习题七
1.设总体X 服从二项分布b （n ，p ），n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，
求参数p 的矩法估计.
【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X
所以p 的矩估计量 ?X
p
n
= 2.设总体X 的密度函数
f （x ,θ）=22
(),0,
0,
.x x θθθ?-<
X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】2302
20
2
2()()d ,233
x x E X x x x θ
θθ
θθθθ??=
-=-= ????
令E (X )=A 1=X ,因此
3
θ
=X 所以θ的矩估计量为 ^
3.X θ=
3.设总体X 的密度函数为f （x ，θ），X 1，X 2，…，X n 为其样本，求θ的极大似
然估计.
（1） f （x ，θ）=,0,
0,0.e x x x θθ-?≥?
（2） f （x ，θ）=1,01,
0,
.x x θθ-?<
【解】（1） 似然函数1
1
1
(,)e e e
n
i
i
i n n
x x n
n i
i i L f x θ
θ
θθθθ=---==∑=
==∏∏
1
ln ln n
i i g L n x θθ===-∑
由1
d d ln 0d d n
i i g L n x θθθ===-=∑知 1
?n
i
i n
x
θ==
∑
所以θ的极大似然估计量为1
?X
θ
=. (2) 似然函数1
1
,01n
n
i i i L x x θ
θ
-==<<∏,i =1,2,…,n.
1
ln ln (1)ln n
i i L n x θθ==+-∏
由1
d ln ln 0d n
i i L n
x θθ==+=∏知 1
1?ln ln n
n
i
i
i i n n
x
x θ
===-=-
∑∏
所以θ的极大似然估计量为 1
?ln n
i
i n
x
θ
==-∑
4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如
下：
序
号 2
3
4
5
6
7
8
910 收益率
.01
-0.11
-0.12
-0.09
-0.13
-0.3
0.1
-0.09
-0.1
-
0.11
求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】 0.094x =- 0.101893s = 9n =
0.094.EX x ==-
由2
2
2
2
21()()[()],()n
i i x E X D X E X E X A n
==+==∑知222
??[()]E X A σ+=,即有
1022
221
1??[()][10()]10i i A E X X X σ
==-+-∑ 于是 9
?0.90.101890.096610
s σ
==?= 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.
5.随机变量X 服从［0，θ］上的均匀分布，今得X 的样本观测值：
0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计.
【解】(1) ()2
E X θ
=
,令()E X X =，则
?2X θ
=且?()2()2()E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计值为?220.6 1.2x θ
==?=且?2X θ=是一个无偏估计. (2) 似然函数8
8
1
1(,)i i L f x θθ=??
== ???∏,i =1,2, (8)
显然L =L (θ)↓(θ>0)，那么18
max{}i i x θ≤≤=时，L =L (θ)最大,
所以θ的极大似然估计值?θ
=0.9. 因为E(?θ)=E (18
max{}i i x ≤≤)≠θ,所以?θ=18
max{}i
i x ≤≤不是θ的无偏计. 6.设X 1，X 2，…，X n 是取自总体X 的样本，E （X ）=μ，D （X ）=σ2，2
?σ
=k
1
21
1
()n i i i X
X -+=-∑,问k 为何值时2?σ
为σ2的无偏估计. 【解】令 1,i i i Y X X +=-i =1,2,…,n -1,
则 2
1()()()0,()2,i i i i E Y E X E X D Y μμσ+=-=-==
于是 1
2
2
2211
?[()](1)2(1),n i
i E E k Y
k n EY n k σ
σ-===-=-∑
那么当2
2
?()E σ
σ=,即2
2
2(1)n k σσ-=时, 有 1
.2(1)
k n =
-
7.设X 1，X 2是从正态总体N （μ，σ2）中抽取的样本
112212312211311
???;;;334422
X X X X X X μ
μ
μ=+=+=+ 试证123???,,μ
μμ都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 【证明】（1）112122
12121?()()(),3
33333E E X X E X E X μ
μμμ??=+=+=+= ???
21213
?()()()44E E X E X μ
μ=+=, 31211
?()()(),22
E E X E X μ
μ=+= 所以123???,,μ
μμ均是μ的无偏估计量.
(2) 22
22
1122145?()()(),3399D D X D X X σμσ????=+== ? ?????
2
2
2212135?()()(),448D D X D X σμ????
=+= ? ?????
()2
2
3121?()()(),22D D X D X σμ??
=+= ???
8.某车间生产的螺钉，其直径X ~N （μ，σ2），由过去的经验知道σ2=0.06,今随
机抽取6枚，测得其长度（单位mm ）如下：
14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2
试求μ的置信概率为0.95的置信区间. 【解】n =6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,
0.252
14.95, 1.96,a x u u ===,
μ的置信度为0.95的置信区间为
/2(14.950.1 1.96)(14.754,15.146)x u n ασ?
?±=±?= ??
?.
9.总体X ~N (μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n 多大的样本，才能使μ的置信概率
为1-α，且置信区间的长度不大于L ？
【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为/2
x u n ασ??
± ??
?
, 于是置信区间长度为
/22u n
ασ
, 那么由/22u n
ασ
≤L ,得n ≥22/22
4()u L ασ 10.设某种砖头的抗压强度X ~N （μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如
下（kg ·cm -2）：
64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1） 求μ的置信概率为0.95的置信区间. （2） 求σ2的置信概率为0.95的置信区间.
【解】76.6,18.14,10.950.05,20,x s n α===-==
/20.025222/20.0250.975(1)(19) 2.093,
(1)(19)32.852,(19)8.907
t n t n ααχχχ-==-===
(1) μ的置信度为0.95的置信区间
/218.14(1)76.6 2.093(68.11,85.089)20a s x t n n ????±-=±?= ? ?????
(2)2
σ的置信度为0.95的置信区间
222222
/21/2(1)(1)1919,18.14,18.14(190.33,702.01)(1)(1)32.8528.907n s n s n n ααχχ-??--??=??= ? ?--?
???
11.设总体X ~f (x )=(1),01;10,
.x x θθθ?+<<>-??其中其他
X 1,X 2,…,X n 是X 的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量.
【解】(1)
1
10
1
()()d (1)d ,2
E X xf x x x x θθθθ+∞
+-∞
+==+=
+?
? 又
1
(),2
X E X θθ+==
+ 故
21
?1X X
θ
-=-
所以θ的矩估计量 21
?.1X X
θ
-=- (2) 似然函数
1
1(1) 01(1,2,,)
()()0n
n n
i i i i i x x i n L L f x θθθ==?+<<=?===???
∏∏其他. 取对数
1
1
ln ln(1)ln (01;1),
d ln ln 0,d 1n
i
i i n
i i L n x x i n L n x θθθθ===++<<≤≤=+=+∑∑
所以θ的极大似然估计量为1
?1.ln n
i
i n
X
θ
==--∑
12.设总体X ~f (x )= 36(),0;
0,
.x
x x θθθ?-<
X 1,X 2,…,X n 为总体X 的一个样本
（1） 求θ的矩估计量?θ； （2） 求?()D θ
. 【解】(1) 2
3
6()()d ()d ,2
x E X xf x x x x θ
θ
θθ
+∞
-∞
=
-=
?
?
令 ,2
EX X θ
==
所以θ的矩估计量 ?2.X θ
= (2)4
?()(2)4(),D D X D X DX n
θ
===， 又
322
2
3
6()
63()d ,2010
x x E X x θ
θθθθ-===?
于是
222
2
2
3()()(),10420
D X
E X EX θθθ=-=-=,
所以
2
?().5D n
θθ
= 13.设某种电子元件的使用寿命X 的概率密度函数为
f (x ,θ)= 2()2,;0,
.x x x θθθ--?>?≤?e
其中θ(θ>0)为未知参数，又设x 1,x 2,…,x n 是总体X 的一组样本观察值，求θ的极大
似然估计值.
【解】似然函数
1
2()1
2e 0;1,2,
,;
()0ln ln 22(),;1,2,
,,
n
i i x n i n i i i x i n L L L n x x i n θθθθ=--=?∑??≥===?
??
=--≥=∑其他.
由
d ln 20ln (),d L
n L θθ
=>↑知 那么当0
1??min{}ln ()max ln ()i
i n
x L L θθ
θθ>≤≤==时
所以θ的极大似然估计量1?min{}i
i n
x θ≤≤= 14. 设总体X 的概率分布为
X 0 1 2 3 P θ2 2θ(1-θ) θ2 1-2θ 其中θ(0<θ<
1
2
)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极大似然估计值.
【解】
8
13?(1)()34,()4 2
8
i
i x E X E X x x x θθ
=-=-====∑令得又 所以θ的矩估计值31
?.44
x θ
-== （2） 似然函数8
6
241
(,)4(1)(12).i
i L P x θθ
θθ==
=--∏
2
ln ln 46ln 2ln(1)4ln(1),
d ln 628628240,d 112(1)(12)L L θθθθθθθθθθθθ=++-+--+=--==---- 解2
628240θθ-+= 得 1,2713
2
θ±=
. 由于
7131
,122
+> 所以θ的极大似然估计值为 713
?2
θ
-=. 15.设总体X 的分布函数为
F （x ,β）=1,,
0,.x x
x β
βααα?->???≤?
其中未知参数β>1,α>0，设X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本
（1） 当α=1时，求β的矩估计量；
（2） 当α=1时，求β的极大似然估计量； （3） 当β=2时，求α的极大似然估计量. 【解】
当α=1时，11,1;(,)(,1,)0, 1.x x f x F x x x ββ
ββ+?≥?
==??
当β=2时, 2
132,;(,)(,,2)0,.x x f x F x x x ααααα?≥?
==??
(1) 11
1
()d 11
E X x x x β
β
β
β
ββ
β+∞
-+∞=
=
=
--?
令()E X X =,于是?,1X
X β
=- 所以β的矩估计量?.1
X
X β
=- (2) 似然函数
(1)11
1
1,1,(1,2,,);
()(,)0,.ln ln (1)ln ,d ln ln 0,d n n n
i i i i i n i i n
i i x x i n L L f x L n x L n x ββββββββ-+====???
>=? ?===?????
=-+=-=∏∏
∑∑其他
所以β的极大似然估计量1
?.ln n
i
i n
x
β
==∑
(3) 似然函数
23
1
12,,(1,2,,);
(,)0,.n n
i n
n i i i i x i n L f x x ααα==?≥=????
==? ?
?????
∏
∏其他
显然(),L L α=↑
那么当1?min{}i i n
x α
≤≤=时,0
?()max ()a L L L αα>== , 所以α的极大似然估计量1?min{}i i n
x α
≤≤=. 16.从正态总体X ~N （3.4，62）中抽取容量为n 的样本，如果其样本均值位于区间
（1.4，5.4）内的概率不小于0.95，问n 至少应取多大？
2/2
1()2e d π
z
t z t ?--∞
=?
z
1.28 1.645 1.96
2.33 z
0.9
0.95
0.975
0.99
【解】26~ 3.4,X N n ??
??
?,则 3.4~(0,1),6/X Z N n -=
1.4 3.4
5.4 3.4{1.4 5.4}6/6/3
3210.95
333Z P X P n n n n P Z n n n ΦΦΦ--??<<<<=??
??
??
=-<
????????
=-=-≥- ? ? ???????
于是0.9753n Φ??
≥
???
则 1.963n ≥, ∴ n ≥35.
17. 设总体X 的概率密度为
f (x ，θ)=,01,1,
12,0,.
x x θθ<
-≤
其他 其中θ是未知参数（0<θ<1）,X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的简单随机样本，记N 为
样本值x 1,x 2,…,x n 中小于1的个数.求：
（1） θ的矩估计；
（2） θ的最大似然估计. 解 (1) 由于
12
1
(;)d d (1)d EX xf x x x x x x θθθ+∞
-∞
=
=+?
??-
133
(1)222θθθ=+-=-. 令32X θ-=，解得3
2
X θ=-， 所以参数θ的矩估计为
32
X θ=-.
似然函数为
1
()(;)(1)n
N n N i i L f x θθθθ-===-∏，
ln ()ln ()ln(1),L N n N θθθ=+--
两边对θ求导，得
d ln ().d 1L N n N
θθθθ
-=-- 令 d ln ()0,d L θθ=得 N
n
θ=，
所以θ的最大似然估计为
N n
θ=
. 18. 19. 习题八
1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N (4.55,0.1082).现在测了
5炉铁水，其含碳量（%）分别为
4.28 4.40 4.42 4.35 4.37
问若标准差不改变，总体平均值有无显著性变化（α=0.05）? 【解】
0010/20.02500.025: 4.55;: 4.55.5,0.05, 1.96,0.108
4.364,
(4.364 4.55)5 3.851,
0.108/.
H H n Z Z x x Z n
Z Z αμμμμασμσ==≠=======--==?=-> 所以拒绝H 0，认为总体平均值有显著性变化.
2. 某种矿砂的5个样品中的含镍量（%）经测定为：
3.24 3.26 3.24 3.27 3.25
设含镍量服从正态分布，问在α=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含镍量为
3.25.
【解】设
0010/20.00500.005: 3.25;: 3.25.5,0.01,(1)(4) 4.60413.252,0.013,
(3.252 3.25)50.344,
0.013/(4).
H H n t n t x s x t s n
t t αμμμμαμ==≠===-====--==?=<
所以接受H 0，认为这批矿砂的含镍量为3.25.
3. 在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支
作为样本；测得样本均值为 1.008（克），样本方差s 2=0.1(g 2).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.
0010/20.025200.025: 1.1;: 1.1.
36,0.05,(1)(35) 2.0301,36,1.008,0.1,(1.008 1.1)
6 1.7456,/0.1
1.7456(35)
2.0301.
H H n t n t n x s x t s n t t αμμμμαμ==≠===-=====--=
=?==<=
所以接受H 0，认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.
4.某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时，标准差为2.9
小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到它们的寿命（以小时计）为19，18，20，22，16，25，问这些结果是否表明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均寿命要短？设电池寿命近似地服从正态分布（取α=0.05）.
【解】
0100.0500.05:21.5;:21.5.
21.5,6,0.05, 1.65, 2.9,20,
(2021.5)
6 1.267,
2.9/ 1.65.
H H n z x x z n
z z μμμασμσ≥<======--==?=->-=- 所以接受H 0，认为电池的寿命不比该公司宣称的短.
5.测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出x =0.452(%),s =0.037(%).设测
定值总体为正态，μ为总体均值，σ为总体标准差，试在水平α=0.05下检验.
（1） H 0：μ=0.5(%)；H 1：μ＜0.5(%).
（2）0
:H σ' =0.04(%)；1:H σ'＜0.04(%). 【解】(1)
00.050
0.050.5;10,0.05,(1)(9) 1.8331,
0.452,0.037,
(0.4520.5)
10 4.10241,
0.037/(9) 1.8331.n t n t x s x t s n
t t αμαμ===-====--=
=
?=-<-=-
所以拒绝H 0，接受H 1. (2)
2222
010.952
2
2
2
2
022
0.95(0.04),10,0.05,(9) 3.325,
0.452,0.037,
(1)90.0377.7006,0.04
(9).
n x s n s ασαχχχσχχ-=======-?=
==>
所以接受H 0，拒绝H 1.
6.某种导线的电阻服从正态分布N （μ，2
0.005）.今从新生产的一批导线中抽取9
根，测其电阻，得s =0.008欧.对于α=0.05，能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?
【解】
00102222
/20.0251/20.9752
22
22
0.0252
2
0:0.005;:0.005.9,0.05,0.008,
(8)(8)17.535,(8)(8) 2.088,
(1)80.00820.48,(8).(0.005)
H H n s n s αασσσσαχχχχχχχσ-===≠=======-?=
==> 故应拒绝H 0，不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005.
7.有两批棉纱，为比较其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到： 第一批棉纱样本：n 1=200，x =0.532kg, s 1=0.218kg ； 第二批棉纱样本：n 2=200，y =0.57kg, s 2=0.176kg.
设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异？
(α=0.05)
【解】
01211212/2120.0250.02522
22112212120.025:;:.200,0.05,
(2)(398) 1.96,
(1)(1)199(0.2180.176)0.1981,
2398
(0.5320.57)
1.918;
11110.1981200200
(398).
w w H H n n t n n t z n s n s s n n x y t s n n t t αμμμμα=≠===+-=≈=-+-?+===+---=
==-+?+
< 所以接受H 0，认为两批强度均值无显著差别.
8.两位化验员A ，B 对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了5次分析，得
到样本方差分别为0.4322(%2)与0.5006(%2).若A ，B 所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为σA 2，σB 2，试在水平α=0.05下检验方差齐性的假设
2222
01:;:.A B A B H H σσσσ=≠
【解】
221212/2120.0250.9750.02521225,0.05,0.4322,0.5006,
(1,1)(4,4)9.6,11
(4,4)0.1042,
(4.4)9.6
0.43220.8634.
0.5006
n n s s F n n F F F s F s αα=====--===
=====
那么0.9750.025(4,4)(4,4).F F F <<
所以接受H 0，拒绝H 1. 9. 10. 11. 12. 习题九
1 灯泡厂用4种不同的材料制成灯丝，检验灯线材料这一因素对灯泡寿命的影
响.若灯泡寿命服从正态分布，不同材料的灯丝制成的灯泡寿命的方差相同，试根据表中试验结果记录，在显著性水平0.05下检验灯泡寿命是否因灯丝材料不同而有显著差异？
试验批号
1 2 3 4 5 6 7
8灯
丝
材
料
水平 A 1 A 2 A 3
A 4
1600 1580 1460 1510 1610 1640 1550 1520 1650 1640 1600 1530 1680 1700 1620 1570 1700 1750 1640 1600 1720 1660 1680
1800 1740
1
820 【解】
1
4,26;====∑r
i i r n n
2
4
4
2..11
===-∑∑T ij
i j T S x n =69898.46=195711.54, 2
4
2...11==-∑A i i i
T S T n n =69744549.2-69700188.46=44360.7, =-E T A S S S =151350.8,
0.05/(1)44360.7/3 2.15
/()151350.8/22(3,22) 3.05.
-=
==-=>A E S r F S n r F F ,
故灯丝材料对灯泡寿命无显著影响. 表9-1-1方差分析表 方差来
源
平方和
S
自由度 均方和
S
F 值 因素影
响
44360.7
3 14786.
9
2.15 误差 151350
.8
22 6879.5
9
总和 195711
.54 25
2. 一个年级有三个小班，他们进行了一次数学考试，现从各个班级随机地抽取了
一些学生，记录其成绩如下：
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 73 66 88 77 68 41 89 60 78 31 79 59 82 45 48 78 56 68 43 93 91 62 91 53 80 36 51 76 71 79 73 77 85 96 71 15 74 80 87 56
试在显著性水平0.05下检验各班级的平均分数有无显著差异.设各个总体服从正态
分布，且方差相等.
【解】
1
3,40,====∑r
i i r n n
2
3
2..11
i
n T ij
i j T S x n ===-∑∑=199462-185776.9=13685.1, 2
3
2...11==-∑A i i i
T S T n n =186112.25-185776.9=335.35, =-E T A S S S =13349.65,
0.05/(1)167.70.465
/()360.8(2,37) 3.23.
-=
==-=>A E S r F S n r F F
故各班平均分数无显著差异. 表9-2-1方差分析表 方差来
源
平方和
S
自由度 均方和
S
F 值 因素影
响
335.35 2 167.68 0.465 误差
13349.65 37
360.80
总和 13685 39
3. 下面记录了3位操作工分别在不同机器上操作3天的日产量. 甲 乙 丙 A 1 15 15 17 19 19 16 16 18 21 A 2 17 17 17 15 15 15 19 22 22 A 3 15 17 16 18 17 16 18 18 18 A 4 18 20 22 15 16 17 17 17 17 取显著性水平α=0.05,试分析操作工之间，机器之间以及两者交互作用有无显著差
操 作 工 机 器
异？
【解】
由已知r =4,s =3,t =3.
.......,,,ij i j T T T T 的计算如表9-3-1.
表9-3-1
甲 乙 丙
..i T
1A 4
7
54 55 156 2A 5
1
45 63 159 3A 4
8
51 54 153 4A 6
48 51 159 ..j T
2
06
198
223
627
2
2 (111)
2
2 (12)
2.....122....111106510920.25144.75,
11092310920.25 2.75,
110947.4210920.2527.17,173.50=====?===-=-==-=-==-=-=??-=--= ???
∑∑∑∑∑∑∑r
s
t
T ijk
i j k r A i i s B j j r s ij A B A B i j T S x rst T S T st rst T S T rt rst T T S S S t rst ,
41.33.
?=---=E T A B A B S S S S S
表9-3-2得方差分析表 方差来
源
平方和
S
自由度 均方和
S
F 值
因素A
（机器） 2.75 3 0.92 A F =053
因素B
（操作工）
27.17 2 13.58 B F =7.
89
交互作
用A×B
73.50 6 12.25 ?A B F =
7.12
误差 4.33
24 1.72 总和
1094.75
0.050.050.05(3,24) 3.01,(2,24) 3.40,(6,24) 2.51.===F F F
操 作 工
机 器
T ij
接受假设01H ，拒绝假设0203,H H .
即机器之间无显著差异，操作之间以及两者的交互作用有显著差异.
4. 为了解3种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异，对3种不同品种的猪各选
3头进行试验，分别测得其3个月间体重增加量如下表所示，取显著性水平α=0.05，试分析不同饲料与不同品种对猪的生长有无显著影响？假定其体重增长量服从正态分布，且各种配比的方差相等.
体重增长量
因素B （品种）
B 1 B 2 B 3
因素A （饲料）
A 1 A 2 A 3 51 53 52 56 57 58 45 49
47 【解】由已知r =s =3,经计算x =52, 1.x =50.66, 2.x =53
3.x =52.34, .1x =52, .2x =57, .3x =47,
2112.12.1
()162;
()8.73,
()150,
3.27.
r s
T ij i j r
A i i r
B j j E T A B S x x S s x x S r x x S S S S =====-==-==-==--=∑∑∑∑
表9-4-1得方差分析表 方差来
源
平方和
S
自由度 均方和
S
F 值 饮料作
用
8.68 2 4.34 5.23 品种作
用
150 2 75 90.36 试验误
差
3.32 4 0.83 总和
162
由于0.050.05(2,4) 6.94,(2,4).A B F F F F =>< 因而接受假设01H ,拒绝假设02H .
即不同饲料对猪体重增长无显著影响,猪的品种对猪体重增长有显著影响.
5.研究氯乙醇胶在各种硫化系统下的性能（油体膨胀绝对值越小越好）需要考察
补强剂（A ）、防老剂（B ）、硫化系统（C ）3个因素（各取3个水平），根据专业理论经验，交互作用全忽略，根据选用L 9(34)表作9次试验及试验结果见下表：
表头设计
试验
列号
1 2 3 4 结果
试
验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 2 2 2 1 3 3 3 2 1 2 3 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2 3 2 1 3 3 3 2 1
7.25
5.48 5.35 5.40 4.42 5.90 4.68 5.90 5.63
试作最优生产条件的直观分析，并对3因素排出主次关系. 给定α=0.05,作方差分析与(1)比较.
【解】(1) 对试验结果进行极差计算，得表9-5-1.
表9-5-1
1j T
18.08 17.33 19.05 17.30
T =5
0.01 2j
T
15.
72
15.
80 16.
51 16.
06 3j T
16.
21
16.
88
14.
45 16.
65 j R
2.3
6 1.5
3 4.4
6 1.2
4
由于要求油体膨胀越小越好，所以从表9-5-1的极差R j 的大小顺序排出因素的主
次顺序为：主→次B ,A ,C
最优工艺条件为：223A B C .
(2) 利用表9-5-1的结果及公式2
211==-∑r j ij i T S T r P
,得表9-5-2.
表9-5-2
A
1 B
2 C
3 4
j S
1.0
34
0.4
12
3.5
39
0.2
56
5.241
=T S
表9-5-2中第4列为空列，因此40.256==e S S ,其中2=e f ，所以
e
e
S f =0.128方差分析表如表9-5-3.
表9-5-3
方
差来源
j s
j f
/j j
s f
/
j
e j
e s s F
f f =
显
著性 A 1.0
34
2 0.5
17
4.039 B 0.4
12
2 0.2
06
1.609 C
3.5
2
1.7
13.8
39 69 28
e
0.2
56
2
0.1
28
由于
0.05(2,2)19.00
F，故因素C作用较显著，A次之，B较次，但由于要求油
体膨胀越小越好，所以主次顺序为：BAC，这与前面极差分析的结果是一致的.
6. 某农科站进行早稻品种试验（产量越高越好），需考察品种（A），施氮肥量（B），氮、磷、钾肥比例（C），插植规格（D）4个因素，根据专业理论和经验，交互作用全忽略，早稻试验方案及结果分析见下表：
因素试验号
A
品
种
B
施
氮肥量
C
氮、磷、
钾肥比例
D
插
植规格
试
验指标
产
量
1 2 3 4 5 6 7 8
1
（科6号）
1
2(
科5号)
2
1(
科7号)
1
2(
珍珠矮)
2
1
(20)
2
(25)
1
2
1
2
1
2
1(2∶2∶
1)
2(3∶2∶
3)
1
2
2
1
2
1
1(
5×6)
2(
6×6)
2
1
1
2
2
1
1
9.0
2
0.0
2
1.9
2
2.3
2
1.0
2
1.0
1
8.0
1
8.2
(1) 试作出最优生产条件的直观分析，并对4因素排出主次关系.
(2) 给定α=0.05,作方差分析，与(1)比较.
【解】被考察因素有4个：A，B，C，D每个因素有两个水平，所以选用正交表L8（27），进行极差计算可得表9-6-1.
表9-6-1
列号
水平
试验号1
A
2
3
B
4
C
5
D
6
7
试
验结果
1 11111111
9.0
2 11122222
0.0
3 12211222
1.9
4 12222112
2.3
5 21212122
1.0
6 21221212
1.0
7 22112211
8.0
8 221211218.2 T 1j 83.2 81.0 75.2 79.9 80.1 80.5 80.3 T
=161.4 T 2j 78.2 80.4 86.2 81.5 81.3 80.9 81.1 R j
5.0
0.6
11.0
1.6
1.2
0.4
.8
从表9-6-1的极差R j 的大小顺序排出因素的主次为：,,,→主次
B C A D 最优方案为：1222A B C D
(2) 利用表9-6-1的结果及公式2
211n j ij i T s T r P
==-∑得表9-6-2.
表9-6-2
1 A
2
3 B
4 C
5 D
6 7
3.125
.045
15.125
0.320
0.180
0.020
0.080
18.895
T S =
表9-6-2中第1,3,7列为空列，因此s e =s 1+s 3+s 7=18.330,f e =3,所以
e
e
s f =6.110.而在上表中其他列中
j e
j
e
s s f f <
.故将所有次均并入误差，可得 ΔΔ18.895,7.===e T e s s f
整理得方差分析表为表9-6-3. 表9-6-3 方
差来源
j s
j f
j j
s f ΔΔ
/=j
e
j
e s s F
f f
显
著性 A 0.0
45
1 0.0
45
0.01
7
B 0.3
20
1 0.3
20
0.11
9
C 0.1
80
1 0.1
80
0.06
7
D 0.0
20
1 0.0
20
0.00
7
e
18.
330
3 6.11
Δe
18.
895
7
2.6
99
由于0.05(1.7) 5.59=F ，故4因素的影响均不显著，但依顺序为：,,,→主次
B C A D 与
（1）中极差分析结果一致.
习题十
1. 在硝酸钠(NaNO 3)的溶解度试验中，测得在不同温度x (℃)下，溶解于100份水
中的硝酸钠份数y 的数据如下，试求y 关于x 的线性回归方程.
i
0 4 10 15 21 29 36 51 68
i
66.7 71.0 76.3 80.6 85.7 92.9 99.4 113.6 125.1
【解】经计算得，
9
999
21
1
1
1
2234,811.3,10144,24628.6,
1
10144(234)4060,
91
24628.6234811.33534.8.
9
i
i i
i i i i i i xx xy x
y x x y S S =========-==-??=∑∑∑∑
故^
^
^811.3234
0.8706,67.5078,99
xy
xx S b a b S ===-?=
从而回归方程：^
67.50780.8706.y x =+
2. 测量了9对父子的身高，所得数据如下（单位：英寸）.
父
亲身高x i
60 62 64 66 67 68 70 72 74 儿
子身高y i
63.6 65.2 66 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70 求（1） 儿子身高y 关于父亲身高x 的回归方程.
（2） 取α=0.05，检验儿子的身高y 与父亲身高x 之间的线性相关关系是否显著. （3） 若父亲身高70英寸，求其儿子的身高的置信度为95%的预测区间. 【解】经计算得，
9
9999
221
1
1
1
1
2291603,604.6,40569,40584.9,40651.68
1
40569(603)168,
91
40584.9603604.676.7,
91
40651.68(604.6)35.9956.
9
???(1)0.4565,/9/i
i i
i i i i i i i i xx xy yy xy i i
i xx x
y x x y y S S S S b a x b x S ============-==-??==-====-?∑∑∑∑∑∑91
936.5891,i ==∑
故回归方程：?36.58910.4565.y
x =+
第七章 参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σ μ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）???>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==-Λ为未知参数。 解：（1）X θc θθc θc θc θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θn n n i i x x x c θ x f θL Λ 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL
《概率论与数理统计》课后习题解答 习题一 3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件： （1）A 发生,B 与C 不发生; （2）A 与B 都发生,而C 不发生; （3）A ,B ,C 都发生; （4）A ,B ,C 都不发生; （5）A ,B ,C 中至少有一个发生; （6）A ,B ,C 中恰有一个发生; （7）A ,B ,C 中至少有两个发生; （8）A ,B ,C 中最多有一个发生. 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）ABC ； （4）C B A ； （5）C B A ； （6）C B A C B A C B A ++； （7）BC AC AB ； （8）BC AC AB 或C B C A B A ． 5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码． （1）求最小的号码为5的概率; （2）求最大的号码为5的概率. 解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得 （1）12 1)(31025==C C A P ； （2）20 1)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求： （1）任取3件产品恰有1件是废品的概率; （2）任取3件产品没有废品的概率; （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得
（1）0855.0)(3200 2194161≈=C C C A P ； （2）9122.0)(3200 31940≈=C C A P ； （3）0023.0)(3200 3611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率： A 表示“这三个数字中不含0和5” ； B 表示“这三个数字中包含0或5” ； C 表示“这三个数字中含0但不含5”． 解：由概率的古典定义得 157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；30 7)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ． 解：4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P )]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-== 3.0) 4.06.0 5.0(1=-+-= 10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ． 解：314.014.06.0)(1)()() ()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少? 解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为 3 19.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码．
习题7-1 1. 选择题 (1) 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X 为来自X 的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) . (A) X 和S 2 . (B) X 和21 1()n i i X n μ=-∑ . (C) μ和σ2 . (D) X 和 21 1 ()n i i X X n =-∑. 解 选(D). (2) 设[0,]X U θ , 其中θ>0为未知参数, 又12,,,n X X X 为来自总体X 的样本, 则θ的矩估计量是( ) . (A) X . (B) 2X . (C) 1max{}i i n X ≤≤. (D) 1min{}i i n X ≤≤. 解 选(B). 3. 设总体X 的概率密度为 (1),01, (;)0, x x f x θθθ+<<=???其它. 其中θ>-1是未知参数, X 1,X 2,…,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本, 求: (1) θ的矩估计量； (2) θ的极大似然估计量. 解 总体 X 的数学期望为 1 10 1 ()()d (1)d 2 E X xf x x x x θθθθ+∞ +-∞ +==+= +? ?. 令()E X X =, 即12 X θθ+=+, 得参数θ的矩估计量为 21?1X X θ-=-. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… , X n 的一组观测值, 则似然函数为 1(1),01,0, n n i i i x x L θθ=?? ?+<0且 ∑=++=n i i x n L 1 ln )1ln(ln θθ, 令 1 d ln ln d 1 n i i L n x θ θ== ++∑=0, 得
习题7-1 1.选择题 (1)设总体X 的均值口与方差 /都存在但未知，而X 1,X 2,L ,X n 为来 自X 的样本，则均值 口与方差 (T 2的矩估计量分别是 (). (A) X 和 (B) 1 n X 和—(X n i 1 i )2 . (C) 口和 2 (T ? 1 (D) X 和一 n n (X i i 1 x)2. 解 选 (D). (2) 设X : U[0, ],其中 e >0为未知参数，又X ,,X 2,L ,X n 为来自总体 X 的样本 ,则e 的矩估计量是( ). (A) X . (B) 2X . (C) max{X i }. (D) m i^ X i } . 解选(B). 2.设总体X 的分布律为 其中0v B v 为未知参数,X1, X 2,…,X.为来自总体X 的样本，试求e 的矩 估计量. 解 因为 E (X )=(- 2)x3 e +1x(1 -4 e )+5x e =1-5 e ,令 1 5 X 得到 的矩估计量为 3.设总体X 的概率密度为
f(x ；) (1)x ,0 x 1, 0, 其它? 其中 0> -1是未知参数，X,冷… ,X n 是来自 X 的容量为n 的简单随机样本 求 ： (1) 的矩估计量； ⑵ 0的极大似然估计量? 解 总体X 的数学期望为 - 1 9 2X 1 令E(X) X ,即一1 X,得参数B 的矩估计量为？ ? 2 1 X 设X 1, X 2,…,x n 是相应于样本X 1, X 2,…,X n 的一组观测值，则似然函 数为 n (1)n X i , 0 x i 1, i 1 0, 其它. In x i 1 In X i i 1 4.设总体X 服从参数为 的指数分布，即X 的概率密度为 E(X) 1 xf(x)dx o ( 1)x dx 当 0
习题一 2．设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7，P (A -B )=0.3，求P （ AB 解： P （AB ） =1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6。 3. 设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率。 解：因为 A B C A B ?,所以0()()P ABC P AB ≤≤，又 P （AB ）=0，则()0P ABC =， P （A ∪B ∪C ） =P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=34 。 4．将3个不同的球随机地放入4个杯子中去，求所有杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率。 解：设i A ={杯中球的最大个数为i }，i =1，2，3。 将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故 34 13C 3!3()84 P A == 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()164 P A ==，因此 213319()1()()181616 P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()164P A ==. 6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数，求下列事件的概率：(1) 这五个数字组成一个五位偶数；(2) 2和3都被抽到且靠在一起. 解（1）5105987648764190 P A ????-???==． （2）145102!876445 C P A ????==． 7．对一个五人学习小组考虑生日问题： （1） 求五个人的生日都在星期日的概率；（2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 解：基本事件总数为57， （1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，所求事件包含基本事件的个数为1个，故 P （A 1）=517=51()7 ;
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取 出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ． 解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ； 法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；
(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ． 解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ． 解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．
. 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥=
10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域）
习题7.1 1.设总体X服从指数分布 试求的极大似然估计.若某电子元件的使用寿命服从该指数分布,现随机抽取18个电子元件,测得寿命数据如下(单位:小时): 16, 19, 50, 68, 100, 130, 140, 270, 280, 340, 410, 450, 520, 620, 190, 210, 800, 1100. 求的估计值. 解: 似然函数为 令 得 2.设总体X的概率密度为 其他 试求(1)的矩估计的极大似然估计 解: (1) 的矩估计 (2) 似然函数为
令 解得 3.设总体X服从参数为的泊松分布试求的矩估计和极大似然估计(可参考例7-8) 解:由服从参数为的泊松分布 由矩法,应有 似然函数为 解得的极大似然估计为 习题7.2 1.证明样本均值是总体均值的相合估计 证: 由定理知是的相合估计 2.证明样本的k阶矩是总体阶矩的相合估计量 证: 是的相合估计 3.设总体为其样品试证下述三个估计量 (1) (2)
(3) 都是的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小? 证: 都是的无偏估计 故的方差最小. 4.设总体其中是未知参数又为取自该总体的样品为样品均值 (1)证明是参数的无偏估计和相合估计 (2)求的极大似然估计 (1)证: 是参数的无偏估计 又 是参数的相合估计 (2)故其分布密度为 其他 似然函数 其他 因对所有有
习题7.3 1.土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强度.现从中 抽取容量为6的样本测得样本观测值并算的求的置信度的置信区间 解: 置信度为的置信区间是 2.设轮胎的寿命X服从正态分布,为估计某种轮胎的平均寿命,随机地抽取12只轮胎试用,测得它们的 寿命(单位:万千米)如下: 4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.7 试求平均寿命的的置信区间(例7-21,未知时的置信区间) 解:查分布表知 平均寿命的的置信区间为 3.两台车床生产同一种型号的滚珠,已知两车床生产的滚珠直径X,Y分别服从 其中未知现由甲,乙两车床的产品中分别抽出25个和15个,测得 求两总体方差比的置信度0.90的置信区间. 解:此处 的置信度0.90的置信区间为: 4.某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机抽取9个,测得直径(单位:毫米)如下: 14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8 设滚珠直径服从正态分布,若 (1)已知滚珠直径的标准差毫米; (2)未知标准差
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A A B - （B ）()A B B ?- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则A B 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<
习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、
第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A ，B ，C 都发生； （3） A ，B ，C （4） A ，B ，C 都不发生； （5） A ，B ，C （6） A ，B ，C 至多有1个不发生； 【解】（1） ABC （2） ABC （3）A B C (4) ABC =A B C (5) ABC (6) ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7, （1） 在什么条件下P （AB （2） 在什么条件下P （AB 【解】（1） 当AB =A 时，()()0.6P AB P A ==,()P AB 取到最大值为0.6. （2） 当A ∪B =Ω时，()()()()0.3P AB P A P B P A B =+-=,()P AB 取到最小值为0.3. 6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率. 【解】 因为P （AB ）=P （BC ）=0，所以P (ABC )=0， 由加法公式可得 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ = 14+14+13-112=34
《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。
.1. 解：（正， 正）， （正， 反）， （反， 正）， （反， 反） A （正 ，正） ， （正， 反） .B （正，正），（反，反） C （正 ，正） ， （正， 反） ，（反，正） 2.解：(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解：(1) ABC ；(2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ； (4) ABC ABC ABC ；( 5) A B C ； (6) ABC ；(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ；(9) ABC 4. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中； 甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解：如图： 第一章概率论的基本概念习题答案
每次拿一件，取后放回，拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解：不 疋成立 。例如： A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是 （A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解： P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ；8C ； C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ；c
习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解 （1）ABC （2）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； （3）A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ； （4）ABC ABC ABC U U ； （5）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3） 123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =B ；
< 概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,01 0,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则 a =________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2 +ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<=
《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4） 3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5） （6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式： （4） Bayes公式： 7．事件的独立 性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分 布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对 任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）； （3）对任意， 4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，； （6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的 概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3） 若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位 数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导 数，，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量 1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有 （1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布 且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关 于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对 二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1） 离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且 7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续 时， ；，； (3) 二维时， (4)； （5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）； （3）；（4）独立时， 3．协方差 （1）；；；（2）（3）；（4）时， 称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5） 4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律 3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布， 或，或
)B= B (A) 0.15 B是两个随机事件， )B= (A) 0(B) B,C是两个随机事件
8.已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。设他们有Y 个儿子，如果生男孩的概率为0.5，则Y 服从 B 分布. (A) (01)- 分布 (B) (4,0.5)B (C) (2,1)N (D) (2)π 9.假设某市公安机关每天接到的110报警电话次数X 可以用泊松(Poisson)分布 ()πλ来描述.已知{49}{50}.P X P X ===则该市公安机关每天接到的110报警电话次数的方差为 B . (A) 51 (B) 50 (C) 49 (D) 48 10.指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为 则这种电器的平均寿命为 B 小时. (A) 500 (B) 1000 (C) 250000 (D) 1000000 11.设随机变量X 具有概率密度 则常数k = C . (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 1 12.在第11小题中, {0.50.5}P X -≤≤= D . (A) 14 (B) 34 (C) 1 8 (D) 38 13.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗骰子的点数之和(Z=X+Y)为6的概率为 C . (A) 336 (B) 436 (C) 5 36 (D) 636 14.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗 0.0010.001, 0()0, t e t f t -?>=? ?其它,01,()0, 其它. x k x f x +≤≤?=? ?