第三章线性方程组和向量
一、单项选择题(本大题共20小题。每小题1分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分
1、已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2、.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）
A.η1+η2是Ax=0的一个解
B.1
2η1+
1
2η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解
D.2η1-η2是Ax=b的一个解
3、设A是m×n矩阵，则齐次线方程线Ax=0仅有零解的充分必要条件是( )
A．A的行向量组线性无关B．A的行向量组线性相关
C．A的列向量组线性无关D．A的列向量组线性相关
4、已知是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，
是其导出组Ax=0的一个基础解系，为任意常数，则方程组Ax=b的通解可表成( )
5、已知，则下列向
量中可以由线性表出的是( )
A ．(1，2，3)
B ．(1，-2，0)
C ．(0，2，3)
D ．(3，0，5) 6、设
是任意实数，则必有 (
)
7、线性方程组
的基础解系中所含向量的个数为( ) A.1 B ．2 C ．3 D ．4
8、设非齐次线性方程组Ax=b 有n 个未知数，m 个方程，且秩（A ）=r ，则下列命题正确的是（ ） A.当r=m 时方程组有解 B.当r=n 时方程组有唯一解 C.当m=n 时方程组有唯一解 D.当r 9、齐次线性方程组 ?? ?=--=++0 x x x 20 x x x 432321的基础解系所含解向量的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 10、若向量组（I ）：α1，α2,…，αs 可由向量组（II ）：β1，β2，…，βt 线性表示，则（ ） A. s C. t D. s, t 的大小关系不能确定 11、设???? ? ??=3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a A ， ?? ?? ? ??=321x x x X ，?? ?? ? ??=321y y y Y ，则关系式（ ） ??? ??+=+=+=3332231133 33222211223312211111y a y a y a x y a y a y a x y a y a y a x ＋＋＋ 的矩阵表示形式是 A ．AY X = B ．Y A X T = C ．YA X = D ．A Y X T = 12、若向量组（Ⅰ）：r ,,,ααα 21可由向量组（Ⅱ）： s 21,βββ,, 线性表示，则 必有（） A．秩（Ⅰ）≤秩（Ⅱ）B．秩（Ⅰ）>秩（Ⅱ） C．r≤s D．r>s 13、设向量组(I)：1α，2α，…rα，向量组(II)：1α，2α，…rα，1r+ α，…，sα则必有（） A．若(I)线性无关，则(II)线性无关B．若(II)线性无关，则(I)线性无关C．若(I)线性无关，则(II)线性相关D．若(II)线性相关，则(I)线性相关14、从矩阵关系式C=AB可知C的列向量组是（） A．A的列向量组的线性组合B．B的列向量组的线性组合C．A的行向量组的线性组合D．B的行向量组的线性组合 15、设A为n阶矩阵，秩(A)=n-1，1α，2α是齐次线性方程组Ax=0两个不同的解，则Ax=0的通解是（） A．k1αB．k2α C．k(1α+2α) D．k(1α-2α) 16、向量α=(-3,1,5,-1)的单位向量为（） A． α 2 1 B． α 6 1 C． α 10 1 D． α 36 1 17、设A是n阶方阵，｜A｜＝0，则下列结论中错误的是（） A．秩（A） B．A有两行元素成比例 C．A的n个列向量线性相关 D．A有一个行向量是其余n-1个行向量的线性组合 18、若向量组α1，α2，…，αs的秩为r(r A．α1＋α2 B．α1－α2 C．α1－2α2 D．2α1－α2 20、若齐次线性方程组 ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 9 6 3 4 2 3 2 1 3 2 1 x x x t 的基础解系含有两个解向量，则t＝ （）A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题（本大题共23小题，每小题1分，共23分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。 21、设A 是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2 个不同的解，则它的通解为 22、设向量a=(2，1，2),则与它同方向的单位向量为 23、设α=(2，1，-2)，β=(1，2，3)，则2α-3β= 24．向量组a=(1，2，3，4，5)的秩为 25、设 m×n 矩阵A 的，m 个行向量线性无关，则矩阵 的秩为_ 26、若线性方程 组无解，则= _ 27、设向量α=(6，-2，0，4)，β=(一3，l ，5，7)，则由2α+γ=3β所确定的向量y=______． 28、已知向量组线性相关，则k= 29、 有解的充分必要条件是t= ． 30、向量组α1=（1，2，3，4），α2=（2，3，4，5），α3=（0，0，1，2）的秩为__________. 31、设向量α=（3，5，7，9），β=（-1，5，2，0），向量γ满足3α-2γ=5β，则向量γ=__________. 32、.已知向量组α1=（1，α，-2），α2=（3，6，-6）线性相关，则α=__________. 33、设A 是n 阶方阵，x1,x2均为方程组Ax=b 的解，且x1≠x2,则|A|__________. 34、 设齐次线性方程组??? ??=++=+=+-0 z y x 40ky x 0y x 有非零解，则k=__________. 35、设有线性变换???-=+=22211y x y y x ，则 ???? ??=???? ??2121x x P y y 中的矩阵P=__________. 36、．若向量组()()()t ,,,,,,,,31322101321===ααα 线性无关，则t 应满足条件 37、已知1α=(1，3，2)，2α=(2，-1，1)，3α=(0，4，7)，则1α+32α-23α= 38、向量组1α=(1，2，-1，4)，2α=(9，100，10，4)，3α=(-2,-4,2,-8)的秩为. 39、非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵经初等行变换后为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? -3 6 3 4 2 1 1 ，则 方程组有通解. 40、若向量组α1＝（1，0，0），α2＝（2，t,4）,α3=(0,0,6)线性相关，则t=___. 41、设矩阵A＝ ? ? ? ? ? ? ? 3 3 2 3 1 3 3 2 2 2 1 2 3 1 2 1 1 1 b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，其中aibi≠0(i=1,2,3).则秩（A）＝__________. 42、设A是n阶矩阵，秩（A） 43、设A为n阶矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则非齐次线性方程组Ax=b的解的个数为_____________. 三、计算题（本大题共53分） 44、给定向量组α1= -? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 3，α2= 1 3 2 4 - ? ? ? ? ? ? ? ? ，α3= 3 2 1- ? ? ? ? ? ? ? ? ，α4= 1 4 9 - ? ? ? ? ? ? ? ? . 45、当t 取何值时，向量组 线性相关? 46、求下列矩阵的秩： 47、 的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解 系表示)． 48、已知向量组 分别判定向量组的线性相关性，并说明理由。 49、给定线性方程组 (1)问λ在什么条件下，方程组有解?又在什么条件下方程组无解? (2)当方程组有解时，求出通解． 50、λ取何值时，线性方程组??? ??λ =+-=+-=+-3 21321321x 3x 8x 42x 4x 6x 31x 5x 4x 2 有解？在有解时求出通解. 51、求向量组 ?? ?? ? ??=2421α， ?? ?? ? ??=0112α， ?? ?? ? ??=1323α， ?? ?? ? ??=2534α 的一个最大线性无关组，并把其余向量用该最大线性无关组表示. 52、给定齐次线性方程组 ??? ??=-++=-++=+++. x x x x ,x x x x ,x x x x 0004 32143214321λλ （1）当λ满足什么条件时，方程组的基础解系中只含有一个解向量？ （2）当λ＝1时，求方程组的通解. 53、已知齐次线性方程组 ? ???? ????=++=++=++0x x px 0x x 2x 0x x x 321321321 , 当p 为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其一个基础解系. 54、设二次型f(x1,x2,x3)=3223 2221x x 2x 3x 3x 4+++，经正交变换后化成的标准形为 f= 23 2221y 4y 4y 2++，求所用的正交变换. 55、求下列向量组的秩和一个最大线性无关组. α1＝??????? ??0321，α2＝??????? ??--3021，α3＝??????? ??0642，α4＝??????? ??--0121，α5＝??????? ??1100， 56、确定λ，μ的值，使线性方程组????? ? ?μ =++=+λ=++=++3213232132134532231x x x x x x x x x x x 有解. n维向量部分 这部分逻辑性非常强，考生必须要相当熟悉教材中的重要定理。从历年考试情况来看，线性相（无）关、线性表出、极大无关组、向量组的秩及等价、向量空间（数一）等内容是考试经常会涉及到的内容。常出现在选择题中。 回顾： n维向量的运算 1．定义：设 ，，k为数域Ｐ中的数，定义 ,称为向量与的和； ,称为向量与数k的数量乘积． 2．向量运算的基本性质 1） 2） 3） 4） 5） 6） 7） 8），9），， 10）若，则即，若，则或 1 向量组的秩、极大无关组的相关题型 知识点 极大线性无关组定义：设为中的一个向量组，它的一个部分组若满足 i) 线性无关 ii) 对任意的，可经线性表出 则称为向量组的一个极大线性无关组（简称极大无关组）． 向量组的秩 定义：向量组的极大无关组所含向量个数称为这个向量组的秩．性质： 1）一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量个数相同． 一个向量组线性相关的充要条件是它的秩＜它所含向量个数．2）等价向量组必有相同的秩．（注意：反之不然．） 3）若向量组可经向量组线性表出，则 秩秩． 例1 设向量组 （1）求此向量组的秩； （2）求此向量组的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组表示。 例2 选择题 若向量组的秩为 r,则（） （A）必定r 第三章 线性方程组 §3.1 线性方程组的矩阵消元解法 例3.1 求解线性方程组 ??? ??=+-=+-=-+4 5342622321 321321x x x x x x x x x 解方程组通常采用消元法，比如将第2个方程乘2-加到第1个方程，可消去1x 得到09632=-x x ，将此方程两边除以3，约简可得03232=-x x 。 除了消元和约简，有时还要交换两个方程的位置。这些变形运算实际上仅在变量的系数之间进行，所以只需将所有的系数和常数项列成一个矩阵，做初等行变换即可。显然消元、约简和交换方程位置分别相当于矩阵的消去变换、倍缩变换和换行变换。比如上面对本例的两个具体变形相当于以下矩阵初等行变换： ????? ??---411534216122→????? ??---411534210960→???? ? ??---411534210320 其中第一个变换是第2行乘2-加到第1行，第二个变换是以31乘第1行。矩阵的初等变换可以使解方程组的过程显得紧凑、快捷、简洁。 下面我们运用初等变换的标准程序（参看§2.4）来解例3.1的线性方程组： ????? ??---4115342]1[6122 →? ?? ?? ??----111990342 109]6[0 ?→?* ????? ??---11]5.5[0005 .110310 1→? ???? ? ?210030101001 其中，主元都用“[ ]”号作了标记。消元与换行可同步进行（如带“*”号的第二 步），换行的目的是为了使主元呈左上到右下排列。最后一个矩阵对应方程组 ?? ? ??=++=++=++2 003001 00321x x x 实际上已得到方程组的解是11=x ，32=x ，23=x 。写成列向量 ()T x 2,3,1=，叫做解向量。显然解向量可以从最后一个矩阵右侧的常数列 直接读出，无需写出对应的方程组。 第二章曾经把一般的线性方程组（2.2）写成矩阵形式b Ax =，比如例 3.1 的线性方程组，写成矩阵形式是??? ? ? ??=????? ??---436115421122x 。 1.设α1=(1 2 ?1 0)，α2=( 1 3 1 2 )，α3=( 2 4 ?2 )，α4=( 1 1 3 5 )，α5=( 2 2 3 )，求向量组α1，α2，α3，α4，α5的 一个极大（最大）无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出。 2.设A为mxn阶矩阵，B为nxp阶矩阵，C为pxs阶矩阵，R(C)=p，且ABC=0，证明B=0. 3.设A为mxn阶矩阵，X与b为m维列向量，Y为n维列向量，证明AY=b有解的充要条 件是满足A T X=0的所有X均满足b T=0. 4. 设α1=(1003)，α2=(11?12)，α3=(1 2?2a )，β=(01b ?1 )问a,b 为何值时， （1） β不能由α1，α2，α3线性表出 （2） β可以由α1，α2，α3线性表出，并且写出表达式 5. 设A=(λ+312 λλ?113λ+3λλ+3 )，讨论AX=0的解的情况。 6. 设A=(1 11a b c a 2 b 2 c 2 )，讨论AX=0的解的情况。 7. 设A=(1 10 1 1 1 2 20?132a ?3?21a )，β=(01b ?1 )，讨论方程组AX=β的解的情况。 8. 设A=(λ111λ111λ)，b=(1 λλ2 )，讨论方程组AX=b 的解的情况。 9. 已知三阶矩阵A 的第一行为a,b,c ，且a,b,c 不全为0，矩阵B=(1 232463 6k )(k 为常数)满足AB =0，求AX =0的通解。 10. 设4元齐次线性方程组（I ）{2x 1+3x 2?x 3=0x 1+2x 2+x 3?x 4=0 ，且已知另一个四元齐次线性方程组（II ）的一个基础解系为α1=(2 ?1a +21 )，α2=(?124a +8)，(1)求（I ）的一个基础解系。 (2)a 为何值时（I ）与（II ）有非零公共解，并求所有非零公共解。 11. 在上例中将α1，α2改为α1=(a ?5 1?1?1)，α2=(?6a +3?12 )求（I ）与（II ）的所有非零公共解。 12.已知非齐次线性方程组（I ）{?2x 1+x 2+ax 3?5x 4=1x 1+2x 2?x 3+6x 4=43x 1+2x 2+x 3+2x 4=c 与(II) {x 1+x 4=1 x 2?2x 4=2x 3+x 4=1为通解方程组 求a,b,c 的值。 习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ， 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为 ,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数． （2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ， 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ， 所以，方程组的通解为 若向量a叉乘向量b得c，由向量积的性质，c是一个垂直于a,b的向量，则 1、若a,b是二维的，则(一般)不可能存在3个二维向量互相垂直 2、若a,b是四维或更高维的，则又至少有两个向量与a,b互相垂直 对于1，c是不可定义的，对于2，c得定义似乎是歧义的(?) Q0. 所以，向量积只存在于三维向量中？ 其实想起这个事是想用向量积算面积的，于是有下面的问题： Q1. 对于两个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这两向量所夹平行四边形的面积？或者类似于向量积，其结果是个向量而其模是面积？ 自然的，三维里面还有个混合积的东西，这东西在高数书里使用行列式定义的，三个三维向量算行列式没问题，三个四维向量就bug了...于是有 Q2.对于三个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这三个向量所夹平行六面体的体积？ 类似的，可以发散成下面这个很泛化的问题 Q3. n维空间中的m个向量可唯一确定一个m维超"立方"体，如何通过这些向量的坐标计算超"立方"体的体积？(显然不一定立方，但也不知道怎么称呼...) 假定你学过线性代数，不然没法讲…… 向量积有很多名字，比如说叉积、外积。它的推广也有很多种。不过，要回答你这个问题，我们还是用外积这个名字吧。 为什么不用向量积这个名字呢？向量的模表示的是一个长度，两个向量的外积的模表示的却是一个面积。虽然我们习惯了，但细想起来这还是有点不自然的。而且，如果把两个向量的外积当作一个向量的话，这个向量是依赖于坐标系的。也就是说，它在坐标变换下不能保持不变。这实在不是什么好的性质。从物理学的角度来看，它们的量纲也是不同的。 也就是说，我们应该把它们区分开来看，把向量与向量的外积看成是不同的东西；至少看成是不同的空间中的向量。 那么，应该把向量的外积看作是什么东西呢？ 考虑三维空间里的一组基，它们对应于3条坐标轴。两个向量的外积是一个“面积向量”，于是可以想象，如果把全体“面积向量”组成的线性空间记作的话，的基底可以取成对应于3个坐标平面（对，恰好也是3个）。把这组基记为 。这里用了这个符号，这是外代数里表示外积的符号，叫做wedge，是楔子的意思，因此外积也叫楔积。 习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆(2)求1 AB-. 习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)11121212221 2n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????01,2,,i i a b i n ≠????=?? 2.设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =. 3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()()1 d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2 A A =,试证: ()()R A R A E n +-= 第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.4.1 基础练习 1．已知，求. 2．已知，求. 3．若矩阵满足，则（）. (A (B (C (D 4．设矩阵满足关系，其中，求. 5．设矩阵，求. 6．是矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组中方程个数少于未知数个数，那么( . (A 必有无穷多解； (B 必有非零解； (C 仅有零解； (D 一定无解. 8．求解线性方程组 （1），（2） （3） 9．若方程组 有无穷多解，则 . 10．若都是线性方程组的解，则( . (A (B (C (D 3.4.2 提高练习 1．设为5阶方阵，且，则= . 2．设矩阵，以下结论正确的是( . (A时， (B 时， (C时， (D 时， 3．设是矩阵，且，而，则 . 4．设，为3阶非零矩阵，且，则 . 5．设, 问为何值，可使 （1）（2）（3）. 6．设矩阵，且，则 . 7．设，试将表示为初等矩阵的乘积. 8．设阶方阵的个行元素之和均为零，且，则线性方程组的通解为 . 9．设，， ，其中可逆，则 . 10．设阶矩阵与等价，则必有（）. （A）当时，（B）当时， （C）当时，（D）当时， 11．设，若，则必有（）. （A）或（B）或 （C）或（D）或 12．齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则（）. （A）且（B）且 （C）且（D）且 13．设是三阶方阵，将的第一列与第二列交换得到，再把的第二列加到第三列得到，则满足的可逆矩阵为（）. （A）（B）（C）（D） 14．已知，为三阶非零矩阵，且，则（）. （A）时，（B）时， （C）时，（D）时， 15．若线性方程组有解，则常数应满足条件. 16．设方程组有无穷多个解，则. 17．设阶矩阵与维列向量，若，则线性方程组（）. （A）必有无穷多解（B）必有唯一解 （C）仅有零解（D）必有非零解. 18．设为矩阵，为矩阵，则线性方程组（）. （A）当时仅有零解（B）当时必有非零解 （C）当时仅有零解（D）当时必有非零解 19．求的值，使齐次线性方程组 有非零解，并求出通解. 常微分方程学习活动6 第三章一阶线性方程组、第四章n 阶线性方程的综合练习 本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握． 要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。 一、填空题 1．若A (x )在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组Y A Y )(d d x x =，n R Y ∈的任一非零解在1 +n R 空间 不能 与x 轴相交． 2．方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线． 3．向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的 必要 条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0． 4．线性齐次微分方程组n x x x R Y R Y A Y ∈∈=,,)(d d ，的一个基本解组的个数不能多于 n+1 个． 5．若函数组)()(21x x ??，在区间),(b a 上线性相关，则它们的朗斯基行列式)(x W 在区间),(b a 上 恒等于 ． 6．函数组?? ?==x y x y cos sin 2 1的朗斯基行列式)(x W 是 x x x x x W sin cos cos sin )(-= 7．二阶方程02 =+'+''y x y x y 的等价方程组是 ?????--='='y x xy y y y 2 11 1 ． 8．若)(1x y ?=和)(2x y ?=是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们 没有 共同零点． 9．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 线性无关 ． 10．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 n 个． 11．在方程y″+ p (x )y′+q (x )y = 0中，p (x ), q (x )在(-∞,+∞)上连续，则它的任一非零解在xOy 平面上 可以 与x 轴横截相交． 第三章 向量与线性方程组补充习题答案 1．设有三维列向量 123211101,1,1,111λααλαβλλλ??+?????? ????????==+==???????? ????????+???????? 问λ取何值时， （1）β可由123,,ααα线性表示，且表达式惟一； （2）β可由123,,ααα线性表示，且表达式不惟一； （3）β不能由123,,ααα线性表示． 【解】 设112233x x x αααβ++=，得线性方程组 12231110111111x x x λ λλλλ??+???? ? ? ?+= ? ? ? ? ? ?+?????? ， 其系数行列式 2111 1 11(3)1 11A λλλλλ += +=++． （1） 若03λλ≠≠-且，则方程组有惟一解，β可由123,,ααα惟一地线性表示． （2） 若=0λ，则方程组有无穷多个解，β可由123,,ααα线性表示，但表达式不惟一． （3） 若=-3λ，则方程组的增广矩阵 211003-318A 1 21303312112911290006033121129-???? ? ? =--→-- ? ? ? ?--? ??? ?? ? →-- ? ?-?? 可见方程组得系数矩阵A 与增广矩阵A 不等秩，故方程组无解，从而β不能由 123,,ααα线性表示． 2．设向量组T a )10,2,(1=α，T )5,1,2(2-=α，.),,1(,)4,1,1(3T T c b =-=βα试问：当a,b,c 满足什么条件时， （1）β可由321,,ααα线性表出，且表示唯一？ （2）β不能由321,,ααα线性表出？ （3）β可由321,,ααα线性表出，但表示唯一？并求出一般表达式。 【解】 设有一组数321,,x x x ，使得 βααα=++332211x x x ， 即 ??? ??=++=++=--c x x x b x x x x x ax 321 3213214510212 该方程组的系数行列式=A .44 5 10 11 2 12--=--a a （1）当4-≠a 时，行列式≠A 0，方程组有唯一解，β可由321,,ααα线性表出，且表示唯一； （2）当a=－4时，对增广矩阵作行初等变换，有 ???? ??????--+--→??????????---=1300012100101245101121124c b b b c b A 若3b-c ≠1，则秩r(A)≠秩r(A ), 方程组无解，β不能由321,,ααα线性表出； （3）当a=-4且3b-c=1时，秩r(A)=秩r(A )=2<3，方程组有无穷多组解，β可由 321,,ααα线性表出，但表示唯一。解方程组，得 C x =1， 122---=b C x ，123+=b x （C 为任意常数）。 因此有 .)12()12(321αααβ++++-=b b C C 3．设 ).,3,1(),3,2,1(),1,1,1(321t ===ααα （1）问当t 为何值时，向量组321,,ααα线性无关？ 习题3.1 1．用消元法解下列线性方程组 （1）123131 232312 264257x x x x x x x x -+=??+=??++=? (2)???????=+--=+-=+-=+-115361424 5241 32321321 3 21321x x x x x x x x x x x x (3)?????=-++=-+-=--+82226353634321 43214321x x x x x x x x x x x x （4）?? ?????=-+++=+++=-+++=++++2 3345362203231 5432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 2．设线性方程组 123212312 3424 x x tx x tx x t x x x ++=??-++=??-+=-? t 为何值时方程组无解? t 为何值时方程组有解？有解时,求其解. 3．设线性方程组 12341234 12341234231 363315351012x x x x x x x x x x ax x x x x x b +++=??+++=?? --+=??--+=? （1） a , b 为何值时方程组有唯一解？ （2） a,b 为何值时方程组无解？ （3） a ,b 为何值时方程组有无穷多解？并求其一般解. 习题3.2 1．设()()()1231,1,1,22,1,0,11,2,0,2ααα=--=-=--，，,求 （1）321ααα++（2）321532ααα+- 1211222. (1,0,,0) (0,1,,0)(0,0,,1),. n n n n a a a εεεεεε===+++ 设 维向量 , , , 求 ()()3. 2 02,1 3 1,124αβγαγβ=-=-+=设2,,,4,2, ,,，求向量 ,使. 4．设()()122,0,13,1,1αα==-,满足12234βαβα+=+,求β ． 第三章 线性方程组 （09秋本科三学时） 一、填空 1、向量()10,1,5,8=--α可由()()231,0,2,3, 2,1,1,2=-=-αα线性表示，则相关系数1k = ，2k = 。 （12k =，21k =-） 2、设向量组()1,0,T a c =α，()2,,0T b c =α，()30,,T a b =α线性无关，则,,a b c 满足关系式： 。 （000a b c ≠≠≠且且） 3、设n 阶方阵A 中各行元素之和均为零，且()1r n =-A ，则齐次线性方程组=Ax o 的通解为： 。 （(1,1,,1)T x c = ） 4、齐次方程组13200 x x x -=??=?的通解为 。 （(1,0,1)T x c =） 5、设向量组()()()1231,0,0,0,2,4,1,3,T T T t ===-ααα线性相关，则t = 。（6） 6、齐次方程组1220n x x nx +++= 基础解系中所含解向量个数为 。（1n -） 7、设3阶方阵122212304-?? ?= ? ??? A ，向量11k ?? ?= ? ???α，且αA 与α线性相关，则k = 。（-1） 8、已知三维向量组321,,βββ线性无关, 则向量组133221,,ββββββ---k 也线性无关的充要条件为_____k 。 （1k ≠） 二、计算 1、设()()()()12341,0,0,3,1,1,1,2,1,2,3,1,1,2,2,,a a αααα==-=-=- ()0,1,,1b b =-，求,a b 取何值时： （1） b 能由1234,,,αααα线性表示且表示方法唯一； （1a ≠） （2） b 不能由1234,,,αααα线性表示； （11a b ≠≠-且） （3） b 能由1234,,,αααα线性表示，但表示方法不唯一，并求出一般表达式。 12112213241, 1 (1)(122)a b c c c c c c b αααα==--+++--++= （1）设n 阶方阵A 的秩r 第三章 课后习题及解答 将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合： 1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T 4T 3T 21T --=--=--===αααααT 2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα 解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得 解得.4 1,41,41,454321-=-===k k k k 所以432141414145ααααα--+= . 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得 02321=++k k k ，04321=+++k k k k ， 0342=-k k ，1421=-+k k k . 解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=. 判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T 3T 2T 1===ααα 4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T 3T 2T 1==-=βββ， 解： 3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即 ?????=++=++=+0650320321 32131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关. 4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即 ???????=++=++=+-=+0 14240720303321321 2131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件. 解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性 无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是 0=α. 6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法， 假设存在该向量组的某一部分组)(,,,21n i r i i i r ≤ααα 线性相关， 则向量组n n αααα,,,,121- 线性相关，与向量组n n αααα,,,,121- 线性无关矛盾， 所以该命题成立. 7.证明：若21,αα线性无关，则2121,αααα-+也线性无关. 证：方法一，设存在21,k k 使得0)()(212211=-++ααααk k ， 第二节 n 维向量空间 定义1：n 个实数组成的有序数组称为n 维向量,一般用γβα,,等希腊字母 表示。称()n a a a ,,,21 =α为n 维行向量,称()T n n b b b b b b ,,,2121 =?????? ? ??=β为n 维列向 量。称i i b a ,分别为向量βα,的第i 个分量。 特别对矩阵=A ?? ? ? ? ? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a 2 1 22221 11211中每一行()in i i a a a ,,,21 ),,2,1(m i =称为 矩阵A 的行向量；每一列() T nj j j a a a ,,,21 ),,2,1(n j =称为矩阵A 的列向量。 定义2：所有分量都是零的向量称为零向量，零向量记作0＝()000 。 定义3：由n 维向量()n a a a ,,,21 =α各分量的相反数组成的向量，称为α的负向量，记作：()n a a a ---=-,,,21 α。 定义4：若n 维向量()n a a a ,,,21 =α与()n b b b ,,,21 =β的所有对应分量相等，即),,2,1(n i b a i i ==，则称这两个向量相等，记作βα=。 定义5：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α,()n b b b ,,,21 =β，βα与对应分量的和所构成的n 维向量，称为向量βα与的和，记作βα+。 ()n n b a b a b a +++=+,,,2211 βα ()βαβα-=-+()n n b a b a b a ---=,,,2211 定义6：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α的各分量都乘以数k 后所组成的n 维向量，称为数k 与向量α的乘积，记作： k α＝()n ka ka ka ,,,21 。 向量的运算性质： （1）αββα+=+ （2）γβαγβα++=++)()( 线性代数————第3章：线性方程组 一、例题解析： 1．单项选择题 （1）向量组[][][][] αααα1234110100111001====,,,,,,,,,,,的极大线性无关组是（ ）。 A. αα12, B. αα24, C. ααα134,, D. ααα123,, 解：因为向量组ααα123,,线性无关，而向量组ααα134,,线性相关，所以原向量组的极大线性无关组是ααα123,,。 正确答案：D （2）设线性方程组的增广矩阵为? ? ????? ?? ???--000 0103006211041231，则此线性方程组的一般解中自 由元的个数为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解：因为方程组中未知量个数是4，增广矩阵的秩)(B A r =3，所以 一般解的自由元个数 = 方程组中未知量个数 - )(B A r = 4-3=1 所以，线性方程组的一般解中自由元的个数为1。 正确答案：A （3）n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是（ ）。 A. n A r =)( B. n A r >)( C. n A r <)( D. )(A r 与n 无关 解：n 元齐次线性方程组0=AX 有非零解的充分必要条件是n A r >)( 正确答案：C （4）设线性方程组B AX =的两个解21,X X )(21X X ≠，则下列向量中（ ）一定是B AX =的解。 A. 21X X + B. 21X X - C. 212X X - D. 122X X - 解：因为B B B AX AX X X A =-=-=-22)2(1212， 所以122X X -是线性方程组B AX =的解。 正确答案：D 2． 填空题 （1）一个向量组中如有零向量，则此向量组一定线性 。 解：设0, m αα,,1 为一组n 维向量，取00≠k ，01===m k k ，则 0k 0 +m m k k α++α 11= 0 由定义可知，向量组0, m αα,,1 线性相关。 正确答案：相关 （2）线性方程组B AX =中的一般解的自由元的个数是2，其中A 是54?矩阵，则方程组增广矩阵)(B A r = 。 解：因为一般解的自由元个数 = 方程组中未知量个数 - )(B A r 第三章线性方程组 1、消元法求解线性方程组 例1．解线性方程组 解：将方程组的增广矩阵通过矩阵的初等变换，化为行简化的阶梯形矩阵 由最后的矩阵写出原方程组的同解方程组（本题即为方程组的唯一解） ，，， 注释：消元法是解线性方程组最有效最基本的方法，通过该例题我们得到： 求解线性方程组的一般步骤是： 第一步，首先将增广矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵； 第二步，根据阶梯形矩阵判断是否有解（是否等于）； 第三步，有解时，继续对阶梯形矩阵利用初等行变换化为行简化阶梯形矩阵； 第四步，由行简化阶梯形矩阵写出方程组的解。 2、求齐次线性方程组的基础解系的简便方法 例2．求下列齐次线性方程组的基础解系 （1）（2） 解（1）将其系数矩阵用初等行变换化为行简化矩阵 最后一矩阵的第1、3、4列构成了3阶单位矩阵，所以，从而该方程组的基础解系含个解向量。 解法1将上面最后一个矩阵的2、5列反号，依次得基础解系的两个解向量的第1、3、4三个坐标，而的另两个坐标依次取2阶单位矩阵的两列，即基础解系为 ， 解法2 由上面最后一个矩阵得（1）的同解方程组 （为自由未知量） 令，得 即（为任意常数）所以基础解系为 ， （2）将其系数矩阵用初等行变换化为行简化矩阵 由此得，而最后一矩阵的前2列2行构成一2阶单位矩阵，所以基础解系含两个解 向量，且的前两个分量分别为上面最后一矩阵3、4列前两个坐标的相反数，而它们的后两个分量分别为2阶单位矩阵的两列，即 ， 另从最后一个矩阵得与原方程组同解的方程组 （为自由未知量） 令，得原方程组的通解为 即（为任意常数） 所以基础解系为， 注1：方法1直接从行简化矩阵找基础解系，若要求通解，只需作基础解系的任意线性组合即得。方法2是先得到通解，再得到基础解系，所以基础解系与通解同时给出。 注2：前面我们给出的是基础解系的简便求法，而基础解系不是唯一的，只要个解向量线性无关即可为基础解系。所以有时为了避免解向量的分量为分数我们可灵活选取， 比如上面例2在（2）题法2中可令，则得基础解系为， ． 例3．设为矩阵，且，则有非零解。 证法一因为矩阵，知未知量的个数为，，故，于是 由非零解。 证法二本题是含个方程，个未知量的齐次线性方程组，因，即方程的个数小于未知量的个数，故有非零解。 证法三由于，说明的个列向量线性相关，故必有非零解。 注释：当齐次线性方程组方程的个数小于未知量的个数时，必有无穷多解。 例4．设，证明若有个互不相同的根，则为零多项式。 证：设的个互不相同的根分别为，则 n 维向量空间 §3.1 n 维向量的定义 1. 定义 定义：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作),,,(21n a a a =α, 称为n 维行向量． i a –– 称为向量α的第i 个分量 R ∈i a –– 称α为实向量 C ∈i a –– 称α为复向量 零向量：)0,,0,0( =θ 负向量：),,,()(21n a a a ---=- α 列向量：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作 ??? ?????????=n a a a 21α, 或者T 21),,,(n a a a =α, 称为n 维列向量． 零向量： ? ? ? ? ?? ??????=000 θ 负向量：????????????---=-n a a a 21)(α 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． n 维向量 n 个数a 1,a 2,…,a n 组成的一个有序数组(a 1,a 2,…,a n ) 称为一个n 维向量,记为 1212()(,, ,) ...T n n a a a a a a αα?? ? ?== ? ??? 列向量形式或（行向量形式），其中第i 个数a i 称为向量的第i 个分量。 说明 1. 列向量即为列矩阵,行向量即为行矩阵 2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 3. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列 向量。行向量可看作是列向量的转置。 零向量 0=(0,0,…,0)T (维数不同, 零向量不同) 负向量 12(,, ,)T n a a a α-=---。 向量相等 设1212(,, ,)(,, ,)T T n n a a a b b b αβ==，，若,1,2, ,i i a b i n ==则αβ=。 向量运算规律： ① αββα+=+ ② ()()αβγαβγ++=++ ③ 0αα+=（0是零向量，不是数零） ④ ()0αα+-= ⑤ 1αα= ⑥ ()()()λμαλμαμλα== ⑦ ()λαβλαλβ+=+ ⑧ ()λμαλαμα+=+ 满足以上8条性质的向量加法、数乘两种运算,称为线性运算。 1． 内积的概念 定义1：n 维实向量 ??? ???? ??=??????? ??=n n b b b a a a 2121,βα，称n n b a b a b a +++= 2211),(βα ()β αT n n b b b a a a =???? ??? ??= 2121,,,为α和β的内积。 若βα,为行向量，则T αββα=),(。 向量空间的性质： (1) ),(),(αββα= (2) ),(),(),(γβγαγβα+=+ 第1 章矩阵与线性方程组 矩阵是描述和求解线性方程组最基本和最有用的工具。本章涉及向量和矩阵的基本 概念，归纳了向量和矩阵的基本运算。 1.1 主要理论与方法 1.1.1 矩阵的基本运算 一、矩阵与向量 a11x1 + a12x2 + ￠ ￠ ￠+ a1n x n = b1 a21x1 + a22x2 + ￠ ￠ ￠+ a2n x n = b2 ... a m1x1 + a m2x2 + ￠ ￠ ￠+ a mn x n = b m 9> >>>=>>>>; (1.1) 它使用m个方程描述n个未知量之间的线性关系。这一线性方程组很容易用矩阵||向量 形式简记为 Ax = b (1.2) 式中 A =26664 a11 a12 ￠ ￠ ￠ a1n a21 a22 ￠ ￠ ￠ a2n ... ... ... a m1 a m2 ￠ ￠ ￠ a mn 37775 (1.3) 称为m ￡ n矩阵，是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合；而 x =26664 x1 x2 ... x n 37775 ; b =26664 b1 b2 ... b m 37775 (1.4) 分别为n ￡1向量和m￡1向量，是按照列方式排列的复数或实数集合，统称列向量。类似地，按照行方式排列的复数或实数集合称为行向量，例如 a = [a1; a2; ￠ ￠ ￠ ; a n] (1.5) 是1 ￡ n向量。 二、矩阵的基本运算 1. 共轭转置：若A = [a ij ]是一个m￡ n矩阵，则A的转置记作A T，是一个n ￡m矩阵， 定义为[A T]ij = a ji；矩阵A的复数共轭A¤定义为[A¤]ij = a¤ji；复共轭转置记作A H，定义 为 A H =26664 a¤11 a¤21 ￠ ￠ ￠ a¤m1 a¤12 a¤22 ￠ ￠ ￠ a¤m2 ... 线代复习重点解析之——向量和线性方程组 一、考情分析篇 通过对最近几年考研数学真题以及学生考研分数的分析和总结，跨考教育数学教研室李老师发现：首先，线性代数的得分率总体要比高等数学和概率论高5%左右;其次，在对考研学生的调查中，70%以上的学生认为线性代数试题难度低，容易取得高分;再次，线性代数侧重的是方法的考查，考点比较明确，系统性更强。 考研数学线性代数相比较高等数学和概率论而言，呈现明显不同的学科特点——概念多、定理多、符号多、运算规律多、内容纵横交错以及知识点前后紧密联系。如果说高等数学的知识点算“条”的话，那么概率论就应该算“块”，而线性代数就是“网”!具体来看，线性代数这整张网，又是由行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量以及二次型这6张小网相互交叉联结而成。而其中向量和线性方程组这两张网又在其中起着承前启后、上下衔接的关键作用。 由以上的分析，大家不难发现——向量和线性方程组是线性代数的重难点内容，也是考研的重点和难点之一。而这点也可以从历年真题的出题规律上得到验证。 关于第三章向量，无论是大题还是小题都特别容易出考题，06年以来每年都有一道考题，不是考察向量组的线性表示就是向量组的线性相关性的判断，10年还考了一道向量组秩的问题。 关于第四章线性方程组，06年以来只有11年没有出大题，其他几年的考题均是含参方程的求解或者是解的判定问题。 二、重点分析篇 考研数学线性代数暑期强化复习阶段重点应放在充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法上，并及时进行总结，抓联系，使所学知识能融会贯通，举一反三。为了让大家在暑期复习中能将线性代数提高到“心中有剑，手中亦有剑”的层次，跨考数学教研室名师在这里总结了向量和线性方程组的几种核心题型与解决方法，供同学们参照复习。 1、向量——理解相关无关概念，灵活进行判定。 向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重，也是考研线性代数每年必出的考点。如何掌握这部分内容呢?首先在于对定义、性质和定理的理解，然后就是分析判定的关键在于：看是否存在一组不全为零的实数。 这部分题型有如下几种：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题(数一)。线性代数 第三章向量
秩（向量组II） （C）秩（向量组I）<秩（向量组II） （D）不能确定秩（向量组I）与秩（向量组II）的大小关系 2 向量组的线性相关性的判定或根据向量相关性求参数 知识点：1对向量组，设 若如果存在不全为零的数，使上式成立，则向量组线性相关。 若当且仅当上式才成立，则线性无关。 2 设向量组I：可由向量组II：线性表现，若 r>s , 则向量组I线性相关。（注意它的逆否定理） 3 利用矩阵的秩或行列式 设有 s个n维列向量组，设A=()， 则当秩A=s时，线性无关；当秩A第三章 线性方程组
线性代数 第三章 向量与线性方程组 例题
线性代数第3章_线性方程组习题解答
N维向量的外积
线性代数习题[第三章] 矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组习题 含答案.
常微分方程学习活动6 第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的综合练习
第三章_向量与线性方程组补充习题答案
第三章习题与复习题(线性方程组)---高等代数
第三章线性方程组习题
线性代数 第三章 测验
S 时，向量组（Ⅱ）必线性相关； （C ）当rS 时，向量组（Ⅰ）必线性相关； 7. 已知一个向量组为???? ? ???????--=????????????-=????????????=????????????=????????????=1311,4152,2312,1021,120154321ααααα，求该向量组的秩及该向量组的一个最大线性无关组, 并把其余列向量用该最大无关组线性表示.. 8. 当λ取何值时，非齐次线性方程组12312321231x x x x x x x x x λλλλλ?++=?++=??++=? (1) 有唯一解;(2)无解;(3)有无 穷多解，并求通解.居余马线性代数第三章课后习题
n维向量空间
线性代数————第3章：线性方程组
第三章 线性方程组
n维向量
矩阵与线性方程组
线代复习重点解析之——向量和线性方程组
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