)=5,解得x=-2
当x+1与x-2异号,则等式不成立.
所以答案为:3或-2.
【解析】【分析】①②直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a﹣b|.代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离.
③根据绝对值的性质,可得到一个一元一次不等式组,通过求解,就可得出x的取值范围.
④根据题意分三种情况:当x≤﹣1时,当﹣1<x≤2时,当x>2时,分别求出方程的解即可.
8.如图所示,在一条不完整的数轴上从左到右有点,其中,.设点所对应的数之和是,点所对应的数之积是 .
(1)若以为原点,写出点所对应的数,并计算的值;若以为原点,又是多少?
(2)若原点在图中数轴上点的右边,且,求的值.
【答案】(1)解:以为原点,点所对应的数分别是,,
以为原点,;
(2)解:
【解析】【分析】(1)根据题意,若以为原点时,分别写出点A、C所表示的数,从而求出m;若以为原点,分别写出A、B所表示的数,从而求出m;(2)根据题意,分别求出A、B、C所表示的数,即可求出n的值.
9.在数轴上有A、B、C、D四个点,分别对应的数为a,b,c,d,且满足a,b到点-7的距离为1 (a<b),且(c﹣12)2与|d﹣16|互为相反数.
(1)填空:a=________、b=________、c=________、d=________;
(2)若线段AB以3个单位/秒的速度向右匀速运动,同时线段CD以1单位长度/秒向左匀速运动,并设运动时间为t秒,A、B两点都运动在CD上(不与C,D两个端点重合),若BD=2AC,求t得值;
(3)在(2)的条件下,线段AB,线段CD继续运动,当点B运动到点D的右侧时,问是否存在时间t,使BC=3AD?若存在,求t得值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)-8;-6;12;16
(2)解:AB、CD运动时,
点A对应的数为:?8+3t,
点B对应的数为:?6+3t,
点C对应的数为:12?t,
点D对应的数为:16?t,
∴BD=|16?t?(?6+3t)|=|22?4t|
AC=|12?t?(?8+3t)|=|20?4t|
∵BD=2AC,
∴22?4t=±2(20?4t)
解得:t=或t=
当t=时,此时点B对应的数为,点C对应的数为,此时不满足题意,
故t=
(3)解:当点B运动到点D的右侧时,
此时?6+3t>16?t
∴t>,
BC=|12?t?(?6+3t)|=|18?4t|,
AD=|16?t?(?8+3t)|=|24?4t|,
∵BC=3AD,
∴|18?4t|=3|24?4t|,
解得:t=或t=
经验证,t=或t=时,BC=3AD
【解析】【解答】(1)∵|x+7|=1,
∴x=?8或?6
∴a=?8,b=?6,
∵(c?12)2+|d?16|=0,
∴c=12,d=16,
故答案为:?8;?6;12;16.
【分析】(1)根据方程与非负数的性质即可求出答案.(2)AB、CD运动时,点A对应的数为:?8+3t,点B对应的数为:?6+3t,点C对应的数为:12?t,点D对应的数为:16?t,根据题意列出等式即可求出t的值.(3)根据题意求出t的范围,然后根据BC=3AD 求出t的值即可.
10.观察下列等式,,,
以上三个等式两边分别相加得:
(1)猜想并写出: ________
(2)计算: ________
(3)探究并计算:
【答案】(1)
(2)
(3)原式=.
【解析】【解答】(1)
故答案为:.
(2)
故答案为:.
【分析】(1)分子为1,分母为相邻2个数的积,结果等于分子为1,分母分别为2个因数的分数的差;
(2)利用(1)规律进行拆项,化简后只剩首位两个数的差,求出结果即可;
(3)根据(1)规律进行变形后然后乘以,求出结果即可.
11.小红和小明在研究绝对值的问题时,碰到了下面的问题:
“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是,最小值是”.
小红说:“如果去掉绝对值问题就变得简单了.”
小明说:“利用数轴可以解决这个问题.”
他们把数轴分为三段:x<﹣1,﹣1≤x≤2和x>2,经研究发现,当﹣1≤x≤2时,式子|x+1|+|x﹣2|的最小值为3.
请你根据他们的解题解决下面的问题:
(1)当式子|x﹣2|+|x﹣4|取最小值时,相应的x的取值范围是________,最小值是________.
(2)已知y=|x+8|﹣|x-2|,求相应的x的取值范围及y的最大值.写出解答过程.
【答案】(1);2
(2)解:当x>2时y=x+8﹣(x-2)=10,
当?8≤x≤2时,y=x+8+(x-2)=2x+6,当x=2时,y最大=10;
当x<?8,时y=-x-8+(x-2)=-10,
综上所以x≥2时,y有最大值y=10.
【解析】【解答】(1)当x<2时,原式=6?2x,此时6?2x>2;当2≤x≤4时,原式=2;当x>4时,原式=2x?6>2,
∴当2≤x≤4时,|x?2|+|x?4|取最小值时,最小值为2.
故答案为:2≤x≤4;2.
【分析】(1)根据线段上的点与线段的端点的距离最小,可得答案;(2)根据两个绝对值,可得分类的标准,根据每一段的范围,可得到答案.
12.阅读理解:
若A、B、C为数轴上三点,若点C到A的距离是点C到B的距离2倍,我们就称点C是(A,B)的好点(点C在线段AB上).
例如,如图1,点A表示的数为-1,点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2,到点B的距离是1,那么点C是(A,B)的好点;又如,表示0的点D到点A的距离是1,到点B的距离是2,那么点D就不是(A,B)的好点,但点D是(B,A)的好点.
知识运用:如图2,M、N为数轴上两点,点M所表示的数为-2,点N所表示的数为4.
(1)数________所表示的点是(M,N)的好点;
(2)如图3,A、B为数轴上两点,点A所表示的数为-20,点B所表示的数为40.现有一只电子蚂蚁P从点B出发,以2个单位每秒的速度向左运动,到达点A停止.当t为何值时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点?
【答案】(1)2
(2)解:设点P表示的数为y,分两种情况:
①P为【A,B】的好点.
由题意,得y﹣(﹣20)=2(40﹣y),
解得y=20,
t=(40﹣20)÷2=10(秒);
②P为【B,A】的好点.
由题意,得40﹣y=2[y﹣(﹣20)],
解得y=0,
t=(40﹣0)÷2=20(秒);
综上可知,当t为10秒或20秒时,P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点
【解析】【解答】(1)设所求数为x,由题意得
x﹣(﹣2)=2(4﹣x),
解得x=2
【分析】(1)设所求数为x,根据好点的定义列出方程x-(-2)=2(4-x),解方程即可(2)根据好点的定义可知分两种情况:①P为【A,B】的好点;②P为【B,A】的好点.设点P表示的数为y,根据好点的定义列出方程,解得t值即可.